 
\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent{\bf A m\'ajus 7-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip
\item{1.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyek k\"oz\"ul
$\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} \'es $\eta$ $\mu$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, $f(x)=0$, ha $x<0$, az  $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x>0$, $g(x)=0$, ha $x<0$, tov\'abb\'a
$\lambda>0$ \'es $\mu>0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$ \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Adva k\'et f\"uggetlen $f(x)$ \'es $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\H{u} $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ezek $\xi+\eta$
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$$
h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du
$$
konvoluci\'os formul\'aval megadhat\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny.
Jelen esetben, (k\"ul\"on\"os tekintettel arra, hogy $f(u)g(x-u)=0$,
ha $u< 0$ vagy $u>x$ azt kapjuk, hogy $h(x)=0$, ha $x<0$, \'es
$$
\align
h(x)&=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\mu e^{-\mu(x-u)}\,du=
\lambda\mu e^{-\mu x}\int _0^x e^{(\mu-\lambda)u}\,du\\
&=\frac{\lambda\mu}{\lambda-\mu}e^{-\mu x}\[e^{(\mu-\lambda)u}\]_0^x
=\frac{\lambda\mu}{\lambda-\mu}\(e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}\).
\endalign
$$
Ha pontosak akarunk lenni meg kell jegyezn\"unk, hogy a fenti
sz\'amol\'as csak $\lambda\neq \mu$ esetben \'erv\'enyes. Ha
$\lambda=\mu$, akkor
$$
h(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\lambda e^{-\lambda(x-u)}\,du=
\lambda^2e^{-\lambda x}\int_0^x \,dx=
\lambda^2xe^{-\lambda x}.
$$
\item{2.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye a
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ f\"uggv\'eny, \'es legyen
$t$ val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ha $\xi$ $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $h(x)$ val\'os
\'ert\'ek\H{u} (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny, akkor $Eh(\xi)=\int
h(x)f(x)\,dx$. Eset\"unkben ez azt jelenti, hogy ha $\xi$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
Ee^{t\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty{e^{tx}}\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx.
$$
Innen
$$
Ee^{t\xi}=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{tx-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{t^2/2-(t-x)^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}.
$$
\item{3.} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
a $\xi$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye $f(x)=\frac12e^{-|x|}$,
$-\infty<x<\infty$, az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
egyenletes eloszl\'as\'u a $0\le x\le1$ intervallumban, azaz $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=1$, ha $0\le x\le1$, $g(x)=0$
egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi-\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{}{Megold\'as:}\/ Jel\"olje $g^-(\cdot)$ a $-\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $g^-(x)=1$, ha
$-1\le x\le 0$, $g^-(x)=0$ egy\'ebk\'ent, \'es a $\xi-\eta=\xi+(-\eta)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
a $h(x)=f*g^-(x)$ f\"uggv\'eny, ahol $*$ konvol\'uci\'ot jel\"ol.
M\'asr\'eszt, mivel $g^-(x-y)=1$, ha $x\le y\le x+1$, \'es
$g^-(x-y)=0$ k\"ul\"onben, ez\'ert
$$
h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g^-(x-y)\,dy=\int_x^{x+1} f(y)\,dy
=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy.
$$
V\'alasszuk sz\'et a k\"ovetkez\H{o} h\'arom esetet: a.) $x<-1$, b.)
$-1\le x\le0$, c.) $x>0$. Az a.) esetben, ha $x<-1$
$h(x)=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy=
\int_x^{x+1} e^{y}\,dy=e^{x+1}-e^x$, a b.) esetben, ha $-1\le x\le0$
$h(x)=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy=\int_x^{0} e^{y}\,dy+
\int_0^{x+1} e^{-y}\,dy=1-e^x+1-e^{-x-1}=2-e^{-x-1}-e^x$, a c.)
esetben, ha $x>0$ $h(x)=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy=
\int_x^{x+1} e^{-y}\,dy=e^{-x}-e^{-x-1}$.
