A március 12-i előadáshoz kapcsolódó gyakorlat feladatai.

Feladatok:

1. Adjunk egyszerű, a binomiális eloszlás valószínűségi tartalmát kihasználó bizonyítást arra, hogy a B(n, p) és B(m, p) binomiális eloszlások konvolúciója a B(n+m, p) binomiális eloszlás. Megoldás: Dobjunk fel egy pénzdarabot, mely p valószínűséggel esik a fej és 1 − p valószínűséggel az írás oldalára n + m alkalommal egymástól függetlenül. Jelölje, S az első n dobásban, T az n + 1-től n + m-ig tartó dobásokban, U pedig az n + m dobásban megjelenő fej-dobások számát. Ekkor S és T függetlenek, U = S + T, továbbá S B(n, p), T B(m, p) és U B(n + m, p) eloszlású valószínűségi változó. Innen és a konvolució valószínűségi tartalmából következik a feladat állítása.

2. Számítsuk ki egy B(n, p) eloszlású ξ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét az e fogalmakat definiáló összegek kiszámításának a segítségével. Megoldás:

Eξ = ∑_{k=1}^{n} k\binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k}, Eξ^{2} = ∑_{k=1}^{n} k^{2}\binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k},

és Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}. Ezeket a kifejezéseket kell kiszámolnunk. Vegyük észre,

hogy k\binom{n}{k} = n\binom{n − 1}{k − 1}, k^{2}\binom{n}{k} = k\binom{n}{k} + k(k − 1)\binom{n}{k} = n\binom{n − 1}{k − 1} + n(n −

1)\binom{n − 2}{k − 2}. Innen

Eξ = n ∑_{k=0}^{n−1} \binom{n − 1}{k}p^{k+1}(1 − p)^{n−k−1}

= np ∑_{k=0}^{n−1} \binom{n − 1}{k}p^{k}(1 − p)^{(n−1)−k} = np(1 + (1 − p))^{n−1} = np,

Eξ^{2} = n ∑_{k=0}^{n−1} \binom{n − 1}{k}p^{k+1}(1 − p)^{n−k−1} + n(n − 1) ∑_{k=0}^{n−2} \binom{n − 2}{k}p^{k+2}(1 − p)^{n−k−2}

= np + n(n − 1)p^{2} ∑_{k=0}^{n−2} \binom{n − 2}{k}p^{k}(1 − p)^{(n−2)−k}

= np + n(n − 1)p^{2}(p + (1 − p))^{n−1} = np + (n^{2} − n)p^{2},

és Var ξ = np + (n^{2} − n)p^{2} − n^{2}p^{2} = np(1 − p).

Házi feladat:

Legyen (ξ_{1}, …, ξ_{r}) polinomiális eloszlású véletlen vektor n és p_{j}, 1 ≤ j ≤ r,

∑_{j=1}^{r} p_{j} = 1 paraméterekkel. Ekkor Eξ_{j} = np_{j}, Var ξ_{j} = np_{j}(1 − p_{j}), 1 ≤ j ≤ r

és Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = −np_{j}p_{k}, 1 ≤ j, k ≤ r, j ≠ k.

3. Bizonyítsuk be valószínűségi meggondolások segítségével, hogy egy r_{1} és p paraméterű valamint egy r_{2} és p paraméterű negatív binomiális eloszlás konvolúciója egy r_{1} + r_{2} és p paraméterű negatív binomiális eloszlású valószínűségeloszlás. Következésképpen, egy r és p paraméterű negatív binomiális eloszlás előáll mint r darab p paraméterű geometriai eloszlás konvoluciója. Megoldás: Dobjunk fel egy pénzdarabot, mely p valószínűséggel esik a fej és 1 − p valószínűséggel az írás oldalra végtelen sokszor egymástól függetlenül. Definiáljuk a ξ_{j}, j = 1, 2, …, valószínűségi változókat úgy, hogy ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye fej, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye írás. Definiáljuk a Z_{1}, Z_{2}, … valószínűségi változókat úgy, hogy Z_{j} jelőli azt, hogy hányadik dobásban következett be a j-ik fejdobás, j = 1, 2, . . .. Azt állítjuk, hogy az U_{j} = Z_{j} − Z_{j−1}, Z_{0} = 0, j = 1, 2, …, valószínűségi változók függetlenek, és P (U_{j} = k + 1) = p(1 − p)^{k}, minden j = 1, 2, … és k = 1, 2, … számra. Ez azt jelenti, hogy Z_{r} = U_{1} + ⋯ + U_{r}, r = 1, 2, …, azaz a Z_{r} valószínűségi változót előállítottuk, mint r független, geometriai eloszlású p paraméterű valószínűségi változó összegeként. Ezért elegendő a fenti állítást belátni. Viszont

