\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat kilencedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002 \'aprilis 2.}
\medskip\noindent
{\it \"Osszefoglal\'o:}\/
\medskip\noindent
A t\"obbdimenzi\'os s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek bevezet\'ese
ut\'an defini\'aljuk a t\"obb-dimenzi\'os t\'er halmazaira
koncentr\'alt egyenletes eloszl\'ast. Ezut\'an hat\'arozzuk meg az
egyenletes el\-osz\-l\'ast n\'eh\'any egyszer\H{u} esetben.
\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os halmazokra koncentr\'alt egyenletes
eloszl\'as definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $A\subset R^k$
(Borel m\'erhet\H{o}) halmaz a $k$-dimenzi\'os  t\'eren, melynek
Lebesque m\'ert\'eke teljes\'{\i}ti a $\lambda(A)>0$ felt\'etelt.
Az $A$-halmazon defini\'alt egyenletes eloszl\'as az a $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $R^k$ t\'er Borel
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain, melyre $P(B)=\dfrac{\lambda(A\cap
B)}{\lambda(A)}$ minden Borel m\'erhet\H{o} halmazra a $k$-dimenzi\'os
t\'eren. M\'ask\'epp megfogalmazva, az $A$ halmazra koncentr\'alt
egyenletes eloszl\'as az az eloszl\'as, melynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u_1,\dots,u_k)=\dfrac1{\lambda(A)}$,
ha $(u_1,\dots,u_k)\in A$, \'es $f(u_1,\dots,u_k)=0$, ha
$(u_1,\dots,u_k)\notin A$.}
\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
\item{} Adjuk meg a $[0,1\times\cdots\times[0,1]$ $k$-dimenzi\'os
egys\'egkock\'an egyenletes eloszl\'as
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
\item{b.)} Tekints\"uk a s\'{\i}kon a $(0,0)$, $(0,1)$ \'es
$(1,0)$ cs\'ucspontok \'altal meghat\'arozott h\'a\-rom\-sz\"o\-g\"on
az egyenletes eloszl\'ast. Adjuk meg ennek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip\noindent
{\bf F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'es
szorzatuk v\'arhat\'o \'ert\'eke.}  \medskip \noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek
a definici\'oja.} {\it Legyenek $\xi_1,\,\dots,\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt mondjuk, hogy ezek
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
ha minden $x_1,\dots,x_n$ val\'os sz\'amra
$$
P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)\cdots P(\xi_n<x_n).
$$
}\medskip
K\'es\H{o}bbi vizsg\'alatok \'erdek\'eben vezess\"uk be ennek a
fogalomnak a t\"obbdimenzi\'os v\'altozat\'at.
\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oja.} {\it Le\-gye\-nek
$\xi^{(1)}=\(\xi_{1,1},\dots,\xi_{1,k}\)$, \dots,
$\xi^{(n)}=\(\xi_{n,1},\dots,\xi_{n,k}\)$, $k$-dimenzi\'os
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok (vektorok) egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt
mondjuk, hogy ezek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektorok
f\"uggetlenek, ha minden $x^{(1)}=(x_{1,1},\dots,x_{1,k})$, \dots,
$x^{(n)}=(x_{n,1},\dots,x_{n,k})$, $k$-dimenzi\'os vektorra
$$
\align
&P\(\xi_{1,1}<x_{1,1},\dots,\xi_{1,k}<x_{1,k}, \; \dots, \;
\xi_{n,1}<x_{n,1},\dots,\xi_{n,k}<x_{n,k}\)\\
&\qquad=P\(\xi_{1,1}<x_{1,1},\dots,\xi_{1,k}<x_{1,k}\) \cdots
P\(\xi_{n,1}<x_{n,1},\dots,\xi_{n,k}<x_{n,k}\).
\endalign
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ T\"obbdimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oj\'aban semmilyen
f\"uggetlens\'egi feltev\'est nem tett\"unk az egyes
$\xi^{(j)}=\(\xi_{j,1},\dots,\xi_{j,k}\)$, $1\le j\le k$, vektorok
koordin\'at\'ai k\"oz\"ott. Ezzel a definici\'oval egyel\H{o}re nem kell
foglalkozni. \medskip
 
F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal val\'o
sz\'amol\'ast megk\"onny\'{\i}ti a m\'ert\'ekelm\'elet egyik
alapvet\H{o} eredm\'enye, a Fubini t\'etelt. Ennek
megfogalmaz\'asa el\H{o}tt tesz\"unk n\'eh\'any megjegyz\'est.
 
