A Valószínűségszámítás I. előadássorozat hetedik előadása. 2002 március 12.

Összefoglaló:

A Poisson eloszlás (folytatás)

Láttuk az előző előadáson, hogy amennyiben az S_{n} valószínűségi változók, n = 1, 2, …, binomiális eloszlásúak n és p_{n} paraméterekkel, azaz S_{n} eloszlása megegyezik

egy ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}^{(n)} összeg eloszlásával, ahol a ξ_{j}^{(n)} valószínűségi változók függetlenek, és

P (ξ_{j}^{(n)} = 1) = 1 − P (ξ_{j}^{(n)} = 0) = p_{n}, 1 ≤ j ≤ n,

továbbá lim_{n→∞} np_{n} = λ valamely λ > 0 számmal, akkor lim_{n→∞} P (S_{n} = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} minden k egész számra.

Jegyezzük meg továbbá, hogy szintén következik az előző előadás eredményeiből, hogy amennyiben olyan T_{n}, n = 1, 2, …, véletlen összegeket tekintünk, melyek T_{n} =

∑_{j=1}^{n} η_{j}^{(n)} alakban írhatók, ahol rögzített n számra az η_{j}^{(n)} valószínűségi változók függet-

lenek, és Poisson eloszlásúak \frac{λ_{n}}{n} paraméterrel, és lim_{n→∞} λ_{n} = λ > 0, akkor lim_{n→∞} P (T_{n} =

k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} minden k egész számra. Ekkor ugyanis T_{n} Poisson eloszlású λ_{n} paraméterrel.

Belátunk egy eredményt, melynek a fent tekintett két példa speciális esete. Azután megtárgyaljuk egy példán keresztül, hogy ez az eredmény magyarázatot ad arra, hogy miért fontos a Poisson eloszlás, miért tételezhetjük fel, hogy bizonyos véletlen jelenségeket Poisson eloszlású valószínűségi változók írnak le.

Tétel. Legyenek minden rögzített n = 1, 2, … számra ξ_{1}^{(n)}, …, ξ_{n}^{(n)} független egyforma eloszlású, nem negatív egész értékeket felvevő valószínűségi változók, melyek teljesítik a következő feltételeket:

a) lim_{n→∞} nP (ξ_{1}^{(n)} = 1) = λ > 0.

b) lim_{n→∞} nP (ξ_{1}^{(n)} ≥ 2) = 0.

Ekkor az S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}^{(n)}, n = 1, 2, …, véletlen összegekre teljesül a

lim_{n→∞} P (S_{n} = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}

reláció minden k nem negatív egész számra.

Megjegyzés: Érvényes e tétel állításának általánosítása megfelelő feltételek mellett független nem negatív egész értékű, de nem feltétlenül azonos eloszlású valószínűségi változók összegére is. Egy ilyen állítást, melyet a fent megfogalmazott tételhez hasonlóan lehet bizonyítani, nem kötelező házi feladat formájában megfogalmazok.

A tétel bizonyításának vázlata: Tekintsük az S_{n} valószínűségi változók

G_{n}(x) = ∑_{j=0}^{∞} P (S_{n} = j)x^{j}, n = 1, 2, …,

generátorfüggvényeit. Elég belátni, hogy lim_{n→∞} G_{n}(x) = G(x) valamilyen −A < x <

A, A > 0, intervallumban, ahol G(x) = e^{λ(x−1)} a λ paraméterű Poisson eloszlás generátorfüggvénye. Ugyanis, mivel hatványsorok konvergenciája esetében szabad ta-

gonként deriválni, ezért teljesül a lim_{n→∞} \frac{d^{k}G_{n}(x)}{dx^{k}} |_{x=0} = \frac{dG^{k}(x)}{dx^{k}} |_{x=0} reláció minden

k = 0, 1, 2, … számra. Azaz k! lim_{n→∞} P (S_{n} = k) = k!\frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} minden k = 0, 1, … számra. Ennek a bizonyítandó relációnak az érvényességét a következő észrevétel segítségével bizonyíthatjuk:

Legyen g_{n}(x) = ∑_{j=0}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j)x^{j}, a ξ_{1}^{(n)} valószínűségi változó generátorfüggvénye.

Ekkor a Tétel feltételei miatt G_{n}(x) = g_{n}^{n}(x) minden x számra. Ezért logaritmust véve a bizonyítandó relációban elég megmutatni azt, hogy lim_{n→∞} n log g_{n}(x) = λ(x − 1).

Továbbá, mivel P (ξ_{1}^{(n)} = 0) = 1 − P (ξ_{1}^{(n)} = 1) − ∑_{j=2}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j), ezért g_{n}(x) =

1 + P (ξ_{1}^{(n)} = 1) (x − 1) + ∑_{j=2}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j) (x^{j} − 1). Ezért az a) és b) feltételek miatt

azt várjuk, hogy a g_{n}(x) ∼ 1+ \frac{λ}{n} (x − 1) jó közelítés. Mivel log(1+u) ∼ u kis u számokra

ezért természetes azt várni, hogy log g_{n}(x) ∼ \frac{λ}{n} (x − 1) jó közelítés, és lim_{n→∞} log g_{n}(x) = λ (x − 1), ahonnan következik a Tétel állítása. A Tétel bizonyítása a fenti közelítések jogosságának ellenörzéséből áll.

