A Valószínűségszámítás I. előadássorozat ötödik előadása. 2002 február 26.

Összefoglaló:

A várható érték tulajdonságainak bizonyításánál szükségünk van az alábbi segédtételre, mely megegyezik a Fazekas könyvben szereplő 2.6 Állítással a 61. oldalon.

Segédtétel. Legyen ξ egy diszkrét valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, mely valamilyen x_{1}, x_{2}, …, értékeket vesz fel, és legyen B_{k} = {ω : ξ(ω) = x_{k}}, k = 1, 2, …, a ξ valószínűségi változó értékei által meghatározottt teljes eseményrendszer. Legyen C_{j}, j = 1, 2, …, egy ennél finomabb teljes eseményrendszer, azaz

tegyük fel, hogy a C_{j} ∈ A halmazok diszjunktak, ⋃_{j=1}^{∞} C_{j} = Ω, és minden C_{j} halmazhoz

tartozik olyan B_{k} halmaz, melyre C_{j} ⊂ B_{k}. Ha C_{j} ⊂ B_{k}, akkor rendeljük hozzá a

C_{j} halmazhoz az y_{j} = x_{k} számot. A ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k}) és ∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}) összegek egyszerre

abszolut konvergensek, és ha ezek az összegek abszolut konvergensek, akkor

Eξ = ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k}) = ∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}).

Bizonyítás: Ha a ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k}) összeg abszolut konvergens, azaz létezik olyan L < ∞

szám, melyre ∑_{k=1}^{∞} |x_{k}|P (B_{k}) = L akkor minden N indexre

∑_{j=1}^{N} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ ∑_{k=1}^{∞} |x_{k}|P (B_{k}) = L.

Ezért ∑_{j=1}^{∞} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ L, azaz a ∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}) összeg is abszolut konvergens.

Ha a ∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}) összeg abszolut konvergens, akkor ∑_{j=1}^{∞} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ L < ∞ alkal-

mas L számmal, ahonnan tetszőleges N indexre

∑_{k=1}^{N} |x_{k}|P (B_{k}) = ∑_{k=1}^{N} ∑_{j: C_{j}⊂B_{k}}^{∞} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ ∑_{j=1}^{∞} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ L < ∞,

ahonnan a ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k}) összeg is abszolut konvergens. Ezzel bekáttuk, hogy a két

tekintett összeg egyszerre abszolut konvergens.

Ha a fenti sorok abszolut konvergensek akkor minden ε > 0 számhoz létezik olyan

N = N(ε) index, hogy ∑_{k=N}^{∞} |x_{k}|P (B_{k}) < ε. Ekkor

∑_{k=N}^{∞} ∑_{j: C_{j}⊂B_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) < ε.

Legyen U_{k} = {j: C_{j} ⊂ B_{k}} minden k = 1, 2, … számra. Ekkor minden U_{k} halmaznak van olyan véges V_{k} = V_{k}(ε) ⊂ U_{k} részhalmaza, melyre

|x_{k}| ∑_{j∈U_{k}\V_{k}} P (C_{j}) ≤ ε2^{−k}

Ekkor

| ∑_{j: j∈V_{k}}^{∞} y_{j}P (C_{j}) − ∑_{j: C_{j}⊂B_{k}}^{∞} y_{j}P (C_{j})| ≤ ∑_{j∈U_{k}\V_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) k = 1, 2, …,

és

| ∑_{j: j∈V_{k}}^{∞} y_{j}P (C_{j}) − x_{k}P (B_{k})| ≤ ∑_{j∈U_{k}\V_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) k = 1, 2, …,

ahonnan

|∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}) − ∑_{k=1}^{N−1} ∑_{j∈V_{k}} y_{j}P (C_{j})| ≤ ∑_{k=N}^{∞} ∑_{j∈V_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) + ∑_{k=1}^{N−1} ∑_{j∈U_{k}\V_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ 2ε,

és

|∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k}) − ∑_{k=1}^{N−1} ∑_{j∈V_{k}} y_{j}P (C_{j})| ≤ ∑_{k=N}^{∞} |x_{k}|P (B_{k}) + ∑_{k=1}^{N−1} ∑_{j∈U_{k}\V_{k}} |y_{j}|P (C_{j}) ≤ 2ε.

