\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat nyolcadik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002 m\'arcius 19.}
\medskip\noindent
{\it \"Osszefoglal\'o:}\/
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asf\"uggv\'enye
\'es v\'arhat\'o \'ert\'eke.} \ {\it (folytat\'as)} \medskip
 
A Lebesgue integr\'al teljes\'{\i}ti a Riemann integr\'alra
\'erv\'enyes additivit\'asi tulajdons\'ag k\"ovetkez\H{o}
term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at:
$$
\int \(c_1\xi_1(\oo)+c_2\xi_2(\oo)\)dP(\oo)=
c_1\int \xi_1(\oo)dP(\oo)+ c_2\int \xi_2(\oo)dP(\oo)
$$
minden (integr\'alhat\'o) $\xi_1$ \'es $\xi_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora \'es val\'os $c_1$, $c_2$
sz\'amra. Ennek az azonoss\'agnak a k\"ovetkezm\'enye
(val\'oj\'aban \'atfogalmaz\'asa) a k\"ovetkez\H{o} \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha k\'et $\xi_1$, $\xi_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
(melyek ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
defini\'alva) l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, $c_1$ \'es $c_2$ k\'et
val\'os sz\'am, akkor a $c_1\xi_1+c_2\xi_2$ kifejez\'esnek is l\'etezik
v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2\)= c_1E\xi_1+c_2E \xi_2.
$$
} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ez az eredm\'eny azt \'all\'{\i}tja, hogy az
\'altal\'anos esetben is \'erv\'enyes a diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o eredm\'eny,
mely v\'eletlen \"osszegek v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
additivit\'as\'at fejezi ki. Ebben az esetben sem kell megk\"ovetelni
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok (\'altal\'anos esetben m\'eg
nem t\'argyalt) f\"uggetlens\'eg\'et. A fenti eredm\'eny a v\'arhat\'o
\'ert\'eknek eredeti definici\'oj\'ab\'ol ad\'odott, mely a
v\'arhat\'o \'ert\'eket mint egy ``absztrakt" Lebesgue integr\'alt adta
meg. Sokszor hasznosabb a v\'arhat\'o \'ert\'ek eredeti
definic\'oja helyett azt a m\'ult el\H{o}ad\'ason kimondott Fontos
T\'etelnek nevezett eredm\'enyt, illetve annak
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at haszn\'alni, mely lehet\H{o}v\'e teszi
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at akkor is, ha csak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et
ismerj\"uk. M\'egis, mint a fenti eredm\'eny mutatja, n\'eha \'erdemes
az eredeti definici\'ora hivatkozni. \medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy a v\'arhat\'o \'ert\'ek (Lebesgue integr\'al
definici\'oj\'ab\'ol) k\"onnyen l\'athat\'o, hogy amennyiben egy
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora teljes\"ul a
$P(\xi(\oo)\ge0)=1$ felt\'etel, akkor $E\xi(\oo)\ge0$. Innen
k\"ovetkezik, hogy amennyiben k\'et $\xi(\oo)$ \'es $\eta(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
teljes\"ul, hogy $P(\xi(\oo)\ge\eta(\oo))\ge0$, akkor
$E\xi(\oo)\ge E\eta(\oo)$. Val\'oban, ekkor
$E\xi(\oo)-E\eta(\oo)=E\(\xi(\oo)-\eta(\oo)\)\ge0$. Ennek az
\'eszrev\'etelnek egyik k\"ovetkezm\'enye az al\'abbi Markov
egyenl\H{o}tlens\'egnek nevezett rel\'aci\'o.
\medskip\noindent
{\bf Markov egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Ha $\xi(\oo)$ nem
negat\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz
$P(\xi(\oo)\ge0)=1$, akkor
$$
P(\xi(\oo)\ge x)\le\frac{E\xi(\oo)}x \quad\text{minden $x>0$ sz\'amra.}
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o al\'abbi
$\eta(\oo)$ csonk\'{\i}tottj\'at:
$$
\eta(\oo)=\left\{
\aligned
x&\quad \text{ha }\xi(\oo)\ge x\\
0&\quad \text{ha } 0\le\xi(\oo)\le x
\endaligned\right.
$$
Ekkor $P(\xi(\oo)\ge\eta(\oo))=1$, ez\'ert $E\xi(\oo)\ge
E\eta(\oo)=xP(\xi(\oo)\ge x)=xP(\eta(\oo)\ge x)$, ahonnan
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.
\medskip
Defini\'aljuk \'altal\'anos esetben is val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sz\'or\'asn\'egyzet\'et. \medskip\noindent
{\bf Sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre $E\xi^2<\infty$.
Ekkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
$$
\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
(Ha $E\xi^2=\infty$, akkor vagy nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et, vagy
azt mondjuk, hogy $\Var\xi(\oo)=\infty$.} \medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2.
$$
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2=E\(\xi^2-2\xi E\xi+\(E\xi\)^2\)=
E\xi^2-2E\xi E\xi+\(E\xi\)^2=E\xi^2-\(E\xi\)^2.
$$
\medskip
\'Altal\'aban, a sz\'or\'asn\'egyzet tulajdons\'againak a
bizony\'{\i}t\'asa csak a v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agait
haszn\'alja. Ez\'ert a diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eset\'eben \'erv\'enyes
$$
\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi
$$
azonoss\'agot hasonl\'oan lehet bizony\'{\i}tani az \'altal\'anos
esetben. \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} \'Altal\'anos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eset\'eben is \'erv\'enyes a
$$
\inf_{-\infty<M<\infty} E(\xi-M)^2=\Var\xi
$$
azonoss\'ag.
\medskip
Megfogalmazzuk \'es bebizony\'{\i}tjuk az al\'abbi Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'egnek nevezett \'all\'{\i}t\'ast.
\medskip\noindent
{\bf Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Minden $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, melyre $E\xi^2<\infty$
$$
P(|\xi-E\xi|\ge x)\le\frac{\Var\xi}{x^2}\quad\text{minden $x\ge0$
sz\'amra.}
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}
$$
P(|\xi-E\xi|\ge x)=P((\xi-E\xi)^2\ge x^2)\le
\frac{E(\xi-E\xi)^2}{x^2}=\frac{\Var\xi}{x^2}
$$
a Markov egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg az\'ert hasznos,
mert a benne szerepl\H{o} sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet sok \'erdekes
esetben k\"onnyen kisz\'amolhat\'o. Felmer\"ulhet az a k\'erd\'es,
hogy a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg mennyire \'eles. Erre a
k\'erd\'esre k\'es\H{o}bb m\'eg visszat\'er\"unk. \medskip
 
Az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason kimondott Fontos T\'etelnek nevezett
eredm\'eny, illetve annak \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak,
illetve egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggv\'eny\'enek
a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et ki lehet sz\'am\'{\i}tani csak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek
az ismeret\'eben.
 
