 
\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent{\bf A \'aprilis 30-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip
\item{1.} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyek k\"oz\"ul $\xi$
Poisson eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ minden $k=0,1,2,\dots$
sz\'amra, $\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumon,
azaz l\'etezik $f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, melyre $f(u)=1$,
ha $0\le u\le 1$, \'es $f(u)=0$, ha $u>1$, vagy $u<0$. L\'assuk be,
hogy a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak is van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es hat\'arozzuk meg azt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $[a,b]$ egy olyan intervallum,
melyre $[a,b]\subset [n,n+1]$ valamely nem negat\'{\i}v eg\'esz $n$
sz\'amra. Ekkor
$$
\align
P(\xi+\eta\in [a,b])&=P(\xi=n,\eta\in [a-n,b-n])=
P(\xi=n)P(\eta\in [a-n,b-n])\\
&=\dfrac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}(b-a)=\int_a^b f(u)\,du,
\endalign
$$
ahol $f(u)=\dfrac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}$, ha $u\in [n,n+1]$,
$n=0,1,2,\dots$. Legyen tov\'abb\'a $f(u)=0$, ha $u\le 0$. Ebb\H{o}l
a rel\'aci\'ob\'ol, illetve abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy
$P(\xi+\eta\le0)=0$, k\"ovetkezik, hogy
$P(\xi+\eta<x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ a fent defini\'alt $f(\cdot)$
f\"uggv\'ennyel, teh\'at ez a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o (l\'etez\H{o}) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
\item{2.} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyek k\"oz\"ul $\xi$
Poisson eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ minden $k=0,1,2,\dots$
sz\'amra, $\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,2]$ intervallumon,
azaz l\'etezik $f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, melyre
$f(u)=\dfrac12$, ha $0\le u\le2$, \'es $f(u)=0$, ha $u>2$, vagy
$u<0$. L\'assuk be, hogy a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es
hat\'arozzuk meg azt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ennek a feladatnak a megold\'asa hasonl\'o
az el\H{o}z\H{o}h\"oz. Legyen $[a,b]$ egy olyan intervallum,
melyre $[a,b]\subset [n,n+1]$ valamely nem negat\'{\i}v eg\'esz $n$
sz\'amra. Ekkor, ha $n\ge1$, akkor
$$
\align
P(\xi+\eta\in [a,b])&=P(\xi=n,\eta\in [a-n,b-n])\\
&\qquad +P(\xi=n-1,\eta\in [a-n-1,b-n-1])\\
&=P(\xi=n)P(\eta\in [a-n,b-n])\\
&\qquad +P(\xi=n-1)P(\eta\in [a-n-1,b-n-1])\\
&=\(\dfrac{\lambda^n}{n!}+\dfrac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}\)e^{-\lambda}
(b-a)=\int_a^b f(u)\,du,
\endalign
$$
ahol $f(u)=\(\dfrac{\lambda^n}{n!}+\dfrac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}\)
e^{-\lambda}$, ha $u\in [n,n+1]$,
$n=1,2,\dots$. Hasonl\'oan,
$$
P(\xi+\eta\in [a,b])=\int_a^b P(\xi=0)\,du=\int_a^b e^{-\lambda}\,du
$$
ha $[a,b]\in=0,1]$, tov\'abb\'a $P(\xi+\eta\le0)=0$. Innen
k\"ovetkezik, hogy ha az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny definici\'oj\'at az
$f(u)=e^{-\lambda}$, ha $0\le u\le1$, $f(u)=0$, ha $u<0$ k\'epletekkel
fejezz\"uk be, akkor $P(\xi+\eta<x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ ezzel
az $f(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel. Teh\'at ez a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o (l\'etez\H{o})
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a fent defini\'alt $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny.
\item{3.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\infty<x<\infty$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi^2+\xi^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or
$\xi^2+\xi^4$ $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ha $x<0$, akkor
$G(x)=0$, mert $\xi^2+\xi^4\ge0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha $x>0$, akkor a $P(\xi^2+\xi^4<x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
kell kisz\'am\'{\i}tanunk. Legyen $u=u(x)$ az $u^2+u-x=0$ egyenlet
nagyobb gy\"oke, aza $u=\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2$. Nem neh\'ez
bel\'atni, hogy $\xi^2(\oo)+\xi^4(\oo)<x$ akkor \'es csak akkor, ha
$0\le<\xi^2(\oo)<u(x)$, ami azt jelenti, hogy
$-\sqrt{u(x)}<x<\sqrt{u(x)}$. Innen $\xi^2+\xi^4$
eloszl\'asf\"uggv\'enye $x>0$ eset\'en
$G(x)=\Phi\(\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)-
\Phi\(-\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)=
2\Phi\(\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)-1$, ahol $\Phi(x)$ a
standard  norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny. Innen
differenci\'al\'assal kapjuk, hogy $\xi^2+\xi^4$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\dfrac{dG(x)}{dx}$, ahonnan ez a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny nulla, ha $x<0$, \'es
$\sqrt{\dfrac2\pi}\exp\left\{\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}4\right\}
\dfrac d{dx}\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2}$, ha $x>0$.
\item{4.} P\'eter \'es P\'al a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atssza.