Innen

|∑_{j=1}^{∞} y_{j}P (C_{j}) − ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (B_{k})| ≤ 4ε.

Mivel ez az állítás minden ε > 0 számra érvényes, innen következik a Segédtétel állítása.

Az előző előadásban megfogalmazott E(ξ_{1} + ξ_{2}) = Eξ_{1} + Eξ_{2} reláció bizonyítása. Ha a ξ_{1} és ξ_{2} valószínűségi változók x_{1}, x_{2}, … értékeket vesznek fel, akkor tekintsük az {ω: ξ_{1} = x_{j}, ξ_{2} = x_{k}}, j, k = 1, 2, …, eseményeket. A Segédtétel alapján

Eξ_{1} = ∑_{j=1}^{∞} ∑_{k=1}^{∞} x_{j}P (ξ_{1} = x_{j}, ξ_{2} = x_{k}),

és

Eξ_{2} = ∑_{j=1}^{∞} ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (ξ_{1} = x_{j}, ξ_{2} = x_{k}).

E két azonosságot összeadva, és alkalmazva megint a Segédtételt kapjuk, hogy

Eξ_{1} + Eξ_{2} = ∑_{j=1}^{∞} ∑_{k=1}^{∞}(x_{j} + x_{k})P (ξ_{1} = x_{j}, ξ_{2} = x_{k}) = E(ξ_{1} + ξ_{2}),

mert az {ω: ξ_{1}(ω) = x_{j}, ξ_{2}(ω) = x_{k}}, j, k = 1, 2, …, halmazok egy finomítását adják az {ω: ξ_{1}(ω) + ξ_{2}(ω) = y}, (y = x_{j} + x_{k} alkalmas x_{j} és x_{k} számmal) alakú halmazokból álló particiónak.

Tétel. Legyen ξ diszkrét valószínűségi változó, mely bizonyos x_{1}, x_{2}, … értéket vesz fel és g(x) valós függvény. Ekkor

Eg(ξ) = ∑_{j=1}^{∞} g(x_{j})P (ξ = x_{j}),

feltéve, hogy a ∑_{j=1}^{∞} g(x_{j})P (ξ = x_{j}) összeg abszolut konvergens.

Bizonyítás: Vezessük be az x_{u} ∼ x_{v} relációt, ha g(x_{u}) = g(x_{v}). Ekkor ∼ ekvivalenciareláció, és az x_{1}, x_{2}, …, értékeket megszámlálható sok D_{1}, D_{2}, …, osztályba tudjuk sorolni úgy, hogy x_{u} és x_{v} akkor kerül ugyanabba az osztályba, ha x_{u} ∼ x_{v}. Definiáljuk a z_{k} számot úgy, hogy legyen z_{k} = g(x_{u}), ha x_{u} ∈ D_{k}. Vezessük be továbbá a B_{k} = {ω: ξ(ω) ∈ D_{k}} és C_{j} = {ω: ξ(ω) = x_{j}} halmazokat az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Ekkor a várható érték definiciója illete a Segédtétel alapján

Eg(ξ) = ∑_{k} z_{k}P (C_{k}) = ∑_{j=1}^{∞} g(x_{j})P (B_{j}) = ∑_{j=1}^{∞} g(x_{j})P (ξ = x_{j}),

feltéve, hogy a ∑_{j=1}^{∞} g(x_{j})P (ξ = x_{j}) összeg abszolut konvergens.

Tétel Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} független, diszkrét valószínűségi változók melyek mindegyikére létezik az Eξ_{j}, 1 ≤ j ≤ n várható érték. Ekkor az Eξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n} várható érték is létezik, és

Eξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n} = Eξ_{1}Eξ_{2} ⋯ Eξ_{n}.

