\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 18-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at:
\medskip
Legyen egy urn\'aban 70 piros \'es 30 feh\'er goly\'o. H\'uzzuk ki a
goly\'okat visszatev\'es n\'elk\"ul.
\item{a.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o}
kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne piros, a m\'asodik\'e pedig feh\'er?
\item{b.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a 13.
kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne piros, a 29. kih\'uzott goly\'o
sz\'{\i}ne pedig feh\'er?
\medskip
A feladat b.) r\'esze az \'erdekes. Mutassuk meg,
hogy az a.) \'es b.) k\'erd\'esre ugyanaz a v\'alasz. Ezen
\'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'es meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
megfogalmaztuk a feladatot form\'alisan egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} bevezet\'es\'evel.
 
A k\"ovetkez\H{o} modellt defini\'altuk: Tekints\"uk az \"osszes
$\omega=(F,P,F,F,\dots)$ sz\'az hossz\'us\'ag\'u 30 $F$ (feh\'er) \'es
70 $P$ (piros) jelb\H{o}l \'all\'o sorozatot. Legyen $\Omega$ az
\"osszes ilyen $\omega$ sorozat\'ol \'all\'o halmaz, $\Cal A$ a
(m\'erhet\H{o}) halmazok rendszere ($\sigma$-algebr\'aja) $\Omega$
\"osszes r\'eszhalmaza, azaz minden lehets\'eges fent defini\'alt
$\omega$ (elemi esem\'enyekb\H{o}l) \'all\'o halmaz. Legyen minden
$\omega$ elemi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\dfrac1{\binom{100}{30}}$. Egy $A$ halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
pedig az $A$ halmaz \'altal tartalmazott elemi esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek \"osszege. A l\'enyegs \'eszrev\'etel
az volt, hogy minden olyan h\'uz\'assorozatnak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, amelyik 30 feh\'er \'es
70 piros goly\'ot tartalmaz megegyezik. Ebben a modellben az a.)
feladat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege azon $A$ esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, mely azokat az $\omega$ sorozatokat
tartalmazza, melyek els\H{o} eleme $P$ m\'asodik eleme pedig $F$.
A b.) feladatban annak a $B$ esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vizsg\'aljuk, melyek olyan $\omega$
sorozatokat tekint, melyek 13. jele $P$ 29. jele pedig $F$. Bel\'attuk
k\'et m\'odon is, hogy $P(A)=P(B)$. Ehhez azt l\'atjuk be, hogy azon
sorozatok melyekben az els\H{o} helyen piros \'es a m\'asodik helyen
feh\'er gply\'o van k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u}en
megfeleltethet\H{o}ek azon sorozatoknak, melyeknek a 13. hely\'en
piros \'es a 29. hely\'en feh\'er goly\'o \'all. Ilyen
megfeleltet\'est biztos\'{\i}t az, ha a 1. \'es 13. valamint a 2.
\'es 29. goly\'ot kicser\'elj\"uk. Egy m\'asik szint\'en megt\'argyalt
bizony\'{\i}t\'asa annak, hogy ugyanannyi az els\H{o} helyen piros
\'es a m\'asodik helyen feh\'er goly\'ot tartalmaz\'o sorozat van,
mint ah\'any a 13. helyen piros \'es 29. helyen feh\'er goly\'o
\'all, abb\'ol \'all, hogy kisz\'amoljuk mind a k\'etfajta 100
hossz\'us\'ag\'u sorozat sz\'am\'at. Azt kell \'eszrevenni, hogy
ugyanolyan m\'odon lehet kisz\'amolni ezt a k\'et lehets\'eges
sz\'amot. Ugyanis az ilyen sorozatok sz\'am\'at \'ugy
sz\'amolhatjuk ki, hogy tekintj\"uk az \"osszes olyan sorozatok
sz\'am\'at, melyekben k\'et helyen el\H{o} van \'{\i}rva a goly\'ok
sz\'{\i}ne, \'es ezut\'an azt kell kisz\'amolni, hogy h\'any olyan
sorozat van, amelyikben a marad\'ek 68 helyen 29 feh\'er \'es 69
piros goly\'o van. Annak, hogy melyik k\'et helyen van a goly\'ok
sz\'{\i}ne el\H{o}\'{\i}rva nincs jelent\H{o}s\'ege.
 