{ω: U_{1}(ω) = k_{1} + 1, U_{2}(ω) = k_{2} + 1, …, U_{r}(ω) = k_{r} + 1} = {ω: Z_{1}(ω) = k_{1} + 1, Z_{2}(ω) = k_{1} + k_{2} + 2, …, Z_{r}(ω) = k_{1} + ⋯ + k_{r} + r}

= {ω: ξ_{j}(ω) = 0, ha 1 ≤ j ≤ k_{1}, ξ_{k_{1}+1}(ω) = 1,
ξ_{j} = 0, ha k_{1} + 2 ≤ j ≤ k_{1} + k_{2} + 1, ξ_{k_{1}+k_{2}+2}(ω) = 1,
ξ_{j} = 0, ha k_{1} + k_{2} + 3 ≤ k_{1} + k_{2} + k_{3} + 3, … ξ_{k_{1}+···+k_{r}+r}(ω) = 1}.

Ezért

P (U_{1}(ω) = k_{1} + 1, U_{2}(ω) = k_{2} + 1, …, U_{r}(ω) = k_{r} + 1) = p^{r}(1 − p)^{k_{1}+···+k_{r}}

= ∏_{j=1}^{r} p(1 − p)^{k_{j}} = ∏_{j=1}^{r} P (U_{j} = k_{j} + 1),

ahol U_{j} geometriai eloszlású valószínűségi változó p paraméterrel.

4. Számítsuk ki egy n és p paraméterű negatív binomiális eloszású valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét annak az ismeretnek a segítségével, hogy

egy p paraméterű geometriai eloszlású valószínűségi változó várható értéke \frac{1}{p} és

szórásnégyzete \frac{1 − p}{p^{2}}.

Megoldás: Tekintsünk n darab független geometriai eloszlású valószínűségi változót p paraméterrel. Ezek összege negatív binomiális eloszlású valószínűségi változó n és p paraméterrel. Mivel a várható érték és szórásnégyzet független valószínűségi változók összegére összeadódik, innen követkeik, hogy a keresett várható érték és

szórásnégyzet \frac{n}{p} és szórásnégyzete \frac{n(1 − p)}{p^{2}}.

5. Lássuk be, hogy amennyiben egy ξ valószínűségi változó generátorfüggvénye valamely g(x) függvény, akkor Eξ = g′(1), Var ξ = g′′(1) + g′(1) − g′(1)^{2}, ahol az általános esetben a g′(1) = lim_{x→1} g′(x) és g′′(1) = lim_{x→1} g′′(x) képletek definiálják ezeket a mennyiségeket. Számoljuk ki egy r és p paraméterű negatív binomiális eloszlású valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét, felhasználva,

hogy e valószínűségi változó generátorfüggvénye a (\frac{px}{1 − (1 − p)x})^{r} függvény.

Megoldás: A g(x) = ∑_{k=0}^{∞} p_{k}x^{k} függvény két egymásutáni deriválása és az x = 1

helyettesítés adja, hogy g′(1) = ∑_{k=1} kp_{k} = Eξ, g′′(1) = ∑_{k=1} k(k − 1)p_{k} = Eξ(ξ −

1). Mint azt az előadáson megtárgyaltuk az analízis bizonyos eredményei lehetővé teszik a fent alkalmazott tagonkénti deriválást. Ezért Eξ = g′(1), Eξ^{2} = g′′(1) + g′(1), és Var ξ = g′′(1) + g′(1) − g′(1)^{2}. Az r és p paraméterű negatív binomiális eloszlás generátorfüggvénye

g(x) = (\frac{px}{1 − (1 − p)x})^{r} .