A Tétel bizonyításának befejezése. Vegyük észre, hogy minden ε > 0 számra létezik

olyan n_{0} = n_{0}(ε) küszöbindex, melyre |g_{n}(x) − (1 + \frac{λ}{n}(x − 1))| < \frac{ε}{n}, ha n ≥ n_{0}

és |x| < 1. Valóban a g_{n}(x) = 1 + P (ξ_{1}^{(n)} = 1) (x − 1) + ∑_{j=2}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j) (x^{j} − 1)

azonosság teljesül. Ezenkívül a b) relációból következik, hogy

|∑_{j=2}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j) (x^{j} − 1)| ≤ 2 ∑_{j=2}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j) = 2P (ξ_{1}^{(n)} ≥ 2) ≤ \frac{ε}{2n},

és az a) relációból pedig az, hogy |P (ξ_{1}^{(n)} = 1) (x − 1) − \frac{λ}{n}(x − 1)| < \frac{ε}{2n}, ha n ≥ n_{0}

és |x| < 1. Ezért igaz a fenti azonosság.

Továbbá, mivel mint azt például a log(1 + x) függvény Taylor sorfejtéséből lehet

látni, | log(1 + u) − u| < u^{2}, ha |u| < \frac{1}{2}, ezért a fenti egyenlőtlenségből u = g_{n}(x) − 1

választással kapjuk, hogy |log g_{n}(x) − (g_{n}(x) − 1)| < \frac{2ε}{n}, és |log g_{n}(x) − \frac{λ(x − 1)}{n}| <

\frac{3ε}{n}, ha n ≥ n_{1}, és |x| ≤ 1 alkalmas n_{1} = n_{1}(ε) küszöbindexre. Mivel ez az állítás igaz

minden ε > 0 számra, ezért lim_{n→∞} n log g_{n}(x) = λ(x − 1), lim_{n→∞} g_{n}(x)^{n} = e^{λ(x−1)}, ha x < 1. Viszont láttuk, hogy innen következik a Tétel állítása.

Nem kötelező házi feladat.

Legyen

ξ_{1,1} …, ξ_{1,n_{1}}
⋮  ⋮
ξ_{k,1} …, ξ_{k,n_{k}}
⋮  ⋮

szériasorozat, azaz tegyük fel, hogy az egy sorban álló valószínűségi változók függetlenek. Tegyük fel továbbá, hogy e valószínűségi változók teljesítik a következő feltételeket:

1.) A ξ_{k,j} valószínűségi változók nem negatív egész értékeket vesznek fel.

2.) P (ξ_{k,j} = 1) = λ_{k,j}, lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j} = λ > 0.

3.) sup_{1≤j≤n_{k}} λ_{k,j} → 0, ha k → ∞, és ∑_{j=1}^{n_{k}} P (ξ_{k,j} ≥ 2) → 0, ha k → ∞.

Ekkor az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a λ para-

méterű Poisson eloszláshoz, ha k → ∞, azaz lim_{k→∞} P (S_{k} = l) = \frac{λ^{l}}{l!} e^{−λ} minden l = 0, 1, 2, … számra.

A Tétel szemléletes tartalma: Tekintsük például a csillaghullást. Arra vagyunk kiváncsiak, hogy amennyiben egy éjszaka azt figyeljük, hány hullócsillagot látunk egy adott időintervallumban, (mondjuk egy óra alatt), akkor a lehullott csillagok (véletlen száma) milyen valószínűségi törvényeknek tesz eleget. Osszuk fel az egy óra időintervallumot rövid ΔT hosszúságú időintervallumokra. Akkor a lehullott csillagok száma e rövid ΔT időintervallumokban lehullott csillagok összege. Ezenkívül feltehetjük, hogy diszjunkt időintervallumokban lehullott csillagok száma egymástól független, és a különböző rövid intervallumokban lehulló csillagok száma hasonló valószínűségi törvényeknek tesz eleget.

Annak valószínűsége, hogy egy csillag egy rövid időintervallumban lehullik nagyon kicsi, és arányos az időintervallum hosszával. Annak valószínűsége, hogy egy kis időintervallumban kettő vagy még több csillag hullik, még ehhez képest is elhanyagolható. Ez azt jelenti, hogy természetes feltenni, hogy teljesülnek az előbb megfogalmazott tétel feltételei. Ezért az alkalmazható, és egy adott időintervallumban lehullott csillagok száma Poisson eloszlású. Hasonló érvelés alkalmazható sok más hasonló esetben, és ez magyarázza meg, miért különösen fontos a Poisson eloszlás.

Egy a hipergeometrikus eloszlással kapcsolatos statisztikai problémáról.

Tekintsük először a következő problémát:

Feladat:

Egy tóban 3000 hal van. Véletlenül kihalásznak belőle 1000 darabot, és ezekre piros pöttyöt festenek és visszaengedik őket. Ezután ismét kifognak véletlenül 1000 halat. Mi annak a valószínűsége, hogy a kifogott halak között 100 megfestett van? Megjegyzés: A gyakorlatban előforduló kérdés ennek fordítottja. Elvégezzük a fenti kisérletet, összeszámláljuk a megfestett halakat, és ebből próbálunk következtetni a tóban levő halak számára. Hogyan érdemes ezt csinálni?

