JAVÍTÓ DOLGOZAT FELADATAI

Megjegyzés: Abban az esetben, ha egy megkérdezett fogalom definícióját több (egymással ekvivalens) módon lehet megadni, akkor ezek mindegyike jó válasznak minősül.

1. Legyen ξ egy várható értékű és egy szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi

változó, azaz legyen sűrűségfüggvénye a φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−(x−1)^{2}/2} függvény. Számítsa

ki a ξ valószínűségi változó Eξ^{3} harmadik momentumát.

2. Legyen ξ és η két független a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen sűrűségfüggvényük f(x) = 1, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2} és f(x) = 0, ha x < −\frac{1}{2} vagy x > \frac{1}{2}. Számítsa ki ξ + η sűrűségfüggvényét.

3. Adott két urna, mindkettőben 4 fehér és 8 piros golyó. Elvégzünk 10 húzást, mindegyik alkalommal kihúzunk egy-egy golyót a két urnából, az elsőből visszatevés nélkül, a másodikból visszatevéssel. Ha egyforma színű golyókat húzunk, akkor 2 forintot nyerünk, ha különböző színűeket, akkor 1 forintot veszítünk. Számoljuk ki nyereményünk várható értékét és szórásnégyzetét.

4. Ledobunk egymástól függetlenül 24 000 pontot a [0, 2] intervalumra egyenletes eloszlással, (azaz annak a valószínűsége, hogy egy ledobott pont értéke x-nél kisebb \frac{x}{2}-vel egyenlő, ha 0 ≤ x ≤ 2, eggyel egyenlő, ha x ≥ 2, és nulla, ha x ≤ 0.) Őrizzük meg azokat a ledobott pontokat, melyek értéke 1-nél kisebb, és hagyjuk el azokat, melyek értéke, nagyobb mint egy. Mi annak a valószínűsége, hogy a megörzött pontok értékeinek az összege 5900 és 6075 közé esik? Adjunk erre a valószínűségre jó közelítő becslést a mellékelt normális eloszlástáblázat segítségével.

5. Mikor mondjuk, hogy egy (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn több dimenziós normális eloszlású?