\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat els\H{o} el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002 janu\'ar 29.}
\medskip\noindent
{\it \"Osszefoglal\'o:}\/
N\'eh\'any a v\'eletlenr\H{o}l sz\'ol\'o megjegyz\'es ut\'an
r\'at\'ertem a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
k\'et legfontosabb eredm\'eny\'enek a nagy sz\'amok
t\"orv\'eny\'enek \'es a cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel n\'emileg inform\'alis
ismertet\'es\'ere. N\'eh\'any p\'eld\'aval pr\'ob\'altam
megvil\'ag\'{\i}tani, hogy milyen ter\-m\'e\-sze\-tes probl\'em\'ak
megold\'as\'aban ny\'ujtanak ezek az eredm\'enyek nagy
seg\'{\i}ts\'eget. Ezut\'an n\'eh\'any val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
probl\'ema t\'argyal\'as\'ahoz fogtam hozz\'a, majd a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} \'altal\'anos definici\'oj\'at
adtam meg. C\'elom volt megmutatni, hogy ez a form\'alis definici\'o
seg\'{\i}t bizonyos hasznos heurisztikus elvek pontos
megfogalmaz\'as\'aban. El\H{o}bb azonban mutattam k\'et p\'eld\'at,
melyek megmutatj\'ak, hogy milyen elm\'eleti ne\-h\'ez\-s\'e\-gek
lek\"uzd\'es\'ere volt sz\"uks\'eg e fogalom megalkot\'asakor.
\medskip
Tudjuk tapasztalatb\'ol, hogy \'evente k\"or\"ulbel\"ul ugyanannyi
fi\'u \'es l\'any sz\"uletik. Ugyanakkor, az hogy az egyes
\'ujsz\"ul\"ottek fi\'uk lesznek-e vagy l\'anyok a v\'eletlent\H{o}l
f\"ugg. Term\'eszetes feltenni, hogy minden \'ujsz\"ul\"ott
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul lesz $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel fi\'u vagy l\'any. Az, hogy ilyen
k\"or\"ulm\'enyek k\"oz\"ott minden \'evben k\"or\"ulbel\"ul
ugyanannyi fi\'u \'es l\'any sz\"uletik, teh\'at nem az a helyzet,
hogy egyik \'evben a sz\"uletend\H{o} fi\'uk a m\'asik \'evben a
sz\"uletend\H{o} l\'anyok sz\'ama sokkal nagyobb, a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy nagyon fontos
eredm\'eny\'enek a {\it nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'enek}\/ a
k\"ovetkezm\'enye. Ez a t\"orv\'eny azt fejezi ki, hogy ha sok
egym\'ast\'ol f\"uggetlen kis\'erletet v\'egz\"unk, melyek
eredm\'enye valamely v\'eletlen sz\'am, akkor a m\'ert eredm\'enyek
\'atlaga nagyon kev\'ess\'e ingadozik a kis\'erletek eredm\'eny\'enek
v\'arhat\'o \'ert\'eke k\"or\"ul. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast
k\'es\H{o}bb fogjuk pontosabban megfogalmazni.
 
Szeretn\'enk pontosabb eredm\'enyeket kapni arr\'ol, hogy mekkora ez
az ingadoz\'as. Ilyen eredm\'enyt \'{\i}r le az \'ugynevezett {\it
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} A probl\'ema meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at. Valaki a
k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot aj\'anlja fel nek\"unk. Feldob egy
(szerinte) szab\'alyos p\'enzdarabot 10~000 alkalommal. Fejdob\'as
eset\'en mi fizet\"unk neki 1 forintot, \'{\i}r\'asdob\'as eset\'en
\H{o} fizet nek\"unk 1 forintot. Elhissz\"uk-e, hogy a p\'enzdarab
val\'oban szab\'alyos volt, ha mind a 10~000 dob\'as fej volt? \'Es
akkor, ha 9000 fej \'es 1000 fej dob\'as t\"ort\'enik? Ha 6000 fej
\'es 4000 \'{\i}r\'asdob\'as? Ha 5200 fej \'es 4800 \'{\i}r\'asdob\'as?
Ha 5050 fej \'es 4950 \'{\i}r\'asdob\'as?
 
Term\'eszetesen elvileg el\H{o}fordulhat, hogy egy szab\'alyos
p\'enzdarab, melyet feldobunk 10~000 alkalommal minden egyes esetben a
fej oldalra esik. Csak ennak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
rendk\'{\i}v\"ul kicsi, $2^{-10~000}$. Nagyon hihetetlennek t\H{u}nhet,
hogy egy ilyen esem\'eny val\'oban bek\"ovetkezik. Ugyancsak
rendk\'{\i}v\"ul kicsi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint 9000. A nagy sz\'amok t\"orv\'enye
szerint nagy $x$ sz\'amra annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
fej-dob\'asok sz\'ama nagyobb mint $5000+x$ rendk\'{\i}v\"ul
kicsi nagy $x$ sz\'amok eset\'en. De felmer\"ul a k\'erd\'es mely $x$
sz\'amok tekinthet\H{o}k nagynak. Ahhoz, hogy ezt a k\'erd\'est meg
tudjuk v\'alaszoni, j\'o lenne ismerni egy olyan eredm\'enyt, amelyik
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg megadja annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint $5000+x$ egy szab\'alyos
p\'enzdob\'as feldob\'asa eset\'en. Ilyen eredm\'eny ismeretes, \'es
ezt nevezik a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek.
