\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A m\'arcius 5-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai.}  \medskip\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.} Minden $m$ val\'os sz\'amra
$$
E(\xi-m)^2=E(\xi-E\xi)^2+\((E\xi)-m\)^2.
$$
K\"ovetkez\'esk\'eppen
$$
\Var \xi=\inf_{-\infty<m<\infty} E\[(\xi-m)^2\].
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E(\xi-m)^2&=E\[(\xi-E\xi)+(E\xi-m)\]^2\\
&=E(\xi-E\xi)^2-2E(\xi-m)E(\xi-E\xi)+E(\xi-m)^2\\
&=E(\xi-E\xi)^2+\((E\xi)-m\)^2,
\endalign
$$
mert $2E(\xi-m)E(\xi-E\xi)=2E(\xi-m)(E\xi-E\xi)=0$. Ebb\H{o}l az
azonoss\'agb\'ol ad\'odik, hogy $E(\xi-m)^2\ge E(\xi-E\xi)^2$ minden
$m$ val\'os sz\'amra. Viszont $m=E\xi$ eset\'en az egyenl\H{o}tlens\'eg
k\'et oldala megegyezik.
\item{2.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a  v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt
egyr\'eszt direkt m\'odon fel\'{\i}rva \'es kisz\'amolva a v\'arhat\'o
\'ert\'eket \'es sz\'or\'asn\'egyzetet kifejez\H{o} \"osszeget
m\'asr\'eszt egyszer\H{u}bben a f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'or\'asn\'egyzet\'et
kifejez\H{o} k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
100 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\dbinom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\H{o}li a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Tov\'abb\'a $E\xi^2
=\summ_{k=0}^{100} k^2\dbinom {100}k 2^{-100}$, a sz\'or\'asn\'egyzet
pedig $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ezeket az \"osszegeket
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban,
$k\dbinom{100}k=100\dbinom{99}{k-1}$,
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}k\dbinom {99}k
2^{-99}=50\(\dfrac12+\dfrac12\)^{99}=50$. Tov\'abb\'a,
$k^2\dbinom{100}k=[k(k-1)+k]\dbinom{100}k=100\cdot99\cdot
\dbinom{98}{k-2} +100\cdot\dbinom{100}{99}$, $E\xi^2=\dfrac14\cdot
100\cdot99\cdot\summ_{k=0}^{98}\dbinom{98}k+
\dfrac12\cdot100\cdot\summ_{k=0}^{99}\dbinom{99}k=25\cdot99+50$,
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi^2)=25$.
\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'asn\'egyzetet egyszer\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j$ val\'osz1n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, $\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j$.
Mivel $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
$\Var\xi=\frac14\cdot100=25$.
\item{3.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek \"osszeg\'enek
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Legyenek $\eta_1$,$\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$P(\eta_j=k)=\dfrac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$\Var\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}\Var\eta_j$.
(A m\'asodik rel\'aci\'o felhaszn\'alja a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok f\"uggetlens\'eg\'et.)
$E\eta_j=\dfrac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$,
$E\eta_j^2=\dfrac16(1+4+9+16+25+36)=\frac{91}6$,
$\Var\eta_j=\dfrac{35}{12}$, $E\xi=350$, $\Var\xi=\dfrac{3500}{12}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok
do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyeinek \"osszeg\'et \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki
annak sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\medskip
\item{4.} Legyen egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk ki a
kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\"or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 20$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. Ekkor a
$\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell ki\-sz\'a\-mol\-nunk. Tov\'abb\'a
$E\xi_j=E\xi_1=\dfrac25$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\dfrac25-\dfrac4{25}=\dfrac6{25}$,
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\dfrac25\cdot
\dfrac{19}{49}-\dfrac4{25}=-\dfrac6{1245}$, ha $j\neq k$.
Innen a 20 dob\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $20\cdot\dfrac25=8$ \'es
sz\'or\'asn\'egyzete $20\cdot\dfrac6{25}-380\cdot\dfrac6{1245}
=\dfrac{144}{49}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyen egy urn\'aban 10 piros \'es 20 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot, \'es minden h\'uz\'as ut\'an a kih\'uzott
goly\'ot visszadobjuk egy m\'asik azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'oval
egy\"utt. Sz\'amoltuk a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Haszn\'aljuk az el\H{o}z\H{o} gyakorlat
eredm\'eny\'et arr\'ol, hogy mi a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge
annak, hogy egy adott h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk vagy k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} h\'uz\'as mindegyik\'eben piros goly\'ot h\'uzunk.