A Fubini t\'etel a k\"ovetkez\H{o}, a ter\"uleti
(Riemann--)integr\'alr\'ol sz\'ol\'o
eredm\'enynek \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa
\'altal\'anos Lebesgue integr\'alokra.
$$
\int\int f(x,y)\,dx\,dy=\int\(\int f(x,y)\,dx\)\,dy
$$
minden integr\'alhat\'o $f(\cdot,\cdot)$ f\"uggv\'enyre. Ez az
eredm\'eny azt jelenti, hogy egy k\'etv\'altoz\'os f\"uggv\'eny
ter\"uleti integr\'alj\'at \'ugy is kisz\'amolhatjuk, hogy
el\H{o}sz\"or r\"ogz\'{\i}tj\"uk az egyik param\'etert, (melyet
$y$-nal jel\"olt\"unk,) \'es kisz\'am\'{\i}tjuk az \'{\i}gy kapott
egyv\'altoz\'os integr\'alt. Ezut\'an az els\H{o} l\'ep\'esben
r\"ogz\'{\i}tett param\'eter szerint integr\'alva az \'{\i}gy
kapott f\"uggv\'enyt, megkapjuk a ter\"uleti integr\'al
\'ert\'ek\'et. Ez azt jelenti, hogy a ter\"uleti integr\'al
ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-ha\-t\'o k\'et egyszeres integr\'al
szukcessziv alkalmaz\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
A Fubini t\'etel megfogalmaz\'asa el\H{o}tt fogalmazzuk meg a
k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $F_1(\cdot)$,\dots, $F_k(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek a sz\'amegyenesen, \'es defini\'aljuk az
$F(x_1,\dots,x_k)=F_1(x_1)\cdots F_k(x_k)$ f\"uggv\'enyt. Ez az
$F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny $k$-v\'altoz\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny.
\item{} R\'eszletesebben kifejtve a k\"ovetkez\H{o}t \'all\'{\i}tjuk.
A hetedik \'es nyolcadik el\H{o}ad\'asban megadtuk a sz\"uks\'eges
\'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et annak hogy egy egydimenzi\'os
illetve t\"obbdimenzi\'os f\"uggv\'eny eloszl\'asf\"uggv\'eny
f\"uggv\'eny legyen. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ha az $F_j(\cdot)$,
$1\le j\le k$, f\"uggv\'enyek teljes\'{\i}tik az (egydimenzi\'os)
eloszl\'asf\"uggv\'eny jellemz\'es\'et le\'{\i}r\'o
tulajdons\'agokat, akkor az $F(x_1,\dots,x_k)=F_1(x_1)\cdots F_k(x_k)$
f\"ugg\-v\'eny teljes\'{\i}ti a t\"obbdimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'eny eloszl\'as\'at le\'{\i}r\H{o}
tulajdons\'agokat.
\medskip
Ha $F_j(\cdot)$, $1\le j\le k$, egydimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyek, akkor tekinthetj\"uk az
$F(x_1,\dots,x_k)=F_1(x_1)\cdots F_k(x_k)$  $k$-v\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyt, illetve az \'altala meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott
$\mu_F=\mu_{(F_1,\dots,F_k)}$ Stieltjes m\'ert\'eket a $k$-dimenzi\'os
t\'eren. Az irodalomban \'altal\'anos szok\'as, hogy az el\H{o}bb
definii\'alt $\mu_F$ $k$-dimenzi\'os t\'eren \'ertelmezett
m\'ert\'ek sze\-rin\-ti integr\'alt $F_1(\,dx_1)\dots F_k(dx_k)$
vagy $dF_1(x_1)\dots\,dF_k(x_k)$-val jel\"olik, azaz
$$
\align
&\int g(x_1,\dots,x_k)\mu_F(\,dx_1,\dots,\,dx_k)=
\int g(x_1,\dots,x_k)\mu_{(F_1,\dots,F_k)}(\,dx_1,\dots,\,dx_k)\\
&\qquad \overset{\text {jel.}}\to =
\int g(x_1,\dots,x_k)F_1(\,dx_1)\dots F_k(\,dx_k)
=\int g(x_1,\dots,x_k)\,dF_1(x_1)\dots\,dF_k(x_k)
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges integr\'alhat\'o $g(x_1,\dots,x_k)$ (integr\'alhat\'o)
f\"ugv\'enyre, ahol ,,jel." a jel\"ol\'es sz\'o r\"ovid\'{\i}t\'ese.
A tov\'abbiakban mi is ezt a jel\"ol\'est k\"ovetj\"uk.
\medskip\noindent
{\bf Fubini t\'etel.} {\it Legyenek $F_j(\cdot)$, $1\le j\le k$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek a sz\'amegyenesen, \'es legyen
$g(x_1,\dots,x_k)$ (m\'erhet\H{o}) $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny.
Ekkor
$$
\align
&\int g(x_1,x_2,\dots,x_k)F_1(\,dx_1)F(\,dx_2)\dots F_k(\,dx_k)\\
&\qquad=\(\int \dots\(\int\(\int
g(x_1,\dots,x_k)F_1(\,dx_1)\)F_2(\,dx_2)\) \dots F_k(\,dx_k)\).
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy az azonoss\'ag k\'et
oldal\'an l\'ev\H{o} integr\'al illetve szuk\-cessziv integr\'al
egyszerre l\'etezik.
 