Ezt a problémát érdemes részletesebben megtárgyalni. Valójában, nem tudjuk, hogy hány hal van a tóban. De ennek megbecslése érdekében a következő eljárást alkalmazhatjuk:

Végezzünk két fogást, az első fogásban kifogott halakat jelöljuk meg. Ezután meg akarjuk állapítani mennyi hal lehet összesen a tóban. Ezt természetesen csak bizonyos (véletlentől függő) pontossággal tudjuk meghatározni. Az ilyen tipusú feladatok tipikusak a matematikai statisztikában, az ilyen problémák vizsgálatát nevezik becsléseleméletnek. Világos, hogy az, hogy 1000-nél alig több hal van, nem túl valószínű, mert akkor sokkal több megjelölt hal lenne a második fogásban. Az hogy rengeteg, mondjuk 1 000 000 hal lenne a tóban szintén nem túl valószínű, mert akkor sokkal kevesebb megjelölt hal lenne a második fogásban. A matematikai statisztikában kidolgoztak egy általános elvet, a maximum likelihood módszernek nevezett eljárást, mely nagyon általános feltételek mellett nagyon jó módszert ad, és ez a jelen esetben is alkalmazható. Tárgyaljuk meg ezt a módszert a jelen esetben. Tekintsünk kissé általánosabb esetet. Vezessük be a következő jelöléseket:

x a tóban lévő halak (ismeretlen) száma,

n az első fogásban kifogott (és megjelölt) halak száma,

r a második fogásban kifogott halak száma,

k a második fogásban kifogott előzöleg megjelölt halak száma. Annak valószínűsége, hogy adott (ismeretlen) x és n, r számok esetén pontosan k megjelölt halat fogunk ki

q_{k}(x, n, r) = \begin{matrix}\binom{n}{k} & \binom{x − n}{r − k} \\ ( & {x \atop r} & ) \end{matrix}.

Tekintsük az ismeretlen x szám (maximum likelihood) becslésének azt az x számot, melyre a q_{k}(x, n, r) mennyiség (rögzített n, k és r számok mellett) maximális. Határozzuk meg a fenti feladatban a maximum likelihood becslést. Némi számolás mutatja, hogy

\frac{q_{k}(x, n, r)}{q_{k}(x − 1, n, r)} = \frac{x − n}{x − n − r + k} · \frac{x − r}{x} = \frac{x^{2} − rx − nx + rn}{x^{2} − rx − nx + kx}.

Ez a tört kisebb mint egy, ha rn < kx, nagyobb mint egy, ha rn > kx. Ezért a becslés rn = kx, azaz x = \frac{rn}{k}, pontosabban az e számot közrefogó egész számok

valamelyike. Valóban x < \frac{rn}{k} esetében a q_{k}(x, n, r) függvény (mint az x változó

függvénye rögzített k, n és r paraméterekkel) monoton nő, x > \frac{rn}{k} esetében pedig a q_{k}(x, n, r) függvény monoton csökken.

Természetes kérdés az, hogy az így kapott becslés valóban jó-e. Azt nem várhatjuk, hogy az adott becslés valóban pontos. A természetes elvárás az, hogy meg tudunk adni az x pontnak viszonylag kis környezetét, egy olyan [x − a, x + a] intervallumot, melyre igaz, hogy annak valószínűsége, hogy a halak valódi száma ebbe az intervallumba esik nagyobb mint egy előírt egyhez közeli szám. Az ilyen intervallumot a matematikai statisztikában kondfidencia intervallumnak szokták nevezni.

Ahhoz, hogy ilyen konfidenciaintervallumot tudjunk szerkeszteni szükség van bizonyos valószínűségi változók eloszlásának jobb ismeretére, és ez a valószínűségszámítás egyik alapvető feladata. Jegyezzük meg, hogy a most vizsgált feladatban, amennyiben a tóban x számú hal van, az első fogásban n, a második fogásban r pedig r halat fogunk ki, akkor a második fogásban kifogott véletlen k számú megjelölt halak számának a várható értéke Ek = \frac{rn}{x}. Ahhoz, hogy vizsgálni tudjuk mennyire jó a becslés, hogyan lehet jó konfidenciaintervallumot konstruálni, azt kell megértenünk, hogy mekkora az ingadozása a k valószínűségi változónak a várható értéke körül. Ezért érdemes kiszámolni egy hipergeometrikus eloszlás szórásnégyzetét kiszámolni, amit gyakorlaton megtettünk. További értékes információkat nyerhetünk, ha tételeket bizonyítunk hipergeometrikus eloszlások aszimptotikus eloszlására, ha a benne szereplő paraméterek nagyok. Bár ezzel a kérdéssel nem fogunk foglalkozni, hasonló problémákat fogunk tárgyalni, melyek vizsgálatában ilyen jellegű kérdések megoldása hasznos.

Általános valószínűségi változók, velük kapcsolatos alapvető fogalmak.

Megbeszéltük, hogy egy ξ (valós értékű) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn értelmezett (mérhető) függvény. Általában, nem a valószínűségi változókat adjuk meg, hanem azoknak alább definiált eloszlásfüggvényét.