\item{5.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer.
Sz\'amoljuk ki a dob\'as\"osszeg harmadik hatv\'any\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=k$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye $k$, $1\le j\le 10$, $1\le k\le 6$. Ekkor az
$E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ v\'arhat\'o \'ert\'eket kell
kiszm\'am\'{\i}tanunk. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk a
$\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ kifejez\'est \'es \'erts\"uk meg
milyen tagokat kapunk, ha elv\'egezz\"uk a beszorz\'asokat.
Egyr\'eszt megjelenik 10 $\xi_j^3$ alak\'u kifejez\'es, \'es
$E\xi_j^3=E\xi_1^3$ minden ilyen tagra. Ezenk\'{\i}v\"ul megjelenik
$3\cdot 10\cdot 9$ $\xi_j^2\xi_k$, $j\neq k$, alak\'u kifejez\'es, mert
a lehets\'eges $(j,k)$ p\'arokat $10\cdot 9$ m\'odon v\'alaszthatjuk
ki, \'es a $k$ (csak egyszer szerepl\H{o} t\'enyez\H{o}) h\'arom helyen
szerepelhet. Tov\'abb\'a minden ilyen tagra
$E\xi_j^2\xi_k=E\xi_j^2E\xi_k=E\xi_1^2 E\xi_1$. Tov\'abb\'a
$10\cdot9\cdot8$ m\'odon jelenhet meg $\xi_j\xi_k\xi_l$ alak\'u tag,
ahol a $j$, $k$ \'es $l$ indexek mind k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek, \'es
ezekre $E\xi_j\xi_k\xi_l=\(E\xi_1\)^3$. M\'asfajta tag nem jelenik
meg a szorzatban. Innen $\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3=10E\xi_1^3+270
E\xi_1(E\xi_1)^2+720\(E\xi_1\)^3=4410+14332.5+3087=218295.5$, mert
$E\xi_1=3.5$, $E\xi_1^2=\dfrac{91}6$ \'es $E\xi_1^3=441$.
\item{6.} Feldobunk egy dob\'okock\'at, majd ezut\'an egy szab\'alyos
p\'enzdarabot annyi alkalommal, amennyi a kockadob\'as eredm\'enye
volt. (Az egyes dob\'asok eredm\'enyei f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.)
Sz\'amoljuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_{j,k}$, $1\le j\le 6$, $1\le k\le j$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat:
$$
\xi_{j,k}(\oo)=\left\{
\aligned
1&\quad \text{ha a kockadob\'as eredm\'enye $j$ \'es a $k$-ik
p\'enzdob\'as\'e fej} \\
0&\quad \text{ha a kockadob\'as eredm\'enye $j$ \'es a $k$-ik
p\'enzdob\'as\'e \'{\i}r\'as} \\
0&\quad \text{ha a kockadob\'as eredm\'enye nem } j
\endaligned\right.
$$
Ekkor minket az $S=\summ_{j=1}^6\summ_{k=1}^j \xi_{j,k}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te \'erdekel. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
E\xi_{j,k}=P(\text{a kockadob\'as eredm\'enye $j$, a $k$-ik
p\'enzdob\'as\'e fej})=\dfrac1{12},
$$
$E\xi_{j,k}^2=\dfrac1{12}$, $\Var\xi_{j,k}^2=\dfrac{11}{144}$,
$E\xi_{j,k}\xi_{j,k'}=\dfrac1{24}$, ha
$k\neq k'$, ahonnan $\Cov(\xi_{j,k},\xi_{j,k'})=\dfrac5{144}$ ebben az
esetben. Tov\'abb\'a $E\xi_{j,k}\xi_{j',k'}=0$,
$\Cov(\xi_{j,k}\xi_{j',k'})=-\dfrac1{144}$, ha $j\neq j'$
(f\"uggetlen\"ul a $k$ \'es $k'$ sz\'amok viszony\'at\'ol. Innen,
$ES=\summ_{j=1}^6\summ_{k=1}^j E\xi_{j,k}=\dfrac{1+\cdots
+6}{12}=\dfrac{21}{12}$, \'es
$$
\Var S=\summ_{j=1}^6\summ_{k=1}^j \Var\xi_{j,k}+\summ_{(j,k),(j',k')\:
j\neq j'\text{ vagy }k\neq k'}\Cov (\xi_{j,k},\xi_{j',k'},
$$
ahonnan $\Var
S=\dfrac{11}{144}(1+\cdots+6)-\dfrac{1\cdot(21-1)+2\cdot(21-2)
+\cdots6\cdot(21-6)}{144}+\dfrac5{144}(2\cdot1+3\cdot2+\cdots 6\cdot
5)$. Ezt a k\'epletet \'ugy kapjuk, hogy k\"ul\"on sz\'amoljuk azon
$\Cov (\xi_{j,k},\xi_{j',k'}$ mennyis\'egek hozad\'ek\'at melyekre
$j\neq j'$ \'es azut\'an azok\'et, melyekre $j=j'$, de $k\neq k'$.
