<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
%\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat negyedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002 febru\'ar 19.}
\medskip\noindent
{\it \"Osszefoglal\'o:}\/
 
\medskip\noindent
 
R\'at\'ert\"unk a Borel--Cantelli lemma bizony\'{\i}t\'as\'ara. A
bizony\'{\i}t\'ashoz sz\"uks\'eg\"unk van a k\"ovetkez\H{o} lemm\'ara.
\medskip\noindent
{\bf Lemma a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
folytonoss\'ag\'ar\'ol.} {\it Legyen adva $B_1\subset B_2\subset
\cdots$, $B_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, esem\'enyeknek n\"ovekv\H{o}
sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.
Legyen $B=\bigcupp_{n=1}^\infty B_n$. Ekkor l\'etezik a
$\limm_{n\to\infty}P(B_n)$ hat\'ar\'ert\'ek, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(B_n)=P(B)$.
 
Legyen adva $C_1\supset C_2\supset \cdots$, $C_n\in\Cal A$.
$n=1,2,\dots$, esem\'enyeknek cs\"okken\H{o} sorozata egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Legyen
$C=\bigcapp_{n=1}^\infty C_n$. Ekkor l\'etezik a
$\limm_{n\to\infty}P(C_n)$ hat\'ar\'ert\'ek, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(C_n)=P(C)$.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az itt megfogalmazott tulajdons\'ag
(form\'alisan) kiss\'e \'altal\'anosabb mint a Fazekas k\"onyv 2.5
\'All\'{\i}t\'as\'aban (23. oldal) szerepl\H{o} hasonl\'o n\'even
nevezett tulajdons\'ag, illetve a m\'asodik el\H{o}ad\'as T\'etel~A
\'all\'{\i}t\'as\'anak els\H{o} fele. Ennek bizony\'{\i}t\'asa
a m\'asodik el\H{o}ad\'as kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben
megtal\'alhat\'o.) Ezt az \'all\'{\i}t\'ast tartalmazza
a Fazekas k\"onyv 29. oldal\'an szerepl\H{o} 10. feladat is.
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Legyen $D_n=B_{n+1}\setminus B_n$. Ekkor
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek $\sigma$-additivit\'asa miatt
$$
P(B)=P(B_n)+\summ_{k=n}^\infty P(D_k), \tag $*$
$$
ahonnan egyr\'eszt $P(B_n)\le P(B)$ minden $n$-re, m\'asr\'eszt
$\summ_{k=1}^\infty P(D_k)&lt;\infty$. Az ut\'obbi \'all\'{\i}t\'asb\'ol
k\"ovetkezik, hogy minden $\e&gt;0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $n_0=n_0(\e)$
sz\'am, hogy $\summ_{k=n}^\infty P(D_k)&lt;\e$, ha $n\ge n_0$. Innen \'es
a $(*)$ formul\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy $P(B_n)\le P(B)\le P(B_n)+\e$,
ha $n\ge n_0$, teh\'at igaz a Lemma els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa.
 
Ha a m\'asodik \'all\'{\i}t\'as  felt\'etelei teljes\"ulnek akkor az
$E_n=\Omega\setminus C_n$, $n=1,2,\dots$ halmazok n\"ovekv\H{o}
sorozatot alkotnak, melyekre teljes\"ul az $\bigcupp_{n=1}^\infty
E_n=\Omega\setminus \(\bigcapp_{n=1}^\infty C_n\)=E$ rel\'aci\'o.
Ez\'ert a Lemma m\'ar bebizony\'{\i}tott r\'esze szerint
$\limm_{n\to\infty}P(E_n)=P(E)$, \'es $\limm_{n\to\infty}P(C_n)=
1-\limm_{n\to\infty}P(E_n)=1-P(E)=P(C)$.
\medskip\noindent
{\it A Borel--Cantelli lemma bizony\'{\i}t\'asa.} Az a.) r\'esz
bizony\'{\i}t\'asa:
$$
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)\le
P\(\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)\le
\sum_{k=n}^\infty P\(A_k\) \quad \text{minden $n$ sz\'amra.}
$$
Mivel $\summ_{k=1}^\infty P\(A_k\)&lt;\infty$, minden $\e&gt;0$ sz\'amhoz
l\'etezik olyan $n=n(\e)$ sz\'am, hogy $\summ_{k=n}^\infty P\(A_k\)&lt;\e$,
ahonnan az el\H{o}z\H{o} rel\'aci\'o szerint
$P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)\le \e$.
Innen k\"o\-vet\-ke\-zik az a.) r\'esz \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
A b.) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa: Az el\H{o}bbi lemma szerint a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek folytonoss\'ag\'ar\'ol kapjuk,
hogy az $A_n$ halmazok f\"uggetlens\'ege miatt
$$
\align
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)
&amp;=\limm_{N\to\infty} P\(\bigcupp_{k=N}^\infty A_k\)
=\limm_{N\to\infty}\[\limm_{M\to\infty} P\(\bigcupp_{k=N}^M A_k\)\] \\
&amp;=\limm_{N\to\infty}\[\limm_{M\to\infty}\(1-P\(\bigcapp_{k=N}^M
(\Omega\setminus A_k)\)\)\] \\
&amp;=\limm_{N\to\infty}\[\limm_{M\to\infty}\(1-\prod_{k=N}^M
\(1-P(A_k)\)\)\].
\endalign
$$
Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy minden r\"ogz\'{\i}tett $N$ sz\'amra
$\limm_{M\to\infty}\prodd_{k=N}^M \(1-P(A_k)\)=0$, ha
$\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$. Viszont az $1-x\le e^{-x}$
egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$\prodd_{k=N}^M\(1-P(A_k)\)\le\exp\left\{-\summ_{k=N}^M
P(A_k)\right\}$, ahonnan $\limm_{M\to\infty}\prodd_{k=N}^M
\(1-P(A_k)\)=0$, ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$.
 
