\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
 
\medskip\noindent
A nagy sz\'amok er\H os t\"orv\'eny\'enek
bizony\'\i{}t\'as\'aban fontos szerepet j\'atszik a k\"ovetkez\H o
\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov egyenl\H otlens\'eg.} {\it Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, (nem felt\'etlen\"ul egyforma
eloszl\'as\'u) va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok, $E\xi_k=0$, $E\xi_k^2=\sigma_k^2$,
$S_k=\sum\limits_{p=1}^k\xi_p$, $k=1,\dots,n$. Ekkor
$$
P\(\sup_{1\le k\le n}|S_k|\ge x\)\le\frac{ES_n^2}{x^2}
=\frac{\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k^2}{x^2}
$$
minden $x>0$-ra.}
\item{} \'Erdemes megjegyezni, hogy a Kolmogorov egyenl\H otlens\'eg
ugyan\-azt a fels\H o becsl\'est adja annak val\'osz\'\i{}n\H
us\'eg\'ere, hogy az $S_k$ r\'eszlet\"osszegek szup\-r\'e\-mu\-ma
nagyobb mint valamilyen $x>0$ sz\'am, mint amit a Csebisev egyen\-l\H
ot\-len\-s\'eg ad annak az ese\-m\'eny\-nek a val\'osz\'\i{}n\H
us\'eg\'ere, hogy az utols\'o tag $S_n$ nagyobb, mint~$x$.
\medskip\noindent
{\it A Kolmogorov egyenl\H otlens\'eg bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Defini\'aljuk a
$$
\tau(\omega)=\min \{k\:\; k\le n;\; |S_k(\omega)|\ge x\}
$$
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ot. ($\tau(\omega)=n$ ha
$S_k(\omega)< x$ minden $k\le n$-re.) Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
$$
ES_{\tau(\omega)}^2\le ES_n^2\;. \tag a
$$
Az utols\'o egyenl\H otlens\'eg \'es a Csebisev egyenl\H otlens\'eg
alapj\'an
$$
P\(\max_{k\le n} |S_k|>x\)=P\(|S_{\tau(\omega)}|>x\)\le \frac
{ES^2_{\tau(\omega)}}{x^2} \le \frac {ES^2_{n}}{x^2}\;,
$$
\'es ez a Kolmogorov egyenl\H otlens\'eg.
 
A k\'{\i}v\'ant egyenl\H otlens\'eg bebizony\'{\i}t\'as\'ahoz vegy\"uk
\'eszre, hogy
$$
\aligned
ES_n^2-ES_{\tau(\omega)}^2&=\sum_{k=1}^n
E(S_n-S_k)(S_n-S_k+2S_k)I(\{\tau(\omega)=k\})\\
&=\sum_{k=1}^n E(S_n-S_k)^2I(\{\tau(\omega)=k\})
+2\sum_{k=1}^n E(S_n-S_k)S_kI(\{\tau(\omega)=k\})\;.
\endaligned \tag b
$$
Mivel az $S_n-S_k$ \'es $S_kI(\{\tau(\omega)=k\})$ val\'osz\'{\i}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, (az $S_n-S_k$ a $\xi_l$,
$l=k+1,\dots,n$, az  $S_kI(\{\tau(\omega)=k\})$ az $\xi_l$,
$l=1,\dots,k$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'okt\'ol f\"ugg,)
\'es $E(S_n-S_k)=0$, ez\'ert
$$
E(S_n-S_k)S_kI(\{\tau(\omega)=k\})=
E(S_n-S_k)ES_kI(\{\tau(\omega)=k\})=0\;.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy az (b) azonoss\'ag jobboldal\'anak a
m\'asodik tagja nulla. Mivel az els\H o tag egy nem negat\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o  \'ert\'eke, ez\'ert
az (b) azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik az (a) rel\'aci\'o. \'Igy
bebizony\'{\i}tottuk a Kolmogorov egyenl\H otlens\'eget.
\medskip\noindent
A Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'as\'at az\'ert
vettem bele ebbe az el\H{o}ad\'assorozatba, hogy p\'eld\'at mutassak
arra, hogy a v\'eletlen j\'at\'ekokkal val\'o foglalkoz\'as
\'es azok t\"or\-v\'eny\-sze\-r\H{u}\-s\'e\-gei\-nek  meg\'ert\'ese
komoly seg\'{\i}ts\'eg\'eget jelent bizonyos fontos tiszt\'an
el\-m\'e\-le\-ti eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'as\'aban is. Durv\'an
sz\'olva a Kolmogorov t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak f\H{o} gondolata
az, hogy egy
el\H{o}ny\"os j\'at\'ekot nem \'erdemes t\'ul kor\'an befejezni.
 