\'Erdemes k\"ul\"on megfogalmazni ennek az azonoss\'agnak a
k\"ovetkez\H{o} fontos speci\'alis eset\'et. Ha
$g(x_1,\dots,x_k)=g_1(x_1)\cdots g_k(x_k)$ alak\'u speci\'alis
f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at te\-kint\-j\"uk, akkor a
k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot \'{\i}rhatjuk fel:
$$
\align
&\int g_1(x_1)g_2(x_2)\cdots g_k(x_k)F_1(\,dx_1)F_2(\,dx_2)\dots
F_k(\,dx_k)\\
&\qquad=\int g(x_1)F_1(\,dx_1) \int g_2(x_2)F_2(\,dx_2)
\cdots \int g_k(x_k)F_k(\,dx_k)=\prod_{j=1}^k \int g_j(x)F_j(\,dx).
\endalign
$$
}\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ A Fubini t\'etel val\'oj\'aban egy
\'altal\'anosabb eredm\'eny mint a most kimondott t\'etel. A Fubini
t\'etel a megfogalmazottakhoz hasonl\'o eredm\'eny mond ki
\'altal\'anos (\'es nemcsak az Euklideszi) terekben defini\'alt
szorzatm\'ert\'ekek szerinti integr\'alokra. Sz\'a\-munk\-ra viszont
elegend\H{o} csak a fent le\'{\i}rt speci\'alis esetet tekinteni.
\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}bb kimondott t\'etelek \'es a
tov\'abbi eredm\'enyek r\"oviden, in\-for\-m\'a\-li\-san \'ugy
foghat\'ok \"ossze, hogy mindazok az eredm\'enyek, melyeket f\"uggetlen,
disz\-kr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okr\'ol tanultunk, \'erv\'enyben maradnak \'altal\'anos,
nem felt\'etlen\"ul diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okra is. \medskip
Megmutatjuk, hogy a Fubini t\'etelb\H{o}l
\'es azokb\'ol a eredm\'enyekb\H{o}l, melyek megadj\'ak, hogy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggv\'enyeinek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et hogyan lehet ki kisz\'amolni e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel
be lehet bizony\'{\i}tani n\'eh\'any a f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o
alapvet\H{o} eredm\'enyt. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyek mindegyik\'enek
l\'e\-te\-zik v\'arhat\'o \'ert\'eke, azaz $E|\xi_j|<\infty$. Ekkor
a $\xi_1\cdots\xi_k$ szorzatnak is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke,
\'es
$$
E\xi_1\cdots \xi_k=E\xi_1\cdots E\xi_k.
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ezt az eredm\'enyt m\'ar l\'attuk kor\'abban
abban a speci\'alis esetben, ha disz\-kr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok szorzat\'at tekintj\"uk. \medskip \noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'as:}\/ Jel\"olje $F_j(\cdot)$, $1\le
j\le k$, a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, \'es vezess\"uk be a
$g(x_1,\dots,x_k)=x_1\dots x_k$ f\"uggv\'enyt. Ekkor
$$
E\xi_1\cdots \xi_k=Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)=\int x_1\cdots x_k
F_1(\,dx_1) \dots F_k(\,dx_k).
$$
Tov\'abb\'a a Fubini t\'etel szerint
$$
\int x_1\cdots x_k F_1(\,dx_1)\dots F_k(\,dx_k)=\prod_{j=1}^k\int
x F_j(\,dx).
$$
Mivel $E\xi_j=\int xF_j(x)$, ez az azonoss\'ag azt jelenti, hogy
$E\xi_1\cdots \xi_k=E\xi_1\cdots E\xi_k$. Ezenk\'{\i}v\"ul azt is
\'all\'{\i}thatjuk (felhaszn\'alva azt a t\'enyt, hogy a Fubini
t\'etel k\'et oldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es egyszerre
\'ertelmes, hogy a T\'etelben szerepl\H{o} azonoss\'ag k\'et
oldala egyszerre \'ertelmes.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $B_1,\dots,B_k$ a
sz\'amegyenes Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazai. Ekkor
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_k\in B_k)=
P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_k\in B_k).
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A f\"uggetlens\'eg definici\'oja csak azt
k\"oveteli meg, hogy a t\'etelben kimondott azonoss\'ag
teljes\"ulj\"on speci\'alis $B_j=(-\infty,x_j)$ alak\'u halmazokra. A
t\'etel azt \'all\'{\i}tja, hogy ha ez az azonoss\'ag teljes\"ul
ezekre a speci\'alis alak\'u halmazokra, akkor ez teljes\"ul minden
,,sz\'ep" azaz Borel m\'erhet\H{o} halmazra. A t\'etel egyik
k\"ovetkezm\'enye az, hogy a diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eset\'eben m\'ar kor\'abban defini\'alt f\"uggetlens\'eg
megegyezik a f\"uggetlens\'eg fogalm\'aval az \'altal\'anos esetben.
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Legyen $g_j(\cdot)$ a $B_j$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye, $1\le j\le k$, azaz legyen $g_j(x)=1$, ha
$x\in B_j$, \'es $g_j(x)=0$, ha $x\notin B_j$. Defini\'aljuk a
$g(x_1,\dots,x_k)=g_1(x_1)\cdots g_k(x_k)$ f\"uggv\'enyt a
$k$-dimenzi\'os t\'eren. Ekkor a Fubini t\'etel alapj\'an
$$
\align
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_k\in B_k)&=
Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)=Eg_1(\xi_1)\cdots E g_k(\xi_k)\\
&=P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_k\in B_k).
\endalign
$$
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n,\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+m}$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$g(x_1,\dots,x_n)$ $n$-v\'altoz\'os (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny,
$\eta=g(\xi_1,\dots,\xi_n)$. Mutassuk meg a Fubini t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $\eta,\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+m}$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es legyen a $\xi_j$,
$1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es jel\"olj\"uk az
$f_j(\cdot)$-vel. L\'assuk be a Fubini t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen
vektornak is van s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es az
az $f(u_1,\dots,u_n)=f_1(u_1)\cdots f_n(u_n)$ f\"uggv\'eny.
\medskip \noindent
{\bf F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzete, a
nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye.} \medskip\noindent
 
A diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okhoz hasonl\'oan
defi\'alhatjuk \'altal\'anos, nem fel\-t\'et\-le\-n\"ul diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
(ezt az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason megtett\"uk), kovarianci\'aj\'at,
\'es (f\"uggetlen) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek sz\'or\'asn\'egyzet\'ere hasonl\'o formula
\'erv\'enyes mint a diszkr\'et esetben. R\"oviden le\'{\i}rjuk a
bizony\'{\i}t\'ast, b\'ar azt ak\'ar el is hagyhatn\'ank arra
hivatkozva, hogy a diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eset\'eben is csak olyan \"osszef\"ugg\'eseket
haszn\'altunk, melyek \'altal\'anos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eset\'eben is \'erv\'enyesek. \medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kovarianci\'aj\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o ugyanazon a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, (melyekre teljes\"ul
az  $E\xi^2<\infty$, $E\eta^2<\infty$ felt\'etel.) A $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
kovarianciaf\"uggv\'enye
$$
\Cov(\xi,\eta)=E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)].
$$
}\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta- E\xi E\eta.
$$
Ha $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, akkor $\Cov(\xi,\eta)=0$.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
\Cov(\xi,\eta)&=E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)]=E(\xi \eta-\xi E\eta-\eta
E\xi+E\xi E\eta)\\
&=E\xi\eta-E\xi E\eta-E\xi E\eta+E\xi E\eta=E\xi\eta-E\xi E\eta.
\endalign
$$
Ha $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, akkor $E\xi\eta=E\xi E\eta$, ez\'ert $\Cov (\xi,\eta)=0$.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_j$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyekre teljes\"ul
$E\xi_j^2<\infty$ felt\'etel. Ekkor
$$
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j+\summ\Sb
1\le j,l \le k\\ j\neq l\endSb \Cov(\xi_j,\xi_l)
=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j+2\summ_{j=1}^{k-1}\summ_{l=j+1}^k
\Cov(\xi_j,\xi_l).
$$
Speci\'alisan, ha a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, akkor
$$
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j.
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Vezess\"uk be a $\bar\xi_j=\xi_j-E\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor
$$
\align
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)&=
E\(\sum_{j=1}^k\bar \xi_j\)^2=
E\(\sum_{j=1}^k\bar \xi_j^2+\summ\Sb
1\le j,l \le k\\ j\neq l\endSb \bar\xi_j,\bar\xi_l\) \\
&=\sum_{j=1}^k  E\bar \xi_j^2+\summ\Sb
1\le j,l \le k\\ j\neq l\endSb E \bar\xi_j\bar\xi_l
=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j+\summ\Sb
1\le j,l \le k\\ j\neq l\endSb \Cov(\xi_j,\xi_l).
\endalign
$$
Ha a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
akkor $\Cov(\xi_j,\xi_l)=0$, ez\'ert
$$
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j.
$$
\medskip
Legyenek $\xi_j$, $j=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es legyen
$E\xi_1^2<\infty$. Becs\"ulj\"uk meg a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
$$
P\(\left|\frac1n\summ_{j=1}^n\xi_j-E\xi_1\right|>\e\)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket minden $n=1,2,\dots$ \'es $\e>0$
sz\'amra. L\'atni fogjuk, hogy ebb\H{o}l a becsl\'esb\H{o}l ad\'odik
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as  egyik fontos eredm\'enye,
a nagy sz\'amok (gyenge) t\"orv\'enye.
$$
\align
&P\(\left|\frac1n\summ_{j=1}^n \xi_j-E\xi_1\right|>\e\)=
P\(\left|\frac1n\summ_{j=1}^n (\xi_j-E\xi_j)\right|>\e\)\\
&\qquad =P\(\(\summ_{j=1}^n(\xi_j-E\xi_j)\)^2>n^2\e^2\)
\le\frac{E\(\summ_{j=1}^n(\xi_j-E\xi_j)\)^2}{n^2\e^2}\\
&\qquad =\frac{\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)}{n^2\e^2}
=\frac{\summ_{j=1}^n \Var\xi_j}{n^2\e^2}=\frac{\Var\xi_1}{n\e^2}.
\endalign
$$
 
A nagy sz\'amok (gyenge) t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'asa
el\H{o}tt bevezet\"unk k\'et definici\'ot.
\medskip\noindent
{\bf Sztochasztikus konvergencia definici\'oja.} {\it Legyenek $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt mondjuk, hogy
a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sztochasztikusan konverg\'alnak a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(|\xi_n-\xi|>e)=0$
minden $\e>0$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} A m\'ert\'ekelm\'eletben is megjelenik ez a
fogalom, de ott ezt m\'ert\'ekben val\'o konvergenci\'anak nevezik.
\medskip\noindent
{\bf Nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$k=1,2,\dots$. Azt mondjuk, hogy ezek a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, ha l\'etezik olyan $E$ sz\'am,
melyre teljes\"ul, hogy az $\dfrac{S_n}n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sztochasztikusan
konverg\'alnak az $E$ sz\'am\-hoz, azaz ahhoz a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, mely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $E$ konstanssal egyenl\H{o}.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyekre teljes\"ul
az $E\xi_1^2<\infty$ tulajdons\'ag. Ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et
az $E=E\xi_1$ konstanssal.} \medskip
{\it Bizony\'{\i}t\'as:} L\'attuk, hogy az adott felt\'etelek mellett
$$
P\(\left|\frac1n\summ_{j=1}^n \xi_j-E\xi_1\right|>\e\)
\le\frac{\Var\xi_1}{n\e^2}
$$
minden $\e>0$ sz\'amra. Mivel
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{\Var\xi_1}{n\e^2}=0$, innen k\"ovetkezik
a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es 1.}\/ A gyenge jelz\H{o} a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'eben arra utal, hogy a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'eben f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlagainak konvergenci\'aj\'at egy viszonylag gyenge
konvergenciafogalom szerint, a sztochasztikus konvergencia szerint
k\"ovetelj\"ok meg. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban
foglalkoznak a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'evel is, melyben
ezen \'atlagok konvergenci\'aj\'at egy er\H{o}sebb konvergenciafogalom
szerint, az \'ugynevezett egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel val\'o
konvergencia szerint k\"ovetelik meg. L\'attuk, hogy a nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'enye \'erv\'enyes akkor, ha a tekintett f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok n\'egyzet\'enek l\'etezik
v\'arhat\'o \'ert\'eke. Felmer\"ulhet az a k\'erd\'es, hogy ez a
felt\'etel elhagyhat\'o-e vagy ha nem hagyhat\'o el, akkor lehet-e
azt gyeng\'{\i}teni. Ugyan\-csak term\'eszetes probl\'ema annak
vizsg\'alata, hogy a $P\(\left|\dfrac{S_n}n-E\right|>\e\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek milyen gyorsan tartanak null\'ahoz.
Ezeknek a k\'erd\'eseknek a t\'argyal\'as\'ahoz k\'es\H{o}bb m\'eg
visszat\'er\"unk.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es 2.}\/ B\'ar nem hangs\'ulyoztuk, de
hallgat\'olagosan felhaszn\'altuk azt a t\'enyt, hogy amennyiben
egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzet\'enek
l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, akkor l\'etezik a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke is.
Val\'oban, ez k\"ovetkezik az \'ugynevezett Cauchy--Schwarz
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l, mely szerint $(E|\xi|)^2\le E\xi^2$.
Ez az egyenl\H{o}tlens\'eg kiolvashat\'o a sz\'or\'asn\'egyzet
figyelmesebb vizsg\'alat\'ab\'ol, mely szerint
$E\xi^2-(E|\xi|)^2=\Var|\xi|>0$. Egy m\'asik, tal\'an egyszer\H{u}bb
\'ervel\'es: Jel\"olje $F(\cdot)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor, mivel $|x|\le
\dfrac12\(x^2+1\)$, ez\'ert $E|\xi|=\int |x|
F(\,dx)\le\dsize\int\dfrac12(x^2+1)F(\,dx)
=\dfrac12(E\xi^2+1)<\infty$, ha $E\xi^2<\infty$.
\medskip
 