A felhaszn\'alt $1-x\le e^{-x}$ egyenl\H{o}tlens\'eg p\'eld\'aul a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon l\'athat\'o: Az $f(x)=e^x$ f\"uggv\'eny konvex,
$f(0)=1$, $f'(0)=1$. Az $f)x)=e^x$ f\"uggv\'eny konvexit\'asa miatt e
f\"uggv\'eny $(0,f(0))$ ponton \'atmen\H{o} \'erint\H{o}je minden
val\'os $x$-re a az $f(x)$
f\"uggv\'eny alatt van, azaz $e^x\ge x+1$. Az $x$ sz\'am helyett
$-x$-et \'{\i}rva megkapjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az anal\'{\i}zisben bizony\'{\i}tj\'ak \'es
haszn\'alj\'ak a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt: Adva $x_n$ val\'os
sz\'amoknak olyan sorozata, melyre $0\le x_n&lt;1$ minden $n=1,2,\dots$,
sz\'amra $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)&gt;0$, ha $\summ_{k=1}^\infty
x_k&lt;\infty$, \'es $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)=0$, ha
$\summ_{k=1}^\infty x_k=\infty$. B\'ar nek\"unk erre nem lesz
sz\"uks\'eg\"unk, az el\H{o}ad\'as kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben megadom ennek a
formul\'anak el\H{o}bb heurisztikus indokl\'as\'at majd prec\'{\i}z
bizony\'{\i}t\'as\'at, mivel ez tanuls\'agos.
\medskip
Kor\'abbi feladatokban l\'attuk hogyan lehet egyszer\H{u}en
kisz\'am\'{\i}tani a $A_1\cup \cdots\cup A_n$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, ha az $A_j$, $1\le j\le n$, esem\'enyek
f\"uggetlenek. Ezek a sz\'amol\'asok term\'eszetesen kihaszn\'alt\'ak
a tekintett esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'et. A k\"ovetkez\H{o}ben azt
t\'argyaljuk meg, hogy amennyiben nincs felt\'etlen\"ul
f\"uggetlens\'eg a tekintett esem\'enyek k\"oz\"ott, de ki tudjuk
sz\'amolni az $A_{j_1}\cap \cdots\cap A_{j_s}$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, akkor egy \'ugynevezett szita formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani az $A_1\cup \cdots\cup
A_n$ esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is. Tov\'abb\'a
megmutatjuk, hogy ez lehet\H{o}v\'e teszi \'erdekes feladatok
megold\'as\'at. A k\"ovetkez\H{o} feladatot fogjuk t\'argyalni:
\medskip
\item{} Egy est\'elyen megjelenik $n$ h\'azasp\'ar. Egy
t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik h\'azast\'arsak \'es kik nem
v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a f\'erfiakat \'es n\H{o}ket
a t\'anc el\H{o}tt. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
egyetlen h\'azasp\'ar sem t\'ancol egy\"utt? Mi ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $A_j$
esem\'enyeket:
$$
A_j=\text{a $j$-ik h\'azasp\'ar egy\"utt t\'ancol,}\quad 1\le j\le n.
$$
Ekkor minket a $P(\overline{A_1\cup\dots\cup A_{n}})=
1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a $P(A_{j_1}\cap \cdots
\cap A_{j_k})=\dfrac{(n-k)!}{n!}$ azonoss\'ag igaz. Ugyanis az
\"osszes lehets\'eges p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama $n!$, m\'{\i}g
az olyan p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama, melyben a $j_1$-ik,
$j_2$-ik, \dots, $j_k$-ik h\'azasp\'ar egy p\'arba ker\"ul $(n-k)!$.
Tov\'abb\'a \'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o}, az irodalomban
szita-formul\'anak nevezett eredm\'eny, melyet k\"ul\"on fogunk
t\'argyalni.
\medskip\noindent
{\bf Szita formula.} {\it Legyenek $A_1,\dots,A_n$ tetsz\H{o}leges
esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ekkor
$$
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=S_1-S_2+S_3-\cdots +(-1)^{n+1}S_n,
$$
ahol
$$
S_k=\sum_{1\le j_1&lt;\cdots&lt;j_k\le n} P(A_{j_1}\cap \cdots\cap  A_{j_k}).
$$
}\medskip
\item{} A szita-formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy $n$
h\'azasp\'ar eset\'eben
$$
S_k=\dbinom nk\dfrac{(n-k)!}{n!}=\dfrac1{k!}.
$$
Innen ad\'odik, hogy a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$n$ h\'azasp\'ar eset\'en
$$
\align
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})&amp;=1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n}) \\
&amp;=1-S_1+S_2+\cdots+(-1)^n S_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!},
\endalign
$$
\'es ez\'ert
$$
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})
=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}\to \sum_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^k}{k!}
=\frac1e\quad \text{ ha } n\to\infty.
$$
\medskip \noindent {\it A szita formula bizony\'{\i}t\'asa:}\/
Adva egy $A$ esem\'eny vezess\"uk be az $A^\e$ jel\"ol\'est,
ahol $\e=\pm1$, $\e=1$ est\'eben $A^1=A$, $\e=-1$ eset\'eben
$A^{-1}=\Omega\setminus A=\bar A$. De\-fi\-ni\'al\-juk tetsz\H{o}leges
$r_s=1$ vagy $r_s=-1$, $s=1,\dots,n$ sz\'amokra az
$$
A(r_1,\dots,r_n)=A^{r_1}\cap\cdots\cap A^{r_n}
$$
esem\'enyeket. A bizony\'{\i}t\'as gondolata abb\'ol \'all, hogy a
bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'agnak mind a k\'et oldal\'at kifejezz\"uk
az $A(r_1,\dots,r_n)=A^{r_1}\cap\cdots\cap A^{r_n}$ esem\'enyek
$P(A(r_1,\dots,r_n))$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gei\-nek
line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent, \'es ellen\H{o}rizz\"uk, hogy a
k\'et kifejez\'es meg\-egye\-zik. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
A_1\cup\cdots\cup A_n=\bigcup_{(r_1,\dots,r_n)\:(r_1,\dots,r_n)\neq
(-1,\dots,-1)} A(r_1,\dots,r_n),
$$
\'es tetsz\H{o}leges $A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s}$, $1\le
j_1&lt;j_2&lt;\cdots&lt;j_s\le n$ alak\'u halmazra
$$
A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s}
=\bigcup_{(r_1,\dots,r_n)\:r_{j_u}=1,\; 1\le u\le s} A(r_1,\dots,r_n).
$$
Tov\'abb\'a az $A(r_1,\dots,r_n)$ esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(r_1,\dots,r_n)$ param\'eterek eset\'eben disz\-junk\-tak. Ez\'ert
$$
P(A_1\cup\cdots\cup A_n)=\sum_{(r_1,\dots,r_n)\:(r_1,\dots,r_n)\neq
(-1,\dots,-1)} P(A(r_1,\dots,r_n)),
$$
\'es tetsz\H{o}leges $A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ alak\'u halmazra
$$
P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_s})
=\sum_{(r_1,\dots,r_n)\:r_{j_u}=1,\; 1\le u\le s} P(A(r_1,\dots,r_n)).
$$
 