Pontosabban fogalmazva, a
Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak
h\'atter\'eben a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel \'all.  Tekints\"unk
egy olyan meg\'all\'asi szab\'alyt, mely szerint m\'ar az $n$-ik
l\'ep\'es el\H{o}tt egy $k$-ik l\'ep\'esben meg\'allunk, $1\le k\le
n$, ha a $k$-ik l\'ep\'esben tekintett r\'eszlet\"osszeg n\'egyzete,
azaz $S_k^2$ t\'ull\'ep egy bizonyos $x^2$ sz\'amot. Azt l\'atjuk be,
hogy az $S_k$ r\'eszlet\"osszeg n\'egyzet\'enek a v\'arhat\'o
\'ert\'eke e meg\'all\'asi id\H{o}pontban kisebb, mint akkor, ha
megv\'arjuk az $n$-ik id\H{o}pontot. Ezen \'all\'{\i}t\'asnak a
k\"ovetkez\H{o} szeml\'eletes magyar\'azata van. Ha olyan j\'at\'ekot
j\'atszunk, melynek $k$-ik l\'ep\'ese ut\'an a nyerem\'eny\"unk
$S_k^2$, azaz a $k$-ik l\'ep\'esben $S_k^2-S_{k-1}^2$ \"osszeget
nyer\"unk, akkor ennek a j\'at\'eknak minden l\'ep\'es\'eben
v\'arhat\'oan nyer\"unk. Ez\'ert ez a j\'at\'ek el\H{o}ny\"os, \'es
nye\-re\-m\'e\-ny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'eke ann\'al nagyobb min\'el tov\'abb
j\'atszhatunk.
 