 
\'Erdemes megjegyezni, hogy ilyen jelleg\H{u} k\'erd\'esek m\'askor
is term\'eszetes m\'odon felmer\"ulnek. P\'eld\'aul a 2000. \'evi
amerikai eln\"okv\'alaszt\'ason nagyon szoros volt a Florida \'allamban
a k\'et f\H{o} jel\"olt \'altal el\'ert eredm\'eny. A
k\"ul\"onb\"oz\H{o} id\H{o}pontokban megadott eredm\'enyek szerint
egyszer mondtak olyan szoros eredm\'enyt is, mely
szerint a leadott 5~000~000 szavazatb\'ol a k\'et jel\"oltre
leadott szavazatok k\"ul\"onbs\'ege mind\"ossze 300 volt. Felmer\"ul a
k\'erd\'es: Ha feltessz\"uk, hogy az egyes szavaz\'ok egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul szavaztak, \'es $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'alasztott\'ak valamelyik jel\"oltet, akkor egy ilyen
rendk\'{\i}v\"ul szoros v\'alaszt\'asi eredm\'eny rendk\'{\i}v\"ulinek
tekinthet\H{o} vagy viszonylag nagy a val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge
annak, hogy a szavazatok k\"ul\"onbs\'ege ilyen felt\'etelek mellett
kisebb mint 300. A cent\-r\'a\-lis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eget ny\'ujt e k\'erd\'es megv\'alaszol\'as\'aban, \'es e
szerint az ered\-m\'eny szerint egy ilyen esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege k\"or\"ulbel\"ul $0.1$. Ezt a feladatot
k\'es\H{o}bb t\'argyalni fogjuk.
 
\'Erdemes megjegyezni, hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
m\'as fontos probl\'em\'akban is megjelenik. Tegy\"uk fel, hogy
l\'amp\'ak \"ossz\'elettartam\'ara vagyunk kiv\'ancsiak. Olyan
l\'amp\'akat haszn\'alunk melyek v\'arhat\'o \'elettartama
100 \'ora, de val\'odi \'elettartamuk v\'e\-let\-len valamilyen
ingadoz\'assal. Ha egy l\'ampa ki\'eg akkor kicser\'elj\"uk egy
k\"ovetkez\H{o} l\'amp\'ara, melynek v\'arhat\'o \'elettartama
szint\'en 100 \'ora, de val\'odi \'elettartama ek\"or\"ul a
v\'arhat\'o \'ert\'ek k\"or\"ul ingadozik. Az \"osszes  l\'ampa
egy\"uttes \'elettartama ekkor 10~00 \'ora plusz valamilyen
v\'eletlen ingadoz\'as. A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel ennek
az ingadoz\'asnak az eloszl\'as\'ar\'ol nagyon \'erdekes
eredm\'enyt mond ki. Ennek az eloszl\'asnak jellegzetes alakja van,
\'es ez magyar\'azza meg azt is, mi\'ert jelenik meg teljesen
k\"ul\"onb\"oz\H{o} probl\'em\'akban egy jellegzetes
harang-g\"orb\'enek nevezett g\"orbe. Ezt az eredm\'enyt
majd a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
t\'argyal\'asa sor\'an fogom pontosan elmagyar\'azni.
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as vizsg\'alat\'aban egy
m\'asik nagyon fontos hat\'as volt k\"ul\"onb\"oz\H{o}
szerencsej\'at\'ekok vizsg\'alata. Ezek alaposabb vizsg\'alata nagyon
hasznos volt, t\"obb \'er\-t\'e\-kes gondolat h\'atter\'eben a
szerencsej\'at\'ekok vizsg\'alata van. \'Erdemes megjegyezni, hogy az
els\H{o} ilyen h\'{\i}res probl\'ema De M\'er\'e lovagt\'ol
sz\'armazik, aki Pascalt\'ol k\'erdezte meg k\'et
szerencsej\'at\'ekkal kapcsolatos k\'erd\'es\'et. Ezek egyik\'et de
M\'er\'e lovag is meg tudta oldani, de a m\'asikat nem. Pascal
megoldotta ezt a feladatot, illetve meg\'{\i}rta a Toulouseban
\'el\H{o} Fermatnak. Fermat is megoldotta ezt a probl\'em\'at.
Fermat megold\'asi m\'odszere k\"ul\"onb\"oz\"ott, de ugyanazt az
eredm\'enyt kapta. Ezut\'an \'{\i}rta Pascal sokat id\'ezett
mondat\'at: Ugyanaz az igazs\'ag P\'arizsban \'es Toulouseban.
Le\'{\i}rom de M\'er\'e lovag k\'erd\'eseit, de e
feladatok megold\'as\'at a gyakorlaton fogjuk t\'argyalni.
\medskip\noindent {\it De M\'er\'e lovag probl\'em\'aja:}
\medskip
\item{a.)} Ha egy kock\'at 4-szer feldobunk, akkor mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy hatos dob\'as lesz?
