\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A febru\'ar 12-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai.}  \medskip\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip
 
\item{1.)} Reggel valaki hazulr\'ol elmenve a lak\'askulcsot elteszi,
m\'egpedig \'ugy, hogy 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teszi a
kab\'atzseb\'ebe, 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a nadr\'agzseb\'ebe
\'es 0.2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a mell\'enyzseb\'ebe.
A nap folyam\'an mindenfel\'e j\'ar, ez\'ert a lak\'askulcs a
kab\'atzseb\'eb\H{o}l 0.1, a nadr\'agzseb\'eb\H{o}l 0.2, a
mell\'enyzseb\'eb\H{o}l viszont 0 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik ki. Este hazat\'erve ember\"unk  el\H{o}sz\"or a kab\'at majd a
nad\-r\'ag\-zse\-b\'e\-ben keresi a kulcsot, de egyik helyen sem
tal\'alja. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a lak\'askulcs
ott van a mell\'enyzseb\'eben?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy
ember\"unk a lak\'askulcsot a kab\'at $A_2$, hogy a nadr\'ag \'es
$A_3$, hogy a mell\'enyzseb\'ebe tette. Jel\"olje tov\'abb\'a $B$ azt
az esem\'enyt, hogy a kulcs nem veszett el. Ekkor felt\'eteleink
szerint az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek egym\'ast kiz\'ar\'oak,
$P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$ tov\'abb\'a $P(B|A_1)=0.9$,
$P(B|A_2)=0.8$ \'es $P(B|A_3)=1$. Vezess\"uk be a
$C=(\bar B\cap A_1)\cup (\bar B\cap A_2)\cup A_3$ esem\'enyt. Ekkor $C$
jelenti azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk este nem tal\'alta a
lak\'askulcsot sem a kab\'at sem a nadr\'agzseb\'eben. Ez\'ert minket a
$P(B|C)=\dfrac{P(B\cap C)}{P(C)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $P(C)=P(A_1\cap \bar
B)+P(A_2\cap \bar B)+P(A_3)=P(\bar B|A_1)P(A_1)+P(\bar
B|A_2)P(A_2)+P(A_3)=0.1\cdot 0.5+0.2\cdot 0.3+0.2=0.31$, \'es
$P(B\cap C)=P(B\cap A_3)=P(A_3)=0.2$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\dfrac{0.2}{0.31}=\dfrac{20}{31}$.
\item{2.)} A Fazekas k\"onyv egyik feladata (3.4 P\'elda a 32. oldalon)
arr\'ol sz\'ol, hogy ha egy $n$ l\'etsz\'am\'u csoportban $r$
v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott di\'aknak dolgozatot kell \'{\i}rni, mi
annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb
di\'aknak is dolgozatot kell \'{\i}rni, felt\'eve, hogy a legjobb
di\'ak is dolgozatot \'{\i}r. Heurisztikusan \'ugy \'ervelhet\H{u}nk,
hogy ha a legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r, akkor annak
(felt\'eteles) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r, azzal egyenl\H{o}, hogy a marad\'ek $n-1$ di\'ak
k\"oz\"ul \H{o}t is kiv\'alasztj\'ak a marad\'ek $r-1$
dolgozat\'{\i}r\'o k\"oz\'e, teh\'at $\dfrac{r-1}{n-1}$. Kiss\'e
pontosabban, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a ketten
dolgozatot \'{\i}rnak, $\dfrac{r(r-1)}{n(n-1)}$, annak, hogy a
legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r $\dfrac rn$, ahonnan k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as. Ha a k\"onyvben szerepl\H{o} eredm\'enyt
egyszer\H{u}bb alakra hozzuk, l\'atjuk hogy az eredm\'eny helyes.
Adjunk k\"ozvetlen, a szeml\'eletet k\"ovet\H{o} prec\'{\i}z
bizony\'{\i}t\'ast arra, hogy a fenti formul\'ak az adott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre helyesek.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az urna visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'as
modellj\'enek \'ervel\'es\'et alkalmazhatjuk ebben az esetben is.
Tegy\"uk fel, hogy egym\'as ut\'an kiv\'alasztjuk a dolgozatot
\'{\i}r\'okat, Minden l\'ep\'esben az eddig ki nem v\'alasztottak
valamelyik\'et v\'alasztjuk ki egforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha kijel\"ulj\"uk (az urn\'ab\'ol val\'o h\'uz\'asn\'al szerepl\H{o}
\'ervel\'est haszn\'alva) egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a
legjobb, egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a legrosszabb
di\'akot, egy k\"ul\"on csportba az \"osszes t\"obbit, akkor
r\"ogz\'{\i}tve egy $1\le j,k\le r$, $j\neq k$ sz\'amp\'art kapjuk,
hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
v\'alaszt\'asn\'al v\'alasztunk az els\H{o}, a $k$-ik v\'alaszt\'askor
a m\'asodik csoportb\'ol, megegyezik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} v\'alaszt\'askor
v\'alasztunk az els\H{o}  \'es a m\'asodik v\'alaszt\'askor a m\'asodik
csoportb\'ol. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszont
$\dfrac1{n(n-1)}$. Mivel  a fenti esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(j,k)$ sz\'amp\'arokra kiz\'arj\'ak egym\'ast, ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb \'es alegrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r $\dfrac{r(r-1)}{n(n-1)}$. Hasonl\'oan,
l\'athat\'o, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb
di\'ak dolgozatot \'{\i}r az $\dfrac rn$ sz\'ammal egyenl\H{o}.
 