Valószínűségi változó eloszlásfüggvényének a definiciója. Legyen adva egy ξ(ω) (valós értékű) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Ennek F (x) eloszlásfüggvényén az F (x) = P ({ω: ξ(ω) < x}), −∞ < x < ∞, függvényt értjük.

Tekintsük például egy szabályos dobókocka feldobását, illetve azt a valószínűségi változót, mely megmondja mi a dobás eredménye. Hogy néz ki ennek a ξ valószínűségi változónak az F (x) eloszlásfüggvénye?

Ez a ξ valószínűségi változó az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 értékek valamelyikét veszi fel,

mindegyiket \frac{1}{6} valószínűséggel. Ezért annak a valószínűsége, hogy P (ξ < x) nullával egyenlő, ha x < 1. Sőt x = 1 esetében is teljesül a P (ξ < 1) = 0 azonosság, mert annak valószínűségét nézzük, hogy a ξ valószínűségi változó szigorúan kisebb mint az x szám. Ezért F (x) = 0, ha −∞ < x ≤ 1. Ha 1 < x < 2, akkor az {ω: ξ(ω) < x} esemény azt

jelenti, hogy a dobás eredménye 1. Ez az állítás igaz x = 2 esetében is. Ezért F (x) = \frac{1}{6}, ha 1 < x ≤ 2. Ha 2 < x ≤ 3, akkor az {ω: ξ(ω) < x} esemény azt jelenti, hogy a dobás

eredménye 1 vagy 2. Ezért F (x) = \frac{2}{6}, ha 2 < x ≤ 3. Ezt a gondolatot végigkövetve

kapjuk, hogy F (x) = 0, ha −∞ < x ≤ 1, F (x) = \frac{j}{6}, ha j < x ≤ j + 1, 1 ≤ j ≤ 5, és F (x) = 1, ha 6 < x < ∞,

Feladat:

Feldobunk egy pénzdarabot, mely p valószínűséggel esik a fej, 1 − p valószínűséggel az írás oldalra kétszer egymástól függetlenül. Jelölje ξ azt a valószínűségi változót, mely a fejdobások számát adja meg. Adjuk meg a ξ valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvényét.

Miért fontos az eloszlásfüggvény fogalma? Általában nem tudjuk, hogy milyen véletlen hatások eredményeként jelenik meg egy ξ(ω) valószínűségi változó értéke, csak azt, hogy milyen valószínűséggel történik az, hogy ez a valószínűségi változó bizonyos értékeket vesz fel. Ezért természetes, hogy csak ezeket a valószínűségeket adjuk meg. A ξ(ω) valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvénye csak az {ω: ξ(ω) < x} alakú események valószínűségét adja meg. A következő kérdés az, hogy nem jelent-e ez megszorítást, hiszen minket az összes {ω: ξ(ω) ∈ B} alakú esemény valószínűsége érdekel, ahol B ,,szép” halmaz. Viszont bizonyos mértékelméleti eredményekből következik, hogy az F (x) eloszlásfüggvény meghatározza az összes ilyen esemény valószínűségét. Az, hogy egy halmaz ,,szép” pontosan azt jelenti, hogy ez a halmaz Borel mérhető. Lássuk, hogyan lehet néhány ilyen esemény valószínűségét meghatározni.

Mivel {ω: a ≤ ξ(ω) < b} = {ω: ξ(ω) < b} \ {ω: ξ(ω) < a}, ezért

P ({ω: a ≤ ξ(ω) < b}) = P ({ω: a ≤ ξ(ω) < b}) − P ({ω: ξ(ω) < a}) = F (b) − F (a).

Mivel \{ω: a ≤ ξ(ω) ≤ b\} = ⋂_{n=1}^{∞} \{ω: a ≤ ξ(ω) < b + \frac{1}{n}\}, és a valószínűség σ-additi-

vitásából következnek annak folytonossági tulajdonságai (lásd a Borel–Cantelli lemma bizonyítása előtt szereplő lemmát), ezért

P (\{ω: a ≤ ξ(ω) ≤ b\}) = lim_{n→∞} P (\{ω: a ≤ ξ(ω) < b + \frac{1}{n}\})

= lim_{n→∞} [F (b + \frac{1}{n}) − F (a)] .

Hasonlóan, ha adva vam diszjunkt zárt [a_{k}, b_{k}], 1 ≤ k ≤ n, intervallumok halmaza, akkor

P ( ⋃_{k=1}^{n} \{ω: a_{k} ≤ ξ(ω) ≤ b_{k}\}) = ∑_{k=1}^{n} lim_{N→∞} [F (b_{k} + \frac{1}{N} ) − F (a_{k})] .

Feladat:

Legyen adva egy ξ(ω) valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvénye. Határozzuk meg ennek segítségével az {ω: a < ξ(ω) < b} alakú események, −∞ < a < b < ∞, valószínűségét, valamint annak valószínűségét, hogy ξ(ω) valamilyen páros egész értéket vesz fel.

Megfogalmazzuk azokat eredményeket, melyek segítségével jellemezni tudjuk az eloszlásfüggvényeket, illetve, amelyek kimondják, hogy az eloszásfüggvények meghatározzák a minket érdeklő valószínűségeket.