Ha k\'et kock\'at 24-szer feldobunk, mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy dupla hatos lesz.
\item{} (De M\'er\'e lovag arra csod\'alkozott r\'a, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac12$-n\'el kicsit nagyobb, a m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg pedig $\frac12$-n\'el kicsit kisebb.)
\item{b.)} K\'et j\'at\'ekos egy igazs\'agos j\'at\'ekot j\'atszik,
melynek mindegyik fordul\'oj\'aban az egyes j\'at\'ekosok $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyernek, illetve vesz\'{\i}tenek.
Meg\'allapodnak, hogy az a j\'at\'ekos nyeri el a t\'etet,
aki el\H{o}sz\"or \'er el hat nyer\'est. A j\'at\'ekot f\'elbe kell
szak\'{\i}taniuk akkor, amikor az egyik\"uknek h\'arom a m\'asikuknak
pedig \"ot nyer\'ese volt. Hogyan kell igazs\'agosan osztozkodniuk?
\medskip
M\'egis a ma t\'argyalt modern
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as megalkot\'asa j\'oval
k\'es\H{o}bb t\"ort\'ent. Ez Andrei Nyikolaevics Kolmogorov nev\'ehez
f\H{u}z\H{o}dik, aki az 1930-as \'evekben \'{\i}rt {\it Grundbegriffe
der Wahrsheinlichkeitstheorie}\/ (A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
alapjai) c\'{\i}m\H{u} m\H{u}v\'eben adta meg a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as ma haszn\'alt modellj\'et,
\'es bizony\'{\i}tott be n\'eh\'any alap\-ve\-t\H{o} eredm\'enyt,
melyek lehet\H{o}v\'e tett\'ek e modell haszn\'alat\'at. K\'et
term\'eszetes k\'{\i}v\'analom fogalmazhat\'o meg a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as j\'o modellj\'evel szemben.
\medskip
\item{(i)} Elv\'arjuk, hogy minden term\'eszetes v\'eletlennel
kapcsolatos feladat t\'argyalhat\'o le\-gyen ebben a modellben.
\item{(ii)} Elv\'arjuk, hogy azok a hasznos gondolatok, \'ervek,
melyek lehet\H{o}v\'e teszik konkr\'et feladatok megold\'as\'at,
alkalmazhat\'oak legyenek a vizsg\'alt modellben.
\medskip
Kolmogorov modellje mind a k\'et k\'{\i}v\'analmat kiel\'eg\'{\i}ti.
Miel\H{o}tt azonban ennek ismertet\'es\'ere t\'ern\'enk tekints\"unk
n\'eh\'any egyszer\H{u} feladatot, melyek vizsg\'alata
ter\-m\'e\-sze\-tes\-s\'e teheti a k\'es\H{o}bb bevezetend\H{o}
fogalmakat.
\medskip \item{1.} Egy p\'enzdarabot feldobunk k\'etszer. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan egy fejdob\'as lesz?
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy fejdob\'as
lesz? \medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A dob\'asok lehets\'eges kimenete,
$(F,F)$, $(F,I)$, $(I,F)$ \'es $(I,I)$. Ezen lehets\'eges kimenetelek
mindegyik\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac14$. Ez\'ert annak
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy pontosan egy fejdob\'as,
azaz az $(F,I)$ vagy $(I,F)$ dob\'assorozat k\"ovetkezik be $\frac12$.
Annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy legal\'abb egy
fejdob\'as, azaz az $(F,F)$, $(F,I)$ vagy $(I,F)$ dob\'assorozatok
eredm\'enye k\"ovetkezik be, $\frac34$.
\item{2.} Feldobunk k\'et szab\'alyos dob\'okock\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek
\"osszege pontosan 9 illetve pontosan 10? H\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o}
m\'odon fordulhat el\H{o}, hogy a dob\'asok \"osszege 9 \'es h\'any
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon lehet a dob\'asok \"osszege 10?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A dob\'asok \"osszeg\'enek eredm\'enye
akkor 9, ha a $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$ vagy $(6,3)$ dob\'asp\'arok
valamelyike k\"ovetkezik be. Ezen dob\'assorozatok mindegyik\'enek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac1{36}$, ez\'ert $\frac4{36}=\frac19$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \"osszeg pontosan 9.
Hasonl\'oan, az \"osszeg akkor 10, ha a $(4,6)$, $(5,5)$ vagy $(6,4)$
dob\'asp\'arok valamelyike jelenik meg, \'es ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac3{36}=\frac1{12}$. Jegyezz\"uk meg,
hogy a fenti t\'argyal\'asban az egyes kimenetelek felsorol\'as\'aban
nemcsak azt vett\"uk figyelembe, hogy milyen dob\'aseredm\'enyek
jelentek meg, hanem azt is, hogy melyik kock\'an jelentek meg ezek
a dob\'aseredm\'enyek. Mi\'ert?