E gondolatmenet kiakn\'az\'as\'an alapul a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik fontos fejezete az
\'ugynevezett martingalok elm\'elete. Ennek r\'eszleteire azonban nem
t\'erek ki.
\bigskip
\medskip\noindent
{\it Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot.
Feldobnak egy szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot
egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul egym\'as ut\'an. Amennyiben a
dob\'as eredm\'enye fej, akkor a feltett t\'et dupl\'aj\'at kapjuk,
ha \'{\i}r\'as, akkor a t\'et $\frac23$ r\'esz\'et elvesz\'{\i}tj\"uk,
\'es csak $\frac13$ r\'esz\'et \H{o}rizhetj\"uk meg.  Mivel ez a
j\'at\'ek el\H{o}ny\"os, ez\'ert feltessz\"uk minden j\'at\'ekban
minden p\'enz\"unket. L\'assuk be, hogy amennyiben $A$ volt a
vagyonunk a j\'at\'ek kezdete el\H{o}tt, \'es $Z_n$ jel\"oli
vagyonunkat az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an, akkor
\item{a)} $EZ_n=A\(\dfrac76\)^n$, azaz
vagyonunk v\'arhat\'o \'ert\'eke exponenci\'alis gyorsan n\H{o}.
\item{b)} $Z_n$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tart null\'ahoz, ha
$n\to\infty$, azaz ha sok\'aig j\'atszunk, akkor
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel majdnem
minden p\'enz\"unket elvesz\'{\i}tj\"uk.
\item{c)} \'Erts\"uk meg, hogy ez a k\'et \'all\'{\i}t\'as nem
mond egym\'asnak ellent. }
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=\dfrac13$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_j=2)=P\(\xi_j=\dfrac13\)=\dfrac12$, \'es ezenk\'{\i}v\"ul
$Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$. Ez\'ert
$E\xi_j=\dfrac12\(2+\dfrac13\)=\dfrac76$, \'es
$EZ_n=EA\xi_1\xi_2\cdots\xi_n =AE\xi_1 E\xi_2\cdots
E\xi_n=A\(\dfrac76\)^n$. Ez a feladat a) \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
A $Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik,
hogy $\dfrac1n\log Z_n=\dfrac{\log A}n+\dfrac1n \summ_{j=1}^n\log
\xi_j$. Tov\'abb\'a, $E\log\xi_j=\dfrac12\(\log2+\log\dfrac13\)
=-\dfrac12\log\dfrac32$. Ez\'ert a nagy sz\'amok (er\H{o}s)
t\"or\-v\'e\-nye szerint $\dfrac1n\log Z_n$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a {\it negat\'{\i}v}\/
$-\dfrac12\log\dfrac32$ sz\'amhoz. Innen k\"ovetkezik, hogy
$Z_n\to0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, \'es ez a feladat b)
\'all\'{\i}t\'asa. \medskip
Az a) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa azon alapult, hogy $E\xi_j>1$,
a b) r\'esz\'e pedig azon, hogy $E\log \xi_j<0$. Ez a k\'et
egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ulhet egyszerre, mert a v\'arhat\'o
\'ert\'ek \'es a logaritmus egym\'assal nem felcser\'elhet\H{o}. Igaz
az $E e^\eta\ge e^{E\eta}$ egyenl\H{o}tlens\'eg (ez a konvex
f\"uggv\'enyekre vonatkoz\'o \'ugynevezett Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg
speci\'alis esete), ahonnan $\xi=\log\eta$ v\'alaszt\'assal $E\xi\ge
e^{\log E\xi}$, de egyenl\H{o}s\'eg nem \'{\i}rhat\'o a fenti
egyenl\H{o}tlens\'eg helyett. Jegyezz\"uk meg, hogy hasonl\'o, de
egyszer\H{u}bben \'erthet\H{o} p\'eld\'at mutat a feladat a) \'es
b) \'all\'{\i}t\'as\'anak egyszerre val\'o teljes\"ul\'es\'ere a
k\"ovetkez\H{o} modell. Olyan j\'at\'ekot j\'atszunk, melyben
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel elvesz\'{\i}tj\"uk,
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel pedig megh\'aromszorozzuk
a p\'enz\"unket. Az egyes j\'at\'ekok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek,
\'es minden id\H{o}pontban minden p\'enz\"unket feltessz\"uk. Ekkor
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an
minden p\'enz\"unket elvesz\'{\i}tj\"uk, $1-\(\frac12\)^n$, ami
rendk\'{\i}v\"ul gyorsan tart egyhez, \'es p\'enz\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke $3^n\(\frac12\)^n$, ami exponenci\'alis gyorsan n\H{o}
az $n$ f\"uggv\'eny\'eben. Hasonl\'o, csak kiss\'e rejtettebb eset
t\"ort\'enik az \'altalunk t\'argyalt feladatban is. Tekints\"uk a
feladatban tekintett j\'at\'ek nyerem\'eny\'et sok j\'at\'ek
ut\'an. Azt \'all\'{\i}thatjuk, hogy nagy $n$ indexre az $n$-ik
j\'at\'ek ut\'an nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel alig marad
p\'enz\"unk. Viszont kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nagyon sok
p\'enzt nyer\"unk, \'es ez\'ert nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke nagy. Ez az oka annak, hogy nemcsak a b), hanem az a)
\'all\'{\i}t\'as is teljes\"ul.
\medskip\noindent
{\it Tekints\"uk az el\H{o}z\H{o} feladatban tekintett j\'at\'ekot
azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy a j\'at\'ek minden egyes
fordul\'oj\'aban vagyonunk $u$-ad r\'esz\'et, $0\le u\le1$, tessz\"uk
fel t\'etk\'ent. Jel\"olje $Z_n(u)$ vagyonunkat a j\'at\'ek $n$-ik
l\'ep\'ese ut\'an. Ekkor az $\dfrac1n\log Z_n(u)$
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak egy $B(u)$ sz\'amhoz.
Hat\'arozzuk meg a legjobb $\bar u$ sz\'amot, amelyikre $B(\bar
u)=\supp_{0\le u\le 1}B(u)$. L\'assuk be, hogy $B(\bar u)>0$.
 