Gyakorlati szempontb\'ol, annak \'erdek\'eben, hogy a leggyakrabban
el\H{o}fordul\'o esetekben jobban tudjunk sz\'amolni, \'erdemes
bevezetni egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a definici\'oj\'at.
Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a probl\'em\'akban felmer\"ul\H{o} \'es
sokszor k\'e\-nyel\-met\-le\-n\"ul kezelhet\H{o} Lebesgue
integr\'alokat \'at\'{\i}rjuk mint (k\"oz\"ons\'eges) Riemann
integr\'alokat. \medskip\noindent
{\bf S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek az $f(u)$, $-\infty<u<\infty$, f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra
teljes\"ul az $$
F(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du
$$
azonoss\'ag.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ T\"obbsz\"or fogunk besz\'elni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l is. Ez azt jelenti, hogy e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et tekintj\"uk. Sok \'erdekes \'es
fontos  eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, de nem mindegyiknek. P\'eld\'aul egy
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
nincs s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik
$f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor ez teljes\'{\i}ti minden
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyre a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot:
$$
\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=
\int_{-\infty}^\infty g(u)f(u)du.
$$
Ez az azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy az azonoss\'ag k\'et
oldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es egyszerre l\'etezik vagy nem
l\'etezik, ha mind a k\'et kifejez\'est mint Lebesgue integr\'alt
\'ertelmezz\"uk. Ha a jobboldalon szerepl\H{o} integr\'al l\'etezik
mint (k\"oz\"ons\'eges) Riemann integr\'al, akkor ez az integr\'al
tekinthet\H{o} \'ugy is mint (egy a Riemann integr\'al \'ert\'ek\'evel
megegyez\H{o}) Lebesgue integr\'al. Teh\'at az azonoss\'ag ebben a
fontos speci\'alis esetben is \'erv\'enyes.} \medskip
 
Annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk, hogyan tudjuk egy
eloszl\'asf\"uggv\'eny s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
kisz\'am\'{\i}tani, id\'ezz\"uk fel a klasszikus anal\'{\i}zis egyik
alapvet\H{o} eredm\'eny\'et, a Newton--Leibniz formul\'at.
\medskip\noindent
{\bf Newton--Leibniz formula.} {\it Legyen $F(x)$ folytonos
f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ v\'eges intervallumon, mely v\'eges sok pont
kiv\'etel\'evel folytonosan deriv\'alhat\'o. Legyen
$f(u)=\left.\dfrac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ minden pontban, ahol az
$F(\cdot)$ differenci\'alhat\'o. Ekkor $F(x)-F(a)=\int_a^x f(u)\,du$
minden $a\le x\le<b$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ha a fenti felt\'etel
teljes\"ul minden v\'eges $[a,b]$ intervallumban, \'es l\'etezik a
$F(-\infty)=\limm_{x\to -\infty} F(x)$ hat\'ar\'ert\'ek, akkor
$F(x)-F(-\infty)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ minden
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra.
 
Megford\'{\i}tva, ha $f(u)$, (pontosabban annak abszolut \'ert\'eke)
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ intervallumban, \'es
$F(x)=\int_a^x f(u)\,du$, $a\le x\le b$, akkor
$f(u)=\left.\dfrac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ (majdnem) minden $a\le
u\le b$ pontban. Ha az $f(u)$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o az eg\'esz
sz\'amegyenesen, akkor a fenti \'all\'{\i}t\'as igaz $a=-\infty$
v\'alaszt\'assal is.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es 1:}\/ A Newton--Leibniz formula jelent\H{o}s\'ege
sz\'amunkra az, hogy eszerint az eredm\'eny szerint a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny (felt\'eve, hogy az l\'etezik)
egyenl\H{o} az eloszl\'asf\"uggv\'eny deriv\'altj\'aval.
Megford\'{\i}tva, a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny ismeret\'eben meg
tudjuk hat\'arozni az eloszl\'asf\"uggv\'enyt. Annak \'ert\'eke az
$x$ pontban megegyezik a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
in\-teg\-r\'al\-j\'a\-val a $[-\infty,x]$ intervallumban.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es 2:}\/ A m\'ert\'ekelm\'eletben
bebizony\'{\i}tott\'ak a Newton--Leibniz formula \'elesebb
form\'aj\'at is. Pontosan le\'{\i}rt\'ak azon f\"uggv\'enyek
oszt\'aly\'at, az \'ugynevezett abszolut foly\-to\-nos
f\"uggv\'enyeket, melyekre igaz, hogy a f\"uggv\'eny egyenl\H{o} a
deriv\'altj\'anak az integr\'alj\'aval. Az \'altalunk kimondott
eredm\'eny csak egy el\'egs\'eges felt\'etelt ad arra, hogy egy
$F(\cdot)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}tse ezt a tulajdons\'agot.
Viszont ez az eredm\'eny al\-kal\-maz\-hat\'o a gyakorlatban
el\H{o}fordul\'o feladatok majdnem mindegyik\'ere. A kimondott
t\'etelben meg\-en\-ged\-t\"uk, hogy az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny
n\'eh\'any pontban ne legyen dif\-fe\-ren\-ci\'al\-hat\'o. Ezt
az\'ert tett\"uk, hogy ne z\'arjunk ki n\'eh\'any \'erdekes esetet.
Ilyen eset p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny: $F(x)=0$, ha $x\le0$, $F(x)=x$, ha $0\le
x\le1$, \'es $F(x)=1$, ha $x\ge1$. Ennek az eloszl\'asf\"uggv\'enynek
a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny,
melyre $f(u)=1$, ha $0\le u\le1$, \'es $f(u)=0$ k\"ul\"onben. Ebben
az esetben az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny folytonosan deriv\'alhat\'o
minden\"utt, kiv\'eve az $x=0$ \'es $x=1$ pontot. \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es 3:}\/ A Newton--Leibniz formula m\'asodik
r\'esz\'eben megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as sze\-rint egy $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny integr\'alj\'anak a deriv\'altja csak {\it majdnem}\/
minden\"utt egyezik meg az eredeti $f(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel.
Val\'oban, kiss\'e \'ovatosabban kell megfogalmazni az
\'all\'{\i}t\'asokat, mert ha p\'eld\'aul egy f\"uggv\'enyt v\'eges
sok pontban megv\'altoztatunk, akkor annak integr\'alja megegyezik
az eredeti f\"uggv\'eny integr\'alj\'aval. Ez azt jelenti, hogy nem
v\'arhatjuk azt, hogy egy f\"uggv\'eny  integr\'alj\'anak a
deriv\'altja minden pontban meg\-egyez\-zen az eredeti
f\"uggv\'ennyel. Viszont ez az \'all\'{\i}t\'as igaz {\it majdnem
minden}\/ pontban. Azt, hogy mit jelent a ,,majdnem minden" kit\'etel
 pontosan elmagyar\'azz\'ak a m\'er\-t\'ek\-elm\'e\-let\-ben,
de ez nem t\'em\'aja a mostani el\H{o}ad\'asnak. \medskip
 