Lemma. Legyen ξ(ω) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, és legyen F (x) = P ({ω: ξ(ω) < x}), −∞ < x < ∞, e valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. Az F (x) eloszlásfüggvény teljesíti a következő tulajdonságokat.

a) F (x) monoton növekvő függvény.

b) F (x) balról folytonos függvény, azaz lim_{h→0, h>0} F (x − h) = F (x) minden −∞ < x <

∞ számra.

c) lim_{x→∞} F (x) = 1.

d) lim_{x→−∞} F (x) = 0.

Tétel A. Ha egy F (x) függvény teljesíti az előző lemmában megfogalmazott a)—d) tulajdonságokat, akkor az eloszlásfüggvény. Részletesebben megfogalmazva ez azt jelenti, hogy ha az F (x) függvény teljesíti az a)—d) feltételeket, akkor létezik egy (Ω, A, P) valószínűségi mező, és azon olyan ξ(ω) valószínűségi változó, melynek az eloszlásfüggvénye ez az F (x) függvény.

A fent megfogalmazott tétel felhasznál egy fontos mértékelméleti eredményt, melyet megfogalmazunk, de nem bizonyítunk.

Tétel B. Ha egy F (x) függvény teljesíti az előző lemmában megfogalmazott a)—d) tulajdonságokat, akkor létezik egy olyan úgynevezett μ_{F} (·) az F függvényhez kapcsolódó Stieltjes mérték, mely teljesíti a következő tulajdonságokat.

a) A számegyenes minden B Borel halmazának létezik μ_{F} (B) Stieltjes mértéke.

b) A μ_{F} (·) halmazfüggvény σ-additív a számegyenes Borel-halmazaiból álló (Borel) σ-algebrán, és μ_{F} (R^{1}) = 1.

c) μ_{F} ([a, b)) = F (b) − F (a) minden −∞ ≤ a < b ≤ ∞ számra. Speciálisan, μ_{F} ((−∞, b)) = F (b) minden −∞ < b < ∞ számra.

Egy fenti tulajdonságú F (x) függvény, egyértelműen meghatározza azokat az μ_{F} (B) számokat minden Borel mérhető B halmazra, melyekre teljesül, hogy μ_{F} ((−∞, b)) = F (b) minden −∞ < b < ∞ számra, és μ_{F} (·) σ-additív halmazfüggvény a számegyenes Borel σ-algebráján.

Jegyezzük meg, hogy a μ_{F} (B) = P ({ω: ξ(ω) ∈ B}) halmazfüggvény σ-additív a számegyenes Borel σ-algebráján, és P ({ω: ξ(ω) < b}) = F (b). Ezért az előbb megfogalmazott Tétel B azt is állítja, hogy az F (x) eloszlásfüggvény meghatározza a P ({ω: ξ(ω) ∈ B}) valószínűségeket minden Borel–mérhető B halmazra.

A Lemma bizonyítása: Mivel {ω: ξ(ω) < a} ⊂ {ω: ξ(ω) < b}, ha a < b, ezért P ({ω: ξ(ω) < a}) ≤ P ({ω: ξ(ω) < b}) ebben az esetben, és ez az a) tulajdonság.

Az a) tulajdonság érvényessége miatt a b) tulajdonság bizonyítása érdekében elég megmutatni azt, hogy ha h_{n}, n = 1, 2, …, monoton csökkenő sorozat, melyre lim_{n→∞} h_{n} =

0, akkor lim_{n→∞} F (x − h_{n}) = lim_{n→∞} P ({ω: ξ(ω) < x − h_{n}}) = F (x) = P ({ω: ξ(ω) < x}).

Ez viszont következik az ⋃_{n=1}^{∞}{ω: ξ(ω) < x − h_{n}} = {ω: ξ(ω) < x} relációból és a

valószínűség folytonosságából. A c) és d) tulajdonság bizonyítása hasonló.

A Tétel A bizonyítása: Tekintsük a következő (Ω, A, P) valószínűségi mezőt, Ω = R^{1}, a számegyenes, A = B a számegyenes Borel mérhető halmazainak σ-algebrája, P = μ_{F}, a Borel mérhető halmazok σ-algebráján az F függvény által definiált Stieltjes mérték, melynek létezését a Tétel B állítása fogalmazza meg. Legyen ξ(x) = x, azaz jelen példában az ω elemi események az x valós számok, és a ξ valószínűségi változók az x helyen az x számmal egyenlő. Ekkor P ({ω: ξ(ω) < x}) = μ_{F} (u: u < x) = F (x) minden x számra. Ez azt jelenti, hogy a definiált ξ(ω) valószínűségi változó eloszlása az F (x) eloszlásfüggvény.

1. megjegyzés: A Tétel A bizonyításának egyetlen nehezebb lépése annak bizonyítása, hogy a konstruált μ_{F} valószínűségi mérték valóban σ-additív, azaz a Tétel B állításának bizonyítása. Megjegyezzük, hogy ennek az állításnak a bizonyítása elkerülhetetlen. Ugyanis a Tétel B állítása könnyen levezethető a Tétel A állításából.

