\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat t\'{\i}zenegyedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002 \'aprilis 16.}
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or n\'eh\'any tov\'abbi p\'eld\'at mutatunk a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alkalmaz\'as\'ara.
\medskip\noindent
{\it  1. feladat:}
\medskip\noindent
Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos \'erm\'et
feldobunk 3300
alkalommal egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. (Az \'erme \'es kockadob\'asok
eredm\'enyei is f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.) Ha a kockadob\'as
eredm\'enye p\'aros \'es az \'erme a fej oldalra esett, akkor annyi
forintot nyer\"unk, amennyi a kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme
az \'{\i}r\'as oldalra esett vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan
sz\'am, akkor nem nyer\"unk, \'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk
3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik? Adjunk erre j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, \'es
$\eta_j$ $1\le j\le 3300$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=2$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a
$j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik kockadob\'as
eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 1, 3
vagy 5. Legyen $\eta_j=1$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as eredm\'enye fej,
\'es $\eta_j=0$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as \'{\i}r\'as. Legyen
$\zeta_j=\xi_j\eta_j$. Ekkor a $j$-ik dob\'asn\'al a nyerem\'eny\"unk
$\zeta_j$ lesz, $1\le j\le 3300$,  \'es a $P\(3190\le
\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a
f\"uggetlen $\zeta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$E\zeta_j=E\xi_j\eta_j=E\xi_jE\eta_j=\dfrac16(2+4+6)\dfrac12=1$,
$E\zeta_j^2=E\xi_j^2E\eta_j^2=\dfrac16(4+16+36)\cdot\dfrac12
=\dfrac{14}3$, $\Var\zeta_j^2=E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2=\dfrac{11}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(3190\le\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)&=
P\(\dfrac{-110}{\sqrt{3300\frac{11}3}}
\le\dfrac{\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j-\summ_{j=1}^{3300}E\zeta_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{3300}\Var\xi_j}}
\le\frac{220}{\sqrt{3300\frac{11}3}}\) \\
&\sim\Phi(2)-\Phi(-1)=0.9772+0.8413-1=0.9285.
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\it  2. feladat:}
\medskip\noindent
Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, melyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\dfrac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
be\-vi\-l\'a\-g\'{\i}\-tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd
amikor az ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o
becsl\'est arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150
\'ora.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa
\'el\'ettartam\'at, $1\le j\le100$. Ekkor a
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell
j\'o becsl\'est adnunk, ahol az \"osszegben f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. Vezess\"uk be az
$\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
 
Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\dfrac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\dfrac
m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\dfrac1{10}$
v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
sze\-rint $\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.
\medskip
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel nagy seg\'{\i}ts\'eget ad a
ma\-te\-ma\-ti\-kai statisztika k\'et fontos probl\'emak\"or\'eben,
a becsl\'eselm\'eletben  \'es a hipot\'ezisvizsg\'alatban. A
becsl\'eselem\'eletben olyan k\'erd\'esekkel foglalkunk mint
p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'esek: Mennyi egy l\'ampa
v\'arhat\'o \'elettartama, mennyi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy kocka a hatos oldalra esik, mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy (\'eletbiztos\'{\i}t\'ast k\"otni akar\'o ember) meg\'eli a
hetvenedik \'evet? \'Altal\'aban a k\'erd\'es a k\"ovetkez\H{o}: Egy
esem\'eny eloszl\'asa f\"ugg valamilyen ismeretlen param\'etert\H{o}l,
\'es ezt a param\'etert akarjuk megbecs\"ulni. Ennek \'erdek\'eben
kis\'erleteket v\'egz\"unk, \'es valamilyen j\'o m\'odszer
seg\'{\i}ts\'eg\'evel pr\'ob\'aljuk megbecs\"ulni az ismeretlen
param\'etert e kis\'erletek eredm\'eny\'enek a f\"uggv\'eny\'eben.
 
A hipot\'ezisvizsg\'alatban a feladat az, hogy bizonyos
hipot\'ezis\"unk van arr\'ol, hogy mennyi az \'elettartama egy
l\'amp\'anak, mennyire n\'epszer\H{u} egy v\'elem\'eny a
v\'alaszt\'ok k\"oz\"ott, hogy  egy gy\'ogyszer hat\'asosabb mint
egy m\'asik vagy valamilyen hasonl\'o prob\-l\'e\-m\'a\-r\'ol van
valamilyen ellen\H{o}rizend\H{o} felt\'etelez\'es\"unk. Annak
\'erdek\'eben, hogy eld\"onts\"uk, helyes-e a hipot\'ezis\"unk
kis\'erleteket v\'egz\"unk. Ha kis\'erleteink eredm\'enye nagyon
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}t\-len hipot\'ezis\"unk teljes\"ul\'ese
eset\'en, akkor hipot\'ezis\"unket elutas\'{\i}tjuk, ha pedig
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}, akkor elfogadjuk azt. De mikor
tekintj\"uk a bek\"ovetkezett eredm\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}nek
\'es mikor val\'osz\'{\i}n\H{u}tlennek? E k\'erd\'es
eld\"ont\'es\'eben sokszor a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}t. Erre mutatunk n\'eh\'any p\'eld\'at. E p\'eld\'ak
t\'argyal\'asa el\H{o}tt bevezetj\"uk a ma\-te\-ma\-ti\-kai statisztika
n\'eh\'any egyszer\H{u} \'es term\'eszetes fogalm\'at. Jelen
el\H{o}\-ad\'as\-soro\-zat\-ban csak a hipot\'ezisvizsg\'alattal
foglalkozunk, az ehhez kapcsol\'od\'o fogalmakat vezetj\"uk be.
 