Az eloszl\'asf\"uggv\'enyekhez hasonl\'oan pontosan jellemezni
lehet a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket. Ezt a
jellemz\'est adja meg az al\'abbi t\'etel. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $f(\cdot)$ (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny
akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
al\-kal\-mas eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha $f(u)\ge0$ majdnem minden
$-\infty<u<\infty$ sz\'amra, \'es $\int_{-\infty}^\infty f(u)\,du=1$.}
\medskip
Ezt a t\'etelt nem neh\'ez bebizony\'{\i}tani n\'eh\'any alapvet\H{o}
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de most
elhagyjuk a bizony\'{\i}t\'ast. K\"ul\"on t\'etelben megfogalmazzuk
azt az eredm\'enyt, mely megadja, hogyan lehet kisz\'amolni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as vagy
s\H{u}r\'es\'egf\"uggv\'eny\'enek az ismeret\'eben. Ez k\"ozvetlen
k\"ovetkezm\'enye n\'eh\'any kor\'abban megfogalmazott eredm\'enynek.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Jel\"olje $F(\cdot)$ illetve $f(\cdot)$ egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as illetve
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Legyen $g(\cdot)$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen. Ekkor
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty uF(\,du)=\int_{-\infty}^\infty u f(u)\,du
$$
\'es
$$
Eg(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=\int_{-\infty}^\infty g(u)
f(u)\,du
$$
}\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $a\xi+b$ \'es $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \medskip\noindent
{\bf N\'eh\'any fontos folytonos eloszl\'as.}
\medskip\noindent
\item{a.)} {\it Norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.}
\medskip
Bevezetj\"uk a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
definici\'oj\'at. K\'es\H{o}bbi ered\-m\'e\-nyek\-b\H{o}l fog
kider\"ulni, hogy ez az eloszl\'as mi\'ert j\'atszik fontos
szerepet a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban.
\medskip\noindent
{\bf A standard norm\'alis eloszl\'as definici\'oja.} {\it
A $\Phi(x)$ standard norm\'alis eloszl\'as az az
eloszl\'as, melynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$\varphi(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}$, $-\infty<u<\infty$
f\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
E definici\'o helyess\'eg\'enek igazol\'as\'ahoz meg kell mutatni,
hogy a fent defini\'alt $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ennek \'erdek\'eben be kell
bizony\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}
$$
\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du=1.
$$
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Vezess\"uk be az
$I=\dsize\int_{-\infty}^\infty\dfrac1
{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du$ jel\"ol\'est. Ekkor
$$
\align
I^2&=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{2\pi}
e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty\dfrac1{2\pi}
re^{-r^2} \,dr\,d\varphi=\int_0^\infty re^{-r^2/2}\,dr
=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban az $I^2$ mennyis\'eget kifejez\H{o} az
$(u,v)$ t\'erben megadott kett\H{o}s integr\'alt kifejezt\"uk mint
az $(r,\varphi)$ pol\'arkoordin\'atarendszerben, $u=r\cos\varphi$,
$v=r\sin\varphi$, $0\le r<\infty$, $0\le\varphi<2\pi$, kifejezett
integr\'alt. Ezen sz\'amol\'as sor\'an felhaszn\'aljuk, hogy a
pol\'arkkoordin\'ata rendszerbe val\'o \'att\'er\'est le\'{\i}r\'o
transzform\'aci\'o Jacobianja $r$, azaz form\'alisan
$\,du\,dv=r\,dr\,d\varphi$. Ez\'ert jelenik meg egy $r$ szorz\'o az
integr\'alban a pol\'arkoordin\'atarendszerbe val\'o
\'att\'er\'eskor. Ezt az integr\'altranszform\'aci\'okr\'ol sz\'ol\'o
ered\-m\'enyt, illetve annak szeml\'eletes tartalm\'at a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben magyar\'azom el.
\medskip
Megmutatjuk, hogy egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla,
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete 1. Ez az oka, a standard jelz\H{o}nek a
standard norm\'alis eloszl\'as definici\'oj\'aban.
 
Val\'oban $E\xi=0$, mert $E\xi=\dsize\int_{-\infty}^\infty
u\dfrac1{\sqrt 2\pi}e^{-u^2/2}\,du$, \'es ez az integr\'al nulla,
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. Ezut\'an parci\'alis
in\-teg\-r\'a\-l\'as\-sal kapjuk $f(x)=x$ \'es $g(x)=
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}x e^{-x^2/2}=\dfrac d{dx}\(-\dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$ v\'alaszt\'assal, hogy
$$
E\xi^2=\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{\sqrt{2\pi}}x^2 e^{{-x^2/2}}\,dx=
\[-\dfrac x{\sqrt{2\pi}} e^{{-x^2/2}}\]_{-\infty}^\infty+\int_{-\infty}
^\infty \dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-x^2/2}}\,dx=1.
$$
Innen $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2=1$.
\medskip
{\it Feladat:}
\item{} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\medskip
A fenti feladat eredm\'enye alapj\'an egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot akkor nevez\"unk nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'unak, ha
van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
$g(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$ alakban
adhat\'o meg alkalmas $m$ \'es $\sigma>0$ sz\'amokkal.
\medskip
{\it Feladat:}
\item{} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor$E\xi^{2k-1}=0$
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\medskip\noindent
\item{b.)} {\it Egyenletes eloszl\'asf\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
{\bf Egyenletes eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egyenletes eloszl\'as\'u egy
$[a,b]$ intervallumban, $-\infty<a<b<\infty$, ha
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u)=\dfrac1{b-a}$, ha $a\le
u\le b$, \'es $f(u)=0$ egy\'ebk\'ent.} \medskip
Kisz\'am\'{\i}tjuk egy az $[a,b]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$$
E\xi=\int_a^b u\frac1{b-a}\,du=\dfrac1{b-a}\[\frac{u^2}2\]_a^b
=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} =\frac{b-a}2,
$$
$$
\align
\Var\xi&=E\(\xi-\frac{b-a}2\)^2=\int_{-\frac{b-a}2}^{\frac{b-a}2}
u^2\,du\\
&=\frac1{b-a}\[\frac{u^3}3\]_{-\frac{b-a}2}^{\frac{b-a}2}=
\frac2{3(b-a)}\(\frac{b-a}2\)^3=\frac{(b-a)^2}{12}.
\endalign
$$
 