\medskip
\item{3.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot visszatev\'essel. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a m\'asodik\'e feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a t\'{\i}zenhatodik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} h\'uz\'as piros $\frac{20}{50}=\frac25$, mert 50 goly\'ob\'ol
h\'uzzuk ki a 20 piros goly\'o valamelyik\'et, \'es minden goly\'ot
egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzunk ki. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros, a
m\'asodik feh\'er, $\frac25\cdot\frac35=\frac6{25}$, mert
el\H{o}sz\"or 50 goly\'o k\"oz\"ul v\'alasztjuk ki a h\'usz piros
goly\'o valamelyik\'et majd 50 goly\'o valamelyik\'eb\H{o}l  a 30
feh\'er goly\'o valamelyik\'et, \'es minden h\'uz\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Hasonl\'oan, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az 5. h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk ki $\frac25$, \'es
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as sor\'an piros
\'es a 16. h\'uz\'as sor\'an feh\'er goly\'ot h\'uzunk
$\frac25\cdot\frac35=\frac6{25}$.
\item{} Jegyezz\"uk meg, hogy a k\"ovetkez\H{o} feladat megold\'asa
egy olyan \'ervet tartalmaz, amelyik ebben az esetben is
alkalmazhat\'o, \'es megmutatja, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as piros \'es a 16.
h\'uz\'as feh\'er megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as feh\'er.
\'Erdemes ezeket az \'ervel\'eseket m\'eg egyszer v\'egiggondolni
azut\'an, hogy megt\'argyaltuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
pontos definici\'oj\'at.
\item{4.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot {\it visszatev\'es n\'elk\"ul}. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye piros
\'es a m\'asodik\'e feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a t\'{\i}zenhatodik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} h\'uz\'as piros $\frac{20}{50}=\frac25$, mert 50
goly\'ob\'ol h\'uzzuk ki a 20 piros goly\'o valamelyik\'et, \'es
minden goly\'ot egyforma va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
h\'uzunk ki. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as piros, a m\'asodik feh\'er,
$\frac25\cdot\frac{30}{49}=\frac{60}{245}$, mert
el\H{o}sz\"or 50 goly\'o k\"oz\"ul v\'alasztjuk ki a h\'usz piros
goly\'o valamelyik\'et, majd 49 goly\'o valamelyik\'eb\H{o}l  a 30
feh\'er goly\'o valamelyik\'et, \'es minden h\'uz\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Bel\'atjuk, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 16. h\'uz\'asban piros goly\'ot
h\'uzunk ki, megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy
az els\H{o} h\'uz\'as piros, azaz ez $\frac25$. Tov\'abb\'a
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as sor\'an
piros \'es a 16. h\'uz\'as sor\'an feh\'er goly\'ot h\'uzunk megegyezik
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er, a m\'asodik h\'uz\'as eredm\'enye  piros. Ez\'ert
ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg is
$\frac25\cdot\frac{30}{49}=\frac{60}{245}$.
\item{} Tekints\"uk ugyanis az \"osszes 25 hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozatot. Ekkor annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az 5. h\'uz\'as eredm\'enye piros a 16. h\'uz\'as eredm\'enye
feh\'er megegyezik az \"osszes olyan 25 hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszeg\'evel,
melyek 5. hely\'en piros \'es a 16. hely\'en feh\'er jegy \'all.
Hasonl\'oan sz\'am\'{\i}that\'o ki annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er, azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az 5. hely
helyett az els\H{o} \'es a 16. hely helyett a m\'asodik helyet kell
tekinteni. Be fogjuk l\'atni, hogy ugyanaz a k\'eplet fejezi ki ezt a
k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, er\'ert ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek megegyeznek.
\item{} A fenti \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
el\H{o}sz\"or mutassuk meg, hogy annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'ege, hogy valamely el\H{o}\'{\i}rt
konkr\'et 25 hossz\'us\'ag\'u piros feh\'er goly\'okb\'ol \'all\'o
sorozat jelenik meg csak att\'ol f\"ugg, hogy  ez a sorozat h\'any
piros \'es h\'any feh\'er
goly\'ot tartalmaz, de nem f\"ugg a feh\'er \'es piros h\'uz\'asok
sorrendj\'et\H{o}l. Val\'oban, ha egy h\'uz\'assorozat $k$ piros \'es
$25-k$ feh\'er goly\'ot tartalmaz, akkor ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
P(k)=\dfrac{25\cdot24\cdots(25-k+1)\cdot
30\cdot29\cdots(30-(25-k)+1)}{50\cdot49\cdots26}.
$$
Ugyanis egy el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\prodd_{j=1}^{25}\dfrac{l(j)}{50-j+1}$, ahol $l(j)$ az a $j-1$-ik
h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban maradt piros goly\'ok sz\'ama, ha a
$j$-ik h\'uz\'as piros, \'es a $j-1$-ik h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban
maradt feh\'er goly\'ok sz\'ama, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er.
Gondoljuk meg, hogy ez a kifejez\'es megegyezik a megadott
formul\'aval.
\item{} Jel\"olje $A(k;5,16)$ az olyan 25 hossz\'us\'ag\'u sorozatok
sz\'am\'at, melyek $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er jelet tartalmaznak,
\'es az 5. helyen piros a 16. helyen pedig feh\'er jel \'all.