Azt a felt\'etelez\'est, melyet ellen\H{o}r\'{\i}zni akarunk nevezik
null-hipot\'ezisnek, annak ellenkez\H{o}j\'et pedig ellenhipot\'ezisnek.
Vannak olyan feladatok, melyekben a null-hipot\'ezis egyetlen
elemb\H{o}l \'all, p\'eld\'aul, ha azt t\'etelezz\"uk fel, hogy egy
dob\'okocka szab\'alyos. Az ilyen hipot\'eziseket nevezik egyszer\H{u}
hipot\'ezisnek. Vannak olyan feladatok, melyekben a null-hipot\'ezis
t\"obb elemb\'ol \'all, p\'eld\'aul az a felt\'etelez\'es, hogy egy
javaslatot az emberek legal\'abb fele t\'amogat. Az ilyen
hipot\'eziseket h\'{\i}vj\'ak \"osszetett hipot\'ezisnek. K\'et fajta
hib\'at k\"ovethet\"unk el. Az egyik hiba az, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul, mi m\'egis elutas\'{\i}tjuk azt. Ezt nevezik els\H{o}faj\'u
hib\'anak. Ha a hipot\'ezis nem teljes\"ul, mi m\'egis \'ugy
d\"ont\"unk, hogy az teljes\"ul, akkor ezt m\'asodfaj\'u hib\'anak
nevezz\"uk. Az els\H{o}faj\'u hiba cs\"okkent\'ese \'erdek\'eben
min\'el t\"obbsz\"or kell elfogadni, a m\'asodfaj\'u hipot\'ezis
cs\"okkent\'ese \'erdek\'eben pedig min\'el t\"obbsz\"or kell
elutas\'{\i}tani a hipot\'ezist. A gyakorlatban \'altal\'aban \'ugy
szokt\'ak a feladatokat megfogalmazni, hogy az els\H{o}faj\'u hib\'ara
el\H{o}\'{\i}runk egy fels\H{o} korl\'atot, \'es eme felt\'etel mellett
pr\'ob\'aljuk a m\'asodfaj\'u hib\'at min\'el kisebb\'e tenni. Az
els\H{o}faj\'u hib\'ara adott fels\H{o} korl\'at \"osszetett
null-hipot\'ezis eset\'en azt jelenti, hogy az els\H{o}faj\'u hiba
minden a null-hipot\'ezis teljes\"ul\'ese eset\'en el\H{o}fordulhat\'o
eloszl\'as eset\'en legyen kisebb mint az el\H{o}\'{\i}rt fels\H{o}
korl\'at.
\medskip\noindent
{\it 3. feladat}
\medskip\noindent
Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, mely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alassztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a
hipot\'ezis teljes\"ul?
 
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\dfrac34$, $E\xi_j=\dfrac34$, $E\xi_j^2=\dfrac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\dfrac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\dfrac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\dfrac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\dfrac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\times 1.28$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\times 1.28=22\,212$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\dfrac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
 
\vfill\eject
 
\noindent
{\it Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol.}
\medskip
 
A centr\'alis eloszl\'at\'etel form\'alis megfogalmaz\'asa \'ugy
sz\'ol, hogy bizonyos va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'as\'anak sorozata konverg\'al a norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. Annak \'er\-de\-k\'eben, hogy ezt
bebizony\'{\i}tsuk el\H{o}sz\"or tiszt\'azni kell a k\"ovetkez\H{o}
k\'erd\'est: Mikor mondjuk azt, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asai konverg\'alnak egy
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-hoz? Ez a k\'erd\'es nem annyira egyszer\H{u}
mint azt az els\H{o} pillanatban gondoln\'ank. E fogalom helyes
definici\'oja a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'anak az els\H{o} term\'eszetes l\'ep\'ese. A
probl\'em\'at az okozza, hogy egy \'altal\'anos elvet kell
kidolgoznunk, amelyik viszonylag j\'ol ellen\H{o}z\'{\i}zhet\H{o}
felt\'etelt ad arra, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata
konverg\'aljon egy eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. Ehhez viszont az
eloszl\'asban val\'o konvergencia j\'o definicoj\'at kell megadni,
\'es ezt olyan hat\'areloszl\'asok eset\'eben is meg kell tenn\"unk,
melyek bonyolultabbak, mint a norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.
Ez\'ert olyan az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'aval kapcsolatos
probl\'em\'akat is t\'argyalnunk kell, melyek abban a sz\'ep eset\-ben,
amikor norm\'alis eloszl\'as a hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny nem
mer\"ulnek meg. (Mag\'anak a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
r\'eszletes bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'at id\H{o}hiany miatt
elhagyjuk.)
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja.} {\it Legyen
$F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
sorozata a sz\'amegyenesen. Azt mondjuk, hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak egy $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$ az
$F(\cdot)$ (hat\'ar)\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
minden folytonoss\'agi pontj\'aban.
 
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha az $F_n(x)=P(\xi_n<x)$,
$-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha az
$F_n(x)=P(\xi_n<x)$, $-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny minden
pontban folytonos. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny
azt mondja ki, hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'altjai
eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Ebben az esetben nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a hat\'areloszl\'asl\'asf\"uggv\'eny
(jelen esetben nem l\'etez\H{o}) szakad\'asi pontjaiban nem
k\"ovetelj\"uk meg a konvergenci\'at.
\medskip
Felmer\"ul a k\'erd\'es, mi\'ert van kit\"untetett szerepe a
hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny szakad\'asi pontjainak az
eloszl\'asf\"uggv\'eny konvergenci\'aj\'anak definici\'oj\'aban.
Term\'eszetes-e, hogy ezekben a pontokban nem k\"ovetelt\"uk
meg a konvergenci\'at? E k\'erd\'es meg\'ert\'es\'enek
\'erdek\'eben tegy\"uk a k\"ovetkez\H{o} megjegyz\'est.
 
Egy a sz\'amegegyenesen megadott $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny induk\'al
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket a sz\'amegyenesen. Ez az
a Stieltjes m\'ert\'ek, melyet $\mu_F$-fel jel\"olt\"unk, melynek
l\'etez\'es\'et csak kimondtuk, de a bizony\'{\i}t\'as
a m\'ert\'ekelm\'elet feladata. Az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban val\'oj\'aban nem az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at k\"ovetelj\"uk meg az $F$ eloszl\'ashoz, hanem az
$F_n$ eloszl\'asok \'altal induk\'alt $\mu_{F_n}$ Stieltjes
m\'ert\'ekek konvergenci\'aj\'at az $F$ eloszl\'as \'altal induk\'alt
$\mu_F$ m\'ert\'ekhez. Szeml\'eletesen a $\mu_{F_n}$ m\'ert\'ekek
elk\'epzelhet\H{o}ek mint olyan t\"omegeloszl\'asok a
sz\'amegyenesen, melyekben egy $A\subset R$ halmaz ,,s\'ulya" a
$\mu_F(A)$ m\'ert\'ek. Az eloszl\'asban val\'o konvergencia azt
jelenti, hogy a $\mu_{F_n}$ t\"omegeloszl\'asok nagy $n$
indexre k\"ozel vannak a $\mu_F$ t\"omegeloszl\'ashoz.
 
