A december 10-i gyakorlaton tárgyalt feladat

Dobjunk le az origó középpontú egységkörre egymástól függetlenül egyenletes eloszlással 18 000 pontot. Adjunk jó közelítő becslést a több-dimenziós centrális határeloszlástétel segítségével arra, hogy a ledobobott pontok első koordinátáinak az összege kisebb, mint 80, második koordinátáinak az összege pedig kisebb, mint −80.

Jelölje a j-ik ledobott pont x illetve y koordinátáját ξ_{j} és η_{j}, és legyen S =

∑_{j=1}^{10 000} ξ_{j}, T = ∑_{j=1}^{10 000} η_{j}. Ekkor minket a P (S < 80, T < −80) valószínűség (jó

közelítø̋) értéke érdekel. A több-dimenziós centrális határeloszlástétel alapján a

P (\frac{(S − ES)}{100} < x, \frac{(T − ET)}{100} < y) valószínűség jól közelíthető annak a két-dimen-

ziós normális eloszlásfüggvény Φ(x, y) értékével, mely e egy olyan nulla várható értékű normális eloszlású (X, Y) vektor eloaszlásfüggvénye, melyre V arX = Var ξ_{1}, Var Y = Var η_{1}, és Cov (X, Y) = Cov (ξ_{1}, η_{1}). Számítsuk ki az Eξ_{1}, Eη_{1}, Eξ_{1}^{2}, Eη_{1}^{2} és Eξ_{1}η_{1} várhatú értékeket.

Eξ_{1} = \frac{1}{π} ∫_{(u,v) : u^{2}+v^{2}≤1} u du dv = 0, Eη_{1} = \frac{1}{π} ∫_{(u,v) : u^{2}+v^{2}≤1} v du dv = 0

Az, hogy ezen integrálok értéke nulla paritási meggondolásokból látható. Ugyanis az első integrált először a v változó szerint integrálva, egy a v változóban páratlan függvényt kapunk. Hasonlóan kapjuk, hogy a második integrál nulla, először az u változó szerint integrálva. Hasonló meggondolásokból látható, hogy

Eξ_{1}η_{1} = Eξ_{1} = \frac{1}{π} ∫_{(u,v) : u^{2}+v^{2}≤1} uv du dv = 0.

Végül, könnyen látható, hogy Eξ_{1}^{2} = Eη_{1}^{2}, ezért elég Eξ_{1}^{2}-t kiszámolni. Viszont

Eξ_{1}^{2} = \frac{E(ξ_{1}^{2} + η_{1}^{2})}{2} = \frac{1}{2} \frac{1}{π} ∫_{(u,v) : u^{2}+v^{2}≤1}(u^{2} + v^{2}) du dv,

ahonnan polár-koordinátás helyettesítéssel

Eξ_{1}^{2} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{1} r · r^{2} dr dφ = [\frac{r^{4}}{4} ]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.

A fenti számolások azt jelentik, hogy a tekintett (V, V) normális eloszlú véletlen vektor mátrixa diagonális, ezért koordinátái függetlenek, ezenkívül mind U mind V szórásnégyzete \frac{1}{4}. Továbbá,

P (S < 80, T < −80) = P (\frac{(S − ES)}{100} < 0.8, \frac{(T − ET)}{100} < −0.8)
∼ P (U < 0.8, V < −0.8) = P (U < 0.8)P (V < −0.8)
= P (2U < 1.6)P (2V < −1.6) = Φ(1.6)(1 − Φ(1.6)).