Ilyen m\'odon a az $A(r_1,\dots,r_n)$ halmazok
$P(A(r_1,\dots,r_n))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek a li\-ne\-\'a\-ris
kombin\'aci\'ojak\'ent fejezhet\H{o} ki a szita-formula k\'et oldal\'an
szerepl\H{o} kifejez\'es. Azt kell be\-l\'at\-ni, hogy a
$P(A(r_1,\dots,r_n))$ sz\'am a szitaformula k\'et oldal\'an
szerepl\H{o} kifejez\'esben ugyanazzal az egy\"utthat\'oval szerepel.
Az azonoss\'ag baloldal\'an ez az egy\"utthat\'o 1, ha
$\{r_1,\dots,r_n\}\neq\{-1,\dots,-1\}$, \'es
nulla, ha $\{r_1,\dots,r_n\}=\{-1,\dots,-1\}$. Ha az $(r_1,\dots,r_s)$
halmaz $l$ darab 1 \'es $n-l$ darab $-1$ jegyet tartalmaz, akkor ennek
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge a szitaformula jobboldal\'an ezt
$\dbinom l1- \dbinom l2+\cdots\pm\dbinom
ll=\summ_{k=1}^l(-1)^{k+1}\dbinom lk$
egy\"utt\-ha\-t\'o\-val szerepel. Ugyanis az $S_k$ \"osszegben ez a
kifejez\'es $\dbinom lk$ egy\"utthat\'oval sze\-re\-pel. Mi\'ert?
 
Innen a vizsg\'alt egy\"utthat\'o $\summ_{k=1}^l(-1)^{k+1}\dbinom lk=1-
\summ_{k=0}^l(-1)^{k}\dbinom lk=1-(1-1)^k=1$, ha az
$A(r_1,\dots,r_n)$ halmaz $r_1,\dots,r_n$ indexei k\"oz\"ott
 $l\neq0$ 1-es van. A marad\'ek esetben pedig az egy\"utthat\'o nulla.
Ez azt jelenti, hogy a szita formula k\'et oldal]\'an szerepl\H{o}
egy\"uthat\'ok megegyeznek.
\medskip {\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
L\'assuk be, hogy a szitaformula jel\"ol\'eseit haszn\'alva
$$
S_1-S_2=\sum _{j=1}^nP(A_j)-\sum_{1\le j&lt;k\le n}P(A_j\cap A_k)\le
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)\le S_1=\sum_{j=1}^nP(A_j)
$$
\'es \'altal\'aban
$$
\sum_{k=1}^{2l}(-1)^{k+1}S_k\le
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)\le \sum_{k=1}^{2l-1}(-1)^{k+1}S_k
$$
minden $l$ indexre. (Legyen $S_k=0$, ha $k&gt;n$.)
 
\beginsection Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'es azok f\"uggetlens\'ege
 
El\H{o}sz\"or bevezett\"uk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
fogalm\'at: \medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalma:} {\it
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}. Egy ezen a t\'eren \'ertelmezett val\'os \'ert\'ek\H{u}
(m\'erhet\H{o}) $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak fogunk nevezni. Azaz $\xi$ az $\Omega\to R^{1}$
lek\'epez\'es. Az a megk\"ot\'es, hogy a f\"uggv\'eny legyen
m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy minden $x$ val\'os sz\'amra az
$\{\oo\:\xi(\oo)&lt;x\}\in \Cal A$ felt\'etel teljes\"ul.
 