Jel\"olje tov\'abb\'a $A(k;1,2)$ az olyan 25 hossz\'us\'ag\'u sorozatok
sz\'am\'at, melyek $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er jelet tartalmaznak,
az 1. helyen piros a 2. helyen pedig feh\'er jel \'all. Ekkor a k\'et
\"osszehasonl\'{\i}tand\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\summ_k
A(k;5,16)P(k)$ illetve $\summ_k A(k;1,2)P(k)$. Ez\'ert annak
\'erdek\'eben, hogy megmutassuk a k\'{\i}v\'ant azonoss\'ag
teljes\"ul\'es\'et elegend\H{o} bel\'atni azt, hogy
$A(k;5,16)=A(k;1,2)$ minden $k$ sz\'amra.
\item{} Viszont nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$A(k;5,16)=A(k;1,2)=\binom{23}{k-1}$, mert mind a k\'et esetben 23
el\H{o}\'{\i}rt helyre kell \'{\i}rni $k-1$ piros \'es $25-(k+1)$
feh\'er goly\'ot.
\item{} Tanuls\'agos az utols\'o azonoss\'ag k\"ovetkez\H{o} az
el\H{o}z\H{o}t\H{o}l k\"ul\"onb\"oz\H{o}
bizony\'{\i}t\'asa: Mutassuk meg, hogy ha tekintj\"uk az \"osszes 25
hossz\'us\'ag\'u $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er goly\'ot tartalmaz\'o
sorozatot, akkor az ilyen sorozatok 5. jel\'et kicser\'elve
az els\H{o}vel \'es a 16. jel\'et a m\'asodikkal k\"olcs\"on\"osen
egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'est kapunk azon halmazok k\"oz\"ott,
melyek sz\'a\-mos\-s\'a\-ga\-k\'ent defini\'altuk az  $A(k;5,16)$
\'es $A(k;1,2)$ sz\'amokat.
\item{} Hasonl\'oan mutathat\'o meg, hogy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}, illetve hogy az
\"ot\"odik h\'uz\'as eredm\'enye piros megegyezik.
\medskip
Az el\H{o}z\H{o} p\'eld\'ak, illetve azok megold\'asai mutatj\'ak,
hogy \'erdemes a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi feladatok halmazelm\'eleti
modellj\'et tekinteni, \'es azokat jobban meg\'erteni. A form\'alis
definici\'o megad\'asa el\H{o}tt tekints\"unk n\'eh\'any
probl\'em\'at, ahol term\'eszetes heurisztikus elk\'epzel\'eseink
vannak. L\'atni fogjuk, hogy ezek az elk\'epzel\'esek helyesek, de
azok bizony\'{\i}t\'asa, felhaszn\'al\'asa sz\"uks\'egess\'e teszi
n\'eh\'any m\'ely elm\'eleti eredm\'eny ki\-dol\-go\-z\'a\-s\'at.
\medskip\noindent
{\it Els\H{o} p\'elda:} Ledobunk a $[0,1]$ egys\'egintervallumra
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul el\H{o}sz\"or egy $x$ majd egy $y$
pontot, azaz annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $x$ vagy $y$
pont az egy\-s\'eg\-inter\-val\-lum valamely $[a,b]\subset[0,1]$
r\'eszintervallum\'aba esik megegyezik ezen intervallum
$|b-a|$ hossz\'aval, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig, hogy az
egys\'egn\'egyzet belsej\'eben l\'ev\H{o} az $(x,y)$ pontp\'ar \'altal
meghat\'arozott pont egy az egys\'egn\'egyzetben lev\H{o}
$[a,b]\times[c,d]\subset [0,1]\times[0,1]$ t\'eglalapba esik
megegyezik ennak a t\'eglalapnak $(b-a)(c-d)$ ter\"ulet\'evel.
Azt v\'arjuk, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $(x,y)$
pont egy az egys\'egn\'egyzet belsej\'eben l\'ev\H{o} $r$ sugar\'u
k\"orbe esik megegyezik ennek a k\"ornek $r^2\pi$ ter\"ulet\'evel.
\'Altal\'anosabban, azt v\'arjuk, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $(x,y)$ pont egy az
egys\'egn\'egyzet belsej\'eben l\'ev\H{o} $A$ halmazba esik
egyenl\H{o} ennek a halmaznak a ter\"ulet\'evel.
 
Helyes-e ez a term\'eszetes elk\'epzel\'es? Alapj\'aban v\'eve helyes,
de felmer\"ul egy komoly elvi probl\'ema. Nevezetesen a k\"ovetkez\H{o}
k\'erd\'est kell tiszt\'azni:
Annak az \'all\'{\i}t\'asnak, hogy a v\'eletlen $(x,y)$ pont akkora
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik egy $A$ halmazba, mint amennyi ennek
az $A$ halmaznak a ter\"ulete csak akkor van \'ertelme, ha
besz\'elhet\"unk az $A$ halmaz ter\"ulet\'er\H{o}l. Van-e
\'ertelme tetsz\H{o}leges halmaz ter\"ulet\'er\H{o}l besz\'elni?
Gondoljuk meg, hogy m\'ar egy k\"or ter\"ulet\'enek a meghat\'aroz\'asa
sem egyszer\H{u}.