\item{3.)} Egy di\'ak a feltett k\'erd\'esre (h\'arom lehet\H{o}s\'eg
k\"oz\"ul kell kiv\'alasztani a megfelel\H{o}t) $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudja a helyes v\'alaszt. Ha nem tudja,
akkor tippel, \'es ez $\dfrac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ad helyes
eredm\'enyt. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tudja a v\'alaszt felt\'eve, hogy helyes v\'alaszt adott?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy tudja
a helyes v\'alaszt, $B$ azt az esem\'enyt, hogy helyes v\'alaszt ad. A
$P(A|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'ere vagyunk
ki\-v\'a\-ncsi\-ak. Ekkor $P(A)=P(A\cap B)=p$, $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar
A\cap B)=P(A)+\dfrac13 P(\bar A)=p+\dfrac13(1-p)$. Innen $P(A|B)=\dfrac
p{p+\frac13(1-p)}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} A zseb\"unkben van 30 kulcs, melyek k\"oz\"ul az egyik nyit
egy z\'arat. Egym\'as ut\'an kipr\'ob\'aljuk v\'eletlenszer\H{u}en
kipr\'ob\'alva ezeket a kulcsokat. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy a 20. kis\'erletre siker\"ul kinyitni a z\'arat? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20. kis\'erletben siker\"ul
kinyitni a z\'arat felt\'eve, hogy az els\H{o} 19 kis\'erletben ez nem
siker\"ult? \medskip
\item{4.)} Feldobunk egy dob\'okock\'at, majd ut\'ana annyi
dob\'okock\'at, amennyi az els\H{o} dob\'as eredm\'enye volt. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a m\'asodik dob\'assorozatban
lesz hatos? Mi annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, felt\'eve hogy a m\'asodik
dob\'assorozatban volt hatos?
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk azokat az esem\'enyeket,
melyek le\'{\i}rj\'ak a lehets\'eges do\-b\'as\-so\-ro\-za\-tok
eredm\'eny\'et, \'es adjuk meg ezek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye
$i$, majd ezt k\"ovet\H{o}en egy $i$ hossz\'us\'ag\'u 1 \'es 6
k\"oz\"otti sz\'amokat tartalmaz\'o dob\'assorozatot kapunk
$\(\dfrac16\)^{i+1}$. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} dob\'as eredm\'enye $i$, \'es az utols\'o $i$ dob\'as egyike
sem hatos, $\dfrac16\cdot\(\dfrac56\)^i$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik dob\'assorozatban van
hatos
$$
\dfrac16\(\(1-\dfrac56\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)\).
$$
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as hatos,
ut\'ana pedig van hatos dob\'as $\dfrac16\(1-\(\dfrac56\)^6\)$.
Ez\'ert a keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\dfrac{1-\(\dfrac56\)^6}{\(1-\(\dfrac56\)\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)}.
$$
\item{5.)} H\'arom g\'ep gy\'art csavarokat, az egyik 0.01 a m\'asodik
0.02 a harmadik 0.03 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel gy\'art
hib\'as csavarokat. A csavarokat egy rakt\'arba viszik \"osszekeverik.
Egy gy\'artott csavar 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult az
els\H{o} 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik \'es 0.2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a harmadik g\'epen.
Kivesz\"unk egy csavart, megn\'ezz\"uk, \'es azt tal\'aljuk, hogy az
hib\'as. Milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a csavar eme
felt\'etelek mellett az els\H{o} g\'epen?
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $A_1$, $A_2$ illetve $A_3$ azt az
esem\'enyt, hogy a csavar az els\'o, m\'asodik vagy harmadik g\'epen
k\'esz\"ult, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a csavar hib\'as. Ekkor minket
a $P(A_1|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Tudjuk,
hogy $P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$, tov\'abb\'a
$P(B|A_1)=0.01$, $P(B|A_2)=0.02$, \'es $PB(B|A_3)=0.03$. Ekkor
$$
\align
P(A_1|B)&=\frac{P(B\cap A_1)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B\cap
A_1)+ P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)}\\
&=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+
P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\\
&=\frac{0.01\cdot 0.5}{0.01\cdot 0.5+0.02\cdot0.3+0.03\cdot 0.2}.
\endalign
$$
\item{6.)} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
(szab\'alyos) dob\'okocka mindk\'et dob\'as\'anak az eredm\'enye hatos
felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik dob\'as hatos?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, $A_2$ azt az esem\'enyt,
hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye hatos. Akkor minket a $P(A_1\cap
A_2|A_1\cup A_2)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont
$$
P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\dfrac{P((A_1\cap A_2)\cap(A_1\cup
A_2))}{P(A_1\cup A_2)}=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1\cup A_2)}.
$$
M\'asr\'eszt $P(A_1\cap A_2)=\dfrac1{36}$, $P(A_1\cup A_2)=1-P(\bar
A_1\cap \bar A_2)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$. Innen a keresett
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac1{11}$.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) feladat c\'elja az, hogy
\"osszehasonl\'{\i}tsuk annak eredm\'eny\'et az el\H{o}bb t\'argyalt
feladattal, \'es megbesz\'elj\"uk m\'ast jelent az a felt\'etelt, hogy
k\'et kockadob\'as k\"oz\"ul az egyik hatos, \'es az hogy
ad\'odott hatos dob\'as. K\'epesek vagyunk-e szeml\'elet\"unk
alapj\'an sz\'amol\'as n\'elk\"ul megmondani, melyik feltev\'es
mellett nagyobb annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
mind a k\'et dob\'as hatos? \medskip
\item{7.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy mind a
k\'et dob\'as hatos, felt\'eve hogy az els\H{o} dob\'as hatos?
\item{}{Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az
els\H{o} dob\'as hatos, $A_2$ pedig azt az esem\'enyt, hogy a m\'asodik
dob\'as hatos. Ekkor $A_1\cap A_2$ az az esem\'eny, hogy mind a k\'et
dob\'as hatos, \'es minket a $P(A_1\cap A_2|A_1)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Viszont,
$P(A_1\cap A_2|A_1)=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
=\dfrac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1)}=P(A_2)=\dfrac16$.
 