\medskip\noindent
\item{c.)} {\it Exponenci\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
{\bf Exponenci\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o exponenci\'alis
eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, $\lambda>0$, ha
eloszl\'asf\"uggv\'enye, $F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, \'es $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha $x<0$. Ezzel ekvivalens
jellemz\'es: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda>0$
param\'eterrel, ha l\'etezik $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az $f(u)=\lambda e^{-\lambda u}$,
ha $u\ge 0$, $f(u)=0$, ha $u\le0$ alak\'u.} \medskip
Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
 
Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty u\lambda e^{-\lambda u}\,du=
\frac1\lambda\int_0^\infty u e^{-u}\,du=
\frac1\lambda\(\[-u e^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-u}\,du\)
=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty u^2\lambda e^{-\lambda
u}\,du=\frac1{\lambda^2}\(\[u^2
e^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty 2u e^{-u}\,du\)=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\dfrac2{\lambda^2}
-\dfrac1{\lambda^2}=\dfrac1{\lambda^2}$.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait. \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, hogy egy exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>x)
$$
minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$ sz\'amra.
\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
teljes\H{u}ti az \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot, akkor az
exponenci\'alis eloszl\'as\'u. \medskip
 
Ezenk\'{\i}v\"ul megbesz\'elt\"uk az \"or\"okifj\'u tulajdons\'ag
szeml\'eletes tartalm\'at. Tekints\"unk egy szem\'elyt vagy t\'argyat
melynek \'elettartama v\'eletlen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Te\-kint\-s\"uk a  $\xi+y$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o felt\'eteles eloszl\'as\'at azon felt\'etel mellett,
hogy $\xi>y$,
azaz azt milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel fog az a szem\'ely vagy
t\'argy legal\'abb m\'eg $x$ ideig \'elni, felt\'eve, hogy meg\'elte
az $y$ id\H{o}pontot. Ha ez a felt\'eteles eloszl\'as nem f\"ugg
az $y$ \'ert\'ekt\H{o}l, akkor azt mondjuk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti az
\"or\"okifj\'u tulajdons\'agot. A fenti feladatban ezt a
tulajdons\'agot fogalmaztuk meg form\'alisan.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, hogy l\'etezik olyan $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} szuper \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)>P(\xi>x)
$$
minden $x>0$ \'es $y>0$ sz\'amra.
 
\medskip\noindent
{\bf T\"obbv\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek, \'es
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege.}
\medskip\noindent
Megt\'argyaljuk az eloszl\'asf\"uggv\'eny t\"obbdimenzi\'os
v\'altozat\'at. E fogalom bevezet\'ese ut\'an lehet term\'eszetes
m\'odon defini\'alni val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'et. Az itt szerepl\H{o} fogalmak \'es
bizony\'{\i}t\'asok hasonl\'oak a kor\'abban t\'argyalt
egydimenzi\'os esethez. Ezen eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'as\'at
csak nagyon v\'azlatosan fogom ismertetni. V\'azolni fogom
azokat a m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyeket, melyeket a
bizony\'{\i}t\'asok felhaszna\'alnak. Els\H{o}sorban a fogalmak
\'es eredm\'enyek tisztess\'eges le\'{\i}r\'as\'ara fogok
t\"orekedni.
 
\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Legyen adva $k$ val\'os \'ert\'ek\H{u} $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ezek (egy\"uttes)
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k),
$$
$k$ v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, ahol $-\infty<x_j<\infty$ minden
$1\le j\le k$ indexre.}
\medskip\noindent
 
Az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'asban megfogalmaztuk az egydimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyek jel\-lem\-z\'e\-s\'et a
T\'e\-tel~A-ban \'es az azt megel\H{o}z\H{o} Lemm\'aban.
\'Erv\'enyes ezeknek az term\'eszetes t\"obb\-di\-men\-zi\'os
v\'altozata is. Annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk hogyan
sz\'olnak ezek az eredm\'enyek azt kell tiszt\'azni, hogy a
lemm\'aban szerepl\H{o} a) felt\'etelnek, amelyik az
eloszl\'asf\"uggv\'eny monoton\'{\i}t\'as\'at mondja ki, hogyan
sz\'ol a t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}je.
 
Ezt meg\'ertend\H{o} tekints\"unk egy tetsz\H{o}leges
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ alak\'u
t\'eg\-la\-tes\-tet, $-\infty<a_j<b_j<\infty$, $j=1,\dots,k$, a $k$
dimenzi\'os t\'erben. Vil\'agos, hogy tetsz\H{o}leges
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora teljes\"ul a
$$
P\((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in\bold K\)=P\(\bigcapp_{j=1}^k
\{\oo\:a_j\le \xi_j(\oo)<b_j\}\)\ge0
$$
tulajdons\'ag. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy az ilyen alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszonylag egy\-sze\-r\H{u}\-en
kifejezhet\H{o} a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
$F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es az \'{\i}gy
kapott kifejez\'es nem-negat\'{\i}v volta az el\H{o}bb
eml\'{\i}tett a) felt\'etel megfelel\H{o}je a t\"obb-dimenzi\'os
esetben.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy ezt a felt\'etelt megfogalmazzuk,  a
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast kell igazolni. Tekints\"uk egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ alak\'u t\'eglatestet,
\'es ennek cs\'ucspontjait, azaz az olyan $(u_1,\dots,u_k)$ pontokat,
melyek koordin\'at\'ai az $a_j$ vagy $b_j$ sz\'amok. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'as\'u
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor a $\bold
K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eglatestbe esik
kifejezhet\H{o} mint az $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek a
t\'eglatest cs\'ucspontjaiban felvett \'ert\'ekeinek
alkalmas line\'aris kombin\'aci\'oja. Pontosabban,
$$
P((\xi_1,\dots,\xi_k)\in\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k),
$$
ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k sz\'am\'at az
$u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny
monotonit\'as\'anak az t\"obb-dimenzi\'os esetben az felel meg, hogy
a fent fel\'{\i}rt azonoss\'ag jobb\-ol\-da\-l\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es nem-negat\'{\i}v. Az egyszer\H{u}s\'eg
ked\-v\'e\-\'ert ezt az azonoss\'agot csak $k=2$ esetben
ellen\H{o}rizz\"uk.
 