Id\H{o}nk\'ent hasznos nemcsak val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'or\'ol besz\'elni,
hanem kiss\'e \'altal\'anosabban olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat defini\'alni, melyek
\'ert\'ekeiket egy \'al\-ta\-l\'a\-nos t\'eren veszik fel.
(P\'eld\'aul bizonyos esetekben \'erdemes olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-kat tekinteni, melyek
\'ert\'eke komplex sz\'am, vagy nem egyetlen sz\'am, hanem egy
sz\'am-$n$-es. Az ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
vektor \'ert\'ek\H{u}nek szokt\'ak h\'{\i}vni.) Annak \'erdek\'eben,
hogy ezt megtehess\"uk tekints\"unk valamilyen $X$ halmazt, \'es e
halmaz kit\"untetett r\'esz\-hal\-ma\-zai\-nak $\Cal X$
osz\-t\'a\-ly\'at, melyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Egy az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt
$X$ t\'erbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o} (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'enyt $X$-t\'er \'ert\'ek\H{u}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o\-nak ne\-ve\-z\"unk.
Az, hogy ez a f\"uggv\'eny m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy minden
$Y\in\Cal X$ halmazra az $\{\oo\:\xi(\oo)\in Y\}\in \Cal A$ felt\'etel
teljes\"ul.} \medskip
Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy mi\'ert vezett\"uk be azt a
mesterk\'eltnek t\H{u}n\H{o} felt\'etelt, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o legyen {\it m\'erhet\H{o}}\/
f\"uggv\'eny. Az\'ert mert term\'eszetes k\'{\i}v\'ans\'ag az, hogy
legyen \'ertelme annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l besz\'elni,
hogy az $\{\oo\:\xi(\oo)&lt;x\}$ esem\'eny be\-k\"o\-vet\-ke\-zett. Viszont
csak $\Cal A$-beli halmazoknak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l
tudunk besz\'elni. Term\'eszetes enn\'el is t\"obbet kiv\'anni,
nevezetesen azt, hogy a sz\'amegyenes minden ,,sz\'ep'' $B$ halmaz\'ara
az $\{\oo\: \xi(\oo)\in B\}$ halmaz legyen a $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aban, azaz legyen \'ertelme ennek az esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l is besz\'elni. A
m\'ert\'ekelm\'eletben bel\'att\'ak, hogy amennyiben
a sz\'am\-egye\-nes Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazait tekintj\"uk
sz\'ep halmazoknak, akkor a m\'erhet\H{o}s\'eg \'altalunk megk\"ovetelt
felt\'eteleib\H{o}l k\"ovetkezik ez az er\"osebb tulajdons\'ag is.
 
A fenti \'ervel\'es azt mutatja, hogy a m\'erhet\H{o}s\'eg
megk\"ovetel\'ese term\'eszetes. M\'asr\'eszt tov\'abbi eredm\'enyek
azt is mutatj\'ak, hogy minden ,,defini\'alhat\'o" f\"uggv\'eny egyben
m\'erhet\H{o} is, ez\'ert ennek a tulajdons\'agnak a megk\"ovetel\'ese
nem jelent igazi megszor\'{\i}t\'ast, a tov\'abbiakban
megfeledkezhet\"unk r\'ola. Az \'altal\'anos terekben \'ertelmezett
m\'er\-he\-t\H{o}\-s\'eg\-r\H{o}l hasonl\'okat mondhatunk. \'Erdemes
m\'eg megjegyezni, hogy b\'ar form\'alisan a  val\'os \'es
\'altal\'anos t\'erbeli f\"uggv\'eny m\'erhet\H{o}s\'eg\'et m\'ask\'epp
defini\'altuk ez a k\"ul\"onbs\'eg csak l\'at\-sz\'o\-la\-gos.
Vezess\"uk be a sz\'amegyenesen a Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\Cal B$
$\sigma$-algebr\'aj\'at, \'es t\'ars\'{\i}tjuk a sz\'amegyenest ezzel
a $\sigma$-algebr\'aval. Ekkor a val\'os \'ert\'ek\H{u}
m\'erhet\H{o} f\"ugg\-v\'e\-nyek\-nek az \'altal\'anos esetbeli
definici\'oja az $(X,\Cal X)=(R,\Cal B)$ v\'alaszt\'assal megegyezik
a val\'os \'ert\'ek\H{u} m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyek eredeti
definici\'oj\'aval.
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'es azok
eloszl\'asa.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
diszkr\'etnek h\'{\i}vunk, ha megadhat\'o egy v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sz\'amoss\'ag\'u $x_1,x_2,\cdots$,
halmaz \'ugy, hogy az $\{\oo,\xi(\oo)=x_n\}$, $n=1,2,\dots$, halmazok
teljes esem\'enyrendszert alkotnak. Egy diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at meghat\'arozz\'ak
azok az $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekek melyeket az felvesz \'es a
$p_n=P(\xi=x_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek. (Jegyezz\"uk meg, hogy
$\summ_n P(\xi=x_n)=1$.)
 
Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, melyek valamilyen
$x_1,x_2,\dots$ \'er\-t\'e\-ke\-ket vesznek fel. Ezek egy\"uttes
eloszl\'as\'at meghat\'arozz\'ak a $P(\xi_1=x_{j_1},
\xi_2=x_{j_2},\dots,\xi_k=x_{j_k})$, $j_s=1,2,\dots$, $1\le s\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek.}
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ diszkr\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok ugyanazon az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyek
valamilyen $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Azt mondjuk,
hogy ezek az $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, $\xi_k$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, ha
$$
P\(\xi_1=x_{j_1},\xi_2=x_{j_2},\dots,\xi_k=x_{j_k}\)=
P\(\xi_1=x_{j_1}\)P\(\xi_2=x_{j_2}\)\cdots P\(\xi_k=x_{j_k}\)
$$
minden $j_s=1,2,\dots$, $1\le s\le k$, indexre.} \medskip \noindent
{\it 1. Megjegyz\'es:}\/ A fenti definici\'oban feltett\"uk, hogy a
diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok melyeknek az
egy\"uttes eloszl\'as\'at vagy f\"uggetlens\'eg\'et defini\'altuk
ugyanazokat az \'er\-t\'e\-ke\-ket veszik fel. Ez azonban nem jelent
megszor\'{\i}t\'ast. Ugyanis, ha  egyes\'{\i}tj\"uk ezen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\'ert\'ekk\'eszlet\'et, akkor \'ujra legfeljebb megsz\'aml\'alhat\'o
sz\'amoss\'ag\'u halmazt kapunk, \'es mondhatjuk, hogy az egyes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ezen halmazb\'ol veszik fel
az \'ert\'ekeitket. Lehets\'eges, hogy ily m\'odon sok nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi esem\'enyt is bevezett\"unk, de ez nem okoz
probl\'em\'at. \medskip   \noindent
{\it 2. Megjegyz\'es:}\/ Annak, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oknak az eloszl\'as\'at defini\'altuk m\'elyebb oka van. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban olyan probl\'em\'akkal
foglalkozunk, melyek csak att\'ol f\"uggnek, hogy k\"ul\"onb\"oz\H{o}
esem\'enyeknek mennyi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\"uk,
k\"ul\"onb\"oz\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok
milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel.
Arra vagyunk ki\-v\'an\-csiak, hogy ezen ismereteknek milyen
k\"ovetkezm\'enyei vannak. Viszont a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-\'as\-ban vizsg\'alt
k\'erd\'esekre adott v\'alasz nem f\"ugg att\'ol, hogy milyen
v\'eletlen hat\'asok v\'altott\'ak ki a megfigyelt v\'eletlen
eredm\'enyeket, azaz milyen az a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o},
melyben a vizsg\'alt esem\'enyek \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok megjelentek. Ez az oka annak, hogy minket igaz\'ab\'ol
nem maguk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, hanem azok
(egy\"uttes) eloszl\'asa \'erdekel. \medskip
{\it Peladat:}
\item{}  Legyenek  $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen, diszkr\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n,
melyek valamilyen $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Legyenek
$A_1\subset \{x_1,x_2,\dots\},A_2\subset \{x_1,x_2,\dots\},\dots,
A_k\subset \{x_1,x_2,\dots\}$ tetsz\H{o}leges halmazok. Ekkor
$$
P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)=
P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\).
$$
Speci\'alisan, ekkor tetsz\H{o}leges $\{j_1,\dots,
j_s\}\subset\{1,\dots,k\}$ indexhalmazra a $\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_s}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
\medskip \noindent
{\bf Halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it
Legyen adva egy $A\in \Cal A$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'en azt a $\chi_A(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'ertj\"uk, melyre
$\chi_A(\oo)=1$, ha $\oo\in A$, \'es $\chi_A(\oo)=0$, ha $\oo\notin
A$.} \medskip
Ezut\'an megfogalmaztuk a k\"ovetkez\H{o} gyakorlaton t\'argyaland\'o
feladatokat: \medskip
\item{} Legyenek  $A_1$,\dots, $A_k$ esem\'enyek egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n. Az
$A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek akkor \'es csak akkor f\"uggetlenek, ha azok
$\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyei f\"uggetlenek.
\medskip
\item{} V\'eletlen\"ul megh\'{\i}vunk 30 embert. Tegy\"uk fel, hogy az
egyes embereknek egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul van sz\"ulet\'esnapjuk,
\'es minden ember eset\'eben $\dfrac1{365}$ annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'ev valamely napj\'an
sz\"uletett. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van k\'et
ember a t\'arsas\'agban, akiknek ugyanaznap van a sz\"ulet\'esnapjuk?
\item{} \'Altal\'anosabban, van $n$ urna, amelyekbe bedobunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $k$ goly\'ot \'ugy, hogy mindegyik
goly\'o egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik az egyes urn\'akba.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van olyan urna melybe
legal\'abb k\'et goly\'o esik? \'Erdekel minket tov\'abb\'a ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a viselked\'ese, ha mind az $n$ mind a
$k$ sz\'am nagy, \'es a $k=k(n)$ sz\'amnak megfelel\H{o} a