Megjegyés: A fent megfogalmazott eredmény rendkívül fontos tulajdonsága a független valószínűségi változóknak. A Fazekas könyvben ez az eredmény csak az n = 2 esetben van megfogalmazva a 2.21 Tételben a 66. oldalon. Ha jól tudunk számolni független valószínűségi változókkal, akkor az általános eredmény visszavezethető erre a speciális esetre, de egyszerűbbnek láttam közvetlenül az általános esettel foglalkozni.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók x_{1}, x_{2}, …, értékeket vesznek fel. Ekkor

Eξ_{1} ⋯ Eξ_{n} = ∑_{j_{1}=1}^{∞} x_{j_{1}}P (ξ_{1} = x_{j_{1}}) ⋯ ∑_{j_{n}=1}^{∞} x_{j_{n}}P (ξ_{n} = x_{j_{n}})

= ∑_{j_{1}=1}^{∞} ⋯ ∑_{j_{n}=1}^{∞} x_{j_{1}} ⋯ x_{j_{n}}P (ξ_{1} = x_{j_{1}}) ⋯ P (ξ_{n} = x_{j_{n}})

= ∑_{j_{1}=1}^{∞} ⋯ ∑_{j_{n}=1}^{∞} x_{j_{1}} ⋯ x_{j_{n}}P (ξ_{1} = x_{j_{1}}, ⋯, ξ_{n} = x_{j_{n}}),

a ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ n valószínűségi változók függetlensége miatt, valamint azért mert a fenti sorok mindegyike abszolut konvergens. (Ugyanis abszolut konvergens sorok szorzata is abszolut konvergens.) Viszont a Segédtétel alapján a fenti azonosság jobboldalán szereplő kifejezés Eξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n}, ezért

Eξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n} = Eξ_{1}Eξ_{2} ⋯ Eξ_{n}.

A szórásnégyzet fogalma.

Azt hogy valószínűségi változók körülbelül mekkora értéket vesznek fel az (egyelőre csak diszkrét valószínűségi változók esetén tárgyalt) várható érték méri megfelelő módon. Annak mérésére, hogy mekkora a valószínűségi változó ingadozása a várható értéke körül vezették be a szórásnégyzet (angolul variance) fogalmát. Ennek definiciója a következő:

A szórásnégyzet definiciója: Legyen ξ olyan valószínűségi változó, melyre Eξ^{2} < ∞. Ekkor a ξ valószínűségi változó szórásnégyzetét az

Var ξ = E (ξ − Eξ)^{2}

képlet definiálja. Ha Eξ^{2} = ∞ akkor a Var ξ szórásnégyzetet nem definiáljuk vagy azt mondjuk, hogy Var ξ = ∞.

Lemma.

Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}.

Továbbá, (Eξ)^{2} ≤ Eξ^{2}.

Bizonyítás:

0 ≤ Var ξ = E (ξ − Eξ)^{2} = E (ξ^{2} − 2ξEξ + (Eξ)^{2})
= Eξ^{2} − 2EξEξ + Eξ^{2} = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}

a várható érték tulajdonságai miatt. Összehasonlítva a bal és jobboldalt kapjuk a megfogalmazott egyenlőtlenséget.

Megjegyzés: Ha precízek vagyunk felmerülhet a kérdés, teljesen kifogástalan-e a fenti bizonyítás. Az okozhat esetleg problémát, hogy csak akkor definiáltuk a várható értéket, ha a definiáló összeg abszolut konvergens. Ezt viszont csak az Eξ^{2}-ről tettük fel, ugyanakkor az Eξ-vel is szabadon számoltunk. Nem okoz-e ez gondot?

Az, hogy a fenti számolás jogos, például a következő módon látható. Vegyen fel a ξ valószínűségi változó x_{1}, x_{2}, … értékeket, és definiáljuk a ξ valószínűségi változó ξ_{n} közelítéseit, n = 1, 2, …, a következő módon: ξ_{n}(ω) = ξ(ω), ha ξ(ω) = x_{k}, 1 ≤ k ≤ n, ξ_{n}(ω) = 0, ha ξ(ω) = x_{k}, és k > n. Ekkor a ξ_{n}(ω) illetve ennek abszolut értékével a |ξ_{n}(ω)| valószínűségi változókkal szabadon végrehajthatjuk a fenti számolásokat. Innen következik, hogy (E|ξ_{n}(ω)|)^{2} ≤ Eξ_{n}^{2}(ω) ≤ Eξ^{2}(ω). Innen viszont n → ∞ határátmenettel kapjuk, hogy (E|ξ|)^{2} = lim_{n→∞} (E|ξ_{n}(ω)|)^{2} ≤ Eξ^{2}(ω). Ez azt jelenti, hogy az Eξ várható értéket meghatározó összeg is abszolut konvergens, és a fenti számolásokat elvégezhetjük.