2. megjegyzés: Felmerülhet a kérdés, hogy miért tárgyaltuk külön a Tétel A-t, miért érdekel minket annak az eredménye. Ennek oka a következő. Gyakran megfogalmazunk olyan feladatot, melyben egy olyan valószínűségi változóról akarunk tudni valamit, amelyiknek az eloszlásfüggvényét egy képlettel megadtuk. Felmerülhet a kérdés, hogy a feladat értelmes-e, azaz valóban létezik-e olyan valószínűségi változó, amelyiknek az eloszlásfüggvényét megadtuk. A Tétel A azt mondja ki, hogy amennyiben az általunk megadott képlet teljesít néhány olyan feltételt, amelyiket minden eloszlásfüggvénynek teljesíteni kell, akkor ilyen valószínűségi változó létezik.

Feladat:

Lássuk be, hogy létezik olyan diszkrét eloszlású ξ valószínűségi változó, melynek F (x) = P (ξ < x) eloszlásfüggvényére igaz, hogy minden −∞ < a < b < ∞ számpárra F (a) < F (b) szigorú egyenlőtlenséggel. Megoldás: Egy lehetséges konstrukció a következő. Legyen r_{1}, r_{2}, …, a racionális számok sorozata valamilyen sorrendben felsorolva. Definiáljunk olyan ξ valószínűségi változót, melyre P (ξ = r_{j}) = 2^{−j}, j = 1, 2, . . .. Ekkor ξ diszkrét eloszlású valószínűségi változó, és ennek F (x) eloszlására F (b) − F (a) = P (a < ξ < b) > 0, mert P (a < ξ < b) > P (ξ = r_{j}) > 0, ahol r_{j} egy az [a, b] intervallum belsejében lévő racionális szám.

Valószínűségi változók várható értéke.

A valószínűségszámítás egy nagyon fontos fogalma a valószínűségi változók várható értéke. Ezt a fogalmat részletesen tárgyaltuk diszkrét eloszlású valószínűségi változók esetében. Az általános eset tárgyalása visszavezethető erre a speciális esetre alkalmas határátmenet segítségével. Ezt a határátmenet eljárást kissé általánosabb formában elvégezték a mértékelméletben az úgynevezett Lebesgue integrál bevezetésénél. A valószínűségszámítás tárgyalásában a várható érték vizsgálatát egyszerűen és gyorsan el tudják végezni, ha szabad használni a Lebesgue integrál fogalmát.

Ebben az előadásban a következő köztes megoldást választjuk. Elmagyarázzuk azt a képet, mely természetessé teszi a használt Lebesgue mérték definicióját, és szemléletesen megmutatjuk, miért érvényesek a legfontosabb eredmények. A formális részletek kidolgozása viszont nem ennek az előadásnak a témája.

Valószínűségi változó várható értékének formális definiciója. Legyen ξ(ω) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. E valószínűségi változó várható értékét úgy definiáljuk, mint a ξ(ω) függvénynek az

Eξ(ω) = ∫ ξ(ω)dP (ω)

Lebesgue integrálját a P valószínűségi mérték szerint, feltéve, hogy ∫ |ξ(ω)|dP (ω) < ∞. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor nem definiáljuk a ξ valószínűségi változó várható értékét.

A következő Fontos Tétel-nek nevezett eredmény lehetővé teszi egy valószínűségi változó várható értékének kiszámítását csak a valószínűségi változó eloszlásfüggvényének az ismeretében.

Fontos Tétel. Legyen ξ(ω) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, melynek F (x) az F (x) = P (ξ < x), −∞ < x < ∞, eloszlásfüggvénye. Ekkor

Eξ(ω) = ∫_{−∞}^{∞} xF ( dx),

ahol a fenti integrál Lebesgue–Stieltjes integrált jelöl az F mérték szerint. Ez a formula akkor érvényes, ha ∫_{−∞}^{∞} |x|F ( dx) < ∞. Ellenkező esetben az Eξ várható értéket nem definiáltuk.

Sőt igaz a Fontos Tétel következő általánosítása.

A Fontos Tétel általánosítása. Legyen ξ(ω) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, melynek F (x) az F (x) = P (ξ < x), −∞ < x < ∞, eloszlásfüggvénye. Legyen g(x) tetszőleges (mérhető) függvény a számegyenesen, és definiáljuk az η(ω) = g(ξ(ω)) valószínűségi változót. Ekkor

Eη(ω) = Eg(ξ(ω)) = ∫_{−∞}^{∞} g(x)F ( dx),

ahol a fenti integrál Lebesgue–Stieltjes integrált jelöl az F mérték szerint. Ez a formula akkor érvényes, ha ∫_{−∞}^{∞} |g(x)|F ( dx) < ∞. Ellenkező esetben az Eη várható értéket nem definiáltuk.

Megjegyzés: Az előbb megfogalmazott eredményekben szerepelt az ∫_{−∞}^{∞} |x|F ( dx) < ∞, illetve ∫_{−∞}^{∞} |g(x)|F ( dx) < ∞ feltétel. E feltételek természetes megfelelői annak a diszkrét valószínűségi változók esetében szerep;ő feltételnek, hogy egy diszkrét valószínűségi változó várható értékét definiáló összeg legyen abszolut konvergens.