Innen

g′(x) = rp (\frac{px}{1 − (1 − p)x})^{r−1} \frac{1}{(1 − (1 − p)x)^{2}} ,

g′′(x) =r(r − 1)p^{2} (\frac{px}{1 − (1 − p)x})^{r−2} \frac{1}{(1 − (1 − p)x)^{4}}

+ rp (\frac{px}{1 − (1 − p)x})^{r−1} \frac{2(1 − p)}{(1 − (1 − p)x)^{3}} .

Behelyettesítéssel Eξ = \frac{r}{p}, g′′(1) = \frac{r^{2} + r}{p^{2}} − \frac{2r}{p}, Var ξ = g′′(1) + g′(1) − g′(1)^{2} =

\frac{r(1 − p)}{p^{2}}.

6. Mutassunk példát olyan P = {p_{k}: k = 1, 2, … }, p_{k} ≥ 0, k = 0, 1, 2, …, ∑_{k=0}^{∞} p_{k} = 1,

valószínűség eloszlára a nem negatív egész számokon, melynek g(x) = ∑_{k=0}^{∞} p_{k}x^{k} generátorfüggvénye semmilyen ε > 0 szám esetén nem konvergens a −1 − ε < x < 1 + ε intervallumon.

Megoldás: Legyen α > 1 tetszőleges szám. Ekkor C(α) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{α}} < ∞, és p_{k} =

p_{k}(α) = \frac{1}{C(α)n^{α}}, k = 1, 2, …, valószínűségeloszlás. Ennek generártor függvénye a

∑_{k=1}^{∞} p_{k}x^{k} = \frac{1}{C(α)} ∑_{k=1}^{∞} \frac{x^{k}}{k^{α}} semmilyen ε > 0 számra nem konvergál a −1 − ε < x <

1 + ε intervallumon, mert minden x > 1 számra lim_{k→∞} \frac{x^{k}}{k^{α}} = ∞.

Házi feladat:

Legyen ξ geometriai eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen P (ξ = k) = p(1 − p)^{k−1}, k = 1, 2, . . .. Lássuk be, hogy ξ teljesíti a következő (diszkrét) örökifjú tulajdonságot.

P (ξ = k + l|ξ > l) = p(1 − p)^{k−1} = P (ξ = k).

7. Számoljuk ki annak valószínűségét, hogy a lottóban pontosan három találatunk lesz.

Megoldás: Ez a valószínűség \begin{matrix}\binom{85}{2} & \binom{5}{3} \\ ( & {90 \atop 5} & ) \end{matrix}. Ugyanis \binom{85}{2}\binom{5}{3} az összes olyan kitöl-

tések száma mely hármas találatot eredményez (a ki nem húzott számokból kettőt,

a kihúzott számokból hármat kell választani), az összes kitöltések száma \binom{90}{5}, és

minden kitöltés egyforma valószínű.

8. Számoljuk ki egy N, M és n paraméterű hipergeometrikus eloszlású ξ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét, azaz egy olyan valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét, melyre

P (ξ = k) = \begin{matrix}\binom{M}{k} & \binom{N − M}{n − k} \\ ( & {N \atop n} & ) \end{matrix}, 0 ≤ k ≤ n.

Mutassuk meg, hogy Eξ = n\frac{M}{N}, Var ξ = \frac{nM}{N} (1 − \frac{M}{N} ) \frac{n − n}{N − 1}.