A nagy sz\'amok (gyenge) t\"orv\'eny\'enek szeml\'eletes tartalma az,
hogy ha sok egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
kis\'erlet t\"ort\'enik, akkor ezek \'atlaga ,,regulariz\'al\'odik",
konstans lesz. Ez magyar\'azza meg p\'eld\'aul azt a t\'enyt, hogy
minden \'evben k\"ozel ugyanannyi fi\'u \'es l\'any sz\"uletik.
 
\medskip\noindent
{\bf F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
S\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyek konvoluci\'oja.}
\medskip\noindent
 
A k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'essel foglalkozunk. Legyen $\xi$ \'es
$\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
melyeknek l\'etezik $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. L\'assuk be, hogy a $\xi+\eta$
\"osszegnek is l\'etezik $h(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
\'es adjuk meg azt a formul\'at, melynek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'evel
azt kisz\'am\"olhatjuk. E vizsg\'alat sor\'an be fogjuk vezetni
k\'et (s\H{u}r\H{u}s\'eg)f\"uggv\'eny konvoluci\'oj\'anak a
fogalm\'at. Ezut\'an alkalmazzuk ezt az eredm\'enyt n\'eh\'any
konkr\'et esetben.
 
Jel\"olje $H(x)=P(\xi+\eta<x)$ a f\"uggetlen $f(\cdot)$ \'es
$g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\H{u} $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi+\eta$
\"osszeg eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$$ \allowdisplaybreaks
\align
H(x)&=P(\xi+\eta<x)=
\int\int_{\{(u,v)\:u+v<x\}}f(u)g(v)\,du\,dv\\
&=\int_{-\infty}^x\[\int_{-\infty}^\infty f(\bar u)
g(\bar v-\bar u)\,d\bar u\]\,d\bar v=\int_{-\infty}^x K(v)\,dv,
\endalign
$$
ahol
$$
K(v)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(v-u)\,du.
$$
 
A fenti sz\'amol\'asokban egy integr\'altranszform\'aci\'ot
alkalmaztunk  $\bar v=u+v$, $\bar u=u$ helyettes\'{\i}t\'essel.
Felhaszn\'altuk, hogy e transzform\'aci\'o sor\'an az
$\{(u,v)\:u+v<x\}$ tartom\'any a $\{(\bar u,\bar v)\:\bar
v<x,\;-\infty< \bar u<\infty\}$ tartom\'anyba
megy \'at, \'es a fenti (line\'aris) transzform\'aci\'o Jakobi\'anja
azonosan 1.
 