\item{4.} Az igazak v\'aros\'aban a lakosok 71\%-a igazat mond, a
hazugok v\'aros\'aban a lakosok 70\%-a hazudik. Mi nem tudjuk, hogy
melyik v\'arosban vagyunk, egyforma es\'ellyel vagyunk
mindkett\H{o}ben. Megk\'erdezt\"unk egy embert, \'es az azt mondja,
hogy ez a hazugok v\'arosa. Mennyi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy ez az ember hazudik?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Fogalmazzuk meg form\'alisan a k\'erd\'est
\'es az inform\'aci\'oinkat. Jel\"olja $A$ azt az esem\'enyt, hogy az
igazak v\'aros\'aban vagyunk, \'es $B$ azt az esem\'enyt, hogy a
megk\'erdezett ember hazudik. Ekkor $P(B|A)=0.29$, $P(B|\bar A)=0.7$,
$P(A)=\frac12$. Az az esem\'eny, hogy a  megk\'erdezett ember azt
mondja, hogy a hazugok v\'aros\'aban vagyunk azt jelenti, hogy az
$D=(A\cap B)\cup (\bar A\cap \bar B)$ esem\'eny k\"ovetkezett be. (Vagy
az igazak v\'aros\'aban vagyunk, \'es ember\"unk hazudott,
vagy a hazugok v\'aros\'aban, \'es ember\"unk igazat mondott.) Minket
a $P(B|D)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel.
$B\cap D=A\cap B$, ahonnan $P(B\cap D)=P(A\cap
B)=P(A)P(B|A)=\dfrac12\cdot0.29$.
Hasonl\'oan, $P(D)=F(A\cap B)+P(\bar A\cap \bar B)=P(A)P(B|A)+P(\bar
A)F(\bar B|\bar A)=\dfrac12\(0.29+0.3\)$, ahonnan
$$
F(B|D)=\frac{\frac12\cdot0.29}{\frac12\(0.29+0.3\)}=\frac{29}{59}.
$$
(A megold\'as ismertet\'es\'eben  egy $X$ halmaz komplementer\'et
$\bar X$-szel jel\"olt\"uk.)
\item{5.} \"Ot ember k\"oz\"ott, akiknek a neve $E1,\dots,E5$
v\'eletlen\"ul kiosztunk 100 forintot \'ugy, hogy minden kialakul\'o
vagyoni helyzet egyform\'an val\'osz\'{\i}n\H{u}. (Mindenki eg\'esz
sz\'am\'u forintot kap.) Mennyi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak az
esem\'enynek, hogy $E1$ leg\-al\'abb 1 forintot, $E2$ leg\-al\'abb k\'et
forintot\dots \'es  $E5$ leg\-al\'abb 5 forintot kap?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladat l\'enyeg\'et tekintve
kombinatorikus jelleg\H{u}. Mivel minden sz\'et\-osz\-t\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u} azt a t\"ortet kell kisz\'amolnunk, melynek
nevez\H{o}j\'eben az \"osszes olyan p\'enzeloszt\'as sz\'ama
van, ahol $E1$ legal\'abb 1 forintot, $E2$ legal\'abb k\'et
forintot\dots \'es  $E5$ legal\'abb 5 forintot kap, m\'{\i}g a
nevez\H{o} az \"osszes lehets\'eges p\'enzeloszt\'asok sz\'am\'at
tartalmazza. A nevez\H{o} kisz\'amol\'asa \'erdek\'eben tekints\"uk
azo\-kat az $(e_1,e_2,\dots,e_5)$ sz\'am\"ot\"os\"oket, melynek els\H{o}
tagja $E1$ vagyona, m\'asodik tagja $E1$ \'es $E2$ egy\"uttes
vagyona,\dots \"ot\"odik tagja $E1$, $E_2$,\dots  \'es $E5$ egy\"uttes
vagyona. Ekkor a lehets\'eges $(e_1,e_2,\dots, e_5)$ sorozatok
megegyeznek azon (nem felt\'etlen\"ul szigor\H{u}an) n\"ovekv\H{o}
eg\'esz sz\'amokb\'ol \'all\'o \"ot tag\'u sz\'amsorozatok
sz\'am\'aval, melynek els\H{o} tagja nem negat\'{\i}v (de lehet
nulla is), \'es az utols\'o tagja 100. Az ilyen sorozatok sz\'ama
megegyezik a nevez\H{o}vel. Ezek sz\'am\'at viszont k\"onnyen ki tudjuk
sz\'amolni, ha helyett\"uk az $(e_1+1,e_2+2,\dots, e_5+5)$ sorozatok
sz\'am\'at tekintj\"uk, ami meg\-egye\-zik azon \"ot tag\'u
