\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon
lehet megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
100-szor egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok \"osszeg\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et  \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\item{2.} Egy urn\'aban 20 feh\'er \'es 30 piros goly\'o van.
Kih\'uzunk 10 goly\'ot \'ugy, hogy minden h\'uz\'as ut\'an a goly\'ot
visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele egy\"utt az urn\'aba dobunk egy
ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot.  Sz\'amoljuk
ki a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{3.} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at, majd ezut\'an
k\'et szab\'alyos dob\'okock\'at do\-bunk fel akkor, ha a dob\'as
eredm\'enye p\'aros \'es egy dob\'okock\'at, ha a dob\'as
ered\-m\'e\-nye p\'aratlan sz\'am. Mi a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} dob\'asban hatost
dobtunk, felt\'eve, hogy a m\'asodik dob\'asban megjelent egy hatos?
\item{4.} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
lott\'oh\'uz\'askor (90 sz\'amb\'ol h\'uznak ki \"ot\"ot), legal\'abb
h\'armas tal\'alatunk lesz?
\item{5.} Egy urn\'aban $n$ lap van, melyekre r\'a vannak \'{\i}rva a
sz\'amok 1-t\H{o}l $n$-ig. Kih\'uzunk egy lapot v\'eletlen\"ul, minden
lapot egyforma $\dfrac1n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, majd
visszatessz\"uk ezt a lapot az urn\'aba \'es megism\'etelj\"uk a
kis\'erletet. Mi a k\'et kih\'uzott lapon lev\H{o} sz\'am
\"osszeg\'enek az eloszl\'asa?
\item{6.} Legyen $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ h\'arom esem\'eny egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek  f\"uggetlenek?
\medskip\noindent
{\it Megold\'asok:}
\medskip\noindent
 
\item{1.} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 100$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye  p\'aratlen, $\xi_j=2$, ha a $j$-ik dob\'as
\'ert\'eke 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke 4, \'es
$\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke 6, $1\le j\le 100$. Ekkor a
$\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk. Viszont $E\xi_j=\dfrac16(2+4+6)=2$,
$E\xi^2_j=\dfrac16(2^2+4^2+6^2)=\dfrac{28}3$,  $\Var
\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\dfrac{16}3$ minden $1\le j\le100$ indexre.
Mivel a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
ez\'ert ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $E\xi=200$ \'es
$\Var\xi=\dfrac{1600}3$.
\item{2.} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
\'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er,
$1\le j\le10$. Ekkor minket a $\xi=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. Ennek kisz\'am\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a $\xi_j$, $1\le j\le10$,
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket, $\Var\xi_j$, $1\le j\le10$,
sz\'or\'asn\'egyzeteket \'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)$, $1\le
j<k\le10$, covarianci\'akat. Vegy\"uk \'eszre, hogy $E\xi_j$ megegyezik
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'evel, hogy a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros, ami, mint azt mind az \'or\'an mind a gyakorlaton
megt\'argyaltuk, megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros. Ez\'ert $E\xi_j=\dfrac35$.
Hasonl\'oan, $E\xi_j\xi_k=E\xi_1\xi_2=\dfrac35\cdot\dfrac{31}{51}$,
ahol az utols\'o mennyis\'eg annak  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} k\'et h\'uz\'as piros. Ez\'ert
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_jE\xi_k-E\xi_j\xi_k
=\dfrac35\(\dfrac{31}{51}-\dfrac35\)=\dfrac2{425}$. Tov\'abb\'a
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\dfrac35-\(\dfrac35\)^2=\dfrac6{25}$.
Ez\'ert $E\xi=\summ_{j=1}^{10}E\xi_j=10\cdot\dfrac35=6$, \'es
$\Var\xi=\summ_{j=1}^{10}\Var\xi_j+2\summ_{j=1}^9
\summ_{k=j+1}^{10}\Cov(\xi_j,\xi_k)=\dfrac{12}5+90\cdot\dfrac2{425}=
\dfrac{12}5+\dfrac{36}{85}=\dfrac{240}{85}=\dfrac{48}{17}$.