Ekkor azt kell megmutatni, hogy $P(a_1\le \xi_1<b_1, a_2\le\xi_2<b_2)
=F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)-F(a_1,b_2)+F(a_1,a_2)$. Viszont
$F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)=P(\xi_1<b_1, a_2\le \xi_2<b_2)$, \'es
$F(a_1,b_2)-F(a_1,a_2)=P(\xi_1<a_1, a_2\le \xi_2<b_2)$. Ezt a
k\'et azonoss\'agot kivonva egym\'asb\'ol kapjuk a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'ast.
 
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen egy $(\xi_1,\xi_2)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa az
$F(x_1,x_2)=P(\xi_1<x_1,\xi_2<x_2)$ f\"uggv\'eny,
$-\infty<a_1<b_1<\infty$, $-\infty<a_2<b_2<\infty$ val\'os sz\'amok.
Fejezz\"uk ki az $F(x_1,x_2)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $P(a_1\le\xi_1<b_1,a_2\le\xi_2<b_2)$,
$P(a_1\le\xi_1\le b_1,a_2\le\xi_2\le b_2)$ \'es
$P(a_1<\xi_1<b_1,a_2<\xi_2<b_2)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen az $F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k)$
f\"uggv\'eny a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Mutassuk meg, hogy
$$
I((a_j\le \xi_j<b_j,\; 1\le j\le k)=\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)} I(u_1,\dots,u_k),
$$
 minden $(a_j,b_k)$, $j=1,\dots,k$, sz\'amp\'arokra, ez\'ert a
v\'arhat\'o \'ert\'ek
additivit\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
P((a_j\le \xi_j<b_j,\; 1\le j\le k)=\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)} F(u_1,\dots,u_k).
$$
A fenti formul\'akban $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban, $I(A)$, $A\subset R^k$ pedig
egy $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'enye, azaz $I(A)(x)=1$, ha $x\in A$,
\'es $I(A)(x)=0$, ha $x\notin A$. \medskip
 
Be lehet l\'atni, hogy az el\H{o}z\'o el\H{o}ad\'ason megfogalmazott
T\'etel~A-nak \'es Lemm\'anak igaz a k\"ovetkez\H{o}
t\"obb-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}\/ {\it Egy $F(u_1,\dots,u_k)$ f\"ugg\-v\'eny
akkor \'es csak akkor eloszl\'asf\"uggv\'enye alkalmas
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
valamely $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
ha ez az $F$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
(i)---(iv) tulajdons\'agokat. \medskip
\item\item {(i)} $F(u_1,\dots,u_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak
balr\'ol folytonos f\"uggv\'enye.
\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb u_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb u_j\to-\infty \\ \text{valamely }
1\le j\le k\text{ sz\'amrra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=0$. (Ez \'ugy
\'ertend\H{o}, hogy az \"osszes $u_s$, $1\le s\le k$, $s\neq j$
koordin\'at\'at r\"ogz\'{\i}tj\"uk, \'es $u_j\to-\infty$.)
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.}
\medskip
 
A fenti t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak legnehezebb r\'esze annak
megmutat\'asa, hogy ha az $F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti az (i)--(iv) tulajdons\'agokat, akkor l\'eteznek
olyan $\xi_1$,\dots, $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
alkalmas $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
melyek (egy\"uttes) el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye az
$F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny. Ennek bizony\'{\i}t\'asa az
el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'as T\'etel~B eredm\'eny\'enek
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as\'an alapul: \medskip\noindent
{\bf Az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'as T\'etel B eredm\'eny\'enek
\'altal\'anosit\'asa.} {\it Legyen $F(x_1,\dots,x_k)$ olyan $k$
v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, amelyik teljes\'{\i}ti az (i)--(iv)
tulajdons\'agokat. Ekkor l\'etezik \'es egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozott egy olyan $\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'ek az $R^k$
$k$-dimenzi\'os t\'er Borel m\'erhet\'o halmazainak $\Cal B^k$
$\sigma$-algebr\'aj\'an, amelyik nem negat\'{\i}v $\sigma$-additiv
halmazf\"uggv\'eny ezen a $\sigma$-algebr\'an, $\mu_F(R^k)=1$,
\'es
$$
\mu_F(\{u_1,\dots,u_k\}\:u_j<x_j,\,1\le j\le k\})=F(x_1,\dots,x_k)
$$
minden $x_1,\dots,x_k$ val\'os sz\'amra.}
\medskip
E t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
konstru\'alhatunk $F(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Legyen
$(\Omega,\Cal A,P)=(R^k,\Cal B^k,\mu_F)$, ahol $\Cal B^k$ jel\"oli
a Borel $\sigma$-algebr\'at az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'erben, \'es
$\mu_F$ az el\H{o}z\H{o} t\'etelben jellemzett az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott Stieltjes m\'ert\'ek.
Ebben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben az $(x_1,\dots,x_k)\in
R^k$ pontok alkotj\'ak az $\oo$ elemi
esem\'enyeket. A $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat a k\"ovetkez\H{o} m\'odon defini\'aljuk. Legyen
$\xi_j(x_1,\dots,x_k)=x_j$, $1\le j\le k$. Ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'asa az
$F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny. \medskip
\'Erv\'enyes tov\'abb\'a az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason
megfogalmazott eredm\'enyek k\"ovetkez\H{o} t\"obb\-di\-men\-zi\'os
v\'altozata, mely lehet\H{o}v\'e teszi azt, hogy kisz\'am\'{\i}tsuk
v\'eletlen vektorok f\"ugg\-v\'e\-nyei\-nek a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyeknek
$F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_k(\oo)<x_k)$,
az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Legyen $g(x_1,\dots,x_k)$
tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny,
\'es defini\'aljuk az $\eta(\oo)=g(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor
$$
E\eta(\oo)=Eg(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))=\int  g(x_1,\dots,x_k)
\mu_F(\,dx_1,\dots,\,dx_k),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ f\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott $\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'ek
szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$$
\int |g(x_1,\dots,x_k)| \mu_F(\,dx_1,\dots,\,dx_k)<\infty.
$$
Ellenkez\H{o} esetben az $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem
defini\'altuk.} \medskip
 