\medskip {\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk h\'aromszor egym\'as
ut\'an. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind
a h\'arom dob\'as fej, felt\'eve, hogy legal\'abb k\'et fejdob\'as
t\"ort\'ent?
 
 
A k\"ovetkez\H{o} feladat \'all\'{\i}t\'as\'at gyakran h\'{\i}vj\'ak
teleszk\'op szab\'alynak:
 
 
\medskip {\it H\'azi feladat:}
\item{} $P(B_1\cap\cdots\cap B_n)=P(B_1|B_2\cap\cdots\cap B_{n-1}
\cap B_n)\cdots P(B_{n-1}|B_n)P(B_n)$, ha $P(B_2\cap\cdots\cap B_n)>0$.
\medskip
\item{8.)} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 100
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len) l\'ad\'aba. Ez egyik
f\'ar\'ol szedett alm\'ak (egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) $\dfrac14$
a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig (szint\'en egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul) $\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
f\'ergesek. Kivesz\"unk az egyik (v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott)
l\'ad\'ab\"ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o} f\'erges. Ezek
ut\'an kivesz\"unk a m\'asik l\'ad\'a\'ol egy alm\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\item{} {\it Megold\'as:} A feladat r\'eszletesebben (pontosabban)
\'ugy fogalmazhat\'o meg, hogy mi annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik l\'ad\'ab\'ol m\'ar nem
f\'erges alm\'at h\'uznak, felt\'eve, hogy az a tov\'abbiakban $C$-vel
jel\"olt esem\'eny k\"ovetkezett be, hogy az els\H{o} l\'ad\'ab\'ol
val\'o k\'et h\'uz\'asban f\'erges alm\'at h\'uztunk.
\item{} Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o}nek
v\'alasztott l\'ada a rosszabb, azaz ez az $\dfrac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel f\'erges alm\'akat tartalmaz\'o
l\'ada, $\bar B$ pedig jel\"olje a komplementer esem\'enyt, azaz azt,
hogy el\H{o}sz\"or az $\dfrac1{10}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
f\'erges alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'ahoz ny\'ultunk. Ekkor
feltev\'eseink szerint $P(B)=P(\bar B)=\dfrac12$,
\'es $P(C|B)=\(\dfrac14\)^2$, $P(C|\bar B)=\(\dfrac1{10}\)^2$. (K\'et
egym\'ast\'ol f\"uggetlen kis\'erletet v\'egezt\"unk el, mind a k\'et
kis\'erlet eset\'en a bek\"ovetkezett eredm\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dfrac14$, illetve $\dfrac1{10}$.
 