Feladat:

Minden m valós számra

E(ξ − m)^{2} = E(ξ − Eξ)^{2} + ((Eξ) − m)^{2} .

Következésképpen

Var ξ = inf_{−∞<m<∞} E [(ξ − m)^{2}] .

Megoldás:

E(ξ − m)^{2} = E [(ξ − Eξ) + (Eξ − m)]^{2}
= E(ξ − Eξ)^{2} − 2E(ξ − m)E(ξ − Eξ) + E(ξ − m)^{2}
= E(ξ − Eξ)^{2} + ((Eξ) − m)^{2} ,

mert 2E(ξ − m)E(ξ − Eξ) = 2E(ξ − m)(Eξ − Eξ) = 0. Ebből az azonosságból adódik, hogy E(ξ − m)^{2} ≥ E(ξ − Eξ)^{2} minden m valós számra. Viszont m = Eξ esetén az egyenlőtlenség két oldala megegyezik.

Lemma. Minden a és b valós számra

Var (aξ + b) = a^{2}Var ξ.

Bizonyítás:

Var (aξ + b) = E [(aξ + b) − E(aξ + b)]^{2} = E [(aξ + b) − aE(ξ − b]^{2}
= E [a^{2}(ξ − Eξ)^{2}] = a^{2}E(ξ − Eξ)^{2} = a^{2}Var ξ.

A következő eredmény rendkívül hasznos összefüggést ad, ha független valószínűségi változók összegének szórásnégyzetét akarjuk kiszámítani. Hangsúlyozzuk, hogy ebben az eredményben fontos a tekintett valószínűségi változók függetlensége. Később megfogalmazzuk ezen eredmény egy olyan általánosítását, amelyik akkor is érvényes, ha az összeadandók nem feltétlenül függetlenek. Látni fogunk olyan példákat is, melyek megoldásában ezt az általánosabb eredményt érdemes alkalmazni.

Tétel. Ha ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, akkor

Var (ξ_{1} + ξ_{2} + ⋯ + ξ_{n}) = Var ξ_{1} + Var ξ_{2} + ⋯ + Var ξ_{n}.

Következmény. Ha ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, c_{1}, c_{2}, …, c_{n} valós számok, akkor

Var (c_{1}ξ_{1} + c_{2}ξ_{2} + ⋯ + c_{n}ξ_{n}) = c_{1}^{2}Var ξ_{1} + c_{2}^{2}Var ξ_{2} + ⋯ + c_{n}^{2}Var ξ_{n}.

A Tétel bizonyítása. Vezessük be a ξ̄_{j} = ξ_{j} − Eξ_{j} valószínűségi változókat. Ekkor

Var (ξ_{1} + ξ_{2} + ⋯ + ξ_{n}) = E(ξ̄_{1} + ξ̄_{2} + ⋯ + ξ̄_{n})^{2}

= E (ξ̄_{1}^{2} + ξ̄_{2}^{2} + ⋯ + ξ̄_{n}^{2} + 2 ∑_{j=1}^{n−1} ∑_{k=j+1}^{n} ξ̄_{j}ξ̄_{k})

= Eξ̄_{1}^{2} + ξ̄_{2}^{2} + ⋯ + Eξ̄_{n}^{2} + 2 ∑_{j=1}^{n−1} ∑_{k=j+1}^{n} Eξ̄_{j}ξ̄_{k}

= Eξ̄_{1}^{2} + ξ̄_{2}^{2} + ⋯ + Eξ̄_{n}^{2} = Var ξ_{1} + Var ξ_{2} + ⋯ + Var ξ_{n},

mert Eξ̄_{j}ξ̄_{k} = Eξ̄_{j}Eξ̄_{k} = 0 minden 1 ≤ j < k ≤ n számra a ξ_{j} illetve a ξ̄_{j}, 1 ≤ j ≤ n, valószínűségi változók függetlensége miatt.

