\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 25-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
{\it H\'azi feladat}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk sz\'azszor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a fejdob\'asok sz\'am\'nak a harmadik hatv\'any\'at,
\'es sz\'am\'{\i}tsuk ki annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. \medskip
 
A feladat megold\'asa \'erdek\'eben tekints\"uk a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ter\-m\'e\-sze\-tes
felbont\'as\'at. Legyen $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
fej, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as,
$1\le j\le100$. Ekkor $S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$ harmadik
momentum\'at kell kisz\'amolnunk. Az Ekkor
$S^3=\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)^3$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et kell
kisz\'amolnunk. Fejts\"uk ki az $S^3$-t kifejez\H{o} szorzatot, \'es
az $ES^3$ kisz\'amol\'as\'ban haszn\'aljuk ki, hogy a v\'arhat\'o
\'ert\'ek additiv. A k\"ovetkez\H{o} tipus\'u tagok fognak szerepelni:
$E\xi_j^3$, $E\xi_j^2\xi_k=E\xi_j^2E\xi_k$, $j\neq k$,
$E\xi_j\xi_k\xi_l=E\xi_jE\xi_kE\xi_l$, ahol a $j$, $k$ \'es $l$
indexek k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek. Sz\'am\'{\i}tsuk ki, hogy az ilyen
tipus\'u tagokb\'ol h\'any van, \'es oldjuk meg a feladatot.
 
\medskip
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk v\'egtelen sokszor
egym\'as ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy
a harmadik 6-os dob\'as az $n$-ik dob\'asban k\"ovetkezik be,
$n=3,4,5,\cdots$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ez az esem\'eny akkor k\"ovetkezik be,
ha az els\H{o} $n-1$ dob\'asban pontosan k\'et hatost dobunk, \'es
az $n$-ik dob\'us eredm\'enye is hatos. Ennek
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
$\dbinom {n-1}2\(\dfrac56\)^{n-3}\(\dfrac16\)^3$.
\medskip
Ezt a feladatot nem annyira \"onmaga miatt t\'argyaltuk, (ez
egy\'ebk\'ent p\'elda a negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as
megjelen\'es\'ere), hanem az\'ert, hogy megt\'argyaljuk, hogyan lehet
egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen sok egym\'as ut\'ani
dob\'as\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et megadni. Ez
rem\'elhet\H{o}leg \'erthet\H{o}bb\'e teszi mi\'ert kell a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} fogalm\'aban n\'eh\'any els\H{o}
l\'at\'asra t\'ulkomplik\'alt fogalmat bevezetni.
 
Term\'eszetes az elemi esem\'enyeket a v\'egtelen
$\omega=(j_1,j_2,\dots)$ sorozatokk\'ent de\-fi\-ni\-\'al\-ni, ahol
mindegyik $j_n$, $n=1,2,\dots$, sz\'am az $1,2,\dots,6$ \'ert\'ekek
valamelyik\'et veszi fel. A biztos $\Omega$ esem\'eny az \"osszes
al\'abb tekintett sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz. Term\'eszetes lenne
esem\'enyeknek az $\Omega$ halmaz r\'eszhalmazait tekinteni. Ut\'ana
meg kell adni az esem\'enyeknek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. \'Es
itt jelennek meg a neh\'ezs\'egek. Ugyanis egyr\'eszt minden $\oo$
elemi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla, m\'asr\'eszt $\Omega$
kontinum sok elemi esem\'enyb\H{o}l \'all. Hogyan kell defini\'alni a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'ugy, hogy az t\"ukr\"ozze azt, hogy egy
szab\'alyos dob\'okocka egym\'ast\'ol f\"uggetlen dob\'asait \'{\i}rja
le?
 