Ezut\'an bevezetj\"uk a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.
\medskip\noindent
{\bf (S\H{u}r\H{u}s\'eg)f\"uggv\'enyek konvoluci\'oj\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$ k\'et
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny a sz\'amegyenesen,
\'altal\'anosabban integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek, azaz tegy\"uk
fel, hogy $\int_{-\infty}^\infty |f(u)|\,du<\infty$ \'es
$\int_{-\infty}^\infty |g(u)|\,du<\infty$. Az $f(\cdot)$ \'es
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyek $f*g(\cdot)$ konvoluci\'oja az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty,
$$
f\"uggv\'eny.} \medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Egyszer\H{u} (line\'aris) transzform\'aci\'oval
kapjuk, hogy a konvoluci\'ot m\'ask\'epp is kisz\'amolhatjuk. Ez
mutatja, hogy a konvoluci\'oban r\'esztvev\H{o} f\"uggv\'enyek
szim\-met\-ri\-kus szerepet j\'atszanak.
$$
\align
f*g(x)&=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du
=\int_{-\infty}^\infty f(x-u)g(u)\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty f\(\frac x2- u\)g\(\frac x2+u\)\,du,
\quad -\infty<x<\infty.
\endalign
$$
\medskip
Az el\H{o}bb elv\'egzett sz\'amol\'asokb\'ol k\"ovetkezik a
k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny. \medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ekkor a $\xi+\eta$ \"osszegnek is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty
$$
f\"uggv\'eny.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy amennyiben
$f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$ integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny, de nem
tesz\"unk fel semmilyen tov\'abbi tulajdons\'agot ezekr\H{o}l a
f\"uggv\'enyekr\H{o}l, akkor sz\"uks\'egszer\'uen l\'etezik-e az
$f*g(\cdot)$ konvoluci\'o? R\"ogz\'{\i}tett $x$ sz\'amra az $f*g(x)$
sz\'amot defini\'al\'o integr\'al nem felt\'etlen\"ul l\'etezik.
Viszont a m\'ert\'ekelm\'eletben bel\'atj\'ak, hogy az olyen
kiv\'eteles pontok, melyekre ez az integr\'al nem l\'etezik kevesen
vannak, \'es a sz\'amegyenes majdnem minden pontj\'aban a
konvoluci\'ot defini\'al\'o integr\'al l\'etezik. Azokban a
konkr\'et esetekben, melyekkel tal\'alkozni fogunk ez a
probl\'ema nem mer\"ul fel. Ez\'ert azzal a k\'erd\'essel nem
foglalkozunk, csak megeml\'{\i}tj\"uk a bizony\'{\i}t\'as
r\'eszleteinek vizsg\'alata n\'elk\"ul, hogy az \'altal\'anos eset
vizsg\'alata a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelen alapul. Bel\'atj\'ak,
hogy
$$
\int_{\infty}^\infty
|f|*|g|(u)\,du=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^\infty
|f(u)||g(u)|\,du\,dv,
$$
\'es az \'altal\'anos eredm\'eny ebb\H{o}l az azonoss\'agb\'ol
\'es az integr\'alok alapvet\H{o} tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-b\'ol
k\"ovetkezik. \medskip
Ezut\'an l\'assunk n\'eh\'any p\'eld\'at a fenti eredm\'eny
alkalmaz\'as\'ara. \medskip
\item{} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
\'es $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $-\dfrac12\le
x\le\dfrac12$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk ki
$\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $g(x)=\int f(y)f(x-y)\,dy$
f\"uggv\'eny, ahol $f(x)$ a $\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez\'ert
$f(y)f(x-y)=1$, ha $-\dfrac12\le y\le\dfrac12$, \'es $-\dfrac12\le
x-y\le\dfrac12$, azaz $-\dfrac12+x\le y\le\dfrac12+x$, \'es nulla
egy\'ebk\'ent. Ez azt jelenti, hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $x$ pontban megegyezik a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]\cap \[-\dfrac12+x,\le\dfrac12+x\]$
intervallum hossz\'aval. Ha $|x|>1$, akkor a fenti metszet \"ures,
ez\'ert ebben az eset\-ben $g(x)=$. Ha $0\le x\le 1$, akkor ez a
metszet a $\[-\dfrac12+x,\dfrac12\]$ intervallum, \'es ennek hossza
$1-x$, azaz ebben az eset\-ben $g(x)=1-x$. Ha $-1\le x\le0$, akkor ez
a metszet a $\[-\dfrac12,\dfrac12+x\]$ intervallum melynek hossza
$1+x=1-|x|$, azaz $g(x)=1+x=1-|x|$ ebben az eset\-ben. Ez azt jelenti,
hogy $g(x)=1-|x|$, ha $|x|\le 1$, \'es $g(x)=0$, ha $x>1$.
\medskip
\item{} Megadunk egy m\'asik geometriai \'ervel\'esen alapul\'o
megold\'ast is, amelyik a kor\'abban t\'argyalt geometriai
\'ervel\'esen alapul. \medskip
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. De\-fi\-ni\'al\-juk a
$K=\[-\dfrac12,\dfrac12\]\times\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ n\'egyzetet,
\'es jel\"olje $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'eket, azaz a ter\"uletet
a s\'{\i}kon. Ekkor a s\'{\i}k tetsz\H{o}leges $A\subset R^2$
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara igaz az, hogy $P((\xi,\eta)\in
A)=\lambda(A\cap K)$. Speci\'alisan, $G(x)=P(\xi+\eta<x)=
\lambda(K\cap\{(u,v)\:u+v<x\})$. Ha $x\le-1$, akkor $G(x)=0$, ha
$-1\le x\le0$, akkor $G(x)$ a $\(-\frac12,-\frac12\)$,
$\(-\frac12,\frac12+x\)$ \'es $\(\frac12+x,-\frac12\)$ pontok \'altal
meghat\'arozott h\'aromsz\"og ter\"ulete $\frac12(1+x)^2$.
Hasonl\'oan, ha $x\ge1$, akkor $G(x)=1$. Ha $0\le x\le1$, akkor a
$G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny megegyezik annak a poligonnak
ter\"ulet\'evel, melyet \'ugy kapunk, hogy a $K$ n\'egyzetb\H{o}l
kihagyjuk a $\(\frac12,\frac12\)$, $\(\frac12,-\frac12+x\)$
\'es $\(-\frac12+x,\frac12\)$ pontok \'altal meghat\'arozott
h\'aromsz\"oget. Ez\'ert $G(x)=1-\frac12(1-x)^2$ ebben az eset\-ben.
A $G(x)$ f\"uggv\'enyt deriv\'alva kapjuk, hogy $g(x)=0$, ha
$|x|\le1$, $g(x)=1+x$, ha $-1\le x\le0$, \'es $g(x)=1-x$, ha $0\le
x\le1$.
 