Mind a ketten feldobnak egy szab\'alyos dob\'okock\'at. Ha P\'al
dobott nagyobbat, akkor \H{o} nyer h\'arom forintot P\'etert\H{o}l, ha
P\'eter dob\'asa nagyobb, akkor P\'al fizet P\'eternek h\'arom
forintot. Ha a dob\'asok egyenl\H{o}ek, akkor senki sem fizet a
m\'asiknak. Ezt a j\'at\'ekot j\'atssz\'ak 3000 alkalommal.
Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es a mell\'ekelt norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy P\'eter
legal\'abb 90 forintot nyer.
\item{4.} Legyen $\xi_j$ P\'eter nyerem\'enye a $j$-ik j\'at\'ekban.
Ekkor a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
P\'eter \"ossznyerem\'enye $S=\summ_{j=1}^{3000}\xi_j$, \'es
$P(\xi_j=3)=\dfrac5{12}$, $P(\xi_j=-3)=\dfrac5{12}$,
$P(\xi_j=0)=\dfrac1{6}$. (Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
\'{\i}rtuk fel, hogy P\'eter vagy P\'alt dob nagyobbat, illetve hogy a
k\'et dob\'as egyenl\H{o}. Innen $E\xi_j=0$, $\Var
\xi_j=E\xi_j^2=\dfrac{45}{6}$, $ES=0$, $\Var S=15\cdot 1500=150^2$.
Innen annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy P\'eter legal\'abb 90
forintot nyer
$$
P(S\ge 90)=P\(\frac{S-ES}{\sqrt {\Var S}}\ge\frac{90}{150}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt {\Var S}}<0.6\)\sim 1-\Phi(0.6)\sim0.274
$$
\item{5} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, melyek egy\"uttes eloszl\'as\'anak (l\'etez\H{o})
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u,v)=\frac23u+2uv^2+\frac23v$
alak\'u, ha $0\le u,v\le1$, \'es $f(u,v)=0$ egy\'ebk\'ent. L\'assuk
be el\H{o}sz\"or, hogy $f(u,v)$ val\'oban s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny,
majd sz\'a\-mol\-juk ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}ss\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}s\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{}{\it
Megold\'as:}\/ Annak \'erdek\'eben, hogy ellen\H{o}rizz\"uk, hogy
$f(u,v)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell megmutatni, hogy
$f(u,v)\ge0$ (majdnem) minden $(u,v)$ sz\'amp\'arra, \'es
$$
\int\int f(u,v)\,du\,dv=1.
$$
Az nyilv\'anval\'o, hogy $f(u,v)\ge0$ minden $(u,v)$ sz\'amp\'arra.
M\'asr\'eszt mivel
$$
\int_0^1\int_0^1 u v^2\,du\,dv=
\int_0^1 u\,du\int_0^1 v^2\,dv=\frac12\cdot\frac13=\frac16,
$$
$\int_0^1\int_0^1 u\,du\,dv=\frac12$ \'es
$\int_0^1\int_0^1 v\,du\,dv=\frac12$, ez\'ert
$\int\int f(u,v)\,du\,dv=1$.
\item{} A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et az
$$
G(x)=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x-u} f(u,v)\,dv\)\,du
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatuk ki, hasonl\'oan
$1-G(x)=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{x-u}^{\infty} f(u,v)\,dv\)\,du$.
M\'asr\'eszt, a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $g(x)=\frac {dG(x)}{dx}$
formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kisz\'am\'{\i}that\'o. Ez a mi
eset\"unkben a k\"ovetkez\H{o}t jelenti, $g(x)=0$, ha
$x\le0$, $g(x)=1$, ha $x\ge2$, mert $G(x)=0$, ha $x\le0$, $G(x)=1$, ha
$x\ge2$. M\'asr\'eszt
$$
g(x)=\dfrac{d}{dx}\(\int_0^1\int_0^{x-u}
\(\frac23u+2uv^2+\frac23v\)\,du\)\,dv,
$$
ha $0\le x\le1$, $g(x)=-\dfrac{d}{dx}\(\int_0^1\int_{x-u}^1
\(\frac23u+2uv^2+\frac23v\)\,du\)\,dv$, ha $1\le x\le2$. Az\'ert volt
\'erdemes a $0\le x\le1$ \'es $1\le x\le2$ eseteket sz\'etv\'alasztani,
mert a konkr\'et feladatban a $G(x)$ f\"uggv\'enyt tudjuk
k\'enyelmesen kisz\'am\'{\i}tani $0\le x\le1$ \'es az $1-G(x)$
f\"uggv\'enyt az $1\le x\le2$ intervallumban. Ez
a sz\'etbont\'as azonban nem k\"otelez\H{o}.
\item{} A fent v\'azolt m\'odon ki lehet sz\'amolni a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt, de val\'oj\'aban ezt a sz\'amol\'ast
lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni. Ez hasonl\'o ahhoz, ahogy
a konvoluci\'o formul\'at vezetik le f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere. Val\'o\-ban, a $v$ v\'altoz\'o
$z=u+v$ helyettes\'{\i}t\'es\'evel  fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
G(x)&=\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x-u} f(u,v)\,dv\)\,du=
\int_{-\infty}^\infty\(\int_{-\infty}^{x} f(u,z-u)\,dz\)\,du\\
&=\int_{-\infty}^x\(\int_{-\infty}^{\infty} f(u,z-u)\,du\)\,dz,
\endalign
$$
ahonnan deriv\'al\'assal
$$
g(x)=\frac{dG(x)}{dx}=\int_{-\infty}^{\infty} f(u,x-z)\,dz.
$$
E k\'eplettel a sz\'amol\'asokat lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni.
 
 
\bye