Segítség: Tekintsünk egy urnamodellt, melyben ξ jelöli azt, hogy N piros és N −M fehér golyóból n visszatevés nélküli húzásban hány piros golyót húzunk. Legyen ξ_{j} = 1, ha a j-ik húzás eredménye piros, ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás eredménye

fehér, 1 ≤ j ≤ n. Ekkor a ξ = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét kell kiszámolnunk. Hogyan kell ezt csinálni? Emlékezzünk arra, hogy mint korábban megmutattuk, ebben a modellben annak a valószínűsége, hogy valamely húzás(ok)ban piros golyót húzunk nem függ attól, hogy hanyadik húzást tekintettük. Megoldás: Tekintsünk egy urnát, mely M piros és N − M fehér golyót tartalmaz, és húzzunk ki n golyót visszatevés nélkül. Legyen ξ_{j} = 1, ha a j-ik húzás piros, ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás fehér. Ekkor a megoldandó feladat ekvivalens az

S = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} várható érékének és szórásnégyzetének a kiszámolásával. Viszont már

korábbi eredményekből következik, hogy Eξ_{j} = \frac{M}{N}, Var ξ_{j} = \frac{M}{N} − (\frac{M}{N} )^{2} min-

den 1 ≤ j ≤ N indexre, továbbá, Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = \frac{M}{N} \frac{M − 1}{N − 1} − (\frac{M}{N} )^{2} minden

1 ≤ j, k ≤ n, j ≠ k számpárra. A várható érték additivitásából következik, hogy

ES = \frac{nM}{N}. (Itt nincs szükség az összeadandók függetlenségének a feltételezésére.) Az összeg szórásnégyzetének kiszámítására tanult általános képletből, (amikor az összeadandók nem feltétlenül függetlenek) és a fenti formulákból következik, hogy

Var S = nVar ξ_{1} + n(n − 1)Cov (ξ_{1}, ξ_{2})

= n (\frac{M}{N} − (\frac{M}{N} )^{2}) + n(n − 1) (\frac{M}{N} \frac{M − 1}{N − 1} − (\frac{M}{N} )^{2})

= n\frac{M}{N} (1 − \frac{M}{N} − (n − 1)\frac{N − M}{(N − 1)N} )

= n\frac{M}{N} (1 − \frac{M}{N} ) (1 − \frac{n − 1}{N − 1}) = n\frac{M}{N} (1 − \frac{M}{N} ) \frac{N − n}{N − 1}.

9. Ha N → ∞, lim_{N→∞} \frac{M}{N} = p, 0 < p < 1, n rögzített egész szám, akkor

lim_{N→∞} \begin{matrix}\binom{M}{k} & \binom{N − M}{n − k} \\ ( & {N \atop n} & ) \end{matrix} = \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k} minden 0 ≤ k ≤ n számra.

Megoldás:

\begin{matrix}\binom{M}{k} & \binom{N − M}{n − k} \\ ( & {N \atop n} & ) \end{matrix}

= \frac{n!}{k!(n − k)!} \frac{M(M − 1) ⋯ (M − k + 1)}{N(N − 1) ⋯ (N − k + 1)} \frac{(N − M) ⋯ (N − M − n + k + 1)}{(N − k) ⋯ (N − n + 1)}

→ \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k} ha N → ∞,

mert \frac{M(M − 1) ⋯ (M − k + 1)}{N(N − 1) ⋯ (N − k + 1)} → p^{k}, és \frac{(N − M) ⋯ (N − M − n + k + 1)}{(N − k) ⋯ (N − n + 1)} →

(1 − p)^{n−k}, ha N → ∞.

Házi feladat:

Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{L} és η_{1}, …, η_{M} valószínűségi változók ugyanazon a valószínűségi mezőn. Lássuk be, hogy

Cov (∑_{j=1}^{L} ξ_{j}, ∑_{k=1}^{M} η_{k}) = ∑_{j=1}^{L} ∑_{k=1}^{M} Cov (ξ_{j}, η_{k}).

10. Legyen (ξ_{1}, …, ξ_{r}) véletlen vektor polihipergeometrikus eloszlású N_{1}, … N_{r} és n paraméterekkel. Számítsuk ki az Eξ_{j} várható értékeket, a Var ξ_{j} szórásnégyzetet minden 1 ≤ j ≤ r számra és a Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) kovarianciafüggvényt, ha 1 ≤ j, k ≤ r, j ≠ k. Segítség: A hipergeometrikus eloszlásról szóló hasonló feladat módszere természetes módon adaptálható ebben az esetben is. Megoldás: Számítsuk ki először a Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) kovarianciafüggvényt. Ennek érdekében tekintsünk egy urnát, benne N_{1} 1-es, N_{2} 2-es, …, N_{r} r-es színű golyót, és