Az eloszl\'asban val\'o konvergencia jobb meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'eld\'at.
Legyen $x_0=0$, \'es $x_n$, $n=1,2,\dots$, olyan sz\'amsorozat,
melyre $x_n<0$, $n=1,2,\dots$, \'es $\limm_{n\to\infty}x_n=0$.
Legyen $\mu_{F_n}$, $n=0,1,2,\dots$, az a m\'ert\'ek, mely az $x_n$
pontba van koncentr\'alva, azaz $\mu_{F_n}(\{x_n\})=1$,
r\'eszletesebben $\mu_{F_n}(A)=1$, ha $x_n\in A$, \'es
$\mu_{F_n}(A)=0$, ha $x_n\notin A$. A $\mu_{F_n}$ eloszl\'as azon
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott Stieltjes
m\'ert\'ek, melyre $F_n(x)=0$, ha $x\le x_n$, $F_n(x)=1$, ha $x>x_n$.
Term\'eszetes azt v\'arni, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'eny alkalmas
definici\'oja eset\'en a most defini\'alt p\'eld\'aban az $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0$ eloszl\'ashoz. M\'asr\'eszt vegy\"uk \'eszre, hogy
$\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F_0(x)$ minden $x\neq0$ sz\'amra. De az
$x=0$ pontban, azaz az $F_0$ f\"uggv\'eny szakad\'asi pontj\'aban ez
a konvergencia nem teljes\"ul, mert $F_n(0)=1$, ha $n\ge1$,
\'es $F_0(0)=0$. Teh\'at az \'altalunk megadott definici\'o szerint
az $F_n$ eloszl\'asok eloszl\'asban konverg\'alnak az $F_0$
eloszl\'ashoz, de annak \'erdek\'eben, hogy ez teljes\"ulj\"on
sz\"uks\'eg volt arra, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban nem k\"ovetelj\"uk meg az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at a hat\'arf\"uggv\'eny szakad\'asi pontjaiban.
 
Be lehet l\'atni, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia kifejezi
azt a szeml\'eletes tartalmat, melyet a t\"omegeloszl\'asokkal val\'o
reprezent\'aci\'o sugall, ezt azonban nem tessz\"uk. Ehelyett egy olyan
eredm\'enyt fogalmazok meg, az eloszl\'asban val\'o konvergencia egy
ekvivalens jellemz\'es\'et adja meg. Ennek az eredm\'enynek csak
bizony\'{\i}t\'asv\'azlat\'at adom meg, b\'ar a bizony\'{\i}t\'as nem
neh\'ez. Ut\'ana r\"oviden le\'{\i}rom, mi\'ert hasznos ez az
eredm\'eny hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alat\'aban.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha minden a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
folytonos, korl\'atos $g(u)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u)\,dF_n(u)=\int g(u)\,dF(u) \tag a
$$
azonoss\'ag.}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'at
szok\'as gyenge konvergenci\'anak is ne\-vez\-ni. \'Erdemes
megjegyezni, hogy a funkcion\'alanal\'{\i}zisben is szok\'as Banach
terek funk\-cio\-n\'al\-jai\-nak gyenge konvergenci\'aj\'ar\'ol
besz\'elni, \'es az el\H{o}bb kimondott t\'etel azt is jelenti,
hogy a gyenge konvergencia
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban \'es
funkcion\'alanal\'{\i}zisben haszn\'alt \'ertelmez\'ese \"osszhangban
van egym\'assal. Ugyanis egy a sz\'amegyenesen defini\'alt $\mu$
(va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi) m\'ert\'eket fel lehet fogni
mint a korl\'atos \'es folytonos f\"uggv\'enyek Banach ter\'en
\'ertelmezett (korl\'atos \'es line\'aris) funkcion\'alt.
Nevezetesen a $\mu$ m\'ert\'ek az $f(\cdot)$ korl\'atos \'es folytonos
f\"uggv\'enyhez hozz\'arendeli a $\mu(f)=\int f(u)\mu(\,du)$
sz\'amot. A funkcion\'alanal\'{\i}zisben de\-fi\-ni\-\'alt
fogalomrendszer szerint a $\mu_n$ m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aja a $\mu$ m\'ert\'ekhez azt jelenti, hogy
$\limm_{n\to\infty}\int f(u)\mu_n(\,du)=\int f(u)\mu(\,du)$ minden
folytonos \'es korl\'atos f\"ugg\-v\'eny eset\'eben, ez pedig
a fent kimondott t\'etel szerint a $\mu_n$ m\'ert\'ekeknek,
pontosabban az \'altaluk meghat\'arozott $F_n(x)=\mu_n(\{u\:u<x\})$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek gyenge (azaz el\-osz\-l\'as\-beli)
konvergenci\'aj\'at jelenti a $\mu$ m\'ert\'ekhez, pontosabban
az \'altala meghat\'arozott $F(x)=\mu(\{u\:u<x\})$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
\medskip\noindent
{\it Binony\'{\i}t\'asv\'azlat:} Tegy\"uk fel el\H{o}sz\"or azt,
hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, \'es tekints\"unk egy folytonos
\'es korl\'atos $g(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a sz\'amegyenesen. Ekkor a
$g$ f\"uggv\'eny folytonoss\'aga \'es az $F$ illetve $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek viselked\'ese miatt $\pm\infty$ pontok
k\"ornyezet\'eben minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan el\'eg
nagy $K=K(\e)>0$, melyre $\int_{u\:|u|>K} |g(u)|\,dF_n(u)<\e$ minden
$n=1,2,\dots$ indexre, \'es ez az \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes akkor
is, ha az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel helyettes\'{\i}tj\"uk. Tov\'abb\'a a
folytonos $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny a $[-K,K]$ intervallumban
egyenletesen folytonos. Ennek az \'eszrev\'etelnek \'es annak a
t\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$
az $F(\cdot)$ minden folytonoss\'agi pontj\'aban be lehet l\'atni,
v\'eve a $[-K,K]$ intervallumnak egy olyan el\'eg finom
feloszt\'as\'at, melynek az oszt\'opontjai az $F$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'agi pontjai, hogy
$$
\left|\int_{u\:|u|\le K} g(u)\,dF_n(u)-\int_{u\:|u|\le K}
g(u)\,dF(u)\right|<\e,\quad\text{ha } n\ge n_0(\e).
$$
(E l\'ep\'esben kihaszn\'aljuk azt, hogy egy monoton f\"uggv\'enynek
csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi pontja van. Mi\'ert?)
Innen $\e\to0$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk az (a) \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at.
 
Megford\'{\i}tva tegy\"uk fel, hogy teljes\"ul az (a) rel\'aci\'o,
\'es legyen $x$ az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
R\"ogz\'{\i}tve egy kis $\e>0$ sz\'amot defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $g^\pm(u)=g_{x,\e}^\pm(u)$, $-\infty<u<\infty$
folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyeket: $g^+(u)=0$, ha $u\ge
x+\e$, $g^+(u)=1$, ha $u\le x$, $g^+(u)=\dfrac{x+\e-u}\e$, ha $x\le
u\le x+\e$, $g^-(u)=0$, ha $u\ge x$, $g^-u)=1$, ha $u\le x-\e$,
$g^-(u)=\dfrac{x-u}\e$, ha $x-\e\le u\le x$. Alkalmazva az (a)
\'all\'{\i}t\'ast kapjuk, hogy
$$
\align
F(x-\e)&\le \int g_{\e,x}^-(u) F(\,du)
=\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^-(u) F_n(\,du)
\le \liminff_{n\to\infty} F_n(x) \\
&\le \limsupp_{n\to\infty} F_n(x)\le
\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^+(u) F_n(\,du)=
\int g_{\e,x}^+(u) F(\,du)\le F(x+\e),
\endalign
$$
\'es v\'eve az $\e\to0$
hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$,
felt\'eve, hogy az $x$ pont az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
\medskip
Sok vizsg\'alatban az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'anak a
t\'etelben megadott jel\-lem\-z\'e\-se jobban hasz\-n\'al\-ha\-t\'o
mint az eredeti definici\'o.
 