Az egy-dimenzi\'os esethez hasonl\'on a t\"obb-dimenzi\'os esetben is
\'erdemes bevezetni eloszl\'asf\"uggv\'enyek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek a fogalm\'at. Amennyiben valamely
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy\"uttes
eloszl\'as\'anak van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok valamely f\"uggv\'eny\'enek
a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et ki lehet sz\'amolni ezen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny szerinti alkalmas integr\'al
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az \'{\i}gy kapott formula \'altal\'aban
jobban hasz\-n\'al\-ha\-t\'o konkr\'et feladatokban mint az
eloszl\'asok szerinti integr\'al. Megadom a t\"obb-dimenzi\'os
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oj\'at \'es az el\H{o}bb
jelzett eredm\'eny pontos megfogalmaz\'as\'at. \medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek definici\'oja.}
{\it Azt mondjuk, hogy egy $F(x_1,\dots,x_k)$ t\"obbv\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik $f(u_1,\dots,u_k)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, ha teljes\"ul az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots \int_{-\infty}^{x_k}
f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots du_k
$$
azonoss\'ag minden
$-\infty<x_j<\infty$, $1\le j\le k$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek l\'etezik
$f(u_1,\dots,u_k)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor ez
teljes\'{\i}ti minden $g(\cdot)$ $k$-v\'altoz\'os (m\'erhet\H{o})
f\"ugg\-v\'eny\-re a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot:
$$
\align
Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)&=\int g(u_1,\dots,u_k)\mu_F(\,du_1,\dots,\,du_k)\\
&=\int_{-\infty}^\infty\cdots \int_{-\infty}^\infty
g(u_1,\dots,u_k)f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k,
\endalign
$$
ahol $\mu_F$ jel\"oli az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal
meghat\'arozott Stieltjes m\'ert\'eket.  Ez az azo\-nos\-s\'ag
\'ugy \'ertend\H{o}, hogy az annak k\'et oldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es egyszerre l\'etezik vagy nem l\'etezik, ha mind a k\'et
kifejez\'est mint Lebesgue integr\'alt \'ertelmezz\"uk. Ha a
jobb\-olda\-lon szerepl\H{o} integr\'al l\'etezik mint
(k\"oz\"ons\'eges) Riemann integr\'al, akkor ez az integr\'al
tekinthet\H{o} \'ugy is mint (egy a Riemann integr\'al
\'ert\'ek\'evel megegyez\H{o}) Lebesgue integr\'al. Teh\'at az
azonoss\'ag ebben a fontos speci\'alis esetben is \'erv\'enyes.}
\medskip
Az egydimenzi\'os esethez hasonl\'oan a t\"obbdimenzi\'os s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyeket is
lehet jellemezni. Igaz a k\"ovetkez\H{o} t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $k$-v\'altoz\'os $f(u_1,\dots,u_k)$
f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
alkalmas $k$-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha
$f(u_1,\dots,u_k)\ge0$ majdnem minden $(u_1,\dots,u_k)$ pontban, \'es
$$
\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(u_1,\dots,u_k)
\,du_1 \dots\,du_k=1.
$$
}
\medskip
\centerline{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es}
\medskip
A norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny kiintegr\'al\'as\'aban
($-\infty$-t\H{o}l $\infty$-ig) a klasszikus anal\'{\i}zis k\'et
fontos eredm\'eny\'et haszn\'altuk fel. Ezek egyike arr\'ol sz\'ol,
hogyan lehet k\'et egy\-v\'al\-to\-z\'os integr\'al szorzat\'at egy
k\'etv\'altoz\'os integr\'alk\'ent fel\'{\i}rni, a m\'asik pedig
arr\'ol, hogyan lehet koordin\'atatranszform\'aci\'okat alkalmazni
t\"obbv\'altoz\'os integr\'alokban. Ez ut\'obbi eredm\'eny az
$\dsize\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du=\int_a^b f(g(u))g'(u)\,du$
azonoss\'ag t\"obb-dimenzi\'os meg\-fele\-l\H{o}\-je.
 
Az els\H{o} eml\'{\i}tett eredm\'eny arr\'ol sz\'ol, hogy k\'et
egyv\'altoz\'os integr\'al szorzata fel\-\'{\i}r\-ha\-t\'o, mint
alkalmas k\'etv\'altoz\'os integr\'al. Pontosabban, ha $f(x)$,
$g(x)$ k\'et egyv\'altoz\'os f\"ugg\-v\'eny valamely $[a,b]$ illetve
$[c,d]$ intervallumon, $-\infty\le a<b\le\infty$, $-\infty\le c<d\le
\infty$ akkor $\dsize\int_a^b f(x)\,dx\int_c^d
g(x)\,dx=\int\int_{[a,b]\times[c,d]} f(x)g(y)\,dx\,dy$.
\'Altal\'anosabban, ha $f(x,y)$ k\'etv\'altoz\'os f\"uggv\'eny az
$[a,b]\times [c,d]$ t\'eglalapon, akkor $\dsize\int_a^b\(\int_c^d
f(x,y)\,dy\)\,dx=\int\int_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,dx\,dy$. Ebben az
azonoss\'agban a baloldalon egyv\'altoz\'os in\-teg\-r\'a\-lok
szukcessz\'{\i}v alkalmaz\'asa szerepel, a jobb-oldalon pedig
k\'etv\'altoz\'os integr\'al. Em\-l\'e\-kez\-te\-t\H{o}\-\"ul
felid\'ezem, hogy a t\"obbv\'altoz\'os Riemann integr\'alokat az
egyv\'altoz\'os integr\'alokhoz hasonl\'oan defini\'alhatjuk.
Nevezetesen, adva egy sz\'ep $A\subset R^k$ halmaz, \'es azon egy
$f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny, akkor az $\dsize\int_A
f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k$ integr\'al de\-fi\-nic\'o\-ja
\'er\-de\-k\'e\-ben \'all\'{\i}tsuk el\H{o} az $A$ halmazt
kis \'atm\'er\H{o}j\H{u} $K_j$, $\bigcupp K_j=A$, halmazok
partici\'ojak\'ent, \'es \'{\i}rjuk fel a defini\'aland\'o integr\'al
$\sum f(u_1^{(j)},\dots,u_k^{(j)})\text{Vol}\, (K_j)$
in\-teg\-r\'al--k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\H{o} \"ossze\-geit, ahol
$\text{Vol}\,(K_j)$ a $K_j$ halmaz t\'erfogat\'at jel\"oli. Az
integr\'alt ilyen integr\'al-k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek
limeszek\'ent defini\'aljuk, ha a $K_j$ halmazok \'atm\'er\H{o}ienek
a szupr\'emuma null\'ahoz tart.
 