Tekints\"uk \'altal\'anosabban a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at. Olyan
j\'at\'ekot j\'atszhatunk, melyben az $n$-ik fordul\'oban $A$ feltett
t\'et eset\'en nyerem\'eny\"unk $A\xi_j$ lesz, ahol
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre $E\xi_j>1$. L\'assuk,
be, hogy meg lehet adni olyan $0<u<1$ sz\'amot, melyre igaz, hogy
amennyiben a j\'at\'ek minden l\'ep\'es\'eben vagyonunk $u$-szoros\'at
tessz\"uk fel, akkor vagyonunk egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
exponenci\'alis sebess\'eggel n\H{o}ni fog.}
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a $\xi_j=\xi_j(u)$, $j=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, me\-lyek\-re
$\xi_j=1+u$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, \'es
$\xi_j=\xi_j(u)=1-\dfrac {2u}3$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as. Ekkor az $n$-ik l\'ep\'esben
a vagyonunk $Z_n=A\xi_1\cdots\xi_n$, a $\xi_j$, $j=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak, ez\'ert $\dfrac1n\log Z_n=\dfrac{\log A}n
+\dfrac1n\summ_{j=1}^n\log \xi_j$, \'es a nagy sz\'amok (er\H{o}s)
t\"orv\'enye szerint az $\dfrac1n\log Z_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak a
$$
B(u)=E\log \xi_1=\dfrac12\(\log(1+u)+\log\(1-\dfrac
{2u}3\)\)=\dfrac12\log(1+u)\(1-\dfrac {2u}3\)
$$
sz\'amhoz. A $B(u)$ f\"ugg\-v\'eny a maximum\'at az $\bar u=\dfrac14$
helyen veszi fel, \'es $B(\bar u)=\dfrac12\log\dfrac{25}{24}>1$.
 
Az \'altal\'anos esetben tekints\"uk minden $u$, $0\le u\le1$ sz\'amra
az $\eta_j(u)=(1-u)+u\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
$j=1,2,\dots$, \'es az $M(u)=E\log \eta_j(u)=E\log((1-u)+u\xi_j)$
v\'arhat\'o \'ert\'eket. Ha a j\'at\'ek minden l\'ep\'es\'eben
vagyonunk $u$-ad r\'esz\'et tessz\"uk fel, akkor $n$ l\'ep\'es ut\'an
vagyonunk $Z_n=A\eta_1(u)\dots\eta_n(u)$ lesz. Megint a nagy sz\'amok
(er\H{o}s) t\"orv\'eny\'et alkalmazva kapjuk, hogy
$\limm_{n\to\infty}\dfrac 1n\log Z_n=E\log E\eta_1(u)=M(u)$. Azt kell
teh\'at  bel\'atnunk, hogy az $u$ alkalmas v\'alaszt\'as\'aval
el\'erhetj\"uk, hogy $M(u)>0$, ahol {\it szigor\'u}
egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ul.
 
Viszont $M(0)=0$. Ez\'ert elegend\H{o} azt bel\'atni, hogy az
$M(\cdot)$ f\"uggv\'eny a null\'aban szigor\'uan n\H{o}, \'es ehhez
el\'eg azt megmutuatni, hogy az $M(u)$ f\"uggv\'eny deriv\'altja a
null\'aban pozit\'{\i}v. Viszont $\dfrac{dM(u)}{du}=
E\dfrac{\xi_j-1}{(1-u)+u\xi_j}$, ahonnan
$$
\left.\dfrac{dM(u)}{du}\right|_{u=0}=E\xi_j-1>0
$$
az $E\xi_j>1$ felt\'etel alapj\'an.
 
 
 
\bye