\item{} Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a $P(B|C)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, azaz annak felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy el\H{o}sz\"or a
rosszabb, azaz az $\dfrac14$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel f\'erges
alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'ahoz ny\'ultunk, felt\'eve, hogy a
kih\'uzott k\'et alma f\'erges. E felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'asa
\'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}bb a $P(B\cap C)$ \'es $P(B)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket. Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
P(B\cap C)= F(B|C)P(C)=\dfrac 12\(\dfrac 14\)^2, \qquad
P(\bar B\cap C)= F(C|\bar B))P(\bar B)=\dfrac 12\(\dfrac 1{10}\)^2,
$$
ahonnan
$$
P(C)=P(B\cap C)+P(\bar B\cap C)=
\dfrac1{32}+\dfrac1{200}=\frac{29}{800},
$$
\'es
$$
P(B|C)=\frac{P(B\cap C)}{P(C)}=\dfrac{25}{29}.
$$
 \item{} Jel\"olje, $D$ azt az esem\'enyt, hogy az utols\'o
h\'uz\'askor nem f\'erges alm\'at h\'uzunk. Ekkor feltev\'eseink
 szerint $P(D|B)=\dfrac9{10}$, \'es $P(D|\bar B)=\dfrac34$, s\H{o}t
azt is tudjuk, hogy $P(D|B\cap C)=\dfrac9{10}$, \'es $P(D|\bar B\cap
C)=\dfrac34$, mert a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg csak
att\'ol f\"ugg, hogy melyik l\'ad\'ahoz ny\'ultunk, de annak nincs
jelent\H{o}s\'ege, hogy milyen kis\'erletsorozat ut\'an
v\'alasztottuk azt ki. Minket a $P(D|C)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont
$$
\align
P(D|C)&=P(D\cap B|C)+P(D\cap \bar B|C)\\
&=P(D|B\cap C)P(B|C)+P(D|\bar B\cap C)P(\bar B|C)\\
&=\dfrac9{10}P(B|C)+\frac34 \(1-P(B|C)\)
=\frac9{10}\frac{25}{29}+\frac34\frac4{29}=\frac{255}{290}
\endalign
$$
\bye
 
 
 