nagys\'agrendje. L\'assuk be, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek van hat\'ar\'ert\'eke,
ha $n\to \infty$, $\dfrac k{\sqrt n}\to\alpha$ valamilyen
$0\le \alpha&lt;\infty$ sz\'ammal, \'es hat\'arozzuk meg ezt a
hat\'ar\'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $\xi_j$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy a $j$-ik embernek az
\'ev hanyadik napj\'an van a sz\"ulet\'esnapja. Ekkor
a $\xi_j$, $1\le j\le 30$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, $P\(\xi_j=l\)=\dfrac1{365}$, $1\le j\le 30$, $1\le l\le
365$, \'es $P(\xi_j\neq \xi_j'\;\text{ha }j\neq j')$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mindenkinek
k\"ul\"onb\"oz\H{o} nap van a sz\"ulet\'esnapja.
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg viszont
$$
\dfrac{365\cdot 364\cdots(365-30+1)}{365^k}
=\prod_{j=1}^{29}\(1-\dfrac j{365}\),
$$
mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}l\'ege, hogy az els\H{o} ember
sz\"ulet\'esnapja az $l_1$-ik, a m\'asodik\'e az $l_2$-ik \'es
\'{\i}gy tov\'abb a $k$-ik ember sz\"ulet\'esnapja az $l_k$-ik napon
van $\dfrac1{365^k}$, tetsz\H{o}leges $1\le l_j\le 365$, $1\le j\le 30$
sz\'amok eset\'en, \'es ezeket a sz\'amokat $\prodd_{j=0}^{k-1}(365-j)$
m\'odon v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy mindegyik $l_j$ sz\'am
k\"ul\"onb\"oz\H{o} legyen. \'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy van k\'et ember akinek ugyanazon a napon van a sz\"ulet\'esnapja
$1-\prodd_{j=1}^{29}\(1-\dfrac j{365}\)$.
\item{} Hasonl\'oan, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ha $k$
goly\'ot dobunk $n$ urn\'aba az adott m\'odon, akkor van olyan urna,
amelyikbe legal\'abb k\'et goly\'o esik $1-\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\dfrac
jn\)$. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est a
$\log\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\dfrac jn\)=\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\dfrac
jn\)$ kifejez\'esre, ha $n\to\infty$, $\dfrac{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$.
Heurisztikus \'ervel\'es szerint mivel $\log\(1-\dfrac jn\)\sim-\dfrac
jn$ a $\log(1+x)$ f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'ese szerint, ez\'ert
$\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\dfrac jn\)\sim -\summ_{j=1}^{k-1}\dfrac
jn=-\dfrac{(k-1)k}{2n}$, ahonnan $\log\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\dfrac
jn\)\to-\dfrac{\alpha^2}2$, ha $n\to\infty$, \'es $\dfrac
{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$. Ez a sz\'amol\'as precizz\'e tehet\H{o}, ha
felhaszn\'aljuk p\'eld\'aul azt az egyenl\H{o}tlens\'eget, mely
szerint
$$
\left|\log\(1-\dfrac jn\)+\dfrac jn\right|\le
\dfrac{2j^2}{n^2}\le\frac{\const}n,\quad\text{ha
} n \text{ el\'eg nagy \'es }\dfrac j{\sqrt n}\le\alpha+1,
$$
ami szint\'en k\"ovetkezik a $\log(1+x)$ Taylor sorfejt\'es\'eb\H{o}l.
Mi\'ert? Innen kapjuk, hogy $1-\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\dfrac jn\)\to
1-e^{-\alpha^2/2}$, ha $n\to\infty$, \'es $\dfrac
{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o}ben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik legfontosabb fogalm\'at, a v\'arhat\'o \'er\-t\'e\-ket
defini\'altuk, \'es t\'argyaltuk annak legfontosabb tulajdons\'agait.
Egyel\H{o}re csak diszkr\'et va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel foglalkoztunk.
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke.} {\it Legyen $\xi$ diszkr\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, mely $x_1,x_2,\dots$,
\'ert\'ekeket vesz fel $p_k=P(\xi=x_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
$k=1,2,\dots$, $\summ_{k=1}^\infty P(\xi=x_k)=1$. A $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke a
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty x_k P(\xi=x_k)
$$
\"osszeg, felt\'eve hogy ez az \"osszeg abszolut konvergens. Ha ez az
\"osszeg nem abszolut konvergens, akkor nem defini\'aljuk az $E\xi$
v\'arhat\'o \'ert\'eket.} \medskip\noindent
{\it 1. Megjegyz\'es:}\/ Most \'es a tov\'abbiakban az egyszer\H{u}bb
\'es egys\'egesebb jel\"ol\'es \'erdek\'eben feltessz\"uk, hogy a
diszkr\'et $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
(megsz\'aml\'alhat\'oan) v\'egtelen sok \'ert\'eket vesz fel. Ez nem
jelent megszor\'{\i}t\'ast, mert ha $\xi$ csak v\'eges sok \'ert\'eket
vesz fel, akkor is feltehetj\"uk, hogy ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg felvesz
v\'egtelen sok \'ert\'eket nulla va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel.
\medskip\noindent
{\it 2. Megjegyz\'es:}\/ A v\'arhat\'o \'ert\'eket az angol {\it
expectation}\/ sz\'o kezd\H{o}bet\H{u}j\'evel az $E$ bet\H{u}vel
jel\"olj\"uk. Manaps\'ag ez a legelterjedtebb jel\"ol\'es, b\'ar
haszn\'alj\'ak az $M$ bet\H{u}t is a n\'emet {\it mathematischer
Mittelwert}\/ sz\'o alapj\'an.
\medskip\noindent
{\it Eml\'ekeztet\H{o}:}\/ Azt mondjuk, hogy a $\summ_{n=1}^\infty
y_n$ sor abszolut konvergens, ha nemcsak a $\summ_{n=1}^\infty y_n$,
hanem a $\summ_{n=1}^\infty |y_n|$ sor is konvergens, azaz
$\summ_{n=1}^\infty |y_n|&lt;\infty$. Ha csak a $\summ_{n=1}^\infty y_n$
sor konvergens, \'es a $\summ_{n=1}^\infty |y_n|$ sor divergens, akkor
felt\'etelesen konvergens sorr\'ol besz\'el\"unk.
 