Mell\'ekesen megjegyzem, hogy ennek az eredm\'enynek egy m\'asik
haszna az, hogy ezt a definici\'ot jobban tudjuk
\'altal\'anos\'{\i}tani, ha eloszl\'asok konvergenci\'aj\'at akarjuk
defini\'alni \'altal\'anosabb terekben. Az ilyen k\'erd\'esek
term\'eszetes m\'odon felmer\"ulnek, ha nemcsak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok viselked\'es\'et akarjuk
vizsg\'alni, hanem v\'eletlen folyamatok\'et egy v\'eges
id\H{o}intervallumban. Itt az a probl\'ema mer\"ul fel, hogy az
eloszl\'asf\"uggv\'eny, illetve annak konvergenci\'aja nem
defini\'alhat\'o \'altal\'anos terekben, mert az
eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
f\'elegyenesek t\'uls\'agosan er\H{o}sen k\"ot\H{o}dnek a
sz\'amegyenes, a t\"obb\-di\-men\-zi\'os eloszl\'asok definici\'oja
pedig az Euklidesi t\'er geometri\'aj\'ahoz. Ha
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek helyett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeket tekint\"unk, akkor
ezek konvergenci\'aj\'anak a definici\'oj\'at term\'eszetes
m\'odon tudjuk defini\'alni nagyon \'altal\'anos terekben is az (a)
rel\'aci\'o \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
Ha eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at az (a) tulajdons\'ag
vizsg\'alat\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel akarjuk bebizony\'{\i}tani,
akkor term\'eszetes m\'odon felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy nem
le\-het\-s\'e\-ges-e ezt a felt\'etelt gyeng\'{\i}teni, nem
elegend\H{o}-e az (a) rel\'aci\'o teljes\"ul\'es\'et a folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'enyeknek csak egy el\'eg gazdag
r\'eszoszt\'aly\'ara ellen\H{o}rizni, \'es ennek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel eld\"onteni, hogy teljes\"ul-e az
eloszl\'asban val\'o konvergencia. Term\'eszetesen a folytonos \'es
korl\'atos f\"uggv\'enyek olyan r\'eszoszt\'aly\'at k\'{\i}v\'anjuk
tekinteni, amelyikre ez a felt\'etel k\"onnyebben
ellen\H{o}rizhet\H{o}. Kider\"ult, hogy erre a k\'erd\'esre
igenl\H{o} v\'alaszt lehet adni, elegend\H{o} csak a trigonometrikus
f\"uggv\'enyeket tekinteni, azaz az $g_t(u)=e^{itu}$,
$-\infty<t<\infty$, alak\'u f\"uggv\'enyeket. Jegyezz\"uk meg,
hogy ezek a f\"uggv\'enyek komplex \'es nem val\'os \'ert\'ek\H{u}ek,
de mindazok az eredm\'enyek, melyek val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra \'erv\'enyesek,
term\'eszetes m\'odon \'altal\'anos\'{\i}that\'ok komplex sz\'am
\'ert\'ek\H{u} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok\-ra is. Annak oka, hogy a trigonometrikus
f\"uggv\'enyeket j\'ol tudjuk haszn\'alni az, hogy minden
$-\infty<s,t<\infty$, param\'eterre teljes\"ul a
$g_s(u)g_t(u)=e^{isu}e^{itu}=e^{i(s+t)u}=g_{s+t}(u)$ azonoss\'ag.
L\'atni fogjuk, hogy ez az azonoss\'ag sok seg\'{\i}ts\'eget jelent,
ha f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek
eloszl\'as\'at vizsg\'aljuk. Megjegyzem, hogy az ilyen jelleg\H{u}
\"osszef\"ugg\'esek alkalmaz\'asa nemcsak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban
fontos. Ennek \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'an alapul az algebra egy
m\'ely \'es fontos ter\"ulete, a csoportreprezent\'aci\'ok
elm\'elete.
 
A tov\'abbi vizsg\'alatokban hasznos a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek al\'abb megadott definici\'oja.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es jel\"olje $F(u)=P(\xi<u)$,
$-\infty<u<\infty$, a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak a karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}F(\,du),\quad
-\infty<t<\infty,
$$
f\"uggv\'eny. Adva egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et is
defini\'alni fogjuk mint egy $F$ eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. (Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'enyt a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki
lehet sz\'amolni, ez\'ert jogunk van egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l besz\'elni.) } \medskip
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'asokat azok
fontoss\'aguk miatt k\"ul\"on Lemma form\'aj\'aban mondjuk ki.
\medskip\noindent
{\bf Lemma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,
\xi_n$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'et \'es $\varphi_j(t)$, $1\le j\le n$, a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ekkor az $S_n$ \"osszeg karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\psi_n(t)=Ee^{itS_n}=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)$,
$-\infty<t<\infty$  f\"uggv\'eny. Ha $A$ \'es $B\neq0$ val\'os
sz\'amok, akkor a $\dfrac{S_n-A}B$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye az
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}=e^{-itA/B}\psi_n\(\dfrac{t}B\)=e^{-itA/B}
\prodd_{j=1}^n\varphi_j\(\dfrac{t}B\)
$$
f\"uggv\'eny.
 
Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel, melyre teljes\"ul az
$E|\xi|^k=\dsize\int_{-\infty}^\infty |u|^kF(\,du)<\infty$
egyenl\H{o}tlens\'eg valamilyen $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.
Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a deriv\'altjai megadhat\'ok a
$\dfrac{d^j}{dt^j}\varphi(t)=\dsize\int_{-\infty}^\infty
i^ju^j e^{itu}F(\,du)$ k\'eplettel minden $0\le j\le k$ \'es
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Speci\'alisan, $t=0$ v\'alaszt\'assal
$\left.\dfrac{d^j\varphi(t)}{dt^j}\right|_{t=0}
=\dsize\int_{-\infty}^\infty i^ju^j F(\,du)=i^jE\xi^j$ minden $0\le
j\le k$ sz\'amra.} \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
Ee^{itS_n}=E^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}
=Ee^{it\xi_1}e^{it\xi_2}\cdots e^{it\xi_n}
=Ee^{it\xi_1}Ee^{it\xi_2}\cdots Ee^{it\xi_n}
=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)
$$
a $\xi_j$, $1\le j\le n$, f\"uggetlens\'ege miatt illetve az
$e^{it\xi_j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ebb\H{o}l
k\"ovetkez\H{o} f\"uggetlens\'ege miatt. Ezenk\'{\i}v\"ul
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}= Ee^{i(t/B)S_n}e^{-itA/B}=e^{-itA/B}
\psi_n\(\dfrac{t}B\),
$$
ha az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye $\psi_n(t)$. Innen
k\"ovetkeznek a Lemma els\H{o} paragrafus\'aban kimondott
\'all\'{\i}t\'asok.
 