húzzunk ki belőlük n-et visszatevés nélkül. Legyen N = ∑_{k=1}^{r} N_{r}, és vezessük be

a következő η_{l,s}, 1 ≤ l ≤ n, 1 ≤ s ≤ r, valószínűségi változókat: η_{l,s} = 1, ha az l-ik húzásban s-es színű golyót húzunk, és η_{l,s} = 0, ha az l-ik húzás eredménye

más. Definiáljuk a ξ_{s} = ∑_{l=1}^{n} η_{l,s} véletlen összegeket, 1 ≤ s ≤ r. Ekkor a Cov (ξ_{j}, ξ_{k})

kovarianciafüggvényt kell kiszámolnunk az előbb definiált valószínűségi változókkal. Ezt a hipergeometrikus eloszlás esetén alkalmazott érvelés természetes adaptációjával és az előző házi feladat eredményének felhasználásával tehetjük meg. Először ki kell számolnunk az Cov (η_{l,j}, η_{l′,k}) kovarianciafüggvényeket. Külön kell választani az l = l′ és l ≠ l′ eseteket. Mind a két esetben használhatjuk azt a tényt, hogy hasonlóan a két színű golyót tartalmazó urnamodellhez annak, hogy milyen valószínűséggel húzok bizonyos előírt színű golyókat adott húzásban nem függ attól, hogy hanyadik húzást tekintettük. Miért? Az l = l′ esetben

Cov (η_{l,j}, η_{l,k}) = P (η_{l,j} = 1, η_{l,k} = 1) − P (η_{l,j} = 1) P (η_{l,k} = 1)

= −P (η_{1,j} = 1) P (η_{1,k} = 1) = −\frac{N_{j}N_{k}}{N^{2}} .

Ha l ≠ l′, akkor

Cov (η_{l,j}, η_{l′,k}) = P (η_{l,j} = 1, η_{l′,k} = 1) − P (η_{l,j} = 1) P (η_{l′,k} = 1)

= P (η_{1,j} = 1, η_{2,k} = 1) − P (η_{1,j} = 1) P (η_{1,k} = 1)

= \frac{N_{j}N_{k}}{N(N − 1)} − \frac{N_{j}N_{k}}{N^{2}} .

Innen, illetve az előző házi feladatban megfogalmazott eredmény alapján

Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = −n\frac{N_{j}N_{k}}{N^{2}} + n(n − 1) (\frac{N_{j}N_{k}}{N(N − 1)} − \frac{N_{j}N_{k}}{N^{2}} ) = n\frac{(n − N)N_{j}N_{k}}{(N − 1)N^{2}} .

Az Eξ_{j} és Var ξ_{j} mennyiségeket is ki lehet számítani hasonlóan, de erre nincs szükség. Ha csak azt vesszük figyelembe, hogy az l-ik húzásban j-es vagy más színű golyót húztunk-e, azaz csak az η_{j,l} valószínűségi változókkal dolgozunk, akkor rövid meggondolás után láthatjuk, hogy ugyanazt az eredményt kapjuk, mint a (két színnel rendelkező) hipergeometrikus eloszlást modellező urnamodell esetén

M = N_{j} és N − M = N − N_{j} paraméterekkel. Ezért Eξ_{j} = n\frac{N_{j}}{N}, Var ξ_{j} =

n\frac{N_{j}}{N} (1 − \frac{N_{j}}{N} ) \frac{N − n}{N − 1}.

11. Mutassuk meg, hogy a Poisson eloszlás generátorfüggvényének alakjából látható, hogy ha ξ és η két független, λ illetve μ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, akkor ξ + η λ + μ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó. Megoldás: Jelölje g_{λ}(x) a λ paraméterű Poisson eloszlás generátorfüggvényét. Láttuk, hogy g_{λ}(x) = e^{λ(x−1)}. Innen látszik, hogy g_{λ+μ}(x) = g_{λ}(x)g_{μ}(x). Innen viszont, mint azt az előadáson megbeszéltük következik a feladat állítása.