\'Altal\'anosan az a helyzet, hogy komoly elvi okok miatt nem tudjuk
minden halmaz ter\"ulet\'et defini\'alni. De azoknak a halmazoknak,
melyek konkr\'et feladatokban megjelennek mindig defini\'alhat\'o a
ter\"ulete. Annak tiszt\'az\'asa viszont, hogy ez val\'oban
\'{\i}gy van komoly elm\'eleti eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'as\'at \'es
felhaszn\'al\'as\'at ig\'enyli. A k\'{\i}v\'ant eredm\'enyeket az
anal\'{\i}zis illetve m\'er\-t\'ek\-el\-m\'e\-let tant\'argyban
ismertetni fogj\'ak. Ezen elm\'elet r\'eszleteivel azonban ebben az
el\H{o}\-ad\'as\-so\-ro\-zat\-ban nem foglalkozunk, \'es
annak ismerete nem sz\"uks\'eges a k\'es\H{o}bbiek meg\'ert\'es\'ehez.
\medskip\noindent
{\it M\'asodik p\'elda:} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot
v\'egtelen sokszor egym\'as ut\'an. Az egyes dob\'asok eredm\'enye
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\dfrac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
fej \'es $\dfrac12$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel \'{\i}r\'as.
Jel\"olje $k(n)$ a fejdob\'asok sz\'am\'at az els\H{o} $n$ dob\'asban.
Azt v\'arjuk, hogy a $\dfrac{k(n)}n$ sz\'amoknak van
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{k(n)}n$ hat\'ar\'ert\'ek\"uk, \'es az a
$\dfrac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egyezik meg. L\'atni fogjuk,
hogy ez az \'all\'{\i}t\'as igaz. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast
h\'{\i}vj\'ak a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek. De ahhoz,
hogy ezt az \'all\'{\i}t\'ast bebizony\'{\i}tsuk el\H{o}sz\"or azt
kell tiszt\'aznunk, hogy a megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asnak van
\'ertelme. Mint l\'atni fogjuk, nem minden lehets\'eges esem\'enynek
defini\'aljuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Megmutatjuk,
hogy annak az esem\'enynek, hogy a $\limm_{n\to\infty}\dfrac{k(n)}n$
hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik, \'es ez a hat\'ar\'ert\'ek
$\dfrac12$ val\'oban l\'etezik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege.
Az, hogy ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg eggyel egyenl\H{o},
k\'es\H{o}bbi vizsg\'alatok eredm\'eny\'eb\H{o}l fog k\"o\-vet\-kezni.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy a fenti probl\'em\'akat t\'argyalni tudjuk,
el\H{o}sz\"or defini\'alni kell pontosan azokat a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modelleket, amelyekben dolgozni fogunk.
Tiszt\'azni kell, hogy mely esem\'enyeknek defini\'ajuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, \'es az hogyan sz\'amolhat\'o ki. Ezt
tessz\"uk az al\'abbiakban. A h\'att\'erben lev\H{o} k\'ep a
k\"ovetkez\H{o}: A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asnak
halmazelm\'eleti modellt fogunk adni, melyben minden esem\'eny
egy olyan halmaz, amelyiknek van val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. A
k\"ovetkez\H{o}re gondolhatunk: Egy elv\'egzett kis\'erletnek lehet
valamilyen kimenete, egy esem\'eny pedig bizonyos kimenetek
\"osszess\'eg\'et tartalmaz\'o halmaz, amelyiknek van
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. Ennek prez\'{\i}z, form\'alis
megfogalmaz\'as\'at adjuk meg az al\'abbiakban. Annak \'erdek\'eben,
hogy ezt a definici\'ot jobban meg\'erts\"uk, te\-kint\-s\"unk el\H{o}bb
egy p\'eld\'at, melyben egy szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen sok
dob\'as\'at le\'{\i}r\'o mo\-dellt adunk meg. Ennek a modellnek a
definici\'oj\'aban l\'enyeg\'eben az \"osszes komoly elvi neh\'ezs\'eg
megjelenik. \medskip
Ha feldobunk egy p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor, akkor a kimenetek a
lehets\'eges v\'egtelen $(F,F,I,\dots)$ fej--\'{\i}r\'as sorozatok.
Nevezz\"uk az egyes lehets\'eges sorozatokat ele\-mi esem\'enyeknek.
A biztos esem\'eny, melyet \'altal\'aban $\Omega$-val jel\"olnek az
irodalomban,  \'es amelyik azt jelenti, hogy a lehets\'eges kimenetek
valamelyike bek\"ovetkezett, megegyezik
az \"osszes elemi esem\'enyekb\H{o}l, azaz az \"osszes lehets\'eges
fej--\'{\i}r\'as sorozatb\'ol \'all\'o halmazzal. Az esem\'enyek ezen
halmaz r\'eszhalmazai. P\'eld\'aul az az esem\'eny, hogy az els\H{o}
dob\'as fej, megegyezik azon v\'egtelen fej--\'{\i}r\'as
sorozatokb\'ol \'all\'o halmazzal, mely sorozatok els\H{o} jegye fej,
\'es a tov\'abbi jegyek tetsz\H{o}legesek. Hasonl\'oan, az az
esem\'eny, hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye fej, \'es a hatodik
dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, megegyezik azzal a halmazzal, mely
azon v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatokb\'ol \'all, melyek m\'asodik
jegye fej, hatodik jegye \'{\i}r\'as. Defini\'alni akarjuk az egyes
esem\'enyek, (halmazok) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is. Ez bizonyos
esetekben egyszer\H{u}. P\'eld\'aul a biztos esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege 1. Annak az esem\'enynek, hogy
az els\H{o} t\'{\i}z dob\'asban csupa fej j\"ott ki, azaz annak a
halmaznak, mely azokat a v\'egtelen fej--\'{\i}r\'as sorozatokat
tartalmazza, melyeknek els\H{o} t\'{\i}z jegye fej, \'es a k\'es\H{o}bbi
jegyek pedig tetsz\H{o}legesek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-10}$.