A Lemma m\'asodik paragrafus\'aban kimondott \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel a
$\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}F(\,du)$ azonoss\'agot, \'es differenci\'aljuk $j$, $j\le k$,
alkalommal. Be lehet l\'atni, hogy az $E|\xi|^k<\infty$ felt\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en az azonoss\'ag jobb\-ol\-da\-l\'an az
integr\'al\'as \'es differenci\'al\'as sorrendje
felcser\'elhet\H{o}. Innen kapjuk, hogy  $\dfrac{d^j}{dt^j}\varphi(t)
=\dsize\int_{-\infty}^\infty i^ju^j e^{itu}F(\,du)$. Alkalmazva a
$t=0$ helyettes\H{u}t\'est megkapjuk a Lemma utols\'o
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as\'at is.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Legyenek $\xi_1,\xi_2.\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
melyekre $E\xi_1=0$, \'es vezess\"uk be a $\sigma_2=\Var \xi_1$,
valamint az $Ee^{it\xi_1}=\varphi(t)$, $-\infty<t<\infty$ ($\varphi(t)$
a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'enye) jel\"ol\'eseket. Legyen tov\'abb\'a
$S_n=\summ_{k=1}\xi_k$ \'es $\bar S_n=\dfrac{S_n}{\sqrt n\sigma}$
az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'altja. Ekkor
$Ee^{itS_n}=\varphi(t)^n$, $Ee^{it\bar S_n}=
\varphi\(\dfrac t{\sqrt n\sigma}\)^n$, \'es $\varphi\(\dfrac
t{\sqrt n\sigma}\)\sim 1-\dfrac {t^2}{2 n\sigma^2}$. Ez a formula
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy viszonylag j\'o becsl\'est adjunk a
$\bar S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ere. Azt k\'{\i}v\'anjuk vizsg\'alni, lehet\H{o}v\'e
teszi-e ez a formula egy j\'o hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'altj\'anak az \"osszeg\'ere.
\medskip
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or csak azt a speci\'alis esetet, amikor olyan
olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et tekintj\"uk, amelyik csak eg\'esz
\'ert\'ekeket vesz fel. Legyen $P(\xi=k)=p_k$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
$\summ_{k=-\infty}^\infty p_k=1$. Ekkor a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
az $\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\summ_{k=-\infty}^\infty
e^{ikt}P(\xi=t)=\summ_{k=-\infty}^\infty p_ke^{ikt}$,
$-\infty<t<\infty$. Ekkor a $\varphi(t)$ f\"uggv\'eny $2\pi$ szerint
peri\'odikus, \'es tulajdonk\'eppen egy Fourier sor, melynek $k$-ik
(azaz az $e^{ikt}$ trigonometrikus f\"uggv\'enyhez tartoz\'o Fourier
egy\"utthat\'oja) \ $p_k$. A Fourier sorok elm\'elet\'enek egy
egyszer\H{u}, de nagyon fontos eredm\'enye alapj\'an egy $\varphi(t)
=\summ_{k=-\infty}^\infty a_ke^{ikt}$, $-\pi<t\le\pi$, f\"uggv\'eny
Fourier egy\"utthat\'oit a $\varphi(t)$ Fourier sor
ismeret\'eben az
$$
a_k=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ikt}\varphi(t)\,dt \tag$*$
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki lehet sz\'amolni. Az el\H{o}bb
kimondott Lemma alapj\'an f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszeg\'enek a karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ere viszonylag egyszer\H{u}  \'es j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'est lehet adni. Ez \'es a ($*$) formula azt is
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben j\'o becsl\'est
adjunk arra, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegei egy adott \'ert\'eket vesznek fel. Ez lehet\H{o}v\'e teszi
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at abban a
speci\'alis esetben, ha eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'et vizsg\'aljuk. Az
\'altal\'anos eset vizsg\'alat\'anak a vez\'ermot\'{\i}vuma
tu\-laj\-don\-k\'eppen az, hogyan tudjuk ezt a m\'odszert adapt\'alni
az \'altal\'anos esetre, amikor nem \'all rendelkez\'es\"unkre a $*$
k\'eplethez hasonl\'o viszonylag egyszer\H{u} ,,inverzi\'os formula".
Most az eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
vizsg\'alat\'an\'al a r\'eszletek kidolgoz\'asa helyett megmutatjuk a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben azt, hogy hogyan lehet ennek a m\'odszernek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az anal\'{\i}zis egyik fontos k\'eplet\'et az
\'ugynevezett Stirling formul\'at bebizony\'{\i}tani. Ez a
k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf Stirling formula:}
{\it
$$
n!\sim\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n,
$$
azaz az els\H{o} $n$ eg\'esz sz\'am szorzat $n!$ teljes\'{\i}ti az
al\'abbi rel\'aci\'ot:
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\(\dfrac ne\)^n}{n!}=1.
$$
}
\medskip
Ahhoz, hogy a karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel j\'ol tudjunk
sz\'amolni sz\"uks\'eg\"unk van olyan eredm\'enyre, mely szerint
a tri\-go\-no\-met\-ri\-kus polinomok a folytonos f\"uggv\'enyek
el\'eg gazdag r\'eszoszt\'alya. Ilyen eredm\'eny Weierstrass m\'asodik
approxim\'aci\'os t\'etele, mely azt mondja ki, hogy folytonos \'es
periodikus f\"uggv\'enyeket tetsz\H{o}leges pontoss\'aggal
lehet k\"ozel\'{\i}teni a szupr\'emum norm\'aban trigonometrikus
polinomokkal. (Weierstrass els\H{o} approxim\'aci\'os t\'etele
hasonl\'o \'all\'{\i}t\'ast fogalmaz meg v\'eges intervallumban
folytonos f\"uggv\'enyek polinomokkal val\'o
app\-ro\-xi\-m\'al\-ha\-t\'o\-s\'a\-g\'a\-r\'ol.) Megfogalmazzuk ezt
az ered\-m\'enyt, \'es (v\'azlatosan) bebizony\'{\i}tjuk annak
n\'e\-h\'any sz\'a\-munk\-ra fontos k\"ovetkezm\'eny\'et.
 
