\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\font\script=cmcsc10
 
\medskip\noindent
\noindent{\bf A december 10-i
gyakorlaton t\'argyalt feladat}
\medskip\noindent
\item{} Dobjunk le az orig\'o k\"oz\'eppont\'u egys\'egk\"orre
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul  egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal 18~000
pontot. Adjunk j\'o  k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy a ledobobott pontok els\H{o}
koordin\'at\'ainak az \"osszege kisebb, mint 80, m\'asodik
koordin\'at\'ainak az \"osszege pedig kisebb, mint $-80$.
\medskip\item{} Jel\"olje a $j$-ik ledobott pont $x$ illetve $y$
koordin\'at\'aj\'at $\xi_j$ \'es $\eta_j$, \'es legyen
$S=\summ_{j=1}^{10~000}\xi_j$, $T=\summ_{j=1}^{10~000}\eta_j$. Ekkor
minket a $P(S<80,T<-80)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg (j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{\o}) \'ert\'eke \'erdekel. A t\"obb-dimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an a
$P\(\dfrac{(S-ES)}{100}<x,\dfrac{(T-ET)}{100}<y\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o} annak a
k\'et-di\-men\-zi\-\'os norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny $\Phi(x,y)$
\'ert\'ek\'evel, mely e egy olyan nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u $(X,Y)$ vektor eloaszl\'asf\"uggv\'enye,
melyre $Var X=\Var \xi_1$, $\Var Y=\Var \eta_1$, \'es
$\Cov(X,Y)=\Cov(\xi_1,\eta_1)$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az
$E\xi_1$, $E\eta_1$, $E\xi_1^2$, $E\eta_1^2$ \'es $E\xi_1\eta_1$
v\'arhat\'u \'ert\'ekeket.
$$
E\xi_1=\frac1\pi\int_{(u,v)\:u^2+v^2\le 1} u\,du\,dv=0,\quad
E\eta_1=\frac1\pi\int_{(u,v)\:u^2+v^2\le 1} v\,du\,dv=0
$$
Az, hogy ezen integr\'alok \'ert\'eke nulla parit\'asi
meggondol\'asokb\'ol l\'athat\'o. Ugyanis az els\H{o} integr\'alt
el\H{o}sz\"or a $v$ v\'altoz\'o szerint integr\'alva, egy
a $v$ v\'altoz\'oban p\'aratlan f\"uggv\'enyt kapunk. Hasonl\'oan
kapjuk, hogy a m\'asodik integr\'al nulla, el\H{o}sz\"or az $u$
v\'altoz\'o szerint integr\'alva. Hasonl\'o meggondol\'asokb\'ol
l\'athat\'o, hogy
$$
E\xi_1\eta_1=
E\xi_1=\frac1\pi\int_{(u,v)\:u^2+v^2\le 1} uv\,du\,dv=0.
$$
V\'eg\"ul, k\"onnyen l\'athat\'o, hogy $E\xi_1^2=E\eta_1^2$, ez\'ert
el\'eg $E\xi_1^2$-t kisz\'amolni. Viszont
$$
E\xi_1^2=\frac{E(\xi_1^2+\eta_1^2)}2=\frac12
\frac1{\pi}\int_{(u,v)\:u^2+v^2\le 1} (u^2+v^2)\,du\,dv,
$$
ahonnan pol\'ar-koordin\'at\'as helyettes\'{\i}t\'essel
$$
E\xi_1^2=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \int_0^1 r\cdot r^2\,dr\,d\varphi
=\[\frac{r^4}4\]_0^1=\frac14.
$$
A fenti sz\'amol\'asok azt jelentik, hogy a tekintett $(V,V)$
norm\'alis eloszl\'u v\'eletlen vektor m\'atrixa diagon\'alis, ez\'ert
koordin\'at\'ai f\"uggetlenek, ezenk\'{\i}v\"ul mind $U$ mind $V$
sz\'or\'asn\'egyzete $\frac14$. Tov\'abb\'a,
$$
\align
P(S<80,T<-80)&=P\(\dfrac{(S-ES)}{100}<0.8,\dfrac{(T-ET)}{100}<-0.8\)\\
&\sim P(U<0.8,V<-0.8)=P(U<0.8)P(V<-0.8)\\
&=P(2U<1.6)P(2V<-1.6)=\Phi(1.6)(1-\Phi(1.6)).
\endalign
$$
 
\bye