12. Legyen adva k darab urna, és ezekbe dobjunk be véletlen ξ számú golyót, ahol ξ Poisson eloszlású valószínűségi változó λ > 0 paraméterrel. Legyenek az egyes dobások eredményei egymástól és a ξ valószínűségi változótól függetlenek. Tegyük fel továbbá, hogy minden egyes dobásnál a golyó az j-ik urnába p_{j} ≥ 0 valószínű-

séggel esik, j = 1, …, k, ∑_{j=1}^{k} p_{j} = 1. Jelölje η_{j} a j-ik urnába eső golyók számát.

Ekkor az η_{j}, j = 1, …, k valószínűségi változók függetlenek, és η_{j} Poisson eloszlású λp_{j} paraméterrel, j = 1, …, k. Megoldás:

P (η_{1} = l_{1}, …, η_{k} = l_{k}) = P (ξ = l_{1} + ⋯ + l_{k})\frac{(l_{1} + ⋯ + l_{k})!}{l_{1}! ⋯ l_{k}!}p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}

= \frac{λ^{(l_{1}+···+l_{k})}}{l_{1}! ⋯ l_{k}!} p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}e^{−λ}

= \frac{λ^{l_{1}} ⋯ λ^{l_{k}}}{l_{1}! ⋯ l_{k}!} p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}e^{−λ(p_{1}+···+p_{k})} = ∏_{j=1}^{k} \frac{(λp_{j})^{l_{j}}}{l_{j}!} e^{−λp_{j}}

tetszőleges l_{1} ≥ 0, …, l_{k} ≥ 0 egész számokra. Innen adódik az állítás.

13. Lássuk be az előző feladat segítségével a következő állítást: Legyen adva ξ Poisson eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel. Dobjunk le egymástól és a ξ valószínűségi változótól függetlenül véletlenül egyenletesen ξ darab pontot az egységintervallumra, azaz tegyük fel, hogy minden pont b − a valószínűséggel esik valamely [a, b] ⊂ [0, 1] intervallumba. Ekkor a [0, 1] intervallum tetszőleges felbontására [s_{0}, s_{1}], [s_{1}, s_{2}], …, [s_{k−1}, s_{k}] intervallumokra, 0 = s_{0} < s_{1} < ⋯ < s_{k} = 1, az egyes intervallumokba eső pontok száma egymástól független Poisson eloszlású valószínűségi változó s_{j} − s_{j−1}, 1 ≤ j ≤ k, paraméterrel. Megoldás: Tekintsük a következő urnamodellt. Tekintünk ξ számú golyót, tehát annyit, ahány ledobott pontot tekintettünk az előző feladatban. Tegyük az l-ik golyót a j-ik urnába, ha a l-ik pont az [s_{j−1}, s_{j}] intervallumba esett, 1 ≤ j ≤ k. Akkor az előző feladat eredménye alapján az egyes urnákba eső golyók száma egymástól függetetlen Poisson eloszlású valószínűségi változó s_{j} − s_{j−1}, 1 ≤ j ≤ k, paraméterrel. Innen következik a feladat állítása.

Házi feladat:

Legyenek ξ_{j}, j = 1, …, r, független Poisson eloszlású valószínűségi változók λ_{j}, 1 ≤ j ≤ r, paraméterekkel. Mutassuk meg, hogy

P (ξ_{1} = k_{1}, …, ξ_{r} = k_{r}| ∑_{j=1}^{r} ξ_{j} = n) = \frac{n!}{k_{1}! ⋯ k_{r}!} ∏_{j=1}^{r} \frac{λ_{j}^{k_{j}}}{( ∑_{s=1}^{r} λ_{s})^{k_{j}}} ,

ha ∑_{j=1}^{r} k_{j} = n. Azaz a ξ_{1}, …, ξ_{r} vektor feltételes eloszlása feltéve, hogy ∑_{j=1}^{r} k_{j} = n

a polinomiális eloszlás n és p_{j} = \frac{λ_{j}}{∑_{s=1}^{r} λ_{s}}, 1 ≤ j ≤ r, paraméterekkel.