De hogyan defini\'aljuk tetsz\H{o}leges esem\'eny, (halmaz)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et? Bizonyos esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et  term\'eszetes m\'odon meg tudjuk mondani
azon elv alapj\'an, hogy szab\'alyos p\'enzdarabot dobtunk fel, \'es a
dob\'asok eredm\'enyei f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Bizonyos
term\'eszetes szab\'alyok szerint tov\'abbi esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani. De meg
tudjuk-e adni minden halmzaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et? A v\'alasz
erre a k\'erd\'esre nemleges. Ez az els\H{o} l\'at\'asra zavar\'o
k\"or\"ulm\'eny, --- mint k\'es\H{o}bb kider\"ult --- nem okoz akkora
probl\'em\'at, mint ahogy azt az els\H{o} pillanatban gondoln\'ank.
Ugyanis a minket \'erdekl\H{o} halmazoknak van
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. A ,,minket \'erdekl\H{o} halmazok"
most tal\'an kiss\'e misztikusan hangz\'o fogalma val\'oj\'aban
term\'eszetes. Azok a halmazok ilyenek, melyeket le tudunk \'{\i}rni.
Ez \'ugy is \'erthet\H{o}, hogy tudunk olyan programot \'{\i}rni,
mely pontosan megadja, hogy mely pontok tartoznak ebbe a hal\-maz\-ba
\'es melyek nem. \medskip
\item{} {\it Feladat:}\/ Melyik halmaz \'{\i}rja le a fenti modellben
azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} t\'{\i}z dob\'asban t\"obb fej mint
\'{\i}r\'as dob\'as van. \medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy az el\H{o}bb v\'azolt modell, (pontosabban a
modell definici\'oj\'anak elkezd\'ese) nem az egyetlen lehets\'eges
modellje egy szab\'alyos p\'enzdarab le\'{\i}r\'as\'anak.
Tekinthetj\"uk p\'eld\'aul az \"osszes lehets\'eges k\"uls\H{o} fizikai
k\"or\"ulm\'enyt, melyek meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak a dob\'asok
eredm\'eny\'et, \'es lehetnek az elemi esem\'enyek ezen k\"uls\H{o}
k\"ur\"ulm\'enyek le\-het\-s\'e\-ges \'allapotai. Vagy tekinthetj\"uk
k\'et szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen sokszori feldob\'as\'anak a
modellj\'et, \'es ezut\'an mondhatjuk azt, hogy mi a m\'asodik
p\'enzdarab dob\'asainak az eredm\'enyeit is megfigyelj\"uk, de az
minket nem \'erdekel. Val\'oj\'aban a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as feladatai a
k\"ovetkez\H{o} jelleg\H{u}ek. Adva van egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}, amelyikben bizonyos esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
ismerj\"uk. Hat\'arozzuk meg ennek alapj\'an bizonyos minket
\'erdekl\H{o} m\'as ezen esem\'enyekt\H{o}l f\"ugg\H{o} esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Mint l\'atni fogjuk az ilyen
k\'erd\'esekre adott v\'alasz nem f\"ugg att\'ol, hogy milyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt tekintett\"unk.
 
Most pedig megfogalmazzuk azt az \'altal\'anos s\'em\'at, melyet minden
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellnek teljes\'{\i}teni kell.
\medskip\noindent
{\bf A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogorov
f\'ele modellje.}
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} definici\'oja.} {\it Azt
mondjuk, hogy egy $(\Omega,\Cal A,P)$ rendszer
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}, ha $\Omega$, melyet
biztos esem\'enynek is nevez\"unk, bizonyos \'altal\'aban $\oo$-val
jel\"olt elemekb\H{o}l (pontokb\'ol) \'all, melyeket elemi
esem\'enyeknek is neveznek. Ezenk\'{\i}v\"ul kijel\"olt\"uk az
$\Omega$ halmaz bizonyos kit\"untetett r\'eszhalmazait, melyek
\'ugynevezett $\sigma$-algebr\'at alkotnak, \'es melyet $\Cal A$-val
jel\"olt\"unk. Azon halmazoknak (esem\'enyeknek), melyek a $\Cal A$
$\sigma$-algebra elemei, van val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\"uk, \'es ezek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek nem-negat\'{\i}v egyre norm\'alt
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyt, \'ugynevezett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket alkotnak.} \medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy a fenti definici\'ot teljess\'e tegy\"uk,
tiszt\'aznunk kell a $\sigma$-algebra illetve a nem-negat\'{\i}v
egyre norm\'alt $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny fogalm\'at.