\medskip\noindent
{\bf Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele.} {\it
Tetsz\H{o}leges folytonos \'es $2\pi$ szerint periodikus $f(t)$
f\"uggv\'enyre \'es $\e>0$ val\'os sz\'amra l\'etezik olyan
$P_n(t)=\summ_{k=-n}^n a_k e^{ikt}$ trigonometrikus polinom, melyre
$$
\sup_{-\infty<t<\infty} |f(t)-P_n(t)|<\e.
$$
}\medskip
Ahhoz, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyeinek konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkeztetni tudjunk
magunknak az eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a konvergenci\'aj\'ara
tudnunk kell azt, hogy az a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
meghat\'arozz\'ak az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket.
Megfogalmazzuk ezt az eredm\'enyt, \'es megadjuk annak
bizony\'{\i}t\'as\'at Weierstrass m\'asodik apprxim\'aci\'os
t\'etele seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $F(\cdot)$ \'es $G(\cdot)$ k\'et
eloszl\'asf\"uggv\'ey, melyek karakterisztikus f\"uggv\'enye
megegyezik. Ekkor $F(x)=G(x)$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy Weierstrass
m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
tetsz\H{o}leges $K>0$ \'es $\e>0$ sz\'amokra \'es a $K$ sz\'am
szerint periodikus $h(\cdot)$ f\"uggv\'enyre igaz, hogy l\'etezik
olyan $P_n(t)=\summ_{j=-n}^n a_j e^{2\pi ijt/K}$ trigonometrikus
polinom, melyre teljes\"ul a $\supp_{-\infty<t<\infty}
|P_n(t)-h(t)|\le\e$ becsl\'es. Integr\'alva a $h(\cdot)$ \'es a
$P_n(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
szerint, a fenti approxim\'aci\'ob\'ol kapjuk, hogy $\int
|h(u)-P_n(u)|F(\,du)\le\e$ \'es $\int |h(u)-P_n(u)|G(\,du)\le\e$.
Ez\'ert $\left|\int h(u)F(\,du)-\int h(u)G(\,du)\right|\le2\e$. Mivel
ez minden $\e>0$ sz\'amra igaz, ez\'ert $\int h(u)F(\,du)=\int
h(u)G(\,du)$. Tov\'abb\'a, innen k\"ovetkezik az is, hogy ha $
h(\cdot)$ kompakt tart\'oj\'u, folytonos f\"uggv\'eny, azaz ha
l\'etezik olyan $A$ sz\'am, melyre $h(u)=0$, ha $|u|\ge A$, akkor
$\int h(u)F(\,du)=\int h(u)G(\,du)$. Val\'oban, defini\'aljuk minden
$K>A$ sz\'amra azt a $h_K(\cdot)$ f\"uggv\'enyt, mely a $h(\cdot)$
f\"uggv\'eny  $[-K,K]$ intervallumra vett megszor\'{\i}t\'as\'anak
a $2K$ szerinti periodikus kiterjeszt\'ese, azaz $h_K(u)=h(u-2lK)$,
ahol $l$ olyan eg\'esz sz\'am, melyre $-K\le u<K$. Ekkor $\int h(u)
F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int h_K(u) F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int
h_K(u) G(\,du) =\int h(u) G(\,du)$.
 
Legyenek $-\infty<x<y<\infty$ olyan sz\'amok a sz\'amegyenesen,
melyek folytonoss\'agi pontjai mind az $F$ mind a $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek. Bel\'atjuk a fenti rel\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$. Val\'oban,
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $h(\cdot)=h_{\e}(\cdot)$f\"uggv\'enyt: $h(u)=1$,
ha $x\le u\le y$, $h(u)=0$, ha $y+\e\le u$ vagy $u\le x-\e$,
$h(u)=\dfrac{y+\e-u}\e$, ha $y\le u\le y+\e$,
$h(u)=\dfrac{u-x+\e}\e$, ha $x-\e\le u\le x$. Felhaszn\'alva az $\int
h^\pm_{\e}(u)F(\,du)=\int h^\pm_{\e}(u)G(\,du)$ azonoss\'agot,
\'es azt hogy $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)F(\,du)= F(y)-F(x)$, $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)G(\,du)=G(y)-G(x)$, ha $x$ \'es $y$ az $F$ \'es $G$
f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontjai, $\e\to0$
hat\'ar\'atmenettel kapjuk az $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$ azonoss\'agot.
 
Ez ut\'obbi azonoss\'agot felhaszn\'alva \'es alkalmazva az
$x\to-\infty$ hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $F(y)=G(y)$, ha $y$
mind az $F(\cdot)$ mind a $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
foly\-to\-nos\-s\'a\-gi pontja. Mivel az $F$ \'es $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi
pontja van, \'es mind a k\'et f\"uggv\'eny balr\'ol folytonos, innen
k\"ovetkezik, hogy az $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
megegyeznek. \medskip
 
Az el\H{o}z\H{o} t\'etel bizony\'{\i}t\'asi m\'odszer\'enek
finom\'{\i}t\'asa seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet bebizony\'{\i}tani
a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt, melyet fontoss\'aga miatt
alapt\'etelnek nevez\"unk. Ennek bizony\'{\i}t\'asa azonban a
Fourier anal\'{\i}zis m\'as m\'odszereit is felhaszn\'alja. Emiatt,
illetve id\H{o}hi\'any miatt a bizony\'{\i}t\'ast elhagyom.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel.}
{\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$.
Ha a $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra, \'es a $\varphi_0(t)$
limeszf\"uggv\'eny folytonos az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan
$F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, melynek a $\varphi_0(t)$
f\"uggv\'eny a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e
felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en az $F_n(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan sorozata, mely egy $F_0(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban,
$\varphi_n(t)$, $n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u)$, $\varphi_0(t)$
pedig az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty} \varphi_n(t)$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a konvergencia
egyenletes minden v\'eges intervallumban.}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Az el\H{o}ad\'ashoz csatlakoz\'o gyakorlatban
kit\H{u}ztem egy (elm\'eleti jelleg\H{u}) feladatot, mely fontos
szerepet j\'atszik a bizony\'{\i}t\'asban. E feladat eredm\'eny\'enek
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudjuk kihaszn\'alni a t\'etel
azon felt\'etel\'et, hogy a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyek
hat\'ar\'ert\'eke folytonos a null\'aban.
 \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata, melyek $\varphi_n(\cdot)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben
konverg\'alnak egy a null\'aban folytonos f\"uggv\'enyhez.
\itemitem{a.)} L\'assuk be (a Lebesgue t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel),
hogy ekkor tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)$ sz\'am, melyre
$\dsize\limm_{n\to\infty} \dfrac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\le\e$, ahol $\Re z$ a $z$ sz\'am re\'alis
r\'esz\'et jel\"oli.
\itemitem{b.)} Mutassuk meg, hogy amennyiben $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek $\varphi_n(\cdot)$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyei teljes\'{\i}tik az a) r\'eszben megfogalmazott
tulajdons\'agot, ak\-kor minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$K=K(\e)$ sz\'am, melyre $F_n(-K)+(1-F_n(K))\le \e$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra.
\medskip
Ennek a feladatnak az eredm\'enye lehet\H{o}v\'e teszi, hogy
alkalmazva annak az ered\-m\'eny\-nek a bizony\'{\i}t\'asm\'odszer\'et,
mely szerint a karakterisztikus f\"uggv\'eny meghat\'arozza az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt bel\'assuk a k\"ovetkez\H{o}
\'all\'{\i}t\'ast: Ha $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'e\-nyei konverg\'alnak
minden pontban egy $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny\'ehez, (mely folytonos az
orig\'oban), akkor az $F_n(\cdot)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, hogy egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
$\varphi(t)=\int e^{itu}F(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
folytonos minden pontban.
\medskip
A fent kimondott alapt\'etel tartalmasabb \'all\'{\i}t\'as mint az,
amire sz\"uks\'eg\"unk lesz. Ha azt akarjuk bel\'atni, hogy $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata konverg\'al egy $F_0$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, akkor el\'eg bel\'atni, hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a $\varphi_n(t)=\int e^{itu}F_n(\,du)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak az $F_0$
eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi_0(t)=\int e^{itu}F_0(\,du)$
karakteriszikus f\"uggv\'eny\'ehez minden $-\infty<t<\infty$
pontban. (Jegyezz\"uk meg, hogy egy karakterisztikus f\"uggv\'eny
 folytonos f\"uggv\'eny, ez\'ert az a k\"o\-ve\-tel\-m\'eny,
hogy az eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikusf\"uggv\'enyeinek
hat\'arf\"uggv\'enye legyen foly\-to\-nos teljes\"ul abban az
esetben, ha az eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak).
 