 
\medskip\noindent \medskip
\item{2.} Ha $A_1,\dots, A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, \'es
bevezetj\"uk az $A_j^{1}=A_j$ \'es
$A_j^{-1}=\Omega\setminus A_j$ jel\"ol\'eseket, akkor tetsz\H{o}leges
$\e_j=\pm$, $1\le j\le n$ sorozatra az $A_1^{\e_1},\dots,A_n^{\e_n}$
esem\'enyek f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ El\'eg bel\'atni, hogy egy $A_j$ halmaz
kicser\'el\'ese az $A_j^{-1}$ halmazra nem v\'altoztatja meg a
halmazrendszer f\"uggetlens\'eg\'et. Tov\'abb\'a az indexek szimmetria
tulajdons\'aga miatt el\'eg a $j=1$ esettel foglalkozni. Ezut\'an a
f\"uggetlens\'eget defini\'al\'o rel\'aci\'ok k\"oz\"ul el\'eg azokat
ellen\H{o}rizni, amelyekben az 1 index szerepel. Azt kell megmutatni.
hogy az $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege eset\'en
teljes\"ul az
$$
P((\Omega\setminus A_1)\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})=
P(\Omega\setminus A_1)P( A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})
$$
azonoss\'ag minden $2\le l_1<\cdots<l_s$ indexre. Viszont ekkor
$$
\align
P((\Omega\setminus A_1)\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})&=
P(A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})-
P(A_1\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})\\
&=P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})-
P(A_1)P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})\\
&=(1-P(A_1))P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})\\
&=P(\Omega\setminus A_1)P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s}).
\endalign
$$
\item{3.} Legyenek $A_1,\dots,A_n, B_1,\dots, B_m$ esem\'enyek
f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. L\'assuk be, hogy tetsz\H{o}leges olyan
$C$ esem\'enyre, amelyik el\H{o}\'all\'{\i}that\'o az $A_1,\dots,
A_k$ halmazokb\'ol metszet, uni\'o \'es komplementerk\'epz\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel igaz, hogy a $B_1,\dots,B_m$ \'es $C$
halmazok f\"uggetlenek.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ L\'assuk be, hogy minden ilyen $C$
helmaz fel\'{\i}rhat\'o az el\H{o}z\H{u} feladat jel\"ol\'es\'et
haszn\'alva $C=\bigcupp_{(j_1,\dots,j_n)\in J}
A^{\e_{j_1}}\cap\cdots\cap A^{\e_{j_n}}$ alakban, ahol $J$ egy $n$
hossz\'us\'ag\'u $\pm1$ sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz. Tov\'abb\'a az
ebben a kifejez\'esben szerepl\H{o} $A^{\e_{j_1}}\cap\cdots\cap
A^{\e_{j_n}}$ esem\'enyek diszjunktak, \'es f\"uggetlenek a
$B_1$,\dots, $B_n$ esem\'enyekt\H{o}l.
\item{} {\it Javaslat:} Besz\'elj\'ek meg e feladat kapcs\'an a
konjunktiv \'es diszjunktiv norm\'alforma jelent\'es\'et \'es
haszn\'at.
\item{4.} Adjunk p\'eld\'at egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}re azon h\'arom $A_1$, $A_2$ \'es
$A_3$ ese\-m\'eny\-re, melyekre $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=
P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, de az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek
nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Egy lehets\'eges konstrukci\'o:}\/ Legyen
$\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, $P(\{1\})=x$,
$P(\{2\})=P(\{3\})=P(\{4\})=y$, $P(\{5\})=1-x-3y$, alkalmas $x$ \'es
$y$ sz\'amokkal, $P(A)=\summ_{u\in A} P(\{u\})$ minden $A\in \Cal A$
halmazra. Defini\'aljuk az $A_1=\{1,2\}$, $A_2=\{1,3\}$ \'es
$A_3=\{1,4\}$ halmazokat. Ekkor $A_1\cap A_2\cap A_3=\{1\}$, ez\'ert
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=x$. M\'asr\'eszt $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=x+y$.
V\'alasszuk meg az $x$ \'es $y$ sz\'amokat \'ugy, hogy $x=(x+y)^3$.
Egy lehet\H{o}s\'eg erre, $x+y=\dfrac13$, \'es ekkor
$x=(x+y)^3=\dfrac1{27}$, $y=\dfrac8{27}$,  tov\'abb\'a
$P(\{5\})=\dfrac2{27}$. Ebben a p\'eld\'aban
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$. Viszont $A_1\cap
A_2=\{1\}=A_1\cap A_2\cap A_3$, \'{\i}gy ny\'{\i}lv\'an
$P(A_1\cap A_2)\neq P(A_1)P(A_2)$. Teh\'at a f\"uggetlens\'eg nem
teljes\"ul.
\item{$4'$.} Adjunk p\'eld\'at minden $N>2$ sz\'am eset\'en egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}re azon $N$
$A_1,\dots, A_N$,  ese\-m\'eny\-re, melyekre
$$
P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_N)= P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_N),
$$
de az $A_1$, $A_2$,\dots, $A_N$ esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Az el\H{o}z\H{o} konstrukci\'o m\'odos\'{\i}t\'asa:}\/
Legyen $\Omega=\{1,2,\dots,N+2\}$, $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, $P(\{1\})=x$,
$P(\{j\})=y$, ha $2\le j\le N+1$, $P(\{N+2\})=1-x-Ny$, alkalmas $x$ \'es
$y$ sz\'amokkal, $P(A)=\summ_{u\in A} P(\{u\})$ minden $A\in \Cal A$
halmazra. Defini\'aljuk az $A_j=\{1,j+1\}$, $1\le j\le N$,
halmazokat. Ekkor $A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_N=\{1\}$, ez\'ert
$P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_N)=x$. M\'asr\'eszt  $P(A_j)=x+y$,
$1\le j\le N$. V\'alasszuk meg az $x$ \'es $y$ sz\'amokat
\'ugy, hogy $x=(x+y)^N$. Egy lehet\H{o}s\'eg erre, $x+y=\dfrac1N$,
\'es ekkor $x=(x+y)^N=\dfrac1{N}$, $y=\dfrac1N-\dfrac1{N^N}$,
tov\'abb\'a $P(\{N+2\})=1-x-Ny=\dfrac{N-1}{N^N}$. Ebben a p\'eld\'aban
$P(A_1\cap A_2\cap\cdots \cap A_N)=P(A_1)P(A_2)\dots P(A_N)$. Viszont
az $A_1$,\dots $A_N$, esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
\item{5.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk $n\ge 5$ alkalommal.
Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy legal\'abb 5 fejdob\'as
t\"ort\'enik? Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy egy
szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen sok dob\'asa sor\'an legfeljebb 5
fejdob\'as t\"ort\'enik? Tekints\"uk ennek az ut\'obbi feladatnak egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et \'es besz\'elj\"uk meg a
k\"ovetkez\H{o} k\'et tulajdons\'ag kapcsolat\'at:
\itemitem{a.} Egy $A$ esem\'eny nem k\"ovetkezhet be.
\itemitem{b.} Egy $A$ esem\'eny nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
k\"ovetkezik be.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
szab\'alyos p\'enzdarab $n$ egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-len dob\'asa
sor\'an pontosan $j$ darab fejdob\'as t\"ort\'enik $\dbinom nj2^{-n}$,
mert \"osszesen $\dbinom nj$ ilyen dob\'assorozat van, \'es mindegyik
dob\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-n}$. \'Igy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legfeljebb 5 fejdob\'as t\"ort\'enik
$\summ_{j=0}^5 \dbinom nj2^{-n}$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy v\'egtelen dob\'assorozat eset\'en legfeljebb 5 fejdob\'as
t\"ort\'enik $\limm_{n\to\infty}\summ_{j=0}^5 \dbinom nj2^{-n}=0$.
Mi\'ert szabad hat\'ar\'ert\'eket venni? Megbesz\'elend\H{o}, hogy
felhaszn\'altuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek folytonoss\'agi
tulajdons\'ag\'at, mely a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-additivit\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik.
 
