A március 19-i előadáshoz kapcsolódó gyakorlat feladatai Nem kötelező házi feladat.

Legyen

ξ_{1,1} …, ξ_{1,n_{1}}
⋮  ⋮
ξ_{k,1} …, ξ_{k,n_{k}}
⋮  ⋮

szériasorozat, azaz tegyük fel, hogy az egy sorban álló valószínűségi változók függetlenek. Tegyük fel továbbá, hogy e valószínűségi változók teljesítik a következő feltételeket:

1.) A ξ_{k,j} valószínűségi változók nem negatív egész értékeket vesznek fel.

2.) P (ξ_{k,j} = 1) = λ_{k,j}, lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j} = λ > 0.

3.) sup_{1≤j≤n_{k}} λ_{k,j} → 0, ha k → ∞, és ∑_{j=1}^{n_{k}} P (ξ_{k,j} ≥ 2) → 0, ha k → ∞.

Ekkor az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a λ para-

méterű Poisson eloszláshoz, ha k → ∞, azaz lim_{k→∞} P (S_{k} = l) = \frac{λ^{l}}{l!} e^{−λ} minden l = 0, 1, 2, … számra. Segítség: Az eredmény egyszerűbb, az órán tárgyalt változatának a bizonyítása megfelelő változtatással alkalmazható. Adjunk jó aszimptotikus becslést a ξ_{k,j}

valószínűségi változók g_{k,j}(x) = ∑_{l=0}^{∞} P (ξ_{k,j} = l)x^{l} generátorfüggvényére, |x| < 1.

1. Egy tóban 3000 hal van. Véletlenül kihalásznak belőle 1000 darabot, és ezekre piros pöttyöt festenek és visszaengedik őket. Ezután ismét kifognak véletlenül 1000 halat. Mi annak a valószínűsége, hogy a kifogott halak között 100 megfestett van?

Megoldás: \begin{matrix}\binom{1000}{100} & \binom{2000}{900} \\ ( & {3000 \atop 1000} & ) \end{matrix}, mert a keresett eloszlás hipergeometrikus. Azt kell

kiszámítani, hogy ha 3000 objektumból (halból) két tipus van, az egyikből (a megjelölt halból) 1000, a másikból 2000, és kiválasztunk (visszatevés nélkül) 1000 objektumot, akkor mi a valószínűsége annak, hogy 100-at választunk az első és 900-at a második objektumból. Megjegyzés: A gyakorlatban előforduló kérdés ennek fordítottja. Elvégezzük a fenti kisérletet, összeszámláljuk a megfestett halakat, és ebből próbálunk következtetni a tóban levő halak számára. Hogyan érdemes ezt csinálni?

Ezt a problémát érdemes részletesebben megtárgyalni. Valójában, nem tudjuk, hogy hány hal van a tóban. De ennek megbecslése érdekében a következő eljárást alkalmazhatjuk:

Végezzünk két fogást, az első fogásban kifogott halakat jelöljuk meg. Ezután meg akarjuk állapítani mennyi hal lehet összesen a tóban. Ezt természetesen csak bizonyos (véletlentől függő) pontossággal tudjuk meghatározni. Az ilyen tipusú feladatok tipikusak a matematikai statisztikában, az ilyen problémák vizsgálatát nevezik becsléseleméletnek. Világos, hogy az, hogy 1000-nél alig több hal van, nem túl valószínű, mert akkor sokkal több megjelölt hal lenne a második fogásban. Az hogy rengeteg, mondjuk 1 000 000 hal lenne a tóban szintén nem túl valószínű, mert akkor sokkal kevesebb megjelölt hal lenne a második fogásban. A matematikai statisztikában kidolgoztak egy általános elvet a maximum likelihood módszernek nevezett eljárást, mely nagyon általános feltételek mellett nagyon jó módszert ad, és mely jelen esetben is alkalmazható. Tárgyaljuk meg ezt a módszert a jelen esetben. Tekintsünk kissé általánosabb esetet. Vezessük be a következő jelöléseket:

x a tóban lévő halak (ismeretlen) száma, n az első fogásban kifogott (és megjelölt) halak száma, r a második fogásban kifogott halak száma, k a második fogásban kifogott előzöleg megjelölt halak száma. Annak valószínűsége, hogy adott (ismeretlen) x és n, r számok esetén pontosan k megjelölt halat fogunk ki

q_{k}(x, n, r) = \begin{matrix}\binom{n}{k} & \binom{x − n}{r − k} \\ ( & {x \atop r} & ) \end{matrix}.