A várható érték definiciójában szerepelt a Lebesgue integrál fogalma. Ennek a fogalomnak a jelentése némi magyarázatra szorul. Számunkra elég lesz egy olyan kép magyarázatként, amelyik szemléletesen megmutatja ennek értelmét. Ezt tesszük meg az alábbiakban egy rövid kiegészítésben, melyben nem törekszünk teljességre. Külön érdemes megjegyezni, hogy maga az ∫ ξ(ω) P ( dω) integrál azon a valószínűségi mezőn van definiálva, ahol a ξ(ω) valószínűségi változó, (emlékezzünk, hogy egy valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn értelmezett (mérhető) függvény) és maga az integrálás is az ezen a mezőn értelmezett téren létezik. Mégis a Fontos tételben, illetve annak általánosításában olyan eredményt fogalmaztunk meg, amelyik lehetővé teszi egy ilyen integrálnak a kiszámolását anélkül, hogy definiálnánk a valószínűségi mezőt, ahol dolgozunk. A tétel talán legfontosabb állítása az, hogy elég tudnunk a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, és akkor ki tudjuk számolni mind a valószínűségi változó, illetve a valószínűségi változó tetszőleges függvényének a várható értékét.

Az itt szereplő integrál általánosabb, mint az analízisben tanult Riemann illetve Riemann–Stieltjes integrál. Viszont, ha az utóbbiak léteznak, akkor azok megegyeznek a minket érdeklő integrállal. Végül jegyezzük meg, hogy tanultuk korábban, hogyan lehet kiszámolni diszkrét eloszlású valószínűségi változók, illetve azon függvényeinek várható értékét. Ezt érdemes ideírni, hogy lássuk hasonlóságukat a Fontos Tétellel, illetve annak általánosításával. Valójában a korábban megfogalmazott állítások ezeknek az eredményeknek az általánosításai.

Legyen ξ diszkrét értékű valószínűségi változó, mely valamely x_{1}, x_{2}, …, valós értékeket vesznek fel. Ekkor

Eξ = ∑_{i} x_{i}P (ξ = x_{i})
Eg(ξ) = ∑_{i} g(x_{i})P (ξ = x_{i}),

feltéve, hogy a jobboldalon szereplő összegek abszolut konvergensek.

Kiegészítés: A Lebesgue integrál fogalama

A hagyományos analízis oktatásban az úgynevezett Riemann integrált vezetik be először. Egy [a, b] intervallumon értelmezett f(u) függvény ∫_{a}^{b} f(u) du integrálját úgy definiáljuk, hogy először alkalmas közelítő összegeket vezetünk be a következő módon. Felosztjuk az [a, b] intervallumot a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b osztópontok segítségével, melyekre sup_{1≤k≤n}(x_{k} − x_{k−1}) kicsi, és mindegyik [x_{k−1}, x_{k}] intervallumban kijelölünk egy

ξ_{k} ∈ [x_{k−1}, x_{k}] pontot, és tekintjük a ∑_{k=1}^{n} f(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1}) közelítő összegeket. Az

∫_{a}^{b} f(u) du integrált úgy definiáljuk mint ezen integrálközelítő összegek limeszét, ha sup_{1≤k≤n}(x_{k} − x_{k−1}) nullához tart.

Adva egy F (u) függvény is az [a, b] intervallumon az ∫_{a}^{b} f(u)F ( du) Riemann– Stieltjes intergrált hasonlóan definiáljuk. A különbség az, hogy most a közelítő összegekben az x_{k} − x_{k−1} megváltozásokat az F (·) függvény F (x_{k}) − F (x_{k−1}) megváltozásaival

helyettesítjük, azaz a ∑_{k=1}^{n} f(ξ_{k}) (F (x_{k}) − F (x_{k−1})) közelítőösszegeket, illetve azok ha-

tárértékét tekintjük.

A fenti definiciót a következő módon is interpretálhatjuk. Nevezzünk egy az [a, b] intervallumon értelmezett f(x) függvényt egyszerű vagy lépcsős függvénynek, ha létezik az [a, b] intervallumnak olyan a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b felosztása, melyre az f(x) függvény konstans minden egyes [x_{k}, x_{k+1}) intervallumon, 0 ≤ k < n. Az ilyen

lépcsős függvények integrálját az ∫_{a}^{b} f(x) dx = ∑_{k=1}^{n} f(x_{k})(x_{k} −x_{k−1}), és ∫_{a}^{b} f(x)F ( dx) =

∑_{k=1}^{n} f(x_{k}) (F (x_{k}) − F (x_{k−1})) képletekkel definiáljuk. Az általánosabb függvények in-

tegrálját úgy definiáljuk, hogy közelítjük őket a fent leírt módon lépcsős függvényekkel, és a függvény integrálja a megfelelő lépcsős függvények integráljainak a limesze.