\item{6.} Egy 100 tag\'u t\'arsas\'ag minden egyes tagja egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $\dfrac1{1000}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
betegszik meg. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
t\'arsas\'agnak lesz beteg tagja? A kapott eredm\'enyr\H{o}l mit
mondhatunk? Az nagyon nagy, majdnem 1 vagy nagyon kicsi majdnem nulla?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, hogy a
t\'arsas\'ag $j$-ik megbetegszik meg. Ekkor a $P(A_j)=\dfrac1{1000}$,
\'es az $A_j$ esem\'enyek f\"uggetlenek. Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a
minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementer\'enek, azaz annak az
esem\'enynek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy mindenki
eg\'eszs\'eges. Ez az $\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)$
esem\'eny. Mivel $P(\Omega\setminus A_j)=1-\dfrac1{1000}$, \'es az
$A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik az
$\Omega\setminus A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege is, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)\)
=\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $1-\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$.
\item{} V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy $\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}=
\(\(1-\dfrac1{1000}\)^{1000}\)^{1/10}\sim e^{-1/10}$. Mi\'ert? Ez a
sz\'am nagyon k\"ozel van az egyhez, ez\'ert a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke kicsi.
\item{7.} Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t. $\Omega=\{1,\dots, n\}$, ahol $n$ valamely pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'am, $\Cal A$ az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmazaib\'ol
\'all\'o $\sigma$-algebra,
$$
P(A)=\dfrac{\text{ az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga}}n.
$$
Legyen $n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ az $n$ sz\'am
pr\'{\i}mt\'enyez\H{o}s felbont\'asa, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $A_j$ esem\'enyeket: $A_j=\{m\: m\text{ oszthat\'o a
$p_j$ sz\'ammal}\}$, $1\le j\le k$. Legyen $B=\{m\: m\text{ relat\'{\i}v
prim az $n$ sz\'amhoz k\'epest}\}$. Mutassuk meg, hogy
\itemitem{a.} Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
\itemitem{b.} $P(B)=\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$, azaz \"osszesen
$n\cdot\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$ $n$-n\'el kisebb \'es az
$n$-hez k\'epest relat\'{\i}v prim van.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $A_j=\left\{p_j,2p_j,\dots,\dfrac
n{p_j}p_j\right\}$ egy $\dfrac n{p_j}$ sz\'amb\'ol \'all\'o halmaz,
ez\'ert $P(A_j)=\dfrac1{p_j}$, $1\le j\le k$. Az $A_{j_1}\cap
A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ halmaz az $n$-n\'el kisebb $p_{j_1}\cdots
p_{j_s}$ sz\'ammal oszthat\'o sz\'amokb\'ol \'all minden $1\le
j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$ sorozatra, ez\'ert sz\'amoss\'aga $\dfrac n
{p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$, \'es $P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap
A_{j_s})=\dfrac 1 {p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$. Ez azt jelenti, hogy
$P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s})=P(A_{j_1})
P(A_{j_2})\cdots P(A_{j_s})$ minden $1\le j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$
sorozatra, ez\'ert az $A_1$, $A_2$, \dots $A_k$ halmazok f\"uggetlenek.
\item{} V\'eg\"ul $B=\Omega\setminus (A_1\cup\cdots\cup A_k)
=\bigcapp_{j=1}^k(\Omega\setminus A_j)$. Ez\'ert \'es az $A_j$
esem\'enyek f\"uggetlens\'ege miatt $P(B)=\prodd_{j=1}^k
P(\Omega\setminus A_j)=\prodd_{j=1}^k \(1-\dfrac1{p_j}\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a $B$ halmaz sz\'amoss\'ag\'ara megadott k\'eplet.
\medskip
Az el\"oz\H{o} k\'et feladatban l\'attuk hogyan lehet egyszer\H{u}en
kisz\'am\'{\i}tani a $A_1\cup \cdots\cup A_n$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, ha az $A_j$, $1\le j\le n$, esem\'enyek
f\"uggetlenek. Ezek a sz\'amol\'asok term\'eszetesen kihaszn\'alt\'ak
a tekintett esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'et. A k\"ovetkez\H{o}ben azt
t\'argyaljuk meg, hogy amennyiben nincs felt\'etlen\"ul
f\"uggetlens\'eg a tekintett esem\'enyek k\"oz\"ott, de ki tudjuk
sz\'amolni az $A_{j_1}\cap \cdots\cap A_{j_s}$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, akkor egy \'ugynevezett szita formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani az $A_1\cup \cdots\cup
A_n$ esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is. Tov\'abb\'a
megmutatjuk, hogy ez lehet\H{o}v\'e teszi \'erdekes feladatok
megold\'as\'at. A k\"ovetkez\H{o} feladatot fogjuk t\'argyalni:
\medskip
\item{8.} Egy est\'elyen megjelenik $n$ h\'azasp\'ar. Egy
t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik h\'azast\'arsak \'es kik nem
v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a f\'erfiakat \'es n\H{o}ket
a t\'anc el\H{o}tt. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
egyetlen h\'azasp\'ar sem t\'ancol egy\"utt? Mi ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $A_j$
esem\'enyeket:
$$
A_j=\text{a $j$-ik h\'azasp\'ar eg\"utt t\'ancol,}\quad 1\le j\le n.
$$
Ekkor minket a $P(\overline{A_1\cup\dots\cup A_{n}})=
1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a $P(A_{j_1}\cap \cdots
\cap A_{j_k})=\dfrac{(n-k)!}{n!}$ azonoss\'ag igaz. Ugyanis az
\"osszes lehets\'eges p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama $n!$, m\'{\i}g
az olyan p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama, melyben a $j_1$-ik,
$j_2$-ik, \dots, $j_k$-ik h\'azasp\'ar egy p\'arba ker\"ul $(n-k)!$.
 Tov\'abb\'a \'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} az irodalomban
szita-formul\'anak nevezett eredm\'eny, melyet k\"ul\"on fogunk
t\'argyalni.
\medskip\noindent
{\bf Szita formula.} {\it Legyenek $A_1,\dots,A_n$ tetsz\H{o}leges
esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ekkor
$$
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=S_1-S_2+S_3-\cdots +(-1)^{n+1}S_n,
$$
ahol
$$
S_k=\sum_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n} P(A_{j_1}\cap \cdots\cap  A_{j_k}).
$$
}\medskip
\item{} A szita-formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy $n$
h\'azasp\'ar eset\'eben
$$
S_k=\dbinom nk\dfrac{(n-k)!}{n!}=\dfrac1{k!}.
$$
Innen ad\'odik, hogy a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$n$ h\'azasp\'ar eset\'en
$$
\align
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})&=1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n}) \\
&=1-S_1+S_2+\cdots+(-1)^n S_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!},
\endalign
$$
\'es ez\'ert
$$
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})
=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}\to \frac1e\quad \text{ ha } n\to\infty.
$$
\item{9.} Bizony\'{\i}tsuk be a szita formul\'at.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Adva egy $A$ esem\'eny vezess\"uk be az
$A^\e$ jel\"ol\'est,
ahol $\e=\pm1$, $\e=1$ est\'eben $A^1=A$, $\e=-1$ eset\'eben
$A^{-1}=\Omega\setminus A=\bar A$. De\-fi\-ni\'al\-juk tetsz\H{o}leges
$r_s=1$ vagy $r_s=-1$, $s=1,\dots,n$ sz\'amokra az
$$
A(r_1,\dots,r_n)=A^{r_1}\cap\cdots\cap A^{r_n}
$$
esem\'enyeket. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
A_1\cup\cdots\cup A_n=\bigcup_{(r_1,\dots,r_n)\:(r_1,\dots,r_n)\neq
(-1,\dots,-1)} A(r_1,\dots,r_n),
$$
\'es tetsz\H{o}leges $A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s}$, $1\le
j_1<j_2<\cdots<j_s\le n$ alak\'u halmazra
$$
A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s}
=\bigcup_{(r_1,\dots,r_n)\:r_{j_u}=1,\; 1\le u\le s} A(r_1,\dots,r_n).
$$
Tov\'abb\'a az $A(r_1,\dots,r_n)$ esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(r_1,\dots,r_n)$ param\'eterek eset\'eben diszjunktak. Ez\'ert
$$
P(A_1\cup\cdots\cup A_n)=\sum_{(r_1,\dots,r_n)\:(r_1,\dots,r_n)\neq
(-1,\dots,-1)} P(A(r_1,\dots,r_n)),
$$
\'es tetsz\H{o}leges $A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ alak\'u halmazra
$$
P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s})
=\sum_{(r_1,\dots,r_n)\:r_{j_u}=1,\; 1\le u\le s} P(A(r_1,\dots,r_n)).
$$
 