Legyen annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} $n$
koordin\'atan el\H{o}\'{\i}rt \'ert\'ek\H{u} $j_1,\dots,j_n$ sz\'amok,
(azaz azon v\'egtelen sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz, melynek jelei a
$j_1,\dots,j_n$ sz\'a\-mok\-kal kezd\H{o}dnek) $\(\dfrac16\)^n$. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'ugy szeretn\'enk defini\'alni, hogy ezek
a felt\'etelek teljes\"uljenek. Mivel a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-additiv ez sok egy\'eb esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
is meghat\'arozza. P\'eld\'aul hogyan hat\'arozza meg annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az \"ot\"odik dob\'as eredm\'enye
nagyobb mint a harmadik dob\'as\'e? \'Altal\'aben \'ertelme van
bizonyos esem\'enyek \'altal meghat\'arozott legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebr\'ar\'ol besz\'elni. Halmazok egy $\Cal A$ rendszer\'et
$\sigma$-algebr\'anak nevezz\"uk, ha $A_n\in \Cal A$ eset\'eben,
$n=1,2,\dots$, $\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$, $\Omega\setminus
A_n\in \Cal A$, $n=1,2,\dots$. Be lehet l\'atni, hogy az el\H{o}bbi
$j_1,\dots,j_n$ sz\'amokkal kezd\H{o}d\H{o} sorozatok
halmaz\'at, $n=1,2,\dots$, tartalmaz\'o $\sigma$-algebr\'ak k\"oz\"ott
van egy
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra, azaz egy olyan $\sigma$-algebra,
amelyik r\'esze egy tetsz\H{o}leges ezeket a halmazokat tartalmaz\'o
$\sigma$-algebr\'anak. Ennek  az \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'asa viszonylag egyszer\H{u}. L\'enyegesen nehezebben, de
szint\'en bizony\'{\i}that\'o \'all\'{\i}t\'as az, hogy ezen a
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'an megadhat\'o egy\'ertelm\H{u}en egy
olyan $\sigma$-additiv halmazf\"uggv\'eny, amelyiknek \'ert\'eke a
m\'ar megadott halmazokon az el\H{o}\'{\i}rt \'ert\'ekkel egyezik meg.
Ennek alapj\'an az el\H{o}bbi halmazokat tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebr\'at tekintj\"uk az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak, az
$A\in\Cal A$ halmazok $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et pedig
a k\"ovetkez\H{o} m\'odon defini\'aljuk. Tekintj\"uk az
els\H{o} $n$ koordin\'at\'aj\'aban el\H{o}\'{\i}rt $j_1,\dots,j_n$
\'ert\'eket felvev\H{o} sorozatokb\'ol \'all\'o halmazokat tartamaz\'o
legsz\H{u}kebb $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at, egy $j_1,\dots,j_n$
jegyekkel kezd\H{o}d\H{o} sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(\dfrac16\)^n$, (ahol $n$ a
r\"ogz\'{\i}tett \'ert\'ek\H{u} jegyek sz\'ama), \'es tekintj\"uk azt
az egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott $P$ $\sigma$-additiv
halmazf\"uggv\'enyt az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an, melynek
\'ert\'eke az el\H{o}bb defini\'alt halmazokon a m\'ar defini\'alt
\'ert\'ekkel egyenl\H{o}. Egy $A\in \Cal A$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege ennek a $P$ $\sigma$-additiv
halmazf\"uggv\'enynek az $A$ halmazon felvett \'ert\'ek\'evel
egyenl\H{o}.
 
Felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy term\'eszetes-e a fenti definici\'o.
Mi\'ert nem defini\'altuk p\'eld\'aul minden lehets\'eges halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et? A v\'alasz erre a k\'erd\'esre az,
hogy ez nem lehets\'eges \'ugy, hogy meg\H{o}rizz\"uk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\sigma$-additiv tulajdons\'ag\'at.
M\'asr\'eszt val\'oj\'aban nem veszt\"unk azzal, hogy csak a fenti
$\sigma$-aalgebra halmazaira defini\'altuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. Ugyanis, amikor egy halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et k\'erdezz\"uk, akkor  azt a halmazt
valamilyen definici\'oval le kell \'{\i}rni. Viszont az \"osszes
defini\'alhat\'o halmaz r\'esze a fenti $\sigma$-algebr\'anak.
 
Megjegyezz\"uk, hogy a fent t\'argyalt probl\'ema \'altal\'anos.
Mihelyt nem v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sok
k\"ulob\"oz\H{o} \'ert\'eket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval dolgozunk, hasonl\'o k\'erd\'esek mer\"ulnek fel.
\'Igy p\'eld\'aul akkor, ha az egys\'egintervallumon olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket akarunk defini\'alni, mely
szerint egy intervallum m\'ert\'eke megegyezik ennek az intervallumnak
a hossz\'aval. (Lebesgue m\'ert\'ek de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.)
 