A Lebesque integrált hasonlóan definiálhatjuk. Először definiáljuk azt lépcsős függvényre egyszerű, természetes módon, majd kiterjesztjük általános függvényekre. A lényeges különbség az, hogy most a lépcsős függvényt kissé általánosabban definiáljuk. Nevezzünk egy f(x) függvényt lépcsős függvénynek a számegyenesen, ha létezik véges vagy megszámlálható sok x_{1}, x_{2}, … szám úgy, hogy az {x: f(x) = x_{k}} halmazok az [a, b] intervallum egy particiját adják. Nem tételeztük fel, hogy ezek az {x: f(x) = x_{k}} halmazok bármi szép geometriai tulajdonsággal rendelkeznek. (Pontosabban annyit fel kell tenni, hogy e halmazok Borel mérhetőek, ezért az általános elmélet szerint van Lebesgue mértékük.) Egy ilyen lépcsős függvény integrálját az ∫_{a}^{b} f(x) dx = ∑_{k} f(x_{k})λ({x: f(x) =

x_{k}}) képlettel definiáljuk, ahol λ a Lebesgue mértéket jelöli. (Feltesszük, hogy a tekintett összeg abszolut konvergens.)

Ezeket a fogalmakat lehet általánosítani nemcsak intervallumon értelmezett függvényre. Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, ξ(ω) lépcsős függvény (az előadásban diszkrét értékú valószínűségi változónak hívtuk), ha létezik véges vagy megszámlálható sok x_{1}, x_{2}, … szám úgy, hogy az {ω: ξ(ω) = x_{k}} halmazok az (Ω, A, P) valószínűségi mező egy particiját adják. Továbbá ∫ ξ(ω)P ( dω) = ∑_{k} x_{k}P ({ω: ξ(ω) = x_{k}). (Megint

feltesszük, hogy az összeg abszolut konvergens.

Általános függvények Lebesgue integrálját úgy definiáljuk, hogy tekintjük azok valamely természetes közelítését lépcsős függvényekkel, és tekintsük a lépcsős függvények integráljainak a limeszét. Kissé részletesebben, egy lehetséges definició a következő: Tekintsünk egy K > 0 számot, és egy n pozitïv egész számot. Osszuk fel a [−K, K] intervallumot n diszjunkt kis intervallumok uniójára úgy, hogy y_{j} = −K + \frac{2Kj}{n}. Legyen adva egy az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn definiált ξ(ω) valószínűségi változó és definiáljuk ennek ξ_{K,n}(ω) lépcsős függvény közelítését, mint ξ_{K,n}(ω) = −K, ha ξ(ω) < −K, ξ_{K,n}(ω) = K, ha ξ(ω) ≥ K, ξ_{K,n}(ω) = y_{j}, ha y_{j} ≤ ξ(ω) < y_{j+1}, 0 ≤ j < n. Be lehet látni, hogy nagyon általános feltételek mellett az ∫ ξ(ω)P ( dω) = lim_{K→∞} ( lim_{n→∞} ∫ ξ_{K,n}(ω) P ( dω)) a Lebesgue integrál értelmes definiciója. Jegyezzük meg,

hogy a fenti definicióban nem fontos az, hogy a P mérték egyre normált, azaz P (Ω) = 1. Tetszőleges P, 0 < P (Ω) < ∞, σ-additiv esetben tudjuk definiálni a Lebesgue integrált.

Legyen F valamely monoton függvény az [a, b) intervallumon. Az ∫_{a}^{b} f(u)F ( du) Riemann–Stieltjes integrálnak megfelelő Lebesgue–Stieltjes integrált a Lebesgue integrálhoz hasonlóan definiálhatjuk, csak ebben az esetben meg kell adni azt az (Ω, A, P) mezőt, ahol az integrált definiáljuk. Ezt a következő módon tesszük: Legyen Ω = [a, b), A az [a, b) intervallum Borel–mérhető halmazainak σ-algebrája. Ezenkívül a mértékelmélet egyik eredménye szerint az F függvény indukál az [a, b) interval intervallum Borel–mérhető halmazainak σ-algebráján egy olyan σ-additív μ_{F} az F függvény Stieltjes mértékének nevezett halmazfüggvényt, melyre μ_{F} ([u, v)) = F (v)−F (u) minden a ≤ u < v ≤ b. Legyen P = μ_{F}. Ezután definiálhatjuk valamely az [a, b] intervallumon értelmezett f függvény Lebesgue–Stieltjes integrálját, mint az ∫ f(x)μ_{F} ( dx) integrált.

Szép, egyszerű esetekben egy függvény Riemann és Lebesgue integrálja illetve Riemann–Stieltjes és Lebesgue–Stieltjes integrálja megegyezik. A Lebesgue integrál egyik előnye az, hogy gazdagabb azon függvények osztálya, melyek Lebesgue integrálját definiálni tudjuk. Ugyanis az integrál definiciójában szükséges határátmeneteketet a Lebesgue integrál definiciójában könnyebb végrehajtani mint a Riemann integráléban. Sőt a Lebesgue integrál definiciója — szemben a Riemann integráléval — nem kötődik a számegyenes geometriájához.

Végül megjegyezzük, hogy a Fontos Tételnek illetve annak általánosításának a bizonyítása viszonylag egyszerű, ha jól megértjük a Lebesgue integrál definicióját. Az ∫ g(ξ(ω)) dP (ω) Lebesgue integrál közelítő összegeit kifejezhetjük a ξ valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvényét tartalmazó összegek segítségével. Ez utóbbi összegek természetes közelítőösszegei az ∫ g(x)F ( dx) Lebesque–Stieltjes integrálnak. Ezután alkalmas határátmenet segítségével megkapjuk a Fontos Tétel általánosításának a bizonyítását.