Tekints\"unk k\'et a m\'asodik el\H{o}ad\'ason t\'argyalt feladatot,
melyet annak idej\'en geometriai meggondol\'asok alapj\'an oldottunk
meg. Megmutatjuk, hogy ezek a feladatok megoldhat\'oak a most
t\'argyalt konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel is.
\medskip
\item{a.)} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy
t\'eren egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal.
Mind a kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig
nem j\"on, akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy tal\'alkoznak?
\item{b.)} K\'et botot v\'eletlenszer\H{u}en, egyenletes
eloszl\'assal elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot
\"osszeragasztjuk. Mi az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossz\'anak az
$F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye? \medskip
\item{}{\it Az a) feladat megold\'asa.}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely azt adja
meg, hogy h\'any (0 \'es 1 k\"oz\"otti sz\'ammal kifejezhet\H{o})
\'or\'aval 8 \'ora ut\'an jelent meg a $j$-ik ember a helysz\'{\i}nen.
Ekkor $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen a $[0,1]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
Minket a $-\frac12\le \xi_1-\xi_2\le \frac 12$ esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel. Mivel
$\xi_1-\xi_2=\xi_1+(-\xi_2)=\xi_1+\bar\xi_2$-t is \'{\i}rhatunk, ahol
$\bar\xi_2=-\xi_2$, \'es $\bar\xi_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
k\"onnyen kisz\'amolhatjuk, ez\'ert a konvoluci\'or\'ol tanultak
alapj\'an ezt a feladatot meg utdjuk oldani. Az $F(u)=P(\xi_1-\xi_2<u)$
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $g(u)=f_1*f_2(u)$
konvol\'uci\'o, ahol $f_1(u)=1$, ha $0\le u\le 1$, $f_1(u)=0$,
k\"ul\"onben, $f_2(u)=1$, ha $-1\le u\le0$, $f_2(u)=0$ k\"ul\"onben.
Ekkor a minket \'erdekl\H{o} mennyis\'eg az $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\dsize\int_{-1/2}^{1/2}g(u)\,du$ integr\'al.
Tov\'abb\'a,
$$
g(x)=f_1*f_2(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(u)f_2(x-u)\,du
=\int_{-\infty}^{\infty} f(u)f(x-u)\,du, \;\; -\infty<x<\infty,
$$
ahol $f(u)=1$, ha $\frac12\le  u\le \frac12$, $f(u)=0$, ha
$u\ge\frac12$.
\item{} Az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'as\'aban l\'attuk, hogy
$g(u)=1-u$, ha $0<u<1$ $g(u)=1+u$, ha $-1<u<0$. Innen $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\dsize\int_{-1/2}^{1/2}(1-|u|)\,du=\dfrac34$.
\item{}{\it A b.) feladat megold\'asa.}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely azt
adja meg, hogy a $j$-ik bot r\"ovidebb v\'eg\'enek mi a hossza.
Ekkor $\xi_1$, \'es $\xi_2$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, melyek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az az $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny, melyre $f(x)=2$, ha $0\le x\le\frac12$, \'es $f(x)=0$
egy\'ebk\'ent. Minket a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa \'erdekel. Viszont $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=f*f(x)$, ahonnan $g(x)=2-|2-4x|$,
ha $0\le x\le 1$, $g(x)=0$ k\"ul\"onben. Ezt kiintegr\'alva megkapjuk
az eredm\'enyt, melyet a a k\"ovetkez\H{o} k\'epletek adnak meg:
$F(u)=0$, ha $u\le 0$, $F(u)=1-2u^2$, ha $0\le u\le \frac12$,
$F(u)=1-2(1-u)^2=4u-2u^2-1$, ha $\frac12\le u\le 1$. Ha $u\ge1$,
akkor $F(u)=1$.
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x>0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} \'Altal\'anosabban, legyenek $\xi_1, \dots \xi_m$
f\"ug\-get\-len exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$ param\'eterrel.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\cdots+\xi_m$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ki kell sz\'amolnunk az $f*f(x)$ illetve
$\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$ konvoluci\'okat a fenti
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mivel $f(x)=0$, ha $x\le 0$,
a konvoluci\'ot meghat\'aroz\'o integr\'alban szerepl\H{o} $f(y)f(x-y)$
integrandus nulla, ha $y\le 0$ vagy $x-y\le0$. Innen a konvoluci\'ot
defini\'al\'o integr\'al csak $x\ge0$ eset\'en lehet nulla, az $x\le0$
esetben $f(y)f(x-y)>0$ minden $y$-ra nulla, \'es $x\ge0$ eset\'en az
$f(y)f(x-y)>0$ integrandus csak $0\le y\le x$ eset\'en nem nulla.
Innen a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f_2(x)=f*f(x)$ $x<0$-ra $f_2(x)=0$,
\'es
$$
\align
f_2(x)&=f*f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda e^{-\lambda y}\lambda e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\int_0^x \lambda^2 e^{-\lambda x}\,dy=\lambda^2xe^{-\lambda x},
\quad \text{ha } x\ge0.
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha $f_m(x)=\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$
jel\"oli $\xi_1+\cdots\xi_m$  s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, akkor
$f_m(x)=0$ minden $m\ge1$ sz\'amra, ha $x<0$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
$f_m(x)=\dfrac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$.
Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni teljes
indukci\'oval azt, hogy $f_{m-1}*f(x)=f_m(x)$ a fent defini\'alt $f_m$
f\"uggv\'enyekkel. Viszont
$$
\align
f_{m-1}*f(x)&=\int_{-\infty}^\infty f_{m-1}(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda^{m-1}\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \lambda
e^{-\lambda y}e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\lambda^m e^{-\lambda x}\int_0^x
\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \,dy=e^{-\lambda
x}\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!},\quad\text{ha }x\ge0.
\endalign
$$
M\'asr\'eszt $f_m(x)=0$, ha $x\le 0$.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ L\'attuk, hogy ha az $f(x)=1$, ha $-\frac12\le
x\le \frac12$, $f(x)=0$, ha $|x|\le\frac 12$ f\"uggv\'enynek, azaz az
egyenletes eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enynek a
konvoluci\'oj\'at tekintj\"uk \"onmag\'aval, akkor a konvoluci\'o
az $f*f(x)=1-|x|$, ha $|x|\le1$, \'es $f*f(x)=0$, ha $|x|\ge1$.
Ez azt jelenti, hogy ebben a p\'eld\'aban az eredeti
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny k\'et pontban, az $x=\pm\frac12$
pontban nem folytonos, viszont ennek konvoluci\'oja \"onmag\'aval
m\'ar minden\"utt folytonos. Hasonl\'oan egy exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x>0$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ez
a f\"uggv\'eny nem folytonos az orig\'oban, viszont ennek
konvoluci\'oja \"onmag\'aval m\'ar minden\"uttt folytonos. S\H{o}t,
amennyiben e s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $m$-szeres
konvoluci\'oj\'at alkalmazzuk $m$ alkalommal, akkor az \'{\i}gy
kapott f\"uggv\'eny m\'eg s\'{\i}m\'abb, $m-1$-szer
differenci\'alhat\'o. Ezek a p\'eld\'ak azt sugallj\'ak, hogy
a konvoluci\'o oper\'ator folytonosabb\'a teszi a f\"uggv\'enyeket.
Ez az elk\'epzel\'es helyes. Nem fogjuk ezt a k\'erd\'est
r\'eszletesebben t\'argyalni, de megfogalmazunk a k\"ovetkez\H{o}
feladatban egy olyan \'all\'{\i}t\'ast, mely ilyen jelleg\H{u}
eredm\'enyt mond ki. \medskip
 