A t\"obbv\'altoz\'os integr\'al definici\'oja hasonl\'o az
egyv\'altoz\'os integr\'al\'ehoz. Egy apr\'o k\"ul\"onbs\'eg van,
amelyikre tal\'an \'erdemes felh\'{\i}vni a figyelmet. A
$\text{Vol}\,(K_j)$ t\'erfogatot \'es nem el\H{o}jeles t\'erfogatot
jel\"ol. Az egyv\'altoz\'os integr\'alokkal akkor lesz teljes az
anal\'ogia, ha az $\int_a^b f(x)\,dx$ integr\'alokat csak $a<b$
esetben defini\'aljuk. Megjegyzem, hogy az id\'ezett eredm\'eny
nemcsak Riemann, hanem \'altal\'anosabb Lebesgue integr\'alokra is
\'er\-v\'e\-nyes. Ezt az anal\'{\i}zisban nagyon fontos eredm\'enyt
Fubini t\'etelnek h\'{\i}vj\'ak.
\medskip
Sz\"uks\'eg\"unk van m\'eg a k\"ovetkez\H{o} probl\'ema
megold\'as\'ara. Ha adva van az $n$-dimenzi\'os t\'er egy $A$
tartom\'any\'anak sz\'ep, s\'{\i}ma \'es invert\'alhat\'o
$y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$, lek\'epez\'ese az
$n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$ tartom\'any\'aba valamint egy
$\int_B f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n$ alak\'u integr\'al a $B$
tartom\'anyon, hogyan tudjuk ezt \'at\'{\i}rni \'es kisz\'am\'{\i}tani,
mint egy alkalmas az $A$ tartom\'anyon \'ertelmezett f\"uggv\'eny
integr\'aljat? Minket speci\'alisan az $n=2$ eset fog k\"ul\"on\"osen
\'erdekelni, amikor $A=(-\pi,\pi]\times (0,\infty)$, \'es ha
$(x_1,x_2)=(r,\varphi)\in A$, akkor $y_1=T_1(x_1,x_2)=x_1\cos
x_2=r\cos\varphi$, $y_2=x_1\sin x_2=T_2(x_1,x_2)=r\sin\varphi$, \'es
$B=[-\infty,\infty]\times [-\infty,\infty]\setminus\{(0,0)\}$. Azaz a
pol\'ar-koordin\'atarendszerre val\'o \'att\'er\'est vizsg\'aljuk a
s\'{\i}kon.
%transzform\'aci\'ot alkalmazzuk,
%$A=[-\infty,\infty]\times [-\infty,\infty]$ eset fog \'erdekelni,
%amikor pol\'ar--koordin\'atarendszerre t\'er\"unk \'at, azaz az
%$(y_1,y_2)=(r,\varphi)$ transzform\'aci\'ot alkalmazzuk,
%melyet az $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$ k\'epletek adnak meg. Ezt
%\'ugy is \'{\i}rhatjuk, hogy $r=T_1(x_1,x_2)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$,
%$\varphi=T_2(x_1,x_2)$ pedig az az egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott
%$-\pi<\varphi\le \pi$ sz\"og, melyre $\cos\varphi=\frac{x_1}r$ \'es
%$\sin\varphi=\frac{x_2}r$. Ekkor a $B=\{(r,\varphi)\:
%0<r<\infty,\, -\pi<\varphi\le\pi\}$ esetet tekintj\"uk, \'es a
%$(T_1,T_2$ transzform\'aci\'o az $A$ \'es $B$ halmaz k\"oz\"otti
%k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} lek\'epez\'es. (Pontosabban, az
%$A$ halmazb\'ol ki kell hagyni a $(0,0)$ orig\'ot, de ez nem
%befoly\'asolja a vizsg\'aland\'o integr\'al \'ert\'ek\'et.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy a sz\'amunkra \'erdekes eredm\'enyt
meg tudjuk fogalmazni el\H{o}sz\"or felid\'ezz\"uk egy s\'{\i}ma
transzform\'aci\'o Jacobian-j\'anak a
definici\'oj\'at. \medskip\noindent
{\bf Jacobian definici\'oja.} {\it Legyen $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$,
$1\le k\le n$, az $n$-dimenzi\'os t\'er egy tartom\'any\'anak s\'{\i}ma
transzform\'aci\'oja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik
tartom\'any\'aba.  Vezess\"uk be a $\bold T=(T_1,\dots,T_n)$
jel\"ol\'est. A $\bold T$ transzform\'aci\'o $\Cal J(\bold
T(x_1,\dots,x_n))$ Jaco\-bian-ja  egy $(x_1,\dots,x_n)$ pontban a
$$
\(\dfrac {\partial T_k(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_l}\),
\quad 1\le l,k\le n,
$$
$n\times n$-es (az $(x_1,\dots,x_n)$ pontban vett deriv\'alt) m\'atrix
determin\'ans\'anak az abszolut \'ert\'eke.
 
(A Jacobian szeml\'eletes tartalma: Ez adja meg, hogy az
$(x_1,\dots,x_n)$ pont kis k\"ornyezet\'enek a t\'erfogat\'at a
$\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara
nagy\'{\i}tja ki. Ezt k\'es\H{o}bb r\'eszletesebben elmagyar\'azzuk.)}
\medskip\noindent
{\bf Integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o t\'etel.}
{\it Legyen adva az $n$-di\-men\-zi\'os t\'er egy $A$
tartom\'any\'anak egy s\'{\i}ma $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le
n$, transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba, amelyik invert\'alhat\'o, azaz az
$y_k=T_j(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$, egyenletrendszernek egyetlen
$(x_1,\dots,x_n)\in A$ megold\'asa van minden $(y_1,\dots,y_n)\in B$
pontra. Legyen tov\'abb\'a adva az $A$ tartom\'anyon egy
(integr\'alhat\'o) $f(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggv\'eny. Ekkor
$$
\align
\int _B &f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n \\
&\qquad =\int_A f(T_1(x_1,\dots,x_n),\dots,T_n(x_1,\dots,x_n))
\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))\,dx_1\dots\,dx_n,
\endalign
$$
ahol $\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))$ jel\"oli a $\bold
T(x_1,\dots,x_n)$ lek\'epez\'es Jacobianj\'at.}\medskip
 
Tekints\"uk az $x=r\cos\varphi$ \'es $y=r\sin\varphi$ k\'epletekkel
megadott pol\'ar koordin\'akra val\'o \'att\'er\'est, azaz azt, hogy egy
s\'{\i}kon adott f\"uggv\'eny integr\'alj\'at hogyan \'{\i}rhatjuk \'at
pol\'ar-koordin\'atarendszerben egy a
az $A=\{(r,\varphi)\:r>0,-\pi<\varphi\le\pi\}$ tartom\'anyon defini\'alt
f\"uggv\'eny integr\'alj\'av\'a az el\H{o}z\H{o} t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
Sz\'amoljuk ki a tekintett lek\'epez\'es Jacobianj\'at.
Egyszer\H{u} sz\'amol\'as adja, hogy $\dfrac{\partial
x}{\partial r}=\cos\varphi$, $\dfrac{\partial x}{\partial\varphi}=
-r\sin\varphi$, $\dfrac{\partial y}{\partial r}=\sin\varphi$,
$\dfrac{\partial y}{\partial \varphi}=r\cos\varphi$, ez\'ert a
Jacobian \'ert\'eke
$$
\Cal J(r\cos\varphi,r\sin\varphi)= \left|  \det\left|
\aligned
&\cos\varphi,\,-r\sin\varphi \\
&\sin\varphi,\;\;\,r\cos\varphi
\endaligned
\right|\,\right|=r(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r,
$$
ahonnan
$$
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,dx\,dy=
\int_{-\pi}^\pi\int_0^\infty rf(r\cos\varphi,r\sin\varphi)
\,dr\,d\varphi.
$$
 