Id\'ezz\"unk fel n\'eh\'any eredm\'enyt, melyek megmagyar\'azz\'ak
mi\'ert k\"ovetelt\"uk meg a v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'aban,
hogy a $\summ_{k=1}^\infty x_k P(\xi=x_k)$ sor ne csak konvergens,
hanem abszolut konvergens is legyen.
 
Ha a $\summ_{n=1}^\infty y_n$ sor abszolut konvergens, akkor ennek
tetsz\H{o}leges \'atrendez\'ese azaz tetsz\H{o}leges olyan
$\summ_{n=1}^\infty y_{k(n)}$ \"osszeg, amelyre a $k(n)=j$
egyenletnek pontosan egy meg\-ol\-d\'a\-sa van minden $1\le j&lt;\infty$
eg\'esz sz\'amra szint\'en konvergens, \'es ugyanaz a hat\'ar\'ert\'eke
mint az eredeti sorrendben. Ez a tulajdons\'ag nem abszolut konvergens
sorozatokra m\'ar nem \'erv\'enyes.
 
Mi\'ert fontos ez a tulajdons\'ag? Vegy\"uk p\'eld\'aul azt az esetet,
ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az \"osszes
racion\'alis sz\'amot veszi fel. Akkor ezek a racion\'alis sz\'amok
mivel megsz\'aml\'alhat\'oan sokan vannak felsorolhat\'oak
mint egy $x_1,x_2,\dots$, sorozat, de nincs a felsorol\'asban egy
term\'eszetes sorrend. Ez\'ert a v\'arhat\'o \'ert\'eket defini\'al\'o
\"osszeg csak akkor \'ertelmes, ha az nem f\"ugg att\'ol, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o lehets\'eges $x_k$ \'ert\'ekeit
milyen sorrendben soroljuk fel.
 
Az abszolut konvergens sorok fenn eml\'{\i}tett tulajdons\'aga
szerepelt az ana\-l\'{\i}\-zis tan\-anyag\-ban. A bizony\'{\i}t\'as
megism\'etl\'ese helyett l\'assunk ink\'abb egy p\'eld\'at, mely
megmutatja, hogy a nem abszolut konvergens sorok m\'ask\'eppen
viselkednek. Tekints\"uk az
$S=1-1+\dfrac12-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac13+\dfrac14-\dfrac14+\cdots$
sort. Ez a sor konvergens, hat\'ar\'ert\'eke z\'er\'o, ugyanakkor nem
abszolut konvergens, mert $\summ_{k=1}^\infty\dfrac1k=\infty$.
Tekints\"uk e sor k\"ovetkez\H{o} \'atrendez\'es\'et:
$S=1+\summ_{k=1}^\infty\(\dfrac1{2^k}+\dfrac1{2^k+1}+\cdots
+\dfrac1{2^{k+1}-1}-\dfrac1k\)$. Ez az \'atrendezett sor divergens,
mert a $k$-ik tagra $\dfrac1{2^k}+\dfrac1{2^k+1}+\cdots
+\dfrac1{2^{k+1}-1}-\dfrac1k\ge
\dfrac{2^k}{2^{k+1}}-\dfrac1k=\dfrac12-\dfrac1k$. R\"oviden, kiss\'e
nagyvonal\'uan, azt mondhatjuk, hogy abszolut konvergens sorozatokkal
ugyanolyan szabadon sz\'amolhatunk (\'atrendezhetj\"uk \H{o}ket,
abszolut konvergens sorok szorzataiban elv\'egezhetj\"uk a tagonk\'enti
szorz\'ast) mint v\'eges \"osszegek eset\'eben, m\'{\i}g nem abszolut
konvergens sorok eset\'eben ezt nem tehetj\"uk meg.
 
Ezek ut\'an tekints\"uk a v\'arhat\'o \'ert\'ek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'at egy viszonylag egyszer\H{u} esetben.
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
pontosan $k$ fejdob\'as t\"ort\'enik 100 dob\'as ese\-t\'e\-ben
$\binom{100}k2^{-100}$, $0\le k\le100$. Ez\'ert
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\binom{100}k2^{-100}$
a keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek. Ezt az \"osszeget ki tudjuk
sz\'am\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel: $k\binom nk=n \binom{n-1}{k-1}$, ha $1\le k\le
n$. Innen $n=100$ v\'alaszt\'assal
$$ \allowdisplaybreaks
\align
E\xi&amp;=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom{100}k2^{-100}=
100\summ_{k=0}^{99}\dbinom{99}k2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}\dbinom{99}k\(\frac12\)^{99}\\
&amp;=50\cdot\(\frac12+\frac12\)^{99}=50.
\endalign
$$
\medskip
Heurisztikusan a k\"ovetkez\H{o} m\'odon \'erveln\'enk: Egy
p\'enzfeldob\'as eset\'en a fejek sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke
$\frac12$, sz\'az p\'enzfeldob\'as eset\'en a p\'enzdob\'asok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $100\cdot\frac12=50$.
 