Innen $\Var S=\dfrac{231-350+350}{144}=\dfrac{77}{21}$.
\medskip
Az el\H{o}bbi feladat megold\'as\'aban megjelen\H{o} egyszer\H{u}
alak\'u v\'egeredm\'enynek, (a megjelen\H{o} kiejt\'eseknek) m\'elyebb
oka van. Ez a
k\"ovetkez\H{o} feladat t\'em\'aja.
\medskip
\item{7.} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u (diszkr\'et) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$\tau$ ezekt\H{o}l a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okt\'ol
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, mely csak
$0,1,2,\dots,N$ \'ert\'ekeket vesz fel valamilyen $N$ pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'ammal. Legyen $S=S_\tau=\summ_{j=0}^\tau \xi_j$. Ekkor
$ES=E\tau\cdot E\xi_1$. Ha ezenk\'{\i}v\"ul $E\xi_1=0$, akkor
$ES^2=E\tau\cdot E\xi^2_1$. \'Altal\'aban $\Var S=E\tau\cdot \Var
\xi_1+\(E\xi_1\)^2\cdot \Var\tau$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $I(\tau=k)$ az
$\{\oo\:\tau(\oo)=k\}$ esem\'eny indik\'atorf\"uggv\'eny\'et, \'es
legyen $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$. Ekkor
$$
\align
ES&=\sum_{k=0}^N ES_k I(\tau=k)=
\sum_{k=0}^N ES_k EI(\tau=k)
=\sum_{k=0}^N kE\xi_1 P(\tau=k)\\
&=E\xi_1 \sum_{k=0}^N kP(\tau=k)=E\xi_1\cdot E\tau
\endalign
$$
a f\"uggetlens\'egi tulajdons\'agok miatt. Hasonl\'oan, ha $E\xi_1=0$,
akkor
$$
\align
ES^2&=\sum_{k=0}^N ES_k^2 I(\tau=k)=
\sum_{k=0}^N ES_k^2 EI(\tau=k)
=\sum_{k=0}^N kE\xi_1^2 P(\tau=k)\\
&=E\xi_1 \sum_{k=0}^N kP(\tau=k)=E\xi_1\cdot E\tau,
\endalign
$$
mert ebben az esetben $ES_k^2=\(\summ_{j=1}^k\xi_j\)^2=
\summ_{j=1}^kE\xi_j^2+\summ_{j\neq k} E\xi_jE\xi_k=
\summ_{j=1}^kE\xi_j^2=kE\xi_1^2$.
\item{} V\'eg\"ul az utols\'o \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'aban legyen
$\bar\xi_k=\xi_k-E\xi_k$,
$\bar S=\summ_{k=0}^\tau \bar\xi_k$.
$\bar S_k=\summ_{j=0}^k \bar\xi_j$, $1\le k\le N$.
\item{} Ekkor
$$
\Var S=E\(\bar S+\tau E\xi_1\)^2
-\(ES\)^2=E\bar S^2+2E\tau\bar S\cdot E\xi_1+E\tau^2 \(E\xi_1\)^2
-\(E\tau E\xi_1\)^2.
$$
Innen $\Var S=E\tau \Var\xi_1+\(E\xi_1\)^2\(E\tau^2-(E\tau)^2\)=
E\tau\cdot \Var\xi_1+\(E\xi_1\)^2\cdot \Var\tau$, mert
$E\tau\bar S=\summ_{k=0}^N P(\tau=k)E\bar S_k=0$, \'es $E\bar S^2
=E\tau E\bar\xi_1^2=E\tau \Var \xi_1$.
 
 
\bye
 