Azut\'an meg kell besz\'eni, hogy p\'eld\'aul a kor\'abban t\'argyalt
feladatokat hogyan t\'argyalhatjuk ennek a modellnek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \medskip\noindent
{\bf Algebra \'es $\sigma$-algebra definici\'oja.} {\it Legyen adva
egy $\Omega$ halmaz, \'es azoknak bizonyos $A\subset \Omega$
r\'eszhalmazainak $\Cal A$ rendszere. Azt mondjuk, hogy $\Cal A$
algebra, ha tetsz\H{o}leges $A\in \Cal A$ halmazra ennek
komplementere, az $\Omega\setminus A$ halmaz is eleme a $\Cal A$
halmazrendszernek, azaz $\Omega\setminus A\in \Cal A$, \'es az
$\emptyset$ \"ures halmaz (valamint az $\Omega$ biztos esem\'eny) is
eleme az $\Cal A$ algebr\'anak, azaz $\emptyset\in \Cal A$, \'es
$\Omega\in \Cal A$. Tov\'abb\'a, ha $A\in \Cal A$ \'es $B\in \Cal A$
elemei az $\Cal A$ halmazrendszernek, akkor e halmazok metszete
illetve uni\'oja is teljes\'{\i}ti az $A\cap B\in\Cal A$ \'es $A\cup
B\in \Cal A$ felt\'eteleket.
 
Az $\Cal A$ algebra akkor $\sigma$-algebra, ha ezen k\'{\i}v\"ul
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket is: Ha $A_1,A_2,\dots$,
megsz\'aml\'alhat\'o sok halmaz, melyek az $\Cal A$ algebra elemei,
azaz $A_n\in \Cal A$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, akkor ezek
metszete \'es uni\'oja is benne van az $\Cal A$
($\sigma$)-algebr\'aban, azaz $\bigcapp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$,
\'es $\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$.} \medskip\noindent
{\bf Addit\'{\i}v \'es $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny
definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ halmaz
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A$ $\sigma$-algebra. Azt mondjuk,
hogy egy $\mu(A)$, $A\in\Cal A$, halmazf\"uggv\'eny addit\'{\i}v, ha
b\'armely diszjunkt $A\in \Cal A$ \'es $B\in \Cal A$ halmazra, (azaz
olyan $A$ \'es $B$ halmazokra, melyekre $A\cap B=\emptyset$), $\mu(A\cup
B)=\mu(A)+\mu(B)$. Azt mondjuk, hogy ez a $\mu$
halmazf\"uggv\'eny nemcsak addit\'{\i}v, hanem $\sigma$-addit\'{\i}v
is, ha minden diszjunkt $A_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, halmazokra
$\mu\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=\summ_{n=1}^\infty\mu(A_n)$. Ez a
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny nem-negat\'{\i}v, ha minden
$A\in\Cal A$ halmazra $\mu(A)\ge0$, \'es egyre norm\'alt, ha
$\mu(\Omega)=1$.}
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ Annak megmutat\'a\'ahoz, hogy a fenti
definici\'o val\'oban hasznos \'es j\'o definic\'o sz\"uks\'eg van
n\'eh\'any m\'ely eredm\'enyre az anal\'{\i}zisb\H{o}l \'es
m\'ert\'ekelm\'eletb\H{o}l. Erre a k\'erd\'esre a k\'es\H{o}bbi
el\H{o}ad\'asokban t\'erek ki. De m\'ar most fel lehet vetni a
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est: Az, hogy megk\"ovetelt\"uk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\sigma$-addit\'{\i}vit\'as\'at, \'es nem
el\'egedt\"unk meg a k\"oz\"ons\'eges addit\'{\i}vit\'assal nem
t\'uls\'agosan megszor\'{\i}t\'o felt\'etel-e, nem z\'artunk-e ki
ezzel a megk\"ot\'essel olyan probl\'em\'akat vizsg\'alatainkb\'ol,
melyekkel \'erdemes lenne foglalkozni a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban?
A v\'alasz az, hogy nem t\"ort\'ent ilyen kellemetlen
megszor\'{\i}t\'as, de ennek iga\-zo\-l\'a\-sa m\'ely matematikai
eredm\'enyek felhaszn\'al\'as\'at ig\'enyli.
\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ A jel\"ol\'esrendszer az irodalomban nem
egy\'ertelm\H{u}. Van ahol k\'et $A$ \'es $B$ halmaz uni\'oj\'at \'es
metszet\'et $A\cup B$ illetve $A\cap B$-vel \'es van ahol $A+B$ illetve
$AB$-vel jel\"olik. Hasonl\'oan megsz\'aml\'alhat\'o sok halmaz
uni\'oj\'at illetve metszet\'et szok\'as bizonyos helyeken
$\bigcupp_{n=1}^\infty A_n$, illetve a $\bigcapp_{n=1}^\infty A_n$
jel\"ol\'essel, m\'asutt pedig a $\summ_{n=1}^\infty A_n$ illetve
$\prodd_{n=1}^\infty A_n$ jel\"ol\'essel megadni. V\'eg\"ul k\'et
halmaz k\"ul\"onbs\'eg\'et szok\'as bizonyos helyeken
$A\setminus B$-vel m\'asutt $A-B$-vel jel\"olni.
 \bye
 
 
 
 
 
 