Val\'oj\'aban a fenti t\'argyal\'as nem teljesen
kiel\'eg\'{\i}t\H{o}. L\'atnunk kell ugyanis, hogy nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket milyen a felt\'eteleket
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} modellben tekintj\"uk. Ez\'ert \'erdemes a
fenti gondolatmenetet \'ugy m\'odos\'{\i}tani, hogy az \'ervel\'es
ne f\"uggj\"on att\'ol, hogy milyen modellt tekint\"unk.
 
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}, mely tartalmazza az \"osszes olyan esem\'enyt, hogy egy
h\'uz\'assorozat eredm\'enye valamilyen $(F,P,F,F,\dots)$ sz\'az
hossz\'us\'ag\'u 30 $F$ (feh\'er) \'es 70 $P$ (piros) jelb\H{o}l
\'all\'o sorozat. (Nem tessz\"uk fel, hogy ezek az esem\'enyek elemi
esem\'enyek.) Minden ilyen esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
legyen $\dfrac1{\binom{100}{30}}$. Vegy\"uk \'eszre, hogy ilyen
m\'odon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} egy partici\'oj\'at
kapjuk. (Disz\-junkt esem\'enyeket defini\'altunk, melyek
\"osszval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege 1.) Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 100$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. (Azaz, ha az el\H{o}bb
defini\'alt partici\'o olyan sorozatot tartalmaz, melynek $j$-ik jele
$P$ illetve $F$.) Ekkor a minket \'erdekl\H{o} k\'erd\'es a
$P(\xi_1=1,\xi_2=0)$ (a.) feladat), illetve a
$P(\xi_{13}=1,\xi_{29}=0)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg (b.) feladat)
kisz\'am\'{\i}t\'asa.
 
Be lehet l\'atni, hogy a fenti jel\"ol\'esekkel
$$
P(\xi_1=\e_1,\xi_2=\e_2,\dots,\xi_{100}=\e_{100})=
P(\xi_{\pi(1)}=\e_1,\xi_{\pi(2)}=\e_2,\dots,\xi_{\pi(100)}=\e_{100}),
$$
ahol $(\pi(1),\dots\pi(100))$ az $(1,\dots,100)$ sz\'amok
tetsz\H{o}leges permut\'aci\'oja, $\e_j$, $1\le j\le100$ vagy nullla
vagy egy. Ez az azonoss\'ag lehet\H{o}v\'e teszi annak
bizony\'{\i}t\'as\'at, hogy az a) \'es b) feladatban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek megegyeznek.
\medskip
{\it H\'azi feladat}
\item{} Ha a $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a
$$
P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2,\dots,\xi_n=k_n)=
P(\xi_{\pi(1)}=k_1,\xi_{\pi(2)}=k_2,\dots,\xi_{\pi(n)}=k_n),
$$
azonoss\'agot az $1,2,\dots,n$ sz\'amok tetsz\H{o}leges
$(\pi(1),\dots\pi(n))$ permut\'aci\'oj\'ara \'es minden $k_1,\dots,k_n$
eg\'esz sz\'amra, akkor
$$
P(\xi_i=k_1)=P(\xi_1=k_1),\quad
P(\xi_i=k_1,\xi_j=k_2)=P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2)
$$
mainden $1\le i,j\le n$ \'es $k_1$ \'es $k_2$ eg\'esz sz\'amra.
\medskip \noindent
Tov\'abbi a gyakorlaton t\'argyalt feladatok: \medskip
 