\item{3.} Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} dob\'as
eredm\'enye hatos, \'es $B$ azt az esem\'enyt, hogy a m\'asodik
dob\'asban dobunk hatost. Ekkor a $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell kisz\'amolnunk.
$P(A\cap B)=\dfrac16\(1-\dfrac{25}{36}\)=\dfrac{11}{216}$, mert
$\dfrac16$ annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as
6-os, ha ez bek\"ovetkezik akkor k\'et kock\'at dobunk fel, annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig, hogy ebben a k\'et dob\'asban lesz
hatos az 1 minusz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egyik
dob\'as sem hatos, azaz $1-\(\dfrac56\)^2$. Hasonl\'oan
$P(B)=\dfrac12\cdot\dfrac16+\dfrac12\cdot\dfrac{11}{36}=\dfrac{17}{72}$,
ahol az \"osszeg els\H{o} tagja azt adja meg, hogy az els\H{o} dob\'as
p\'aratlan, a m\'asodik pedig hatos, m\'{\i}g a m\'asodik tag annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az els\H{o} dob\'as
p\'aros, a m\'asodik dob\'asban pedig megjelenik egy hatos. Innen
$P(A|B)=\dfrac{11}{51}$.
\item{4.} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan h\'arom
tal\'alatunk van $\dfrac{\binom53\binom{85}2}{\binom{90}5}$,
mert az \"ot j\'o sz\'amb\'ol kell kiv\'alasztanunk 3-at \'es a 85
rosszb\'ol kett\H{o}t, \'es minden v\'alaszt\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Hasonl\'oan annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'esge,
hogy pontosan n\'egy tal\'alatunk lesz
$\dfrac{\binom54\binom{85}1}{\binom{90}5}$, \'es annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy \"ot tal\'alatunk lesz
$\dfrac1{\binom{90}5}$. Ez\'ert a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{5\cdot85\cdot84+5\cdot85+1}{\binom{90}5}$.
\item{5.} A k\'et h\'uz\'as eredm\'eny\'enek az \"osszege akkor lesz
$k$, ha az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye valamilyen $j$ a m\'asodik
h\'uz\'as eredm\'enye pedig $k-j$. Egy $(j, k-j)$  p\'ar
h\'uz\'as\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dfrac1{n^2}$, ha
$1\le j\le n$, \'es $1\le k-j\le n$, azaz $k-n\le j\le k-1$, \'es
nulla egy\'eb esetben. Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
kisz\'amol\'as\'ahoz azt kell tudnunk, h\'any olyan $(j,k-j)$ p\'ar
van, melynek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dfrac1{n^2}$. Az ilyen
p\'arok sz\'ama nulla, ha $k\le1$ vagy $k\ge2n+1$, ez\'ert egy ilyen
$k$ nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lesz az \"osszeg \'ert\'eke.
Ha $1\le k\le n+1$, akkor az ilyen sz\'amp\'arok sz\'ama $k-1$, mert
az $1\le j\le k-1$ sz\'amok eset\'en lesz a $(j,k-j)$ sz\'amp\'ar
megfelel\H{o}. Ez\'ert az \"osszeg $\dfrac{k-1}{n^2}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel egy $2\le k\le n+1$ \'ert\'eket.
Ha $n+1\le j\le 2n$, akkor az \"osszeg $\dfrac{2n-k+1}{n^2}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel veszi fel a $k$ \'ert\'eket, mert
ebben az esetben a $(j,k-j)$ p\'arnak olyannak kell lennie, melyre a
$k-n\le j\le n$ egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ul.
\item{6.} Az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek,
ha a $P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$,
$P(A_2\cap A_3)=P(A_2)P(A_3)$ \'es
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'agok mindegyike
teljes\"ul.
 
\bye