Feladat:

Egy szabályos pénzdarabot feldobunk 100-szor egymás után. Számoljuk ki a fejdobások számának a szórásnégyzetét. Számítsuk ki ezt egyrészt direkt módon felírva és kiszámolva a szórásnégyzetet kifejező összeget másrészt egyszerűbben az előző tétel segítségével.

Egy szabályos dobókockát feldobunk 100-szor egymás után. Számoljuk ki a dobáseredmények összegének várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Legyenek η_{1},…, η_{100} független valószínűségi változók, melyekre P (η_{j} =

k) = \frac{1}{6}, 1 ≤ j ≤ 100, 1 ≤ k ≤ 6. Ekkor a kiszámítandó várható érték és

szórásnégyzet E ∑_{j=1}^{100} η_{j} = ∑_{j=1}^{100} Eη_{j}, Var ∑_{j=1}^{100} η_{j} = ∑_{j=1}^{100} Var η_{j}. (A második reláció

felhasználja a tekintett valószínűségi változók függetlenségét.) Eη_{j} = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 +

4 + 5 + 6) = 3.5, Eη_{j}^{2} = \frac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}, Var η_{j} = \frac{35}{12}, Eξ = 350,

Var ξ = \frac{3500}{12}.

Megfogalmazzuk az előző tétel egy olyan általánosítását, mely lehetővé teszi, hogy kiszámoljuk nem feltétlenül független valószínűségi változók összegének a szórásnégyzetét. Ennek érdekében először be kell vezetnünk egy új fogalmat, két valószínűségi változó kovarianciafüggvényét. Ez azt méri hogy milyen erős a kapcsolat két valószínűségi változó között.

A kovarianciafüggvény definiciója. Legyen ξ és η két valószínűségi változó, melyek mindegyikének létezik szórásnégyzete, azaz Eξ^{2} < ∞ és Eη^{2} < ∞. Ekkor a ξ és η kovariancifüggvényét Cov (ξ, η)-t a

Cov (ξ, η) = E [(ξ − Eξ)(η − Eη)]

kifejezés definiálja. Ha a Eξ^{2} < ∞ és Eη^{2} < ∞ feltételek valamelyike nem teljesül, akkor nem definiáljuk a Cov (ξ, η) kovariancifüggvényt.

Megjegyzés: |(ξ − Eξ)||(η − Eη)| ≤ \frac{|ξ − Eξ|^{2}}{2} + \frac{|η − Eη|^{2}}{2} , ahonnan E|(ξ − Eξ)||(η −

Eη)| ≤ \frac{E|ξ − Eξ|^{2}}{2} + \frac{E|η − Eη|^{2}}{2} < ∞. Innen következik, hogy az Eξ^{2} < ∞ és Eη^{2} <

∞ feltételek teljesülése esetén a Cov (ξ, η)-t definiáló várható érték valóban létezik.

Lemma.

Cov (ξ, η) = Eξη − EξEη.

Következmény. Ha ξ és η két független valószínűségi változó, akkor Cov (ξ, η) = 0.

Lemma bizonyítása.

Cov (ξ, η) = E[ξη −ηEξ −ξEη +EξEη] = Eξη −EξEη −EξEη +EξEη = Eξη −EξEη.

Most megfogalmazzuk az alábbi eredményt valószínűségi változók összegének a szórásnégyzetéről:

Tétel. Ha ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók ugyanazon a valószínűségi mezőn, melyek mindegyikének létezik szórásnégyzete, akkor

Var (∑_{j=1}^{n} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤n}(Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k})

= ∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤n}(Cov (ξ_{j}, ξ_{k})

= ∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j} + ∑_{1≤j,k≤n, j≠k}(Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

Bizonyítás.

Var (∑_{j=1}^{n} ξ_{j}) = E (∑_{j=1}^{n} ξ_{j})^{2}− (E ∑_{j=1}^{n} ξ_{j})^{2}= E (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} ξ_{j}ξ_{k}) − (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{j}Eξ_{k})

= (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{j}ξ_{k}) − (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{j}Eξ_{k})

= ∑_{j=1}^{n} (Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2}) + 2 ∑_{1≤j<k≤n}(Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k}).

és Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = Var ξ_{j}, Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} = Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

Megmutatjuk a (részben a gyakorlaton), hogy a fenti eredmény segítségével viszonylag egyszerűen meg tudjuk oldani a következő két feladatot.

Feladat:

Legyen egy urnában 20 piros és 30 fehér golyó. Húzzunk ki 20 golyót visszatevés nélkül. Számoljuk ki a kihúzott piros golyók számának várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 20, valószínűségi változókat: ξ_{j}(ω) = 1, ha a j-ik húzás eredménye piros, ξ_{j}(ω) = 0, ha a j-ik húzás eredménye

fehér. Ekkor a ξ = ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} összeg várható értékét és szórásnégyzetét kell kiszámol-

nunk. Továbbá Eξ_{j} = Eξ_{1} = \frac{2}{5}, Var ξ_{j} = Var ξ_{1} = \frac{2}{5} − \frac{4}{25} = \frac{6}{25}, Eξ_{j}ξ_{k}−Eξ_{j}Eξ_{k} =

Eξ_{1}ξ_{2} − Eξ_{1}Eξ_{2} = \frac{2}{5} · \frac{19}{49} − \frac{4}{25} = −\frac{6}{1245}, ha j ≠ k. Innen a 20 dobásban kihúzott

piros golyók számának várható értéke 20 · \frac{2}{5} = 8 és szórásnégyzete 20 · \frac{6}{25} − 380 ·

\frac{6}{1245} = \frac{144}{49}.

Feldobunk egy dobókockát, majd ezután egy szabályos pénzdarabot annyi alkalommal, amennyi a kockadobás eredménye volt. (Az egyes dobások eredményei függetlenek egymástól.) Számoljuk ki a fejdobások számának várható értékét és szórásnégyzetét.

Vágül tárgyaltuk azt, hogyan lehet kiszámolni független, diszkrét eloszlású valószínűségi változók összegének az eloszlását, majd definiáltuk diszkrét valószínűségi változók eloszlásainak a konvolucióját, és néhány megjegyzést tettünk ezzel kapcsolatban.

Legyen ξ és η két független, diszkrét valószínűségi változó, melyek valamilyen x_{1}, x_{2}, … értékeket vesznek fel. Ekkor ezek összege a ξ +η valószínűségi változó szintén diszkrét és eloszlását ki tudjuk számolni a következő módon:

P (ξ + η = x) =  ∑_{(x_{j},x_{k}) : x_{j}+x_{k}=x}P (ξ_{j} = x_{j}, η = x_{k}) =  ∑_{(x_{j},x_{k}) : x_{j}+x_{k}=x}P (ξ_{j} = x_{j})P (η = x_{k})

Ez a képlet egyszerűsödik abban a fontos speciális esetben, ha a független ξ és η valószínűségi változók csak egész értékeket vesznek fel, és még egyszerűbb, ha csak nem negatív egész értékeket vesznek fel. Azt az eredményt, melyet ebben a speciális esetben kapunk fogalmazzuk meg tétel formájában.

Tétel. Legyen ξ és η két független, egész értékeket felvevő valószínűségi változó. Ekkor a ξ + η valószínűségi változó is csak egész értékeket vesz fel, és

P (ξ + η = n) = ∑_{k=−∞}^{∞} P (ξ = k)P (η = n − k), n = 0, ±1, ±2, ….

Ez a formula tovább egyszerűsödik, ha a független ξ és η valószínűségi változók csak nem negatív egész értékeket vesznek fel. Ekkor

P (ξ + η = n) = ∑_{k=0}^{n} P (ξ = k)P (η = n − k), ha n ≥ 0,

és

P (ξ + η = n) = 0, ha n < 0.