\item{1.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{2.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a dob\'asok eredm\'enyeinek \"osszeg\'et.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek
\itemitem{a.)} V\'arhat\'o \'ert\'ek\'et,
\itemitem{b.)} Sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
Id\'ezz\"uk fel el\H{o}sz\"or a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es
sz\'or\'aan\'egyzet definici\'oj\'at \'es n\'eh\'any fontos vel\"uk
kapcsolatos eredm\'enyt. \medskip\noindent
{\bf V\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja.}
{\it Legyen $\xi$ diszkr\'et \'er\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, mely megsz\'aml\'alhat\'o
sok $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'eket vesz fel, $P(\xi=x_k)=p_k$,
$k=1,2,\dots$, akkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $E\xi=\summ_{k=1}^\infty p_kx_k$,
sz\'or\'asn\'egyzete pedig $\Var\xi=E(\xi-E\xi)^2=E\xi^2-\(E\xi\)^2$.}
\medskip \noindent
{\bf T\'etel.} {\it $E(a\xi+b)=aE\xi+b$, $\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi$
minden val\'os $a$ \'es $b$ sz\'amra.} \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi$ diszkr\'et \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $P(\xi=x_k)=p_k$,
$k=1,2,\dots$, $f(x)$ valamilyen f\"uggv\'eny, akkor
$Ef(\xi)=\summ_{k=1}^\infty p_kf(x_k)$.} \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor
$E(\xi_1+\cdots+\xi_n)=E\xi_1+\cdots+E\xi_n$.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es;}\/ Ez az eredm\'eny tetsz\H{o}leges
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra igaz. Nem k\"ovetelt\"uk meg
p\'eld\'aul azt, hogy az \"osszeadand\'ok f\"uggetlenek legyenek.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$\Var(\xi_1+\cdots+\xi_n)=\Var\xi_1+\cdots+\Var\xi_n$.}
\medskip
Az 1. \'es 2. feladat jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
defini\'aljunk egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es rajta
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ezt a feladatot precizen meg lehet fogalmazni.
\medskip
\item{1.} {\it A feladat megold\'asa:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
\'{\i}00 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\dbinom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\H{o}li a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Tov\'abb\'a $E\xi^2
=\summ_{k=0}^{100} k^2\dbinom {100}k 2^{-100}$, a sz\'or\'asn\'egyzet
pedig $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ezeket az \"osszegeket
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban,
$k\dbinom{100}k=100\dbinom{99}{k-1}$,
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}k\dbinom {99}k
2^{-99}=50\(\dfrac12+\dfrac12\)^{99}=50$. Tov\'abb\'a,
$k^2\dbinom{100}k=[k(k-1)+k]\dbinom{100}k=100\cdot99\cdot
\dbinom{98}{k-2} +100\cdot\dbinom{100}{99}$, $E\xi^2=\dfrac14\cdot
100\cdot99\cdot\summ_{k=0}^{98}\dbinom{98}k+
\dfrac12\cdot100\cdot\summ_{k=0}^{99}\dbinom{99}k=25\cdot99+50$,
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi^2)=25$.
\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'asn\'egyzetet egyszer\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, $\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j$.
Mivel $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
$\Var\xi=\frac14\cdot100=25$.
 
A m\'asodik feladat hasonl\'oan t\'argyalhat\'o. Ekkor annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a dob\'asok \"usszeg\'enek
\'ert\'eke egy adott sz\'am rendk\'{\i}v\"ul f\'arads\'agos
lenne kisz\'amolni. Vi\-szont a m\'asodik m\'odszer egyszer\H{u}en
alkalmazhat\'o ebben az esetben is.
Legyenek $\eta_1$,$\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$\Var\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}\Var\eta_j$.
(A m\'asodik rel\'aci\'o felhaszn\'alja a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok f\"uggetlens\'eg\'et.)
$E\eta_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$,
$E\eta_j^2=\frac16(1+4+9+16+25+36)=\frac{91}6$,
$\Var\eta_j=\frac{35}{12}$, $E\xi=350$, $\Var\xi=\frac{3500}{12}$.
\medskip
\item{3.)} Legyen egy urn\'aban 40 piros \'es 60 feh\'er goly\'o.
H\'uzzuk ki a goly\'okat visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'am\'{\i}tsuk
ki az els\H{o} 10 h\'uz\'asban kih\'{\i}zott piros goly\'ok
sz\'am\'anak \itemitem{a.)} V\'arhat\'o \'ert\'ek\'et,
\itemitem{b.)} Sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
 