Az alapt\'etel t\"obbet mond ann\'al mint amire sz\"uks\'eg\"unk van.
Ez az eredm\'eny seg\'{\i}t eld\"onteni azt, hogy
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozat\'anak mikor van h\'at\'ar\'ert\'eke,
\'es mi ez a hat\'ar\'ert\'ek. Az alapt\'etel alkalmazhat\'o olyan
esetekben is, amikor eredetileg m\'eg
nem sejtj\"uk mi a hat\'ar\'ert\'ek. Azt \'all\'{\i}tja, hogy ha a
karakterisztikusf\"uggv\'enyek sorozat\'anak van egy az orig\'oban
folytonos hat\'arf\"uggv\'enye, akkor ez a hat\'arf\"uggv\'eny egy
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye, \'es egyben
ez az eloszl\'asf\"uggv\'eny a keresett limesz. (Annak eld\"ont\'ese,
hogy egy konkr\'et f\"uggv\'eny mikor karakterisztikus
f\"uggv\'enye valamely eloszl\'asnak \'altal\'aban neh\'ez
k\'erd\'es.) Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assuk annak a
 felt\'etelnek a fontoss\'ag\'at, mely szerint a hat\'arf\"uggv\'eny
folytonos az orig\'oban tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
feladatban megadott p\'eld\'at. \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2\dots$, a $[-n,n]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata, azaz
legyen $F_n(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f_n(u)=\dfrac1{2n}$, ha $-n\le u\le n$, $f_n(u)=0$, ha $|u|>n$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott f\"uggv\'eny. L\'assuk be,
hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus f\"uggv\'enyei minden
pontban konverg\'alnak az $\varphi(0)=1$, $\varphi(t)=0$, ha
$t\neq0$ k\'eplettel megadott $\varphi(t)$ f\"uggv\'enyhez,
amelyik az orig\'oban nem folytonos. Tov\'abb\'a az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem konverg\'alnak eloszl\'asban, mert
minden v\'eges $[a,b]$ intervallumra $\limm_{n\to\infty}F_n([a,b])=0$.
\medskip
 
Az alapt\'etel alapj\'an a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg kisz\'amolni a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, \'es
megmutatni, hogy ha vessz\"uk f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek a
nor\-ma\-li\-z\'alt\-jait, akkor ezek karakterisztikus f\"uggv\'enyei
a standard norm\'alis eloszl\'as ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'eny\'ehez tartanak. Fogalmazzuk meg el\H{o}sz\"or azt az
eredm\'enyt, mely megadja a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakerisztikus f\"uggv\'eny\'et. \medskip\noindent
{\bf T\'etel a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it A
$\varphi(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}$, $-\infty<u<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$g(t)=e^{-t^2/2}$ f\"uggv\'eny, azaz
$$
\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=e^{-t^2/2}.
$$
}\medskip\noindent
{\it Magyar\'azat:}
$$
\align
\int_{-\infty}^\infty e^{itu}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du&=
\int_{-\infty}^\infty \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-(u-it)^2/2}e^{-t^2/2}\,du\\
&=e^{-t^2/2} \int_{-\infty-it}^{\infty-it} \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}e^{-t^2/2}\,du.
\endalign
$$
A fenti sz\'amol\'asban a szok\'asos technik\'at alkalmaztuk, az
exponensben szerepl\H{o} kvad\-ra\-ti\-kus alakot teljes n\'egyzett\'e
alak\'{\i}totuk \'at. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
\int_{-\infty-it}^{\infty-it} \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}e^{-t^2/2}\,du=1.
$$
Ez az integr\'al abban k\"ul\"onb\"ozik a standard norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at\'ol, hogy a norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at nem a val\'os
tengelyen, hanem egy vele p\'arhuzamos egyenesen tekintj\"uk. Azz
\'all\'{\i}tom, hogy ez az integr\'al ugyanannyi, mintha a val\'os
tengelyen interg\'altunk volna. Ezt nem neh\'ez bel\'atni, ha szabad
hivatkozni a komplex f\"uggv\'enytan tal\'an legfontosabb
eredm\'eny\'ere, mely szerint egy analitikus f\"uggv\'eny
k\"orintegr\'alja egy z\'art g\"orb\'en nulla. Azt kell
kihaszn\'alni, hogy a $g(x)=e^{-z^2/2}$ f\"uggv\'eny analitikus az
eg\'esz sz\'ams\'{\i}kon, \'es, ezenk\'{\i}v\"ul a $g(z)$ f\"uggv\'eny
olyan, hogy amennyiben a $z$ argumentum imagin\'arius r\'esz\'enek az
abszolut \'ert\'eke kisebb mint valamely fix $K$ sz\'am re\'alis
r\'esz\'enek az abszolut \'ert\'eke pedig nagyon nagy, akkor a
$g(z)$ f\"uggv\'eny nagyon kicsi. Mivel ez a bizony\'{\i}t\'as a
komplex f\"uggv\'enytani ismeretek felhaszn\'al\'asa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}en v\'egrehajthat\'o, viszont ez
a komplex f\"uggv\'enytani r\'esz, melyet nem tanult mindenki
elengedhetetlen a bizony\'{\i}t\'asban, ez\'ert a r\'eszletek
kidolgoz\'as\'at elhagyom. \medskip
 