A k\"ovetkez\H{o} fontos eredm\'eny, melynek bizony\'{\i}t\'asa a
k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'as anyaga lesz megmagyar\'azza, hogy a fenti
heurisztika mi\'ert adott helyes eredm\'enyt, \'es ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel hogyan lehet kisz\'am\'{\i}tani sok esetben
egyszer\H{u}en val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it  Legyenek $\xi_1$, $\xi_2$ (diszkr\'et)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyeknek l\'etezik
v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk. Ekkor a $\xi_1+\xi_2$
\"osszegnek is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E(\xi_1+\xi_2)=E\xi_1+E\xi_2.
$$
}\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_k$
(diszkr\'et) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyeknek
l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk, \'es legyenek $c_1,\dots,c_k$
val\'os sz\'amok. Ekkor a $c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak is l\'etezik v\'arhat\'o
\'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k\)
=c_1E\xi_1+c_2E\xi_2+\cdots+c_kE\xi_k.
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ \'Erdemes hangs\'ulyozni, hogy a fenti
eredm\'enyben nem t\'etelezt\"uk fel, hogy a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Ez
az \'eszrev\'etel bizonyos alkalmaz\'asokban hasznos. K\'es\H{o}bb
tanulni fogjuk, hogy a most megfogalmazott eredm\'eny nemcsak
disz\-kr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeire
\'erv\'enyes. \medskip
L\'assuk, hogy hogyan tudjuk kisz\'am\'{\i}tani az el\H{o}z\H{o}
feladatban tekintett v\'arhat\'o \'ert\'eket a fenti eredm\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Azaz a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o azt sz\'amolja, hogy
mennyi a $j$-ik dob\'as eredm\'eny\'enek hozad\'eka a fej-dob\'asok
sz\'am\'ahoz. Ekkor minket az $E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek \'erdekel. Viszont a fenti eredm\'eny alapj\'an
$E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, \'es
$E\xi_j=1\cdot P(\xi_j=1)+0\cdot P(\xi_j=0)=
\frac12\cdot1+\frac12\cdot0=\frac12$ minden $1\le j\le 100$ indexre,
ahonnan $E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)=100\cdot\frac12=50$.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek \"osszeg\'enek
a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\medskip
\centerline{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es:}
\medskip
Az el\H{o}ad\'asban megeml\'{\i}tett\"uk a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt:
\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as:}\/ {\it Legyen $x_n$ val\'os
sz\'amoknak olyan sorozata, melyre $0\le x_n&lt;1$ minden $n=1,2,\dots$,
sz\'amra. Ekkor $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)&gt;0$, ha $\summ_{k=1}^\infty
x_k&lt;\infty$, \'es $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)=0$, ha
$\summ_{k=1}^\infty x_k=\infty$.}
\medskip\noindent
{\it Indokl\'as:}\/ Heuisztikusan a k\"ovetkezz\H{o} m\'odon
\'ervelhet\"unk: Logaritmust v\'eve kapjuk, hogy
$\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)&gt;0$ akkor \'es csak akkor, ha
$\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)&lt;\infty$. Viszont azt, hogy az ut\'obbi
\"osszeg konvergens-e vagy divergens az d\"onti el, hogy kis $x_k$
sz\'amokra a $-\log (1-x_k)$ \"osszeadand\'ok milyen kicsik. Mivel
$-\log(1-x)=x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3+\cdots$, a
$-\log(1-x_k)$ mennyis\'egnek term\'eszetes j\'o k\"ozel\'{\i}t\'ese
az $x_k$ kifejez\'es, (a Taylor sor els\H{o} tagja), \'es ez azt
sugallja, hogy a $\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)$ illetve
$\summ_{k=1}^\infty x_k$ v\'egtelen sorok egyszerre konvergensek vagy
divergensek.
 
N\'emi munk\'aval a fenti \'ervel\'es prec\'{\i}zz\'e tehet\H{o}.
El\H{o}sz\"or azt kell meggondolni, hogy a feladat
\'all\'{\i}t\'as\'aban a $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)&gt;0$ tulajdons\'ag
a $\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)&lt;\infty$ egyenl\'otlens\'eggel,
a $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)=0$ tulajdons\'ag pedig a
$\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)=\infty$ rel\'aci\'oval ekvivalens.
Ehhez azt kell felhaszn\'alni, hogy eset\"unkben $0&lt;1-x_k&lt;1$, \'es
$-\log(1-x_k)&gt;0$. Ezut\'an vegy\"uk \'eszre, hogy a
$-\summ_{k=1}^\infty \log(1-x_k)$ \'es $\summ_{k=1}^\infty x_k$ sorok
mindegyike divergens, ha r\"ogz\'{\i}tve egy kis pozit\'{\i}v sz\'amot
p\'eld\'aul az $\frac1{10}$ sz\'amot az $x_k$ sz\'amsorozatnak
v\'egtelen sok olyan tagja van, melyek nagyobbak mint ez az
$\frac1{10}$ sz\'am. Tov\'abb\'a, \'egy v\'egtelen \"osszeg
konvergenci\'aj\'at vagy divergenci\'aj\'at nem befoly\'asolja
v\'eges sok tagj\'anak az \'ert\'eke. Ez\'ert az \"osszegekben
szerepl\H{o} $x_k\ge\frac1{10}$ tagokat elhagyva el\'eg csak azzal az
esettel foglalkozni, amikor $x_k\le \frac1{10}$ minden $k$-ra. Viszont
ekkor $\frac12x_k&lt;-\log(1+x_k)&lt;2x_k$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra,
ahonnan $\dfrac12\summ_{k=1}^n x_k&lt;\summ_{k=1}^n -\log(1-x_k)&lt;
2\summ_{k=1}^n x_k$ minden $n$-re, \'es innen k\"ovetkezik, hogy a
$\summ_{k=1}^\infty x_k$ \'es $\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)$
sorok egyszerre konverg\'alnak vagy diverg\'alnak.
 
 
 
 \bye
 
 
 
</pre></body></html>