\item{} Ilyen m\'odon a az $A(r_1,\dots,r_n)$ halmazok
$P(A(r_1,\dots,r_n))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek a li\-ne\-\'a\-ris
kombin\'aci\'ojak\'ent fejezhet\H{o} ki a szita-formula k\'et oldal\'an
szerepl\H{o} kifejez\'es. Azt kell be\-l\'at\-ni, hogy a
$P(A(r_1,\dots,r_n))$ sz\'am a szitaformula k\'et oldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'esben
ugyanazzal az egy\"utthat\'oval szerepel. Az azonoss\'ag baloldal\'an
ez az egy\"utthat\'o 1, ha $\{r_1,\dots,r_n\}\neq\{-1,\dots,-1\}$, \'es
nulla, ha $\{r_1,\dots,r_n\}=\{-1,\dots,-1\}$. Ha az $(r_1,\dots,r_s)$
halmaz $l$ darab 1 \'es $n-l$ darab $-1$ jegyet tartalmaz, akkor ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege a szitaformula jobboldal\'an ezt $\dbinom
l1- \dbinom l2+\cdots\pm\dbinom ll=\summ_{k=1}^l(-1)^{k+1}\dbinom lk$
egy\"utthat\'oval szerepel. Ugyanis az $S_k$ \"osszegben ez a
kifejez\'es $\dbinom lk$ egy\"utthat\'oval szerepel. Mi\'ert?
 