Az els\H{o} k\'et feladathoz hasonl\'oan t\'argyalhat\'o a harmadik
feladat. Ekkor megfelel\H{o} modellben a vizsg\'alt feladat az
$E\summ_{j=1}^{20}\xi_j$ \'es $\Var\summ_{j=1}^{20}\xi_j$
kisz\'am\'{\i}t\'asa, ahol $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. Ekkor
$E\summ_{j=1}^{20}\xi_j=\summ_{j=1}^{20}E\xi_j$. A sz\'or\'asn\'egyzet
kisz\'am\'{\i}t\'asa kiss\'e bonyolultabb, mert a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek. Ez\'ert meg
kell \'erten\"unk, hogyan kell kisz\'am\'{\i}tani
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
sz\'or\'asn\'egyzet\'et az \'altal\'anos esetben.
 
A $\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk, ahol $\xi_j=1$, ha a
$j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, $\xi_j=0$ ha a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er, $j=1,2,\dots,20$. Ennek kisz\'am\'{\i}t\'asa
bonyolultabb mint az el\H{o}z\'o feladatokban,
mert a most tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek. Ez\'ert meg kell \'erten\"unk, hogyan kell
ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-ta\-ni va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzet\'et az \'altal\'anos
esetben.\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=
\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k<n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).\\
&=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le n,\; j\neq k}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
}\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor ezek kovarianci\'aja
$\text{Cov}\,(\xi_,\eta)=E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)]
=E\xi\eta-E\xi E\eta$. A kovariancia egy term\'eszetes m\'er\'ese
annak, hogy k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o milyen
m\'ert\'ekben f\"ugg \"ossze. Ez a mennyis\'eg szerepelt az \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek kifejez\'es\'eben. Ha $\xi$ \'es $\eta$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$\text{Cov}\,(\xi,\eta)=0$. \medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/
$$
\align
\Var \! \(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=E\(\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
-\(E\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
=E\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2\)+
2\summ_{1\le j<k<n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
\'es $E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\Var\xi_j$.\medskip
 
Alkalmazva ezt a t\'etelt \'es az el\H{o}z\H{o} gyakorlat
eredm\'enyeit kapjuk, hogy $E\xi_j=E\xi_1=\frac25$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\frac25-\frac4{25}=\frac6{25}$,
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\frac25\cdot
\frac{39}{99}-\frac4{25}=-\frac6{495}$, ha $j\neq k$, \'es
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2$ minden $1\le
j<k\le20$ sz\'amra. Innen a 10 dob\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $10\cdot\frac25=4$ \'es
sz\'or\'asn\'egyzete $10\cdot\frac6{25}-90\cdot\frac6{2475}
=\frac{12}5\(1-\frac1{11}\)=\frac{24}{11}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\item{} Egy urn\'aban h\'usz piros \'es harminc feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 10 goly\'ot \'ugy, hogy amikor kih\'uzunk
egy goly\'ot akkor azt visszadobjuk \'es vele egy\"utt bedobunk az
urn\'aba egy vele azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ L\'assuk be, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'asban piros goly\'ot
h\'uzunk megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az
els\H{o} h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $i$-ik \'es $j$-ik h\'uz\'asban
piros goly\'ot h\'uzunk, $i\neq j$, megegyezik annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk.
 
 
\bye
