\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf JAV\'IT\'O DOLGOZAT FELADATAI}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon
lehet megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Legyen $\xi$ egy v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es egy
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye a
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}} e^{-(x-1)^2/2}$ f\"uggv\'eny.
Sz\'a\-m\'{\i}t\-sa ki a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $E\xi^3$ harmadik momentum\'at.
\item{2.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen a
$[-\frac12,\frac12]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o,
azaz legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk
$f(x)=1$, ha $-\frac12\le x\le \frac12$ \'es
$f(x)=0$, ha $x<-\frac12$ vagy $x>\frac12$. Sz\'am\'{\i}tsa
ki $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{3.} Adott k\'et urna, mindkett\H{o}ben 4 feh\'er \'es 8 piros
goly\'o. Elv\'egz\"unk 10 h\'uz\'ast, mindegyik alkalommal kih\'uzunk
egy-egy goly\'ot a k\'et urn\'ab\'ol, az els\H{o}b\H{o}l visszatev\'es
n\'elk\"ul, a m\'asodikb\'ol visszatev\'essel.
Ha egyforma sz\'{\i}n\H{u} goly\'okat h\'uzunk, akkor 2 forintot
nyer\"unk, ha k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u}eket, akkor 1
forintot vesz\'{\i}t\"unk. Sz\'amoljuk ki nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\item{4.} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervalumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\dfrac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\"orz\"ott pontok \'ert\'ekeinek
az \"osszege 5900  \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est
a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{5.} Mikor mondjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen
vektor egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
t\"obb dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u?
 
 
 
 
\bye