\item{} Innen a vizsg\'alt egy\"utthat\'o
$\summ_{k=1}^l(-1)^{k+1}\dbinom lk=1-
\summ_{k=0}^l(-1)^{k}\dbinom lk=1-(1-1)^k=1$, ha az
$A(r_1,\dots,r_n)$ halmaz $r_1,\dots,r_n$ indexei k\"oz\"ott
 $l\neq0$ 1-es van. A marad\'ek esetben pedig az egy\"utthat\'o nulla.
Ez azt jelenti, hogy a szita formula k\'et oldal]\'an szerepl\H{o}
egy\"uthat\'ok megegyeznek.
\medskip {\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
L\'assuk be, hogy a szitaformula jel\"ol\'eseit haszn\'alva
$$
S_1-S_2=\sum _{j=1}^nP(A_j)-\sum_{1\le j<k\le n}P(A_j\cap A_k)\le
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)\le S_1=\sum_{j=1}^nP(A_j)
$$
\'es \'altal\'aban
$$
\sum_{k=1}^{2l}(-1)^{k+1}S_k\le
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)\le \sum_{k=1}^{2l-1}(-1)^{k+1}S_k
$$
minden $l$ indexre. (Legyen $S_k=0$, ha $k>n$.)
\medskip
 
 
 
 
\bye
 
 
 
 
 
 
\item{4.} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk.
Mi ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, hogy
pont a $j$-ik h\'uz\'asra s\'{\i}ker\"ul kih\'uzni a j\'o kulcsot,
$B_j=A_1\cup\cdots\cup A_j$ azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} $j$
kih\'uzott kulcs egyike a j\'o kulcs. Ezeknek az esem\'enyeknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, $P(A_j)=\dfrac{1}{30}$ \'es
$P(B_j)=\dfrac{j}{30}$. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20.
h\'uz\'asban h\'uzzuk ki a j\'o kulcsot $F(A_{20})=\dfrac1{30}$. Annak
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20. h\'uz\'asban
h\'uzzuk ki a j\'o kulcsot felt\'eve, hogy az els\H{o} 19 dob\'asban
nem s\'{\i}ker\"ult azt kih\'uzni, $P(A_{20}|\bar B_{19})
=\dfrac{P(A_{20}\cap\bar B_{19})}{P(\bar B_{19})}=\dfrac{F(A_{20})}
{1-P(B_{19})} =\dfrac{\frac1{30}}{1-\frac{19}{30}}=\dfrac{1}{11}$. (A
fenti sz\'amol\'asban $\bar A$ jel\"oli egy $A$ halmaz
komplementer\'et.)
 