poz\'{\i}tiv eg\'esz sz\'amokb\'ol \'all\'o szigor\'uan n\"ovekv\H{o}
sz\'amsorozatok sz\'am\'aval, melynek utols\'o tagja 105. Az ilyen
sorozatok sz\'ama $\dbinom{104}4$. A sz\'aml\'al\'ot hasonl\'oan
sz\'amolhatjuk ki, csak most az $(e_1, e_2-1,\dots,e_5-(1+2+3+4))$
sorozatokat tekintj\"uk, ami megegyezik az \"ot tag\'u pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'amokb\'ol \'all\'o szigor\'uan monoton n\"ovekv\H{o}
sorozatok sz\'am\'aval, melynek legnagyobb tagja 90. (Ha $E1$
vagyon\'ab\'ol elveszek 1 forintot, $E2$ vagyon\'ab\'ol 2
forintot,\dots $E5$ vagyon\'ab\'ol 5 forintot, akkor a nevez\H{o}
kisz\'am\'{\i}t\'as\'an\'al szerepl\H{o} feladathoz hasonl\'o feladat
jelenik meg azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy most a sz\'etosztott
vagyon 85 forint. Ez\'ert ezen sorozatok sz\'ama $\dbinom{90}4$,
\'es a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{\binom{90}4}{\binom{105}4}$.
\item{6.} Van egy urn\'ank abban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'onk.
H\'uzzunk ki 10 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk
\"ossze, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik, a harmadik \'es negyedik, az
\"ot\"odik \'es hatodik, a hetedik \'es nyolcadik illetve a kilencedik
\'e t\'{\i}zedik h\'uz\'asokb\'ol \'all\'o \"ot h\'uz\'asp\'arb\'ol
h\'any olyan van,  amelyiknek mind a k\'et tagja piros. Sz\'amoljuk ki
ennak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\eta_j$, $1\le j\le 5$, azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely akkor 1, ha a $2j-1$-ik
\'es $2j$-ik h\'uz\'as k\"oz\"ul mind a kett\H{o} piros, \'es nulla
egy\'ebk\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy ekkor az $S=\eta_1+\dots+\eta_5$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell kisz\'amolnunk. Tov\'abb\'a
$E\eta_j=E\eta_1$, $\Var\eta_j=\Var\eta_1$,
$\Cov(\eta_j,\eta_k)=\Cov(\eta_1,\eta_2)$, ha $j\neq k$. Ugynanis
ak\'armelyik $l$ h\'uz\'as eredm\'eny\'et n\'ezz\"uk, annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezek mindegyike piros megegyezik annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-vel, hogy az els\H{o} $l$
h\'uz\'as eredm\'enye piros, \'es ha fel\'{\i}rjuk a vizsg\'alt
v\'arhat\'o \'ert\'ekek \'es kovarianci\'ak \'ert\'ekeit, innen
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as. Ez\'ert
$E\eta_j=E\eta_1=\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}$,
$\Var\eta_j=\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}\(1-\dfrac{20}{50}\cdot
\dfrac{19}{49}\)$, $\Cov(\eta_j,\eta_k)=
\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}\cdot\dfrac{18}{48}\cdot\dfrac{17}{47}-
-\(\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}\)^2$, ha $j\neq k$. Innen
$ES=5E\eta_1=5\cdot\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}$,
$\Var S=5\Var\eta_1+20\Cov(\eta_1,\eta_2)=
5\cdot\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}\(1-\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac
{19}{49}\) +20\cdot
\(\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}\cdot\dfrac{18}{48}\cdot\dfrac{17}{47}
-\(\dfrac{20}{50}\cdot\dfrac{19}{49}\)^2\)$.
 
 
\bye