A fenti eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel nem neh\'ez bel\'atni a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt. Val\'aban, legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $E\xi_1^2<\infty$. Jel\"olje
$\varphi(\cdot)$ a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, $M=E\xi_j$, $D^2=\Var\xi_j$,
(mivel a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyforma
eloszl\'as\'uak, ez\'ert a fenti mennyis\'egek nem f\"uggnek a $j$
indext\H{o}l), \'es legyen $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$. Ekkor a
karakterisztkus f\"uggv\'enyekr\H{o}l kimondott lemma alapj\'an $S_n$
normaliz\'altj\'anak az $\dfrac{S_n-nM}{\sqrt n D}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
a karakterisztikus f\"uggv\'enye az
$$
\(e^{-itM/\sqrt nD}\varphi\(\dfrac t{\sqrt n D}\)\)^n
$$
f\"uggv\'eny. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell bel\'atni, hogy
$$
\(e^{-itM/\sqrt nD}\varphi\( \dfrac t{\sqrt n D}\)\)^n\to e^{-t^2/2},
\quad \text{ ha $n\to\infty$ minden $t$ sz\'amra}.
$$
Viszont alkalmazva a karakterisztkus f\"uggv\'enyekr\H{o}l
kimondott lemma m\'asodik \'all\'{\i}t\'as\'at \'es a
$\varphi(0)=1$ egyenl\H{o}s\'eget  Taylor sorfejt\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy $\varphi\(\dfrac t{\sqrt nD}\)
=1+\dfrac{it M}{\sqrt n D}-\dfrac{t^2 E\xi_1^2}{2nD^2}
+o\(\dfrac{t^2}{2n}\)$. Tov\'abb\'a, hasonl\'oan Taylor
sorfejt\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy
$e^{-itM/\sqrt nD}=1-\dfrac{itM}{\sqrt nD}
-\dfrac{t^2M^2}{2nD^2}+o\(\dfrac{t^2}n\)$. E k\'et aszimptotikus
egyenl\H{o}s\'eget \"osszeszorozva kapjuk, hogy
$$
\align
e^{-itM/\sqrt nD}\varphi\(\dfrac t{\sqrt n D}\)
&=\(1+\dfrac{it M}{\sqrt nD}-\dfrac{t^2 E\xi_1^2}{2nD^2}
+o\(\dfrac{t^2}{2n}\)\)\\
&\qquad \(1-\dfrac{itM}{\sqrt nD}-\dfrac{t^2M^2}{2nD^2}
+o\(\dfrac{t^2}n\)\) =1-\dfrac{t^2}{2n}+o\(\dfrac1n\),
\endalign
$$
mert elv\'egezve a beszorz\'asokat kapjuk, hogy $t$ egy\"utthat\'oja
nulla, $t^2$ egy\"utthat\'oja $-\(\dfrac{iM}{\sqrt nD}\)^2-
\dfrac{E\xi_1^2}{2nD^2}-\dfrac{M^2}{2nD^2}=-\dfrac{1}{2n}$, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul m\'ar csak $o\(\dfrac1n\)$ nagys\'agrend\H{u} tagok
szerepelnek a szorzatban. Innen viszont k\"ovetkezik,
hogy
$$
\(e^{-itM/\sqrt n}\varphi\( \dfrac t{\sqrt n D}\)\)^n=
\(1-\dfrac{t^2}{2n}+o\(\dfrac1n\)\)^n
\to e^{-t^2/2}, \quad \text{ha } n\to\infty
$$
minden $t$ sz\'amra, \'es ezt kellett bel\'atnunk.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy amennyiben $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
f\"uggetlen, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_1$ \'es $m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$
\'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, akkor $\xi+\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel.
 
\vfill\eject
 
%\medskip
\centerline{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es}
\medskip\noindent
{\it A Stirling formula bizony\'{\i}t\'asa:} El\H{o}sz\"or azt
mutatjuk meg, hogy
$$
n!=\(\frac ne\)^n\frac{2\pi}{\dsize\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}. \tag a
$$
Tekints\"unk egy $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot $\lambda=n$ param\'eterrel, legyen azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{n^k}{k!}e^{-n}$, $k=0,1,2,\dots$. Sz\'am1tsuk ki a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $P(t)=Ee^{it\xi}$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. Ez a  k\"ovetkez\H{o} $P_n(t)$
Fourier sor:
$$
P_n(t)=\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)e^{itk}
=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{n^k}{k!}e^{-n+ikt}
=e^{-n}\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(ne^{it})^k}{k!}
=e^{-n+ne^{it}}.
$$
Innen, illetve a $(*)$ formul\'ab\'ol $k=n$ v\'alaszt\'assal kapjuk,
hogy
$$
P(\xi=n)=\dfrac{n^n}{n!}e^{-n}
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int}P_n(t)\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int-n+ne^{it}})\,dt.
$$
Ez a formula ekvivalens az (a) formul\'aval.
 
Az (a) formula alapj\'an a Stirling formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni azt, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt=1,
$$
amit \'ugyis \'{\i}rhatunk, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\dsize\int_{-\pi}^\pi e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=1.
$$
Viszont tekintve az $e^{it}$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'at kapjuk, hogy
$$
n(e^{it}-1-it)=-n\(\dfrac{t^2}2+\alpha(t)t^3\)=-\dfrac{nt^2}2
+\beta(t)n^{-1/8},
$$
alkalmas $\alpha(t)|\le \const$ \'es $\beta(t)|\le \const$
egy\"utthat\'okkal, ha $|t|\le n^{3/8}$, ahonnan
$e^{n(e^{it}-1-it)}=e^{-nt^2/2}e^{\beta(t)n^{-1/8}}=e^{-nt^2/2}
\(1+\gamma(t)n^{-1/8}\)$, $\gamma(t)\le \const$, ha $t\le n^{3/8}$, \'es
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}} e^{-nt^2/2}\,dt}=1.
$$
Tov\'abb\'a nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{-nt^2/2}\,dt} {\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=1,
$$
ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy az
$\dsize\int_{-\pi}^{-n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$ \'es
$\dsize\int^{\pi}_{n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$
in\-teg\-r\'a\-lok el\'eg kicsik. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
jegyezz\"uk viszont meg, hogy $|e^z|=e^{\Re z}$ tetsz\H{o}leges $z$
komplex sz\'amra, ahol $\Re z$  a $z$ sz\'am val\'os r\'esz\'et
jel\"oli. Innen
$$
|e^{n(e^{it}-1-it)}|=e^{n(\cos t-1)}\le e^{-\const n^{1/4}},
$$
ha $n^{3/8}\le|t|\le \pi$, ahonnan k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant
becsl\'es.
 
 
\bye
 
 
 