Bizonyítás: A tétel első képlete azonnal adódik a tétel előtt tárgyalt általános esetből abban az esetben, ha a valószínűségi véltozók x_{1}, x_{2}, … értékei egész számok. A második képlet az első képlet következménye, ha észrevesszük, hogy elég csak azon (k, n − k) párokra összegezni, melyekre P (ξ = k)P (η = n − k) ≠ 0. Ez azt jelenti, hogy abban az esetben, ha ξ és η nem negatív egészeket vesznek fel, akkor az összegezésből kihagyhatjuk azokat a tagokat, melyekre k < 0 vagy n − k < 0, azaz k > n.

A fenti eredmény miatt érdemes bevezetni a következő definiciót.

Diszkrét, egész értékű eloszlásások konvoluciójának a definiciója. Legyen

P = {p_{k}: k = 0, ±1, ±2, … } és Q = {q_{k}: k = 0, ±1, ±2, … }

két az egész számokon értelmezett diszkrét eloszás, azaz tegyük fel, hogy p_{k} ≥ 0, q_{k} ≥ 0,

k = 0, ±1, ±2, …, ∑_{k=−∞}^{∞} p_{k} = 1 és ∑_{k=−∞}^{∞} q_{k} = 1. Ekkor a P és Q eloszlások kon-

voluciója, az a R = P ∗ Q = {r_{n}: n = 0, ±1, ±2, … } eloszlás, melyre

r_{n} = ∑_{k=−∞}^{∞} p_{k}q_{n−k}, n = 0, ±1, ±2, ….

Abban a speciáis esetben, ha p_{k} = 0 és q_{k} = 0 k < 0 esetén, akkor r_{n} = 0 n < 0 esetén, és

r_{n} = ∑_{k=0}^{n} p_{k}q_{n−k}, n = 0, 1, 2, ….

Érdemes a következő észrevételt tenni. Legyen f(x) és g(x) két függvény, melyek hatványsorba fejthetőek, azaz,

f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k}, g(x) = ∑_{k=0}^{∞} b_{k}x^{k},

ha −A < x < A valamilyen A > 0 számmal. Ekkor az f(x)g(x) szorzat is sorba fejthető, azaz

f(x)g(x) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}x^{n}

(ugyanabban a −A < x < A intervallumban), és

c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k}.

Vegyük észre, hogy a fenti hatványsorokban szereplő a_{k}, b_{k} és c_{n} együtthatók között hasonló reláció érvényes mint ami a konvolució definiciójában szerepelt. Ezekívül érdemes tudni a következő analízisben bizonyított eredményeket.

a.) Ha az f(x) függvény hatványsorba fejthető, azaz f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} valamilyen

−A < x < A intervallumon, A > 0, akkor az f(x) függvény értékei a −A < x < A intervallumon meghatározzák az a_{n} együtthatókat. (Sőt azok explicit módon

kiszámíthatóak az n!a_{n} = \frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}} |_{x=0} képlet segítségével.)

b.) Ha f_{n}(x), n = 1, 2, …, függvényeknek egy olyan sorozata melyek mindegyike

előállítható f_{n}(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k,n}x^{k} hatványsor alakban valamilyen −A < x < A,

A > 0 intervallumon, ahol az A > 0 szám nem függ az n indextől, továbbá létezik az f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) határérték minden −A < x < A számra, akkor az f(x)

határfüggvény is hatványsorba fejthető f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} alakban a −A < x < A

intervallumon. Továbbá a_{k} = lim_{n→∞} a_{k,n} minden k = 0, 1, 2, … együtthatóra.

Később látni fogjuk, hogy a hatványsorok fent említett tulajdonságai jól használhatóak bizonyos valószínűségi vizsgálatokban. Ugyanis egy nem-negatív egész értkékeket felvevő ξ valószínűségi változó p_{k} = P (ξ = k), k = 0, 1, 2, …, eloszlásához hozzáren-

delhetjük az f(x) = ∑_{k=0}^{∞} p_{k}x_{k} függvényt, melyet ezen eloszlás generátorfüggvényének neveznek. Látni fogjuk, hogy a generátorfüggvények tulajdonságai, például az, hogy ezek együtthatóit a differenciálszámítás segítségével is kiszámíthatjuk, lehetővé teszi, hogy a generátorfüggvények segítségével bizonyos valószínűségi problémákat egyszerűbben oldhassunk meg.