Megmutatjuk, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}tas
\'altal\'anos elm\'elete seg\'{\i}t bizonyos feladatok egyszer\H{u}
megold\'as\'aban. Az al\'abbi k\'et feladatban az egyik lehets\'eges
(egyszer\H{u}) megold\'asi m\'odszer az \'ugynevezett
geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek m\'odszere. Annak
h\'at\-te\-r\'e\-ben, hogy ez a m\'odszer alkalmazhat\'o ott van
rejtve a m\'ert\'ekelm\'elet n\'eh\'any eredm\'enye. A feladat
m\'asodik lehets\'eges megold\'asa a konvoluci\'on alapul.
 
\medskip
\item{2.} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy t\'eren
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal. Mind a
kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig nem j\"on,
akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tal\'alkoznak?
\item{3.} K\'et botot v\'eletlenszer\H{u}en, egyenletes eloszl\'assal
elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot \"osszeragasztjuk. Mi az
\'{\i}gy kapott \'uj bot hossz\'anak az $F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye?
\medskip
Mind a k\'et feladat megoldhat\'o form\'alis sz\'amol\'assal, azt
felhaszn\'alva, hogy ismert s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani
konvol\'uci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ugyanakkor egy j\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellben vizsg\'alva a probl\'em\'akat
egyszer\H{u}bb megold\'ast is tudunk adni. Tekints\"uk mind a k\'et
megold\'ast.
\item{}{\it 2. feladat a) megold\'as:}\/ Tekints\"uk az
egys\'egn\'egyzetet, \'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az
egys\'egn\'egyzeten, melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy az
els\H{o} ember az $y$ koordin\'at\'aja pedig megadja, hogy a m\'asodik
ember ember mikor \'erkezett. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, azaz annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez a pont az egys\'egn\'egyzet egy
(sz\'ep) r\'eszhalmaz\'aba esik meg\-egye\-zik e halmaz ter\"ulet\'evel.
Mi\'ert? Az, hogy a k\'et ember tal\'alkozik azt az esem\'enyt jelenti,
hogy az \'{\i}gy defini\'alt $(x,y)$ pont az egys\'egn\'egyzet
$$
A=\left\{(x,y)\:-\frac12\le y-x\le \frac12\right\}\cap[0,1]\times
[0,1]
$$
r\'eszhalmaz\'aba esik. Ennek a halmaznak a ter\"ulete
$1-2\cdot\dfrac18=\dfrac34$, \'es ez a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{}{\it 3. feladat a) megold\'as:}\/ Ez a feladat is hasonl\'o
m\'odon t\'argyalhat\'o. Tekints\"uk az egys\'egn\'egyzetet, \'es
v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten, melynek
$x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy  hol t\"ort\"uk el az  els\H{o}
botot az $y$ koordin\'at\'aja pedig azt, hogy hol t\"ort\"uk el a
m\'asodik botot. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes
eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten. Az az esem\'eny, hogy az
\"osszeragasztott bot hossza kisebb mint valamely $u$ sz\'am
megegyezik annak az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy az $(x,y)$ pont a k\"ovetkez\H{o} $A_1(u)$, $A_2(u)$, $A_3(u)$
\'es  $A_4(u)$ halmazok $A_1(u)\cup A_2(u)\cup A_3(u)\cup A_4(u)$
uni\'oj\'aba esik: $A_1(u)=\{(x,y)\: x+y<u\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_2(u)=\{(x,y)\: x+(1-y)<u\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_3(u)=\{(x,y)\: 1-x+y<u\}\cap [0,1]\times [0,1]$ \'es
$A_4(u)=\{(x,y)\: 1-x+1-y<u\}\cap [0,1]\times [0,1]$. Ha $u<\frac12$,
akkor ezek a halmazok diszjunktak, ter\"ulet\"uk $\frac {u^2}2$,
ez\'ert $F(u)=1-2u^2$, ha $u\le \frac12$. Ha $\frac 14\le u\le
\frac12$, akkor az $A_1(u)\cup A_2(u)\cup A_3(u)\cup A_4(u)$ halmaz
komplementere egy olyan n\'egyzet, melynek \'atl\'oja $(2-2u)$
hossz\'u. Ez\'ert $F(u)=1-2(1-u)^2=4u-2u^2-1$, ha $\frac12\le u\le 1$.
Ha $u\ge1$, akkor $F(u)=1$.
\item{}{\it 2. feladat m\'asodik megold\'asa.}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely azt adja
meg, hogy h\'any (0 \'es 1 k\"oz\"otti sz\'ammal kifejezhet\H{o})
\'or\'aval 8 \'ora ut\'an jelent meg a $j$-ik ember a helysz\'{\i}nen.
Ekkor $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen a $[0,1]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
Minket a $-\frac12\le \xi_1-\xi-2\le \frac 12$ esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel. Az $F(u)=P(\xi_1-\xi_2<u)$
elosz\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf8ggv\'enye a $g(u)=f_1*f_2(u)$
konvol\'uci\'o, ahol $f_1(u)=1$, ha $0\le u\le 1$, $f_1(u)=0$,
k\"ul\"onben, $f_2(u)=1$, ha $-1\le u\le0$, $f_2(u)=0$ k\"ul\"onben.
Ekkor a minket \'erdekl\H{o} mennyis\'eg az $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\int_{-1/2}^{1/2}g(u)\,du$. (Eml\'ekeztet\H{o}\"ul, ha
$f_1$ \'es $f_2$ k\'et s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, akkor ezek
konvoluci\'oja $f_1*f_2$ a k\"ovetkez\H{o} m\'odon sz\'amolhat\'o ki.
$$
f_1*f_2(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(u)f_2(x-u)\,dv
=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x-u)f_2(u)\,dv, \quad -\infty<x<\infty.
$$
Tov\'abb\'a, ha $\xi_1$ \'es $\xi_2$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f_1(\cdot)$ \'es $f_2(\cdot)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel, akkor a $\xi_1+\xi_2$
\H{o}sszegnek is l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$f_1*f_2(\cdot)$ konvoluci\'o.)
\item{} N\'emi sz\'amol\'as adja, hogy $g(u)=1-u$, ha $0<u<1$
$g(u)=1+u$, ha $-1<u<0$. Innen $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\int_{-1/2}^{1/2}(1-|u|)\,du=\dfrac34$.
\item{}{\it 2. feladat m\'asodik megold\'asa.}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely azt adja
meg, hogy a $j$-ik bot r\"ovidebb v\'eg\'enek mi a hossza. Ekkor
$\xi_1$, \'es $\xi_2$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $f(x)=2$, ha $0\le x\le\frac12$, \'es $f(x)=0$
egy\'ebk\'ent s\H{u}r\'us\'egf\"uggv\'ennyel. Minket a $\xi_1+\xi_2$
eloszl\'asa \'erdekel. Viszont $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=f*f(x)$, ahonnan $g(x)=2-|2-4x|$,
ha $0\le x\le 1$, $g(x)=0$ k\"ul\"onben. Ezt kiintegr\'alva megkapjuk
az eredm\'enyt.
 