%\vfill\eject
 
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$ k\'et  f\"uggv\'eny, melyek
$k$-szor illetve $l$-szer differenci\'alhat\'o, \'es ezek a
differeni\'alh\'anyadosok szint\'en integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek.
Ekkor az $f*g(\cdot)$ konvoluci\'o $k+l$-szer differenci\'alhat\'o
f\"uggv\'eny. \medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy az el\H{o}z\H{o} feladatokban tekintett
konvoluci\'ot csak akkor hasz\-n\'al\-hat\-juk, ha olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et akarjuk ki\-sz\'a\-mol\-ni, amelyek
f\"uggetlenek. Ez az oka annak, hogy a k\"ovetkez\H{o} feladat
megold\'as\'aban nem hasz\-n\'al\-hat\-juk a konvoluci\'ot, hanem
m\'as m\'odszert kell alkalmaznunk. \medskip
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel,
azaz $F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-x}$, ha $x\ge0$, $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha
$x\le0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $G(x)$ a $\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
Ekkor a $G(x)=P(\{\oo\:\xi(\oo)+\xi^2(\oo)<x\})$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt kell kisz\'amolni az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny ismeret\'eben. Viszont, ha ismerj\"uk egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, akkor az meghat\'arozza a
$P(\oo\:\xi(\oo)\in B)$ halmazok
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et minden ,,sz\'ep", azaz Borel
m\'erhet\H{o} $B$ halmazra. Vegy\"uk \'eszre, hogy jelen feladatban
is ilyen jelleg\H{u} probl\'em\'at kell megoldani. Az ebben a
feladatban megjelen\H{o} $B$ halmaz egyszer\H{u} szerkezet\H{u},
\'es ez\'ert ez a feladat k\"onnyebben megoldhat\'o.
Tekints\"uk az $A(\oo,x)=\{\oo\:\xi(\oo)+\xi(\oo)^2<x\}$ halmazokat.
Ezek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kell kisz\'am\'{\i}tanunk. Ennek
\'erdek\'eben tekints\"uk az $B(x)=\{y\:y+y^2<x\}$ hamazt. Vegy\"uk
\'eszre, hogy $B(x)=\{y\:y_1(x)<y<y_2(x)\}$, ahol
$y_1(x)=\dfrac{-1-\sqrt{1+4x}}2$ \'es
$y_2(x)=\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2$ az $y^2+y=x$ egyenlet kisebb \'es
nagyobb megold\'asa, \'es $A(\oo,x)=\{\oo\:y_1(x)<\xi(\oo)<y_2(x)\}$.
Innen $G(x)=P\(\{\oo\:y_1(x)<\xi(\oo)<y_2(x)\}\)=F(y_2(x))-F(y_1(x))$.
Ez\'ert a $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye a $G(x)=P\(y_1(x)<\xi<y_2(x)\)=
P\(\xi<y_2(x)\)=1-e^{-y_2(x)}=1-\exp\left\{
\dfrac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$, \'es $G(x)=0$, ha
$x\le0$ f\"uggv\'eny. A $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye ennek
deriv\'altja, azaz $g(x)=0$, ha $x<0$, \'es $g(x)=
\dfrac1{\sqrt{1+4x}}\exp\left\{
\dfrac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$.
 
 
 
 
\bye
 
 
 
 