Tekintsük az ismeretlen x szám (maximum likelihood) becslésének azt az x számot, melyre a q_{k}(x, n, r) mennyiség (rögzített n, k és r számok mellett) maximális.

2. Határozzuk meg a fenti feladatban a maximum likelihood becslést.

Megoldás: Némi számolás mutatja, hogy

\frac{q_{k}(x, n, r)}{q_{k}(x − 1, n, r)} = \frac{x − n}{x − n − r + k} · \frac{x − r}{x} = \frac{x^{2} − rx − nx + rn}{x^{2} − rx − nx + kx}.

Ez a tört kisebb mint egy, ha rn < kx, nagyobb mint egy, ha rn > kx. Ezért a becslés rn = kx, azaz x = \frac{rn}{k}, pontosabban az e számot közrefogó egész számok

valamelyike. Valóban x < \frac{rn}{k} esetében a q_{k}(x, n, r) függvény (mint az x változó

függvénye rögzített k, n és r paraméterekkel) monoton nő, x > \frac{rn}{k} esetében pedig a q_{k}(x, n, r) függvény monoton csökken.

3. Feldobunk egy pénzdarabot, mely p valószínűséggel esik a fej, 1 − p valószínűséggel az írás oldalra kétszer egymástól függetlenül. Jelölje ξ azt a valószínűségi változót, mely a fejdobások számát adja meg. Adjuk meg a ξ valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvényét.

Megoldás: A vizsgált ξ(ω) valószínűségi változó olyan, hogy P (ξ = 0) = (1 − p)^{2}, P (ξ = 1) = 2p(1 − p), P (ξ = 2) = p^{2}. Innen F (x) = 0, ha x ≤ 0, F (x) = (1 − p)^{2}, ha 0 < x ≤ 1, F (x) = (1 − p)^{2} + 2p(1 − p) = 1 − p^{2}, ha 1 < x ≤ 2, és F (x) = 1, ha 2 < x < ∞.

4. Legyen adva egy ξ(ω) valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvénye. Határozzuk meg ennek segítségével az {ω: a < ξ(ω) < b} alakú események, −∞ < a < b < ∞, valószínűségét, valamint annak valószínűségét, hogy ξ(ω) valamilyen páros egész értéket vesz fel. Megoldás:

P (\{ω: a < ξ(ω) < b\}) = lim_{n→∞} P (\{ω: a + \frac{1}{n} ≥ ξ(ω) < b\})

= lim_{n→∞} [F (b) − F (a + \frac{1}{n})] .

Egy tetszőleges u pontra P (ξ = u) = lim_{n→∞} [F (u + \frac{1}{n}) − F (u)]. Ezért annak

valószínűsége, hogy a ξ valószínűségi változó valamely páros egész értéket vesz fel

∑_{k=−∞}^{∞} lim_{n→∞} [F (2k + \frac{1}{n}) − F (2k)].

5. Lássuk be, hogy létezik olyan diszkrét eloszlású ξ valószínűségi változó, melynek F (x) = P (ξ < x) eloszlásfüggvényére igaz, hogy minden −∞ < a < b < ∞ számpárra F (a) < F (b) szigorú egyenlőtlenséggel. Megoldás: Egy lehetséges konstrukció a következő. Legyen r_{1}, r_{2}, …, a racionális számok sorozata valamilyen sorrendben felsorolva. Definiáljunk olyan ξ valószínűségi változót, melyre P (ξ = r_{j}) = 2^{−j}, j = 1, 2, . . .. Ekkor ξ diszkrét eloszlású valószínűségi változó, és ennek F (x) eloszlására F (b) − F (a) = P (a < ξ < b) > 0, mert P (a < ξ < b) > P (ξ = r_{j}) > 0, ahol r_{j} egy az [a, b] intervallum belsejében lévő racionális szám.