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\item{} Legyen $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi_1$ \'es $\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le 1$, \'es
$f(x)=1$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
 
\medskip\noindent
{\bf (S\H{u}r\H{u}s\'eg)f\"uggv\'enyek konvoluci\'oj\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$ k\'et
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny a sz\'amegyenesen,
\'altal\'anosabban integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek, azaz tegy\"uk
fel, hogy $\int_{-\infty}^\infty |f(u)|\,du<\infty$ \'es
$\int_{-\infty}^\infty |g(u)|\,du<\infty$. Az $f(\cdot)$ \'es
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyek $f*g(\cdot)$ konvoluci\'oja az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty,
$$
f\"uggv\'eny.} \medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Egyszer\H{u} (line\'aris) transzform\'aci\'oval
kapjuk, hogy a konvoluci\'ot m\'ask\'epp is kisz\'amolhatjuk. Ez
mutatja, hogy a konvoluci\'oban r\'esztvev\H{o} f\"uggv\'enyek
szim\-met\-ri\-kus szerepet j\'atszanak.
$$
\align
f*g(x)&=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du
=\int_{-\infty}^\infty f(x-u)g(u)\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty f\(\frac x2- u\)g\(\frac x2+u\)\,du,
\quad -\infty<x<\infty.
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ekkor a $\xi+\eta$ \"osszegnek is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty
$$
f\"uggv\'eny.} \medskip\noindent
 
 
\bye
 