\'Erts\"uk meg a fent kimondott t\'etelt. Ennek \'erdek\'eben
tekints\"uk egy $A$ $n\times n$ m\'eret\H{u} $A=\(a_{j,l}\)$, $1\le
j,l\le n$, alak\'u m\'atrix $\det A$ determin\'ans\'at. Ennek a
determin\'ansnak a k\"ovetkez\H{o} szeml\'eletes jelent\'ese van:
Vegy\"uk az $A$ m\'atrix $a^{(j)}=\(a_{j,1},\dots,a_{j,n}\)$
sorait, $1\le j\le n$, mint vektorokat az $n$-dimenzi\'os t\'erben.
Ekkor $\det A$ megegyezik az $a^{(j)}$, $1\le j\le n$, vektorok
\'altal kifesz\'{\i}tett parallelepipedon el\H{o}jeles
t\'erfogat\'aval. Az $A$ m\'atrix sorvektorai \'altal
kifesz\'{\i}tett pa\-rallelepipedon az $n$-dimenzi\'os egys\'egkocka
k\'epe, ha az $A$ m\'atrix \'altal meghat\'arozott line\'aris
transzform\'aci\'ot alkalmazzuk. Ez\'ert ezen eredm\'eny szerint a
$\det A$ geometriai tartalma azt fejezi ki, hogy az $A$ m\'atrix
h\'anyszoros\'ara nagy\'{\i}tja egy $n$-dimenzi\'os vektorok \'altal
kifesz\'{\i}tett parallelepipedon el\H{o}jeles t\'erfogat\'at.
Ennek a geo\-met\-riai t\'enynek fontos k\"ovetkezm\'enyei
vannak.
Ez \'all az el\H{o}bb t\'argyalt eredm\'eny h\'atter\'eben is.
 
Tekints\"uk ugyanis a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag k\'et oldal\'an
szerepl\H{o} integr\'al egy-egy integr\'alk\"ozel\'{\i}t\'es\'et. Ennek
\'erdek\'eben tekints\"uk az $A$ halmaznak egy kis \'atm\'er\H{o}j\H{u}
$K_j$, $j=1,2,\dots$, halmazokb\'ol \'all\'o $\bigcupp K_j=A$
partici\'oj\'at valamint minden $K_j$ halmazban egy
$\xi^{(j)}=\(\xi_1^{(j)},\dots,\xi_n^{(j)}\)\in K_j$ pontot. Legyen
tov\'abb\'a $\bar K_j=\bold T (K_j)$ a $K_j$ halmaz,
$\eta^{(j)}=\(\eta_1^{(j)},\dots,\eta_n^{(j)}\)\in \bar K_j$ pedig az
$\xi^{(j)}$ pont k\'epe a $\bold T$ transzform\'aci\'o
hat\'as\'ara. Ekkor a baloldali integr\'alnak j\'o k\"ozel\'{\i}t\'ese
a $\summ_j f(\bold T\xi^{(j)})\Cal J(\xi^{(j)})\text{Vol}\,(K_j)=
\summ_j f(\eta^{(j)})\Cal J(\xi^{(j)})\text{Vol}\,(K_j)$, a jobboldali
integr\'alnak pedig a $\summ_j f(\eta^{(j)}) \text{Vol}\,(\bar K_j)$
\"osszeg, ahol $\text{Vol}\,(K)$ a $K$ halmaz t\'erfogat\'at jel\"oli.
Ahhoz, hogy l\'assuk, hogy ez a k\'et integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o}
\"osszeg k\"ozel van egym\'ashoz azt kell meg\'erten\"unk, hogy
$J(\xi^{(j)})\text{Vol}\,(K_j)\sim\text{Vol}\,(\bar K_j)$. Ez ut\'obbi
\'all\'{\i}t\'ast viszont a m\'atrixok determin\'ans\'ar\'ol mondottak
tulajdons\'aga, illetve a $\bold T$ transzform\'aci\'onak a $\xi^{(j)}$
pontok k\"or\"oli term\'eszetes lineariz\'aci\'oja
seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet l\'atni.
 
Ugyanis, ha tekintj\"uk a $\bold T$ transzorm\'aci\'oj\'at a
$\xi^{(j)}$ pont kis k\"ornyezet\'eben, \'es ott vessz\"uk ennek
k\"ozel\'{\i}t\'es\'et a $\xi^{(j)}$ pont k\"or\"uli Taylor sor\'aval
az els\H{o} tagig, akkor l\'athatjuk, hogy mi\'ert
\'erv\'enyes a megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as. Ez a
l\'{\i}neariz\'alt transzform\'aci\'o a $\xi^{(j)}$ pont kis
k\"ornyezet\'et alkot\'o $K_j$ halmazt k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg az
$\eta^{(j)}$ kis k\"ornyezet\'et alkot\'o $\bold K_j$ halmazba viszi.
Ez a transzform\'aci\'o viszont egy halmaz t\'erfogat\'at a $\bold T$
transzform\'aci\'o $\xi^{(j)}$-beli deriv\'alt m\'atrix\'anak a
determin\'ans\'aval, azaz az $J(\xi^{(j)})$ sz\'ammal szorozza meg.
Innen k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as.
 
 
\bye
 
 
Ez az eredm\'eny magyar\'azza meg a $\det(AB)=\det A \det B$
azonoss\'ag ok\'at \'es szeml\'eletes tartalm\'at. Nevezetesen,
$\det(AB)$ azt m\'eri, hogy h\'anyszoros\'ara nagy\'{\i}tja az
el\H{o}jeles t\'erfogatot az $A$ \'es $B$ line\'aris
transz\-for\-m\'a\-ci\'ok egym\'as ut\'ani alkalmaz\'asa, m\'{\i}g az
azonoss\'ag jobboldala azt m\'eri, hogy az egyes $A$ \'es $B$
transzform\'aci\'ok k\"ul\"on-k\"ul\"on h\'anyszorosra
nagy\'{\i}tj\'ak az el\H{o}jeles t\'erfogatot. S\H{o}t,
ennek a geo\-met\-riai k\'epnek m\'as sz\'amunkra fontos
k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye is van.
 