6. Ha ξ és η két független Poisson eloszlású valószínűségi változó λ > 0 és μ > 0

paraméterekkel, azaz P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}, P (η = k) = \frac{μ^{k}}{k!} e^{−μ}, k = 0, 1, 2, …, akkor ξ + η Poisson eloszlású valószínűségi változó λ + μ paraméterrel. Megoldás:

P (ξ + η = k) = ∑_{j=0}^{k} P (ξ = j, η = k − j) = ∑_{j=0}^{k} P (ξ = j)P (η = k − j)

= ∑_{j=0}^{k} \frac{λ^{j}}{j!} e^{−λ} \frac{μ^{k−j}}{(k − j)!}e^{−μ} = \frac{e^{−(λ+μ)}}{k!} ∑_{j=0}^{k} \frac{k!}{j!(k − j)!}λ^{j}μ^{k−j}

= \frac{e^{−(λ+μ)}}{k!} (λ + μ)^{k}.

7. Legyen adva k darab urna, és ezekbe dobjunk be véletlen ξ számú golyót, ahol ξ Poisson eloszlású valószínűségi változó λ > 0 paraméterrel. Legyenek az egyes dobások eredményei egymástól és a ξ valószínűségi változótól függetlenek. Tegyük fel továbbá, hogy minden egyes dobásnál a golyó az j-ik urnába p_{j} ≥ 0 valószínű-

séggel esik, j = 1, …, k, ∑_{j=1}^{k} p_{j} = 1. Jelölje η_{j} a j-ik urnába eső golyók számát.

Ekkor az η_{j}, j = 1, …, k valószínűségi változók függetlenek, és η_{j} Poisson eloszlású λp_{j} paraméterrel, j = 1, …, k. Megoldás:

P (η_{1} = l_{1}, …, η_{k} = l_{k}) = P (ξ = l_{1} + ⋯ + l_{k})\frac{(l_{1} + ⋯ + l_{k})!}{l_{1}! ⋯ l_{k}!}p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}

= \frac{λ^{(l_{1}+···+l_{k})}}{l_{1}! ⋯ l_{k}!} p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}e^{−λ}

= \frac{λ^{l_{1}} ⋯ λ^{l_{k}}}{l_{1}! ⋯ l_{k}!} p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}e^{−λ(p_{1}+···+p_{k})} = ∏_{j=1}^{k} \frac{(λp_{j})^{l_{j}}}{l_{j}!} e^{−λp_{j}}

tetszőleges l_{1} ≥ 0, …, l_{k} ≥ 0 egész számokra. Innen adódik az állítás.

8. Egy pontot ledobunk az egységintervallumba úgy, hogy annak valószínűsége, hogy

ez a pont valamely [a, b] ⊂ [−1, 1] intervallumba esik \frac{b − a}{2}. Legyen ξ az a való-

színűségi változó, amelyik megadja, hogy hova esett ez a pont. Adjuk meg a ξ^{2} valószínűségi változó eloszás és sűrűségfüggvényét. Megoldás: P (ξ^{2} < x) = 0, ha ≤ 0, P (ξ^{2} < x) = P (−\sqrt{x} < ξ < \sqrt{x}), ha ≥ 0,

ahonnan P (ξ^{2} < x) = \frac{\sqrt{x} − (−\sqrt{x})}{2} = \sqrt{x}, ha 0 ≤ x ≤ 1, P (ξ^{2} < x) = 1,

ha x ≥ 1. Innen ξ^{2} eloszlásfüggvénye F (x) = 0, ha x ≤ 0, F (x) = \sqrt{x}, ha 0 ≤ x ≤ 1, F (x) = 1, ha x ≥ 1, F (x) = 1, ha x ≥ 1. A ξ^{2} valószínűségi

változó sűrűségfüggvénye pedig f(x) = \frac{dF (x)}{dx}, f(x) = 0, ha x ≤ 0 vagy x ≥ 1,

f(x) = \frac{1}{2}x^{−1/2}, ha 0 ≤ x ≤ 1.