\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=4pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
\TagsOnRight
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 9-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
Az el\H{o}z\H{o} gyakorlaton megbesz\'elt\"uk az al\'abbi feladatot.
Megadtuk a feladat egy olyan (itt is ismertetett) megold\'as\'at,
melyben bizonyos integr\'alokat \'at\'{\i}rtunk pol\'ar
koordin\'atarendszerben. Besz\'elj\"uk meg, hogyan kell
t\"obbv\'altoz\'os integr\'alokat \'at\'{\i}rni \'altal\'aban,
mit jelent a Jacobian, \'es mi\'ert jelenik ez meg ebben a
transzform\'aci\'os k\'epletben. Ezt ezen ismertet\'es v\'eg\'en
ismertetem. Ezenk\'{\i}v\"ul id\'ezz\"uk fel a legfontosabb
tudnival\'okat a norm\'alis el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-r\H{o}l.
 
\medskip\noindent
{\bf Standard norm\'alis eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
definici\'oja.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
standard norm\'alis eloszl\'as\'u, ha
$P(\xi<x)=\Phi(X)=\dsize \int_{-\infty}^x \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$. Ezen $\Phi(x)$ eloszl\'as
$\varphi(u)=\dfrac1{\sqrt {2\pi}}e^{-u^2/2}$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\-nek h\'{\i}vj\'ak.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it A standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enynek
nevezett
$$
P(\xi<x)=\Phi(x)=\int_{-\infty}^x \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
$$
f\"uggv\'eny val\'oban eloszl\'asf\"uggv\'eny. Ez azt jelenti, hogy
teljes\"ul az $\dsize \int_{-\infty}^\infty \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=1$ azonoss\'ag, (\'es n\'eh\'any az adott
esetben nyilv\'anval\'o \"osszf\"ugg\'es, melyek ahhoz kellenek,
hogy $\Phi(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny legyen.) Egy standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla, sz\'or\'asn\'egyzete 1, azaz
$$
\int_{-\infty}^\infty u \dfrac1{\sqrt {2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=0,
\quad\text{\'es}\quad \dsize\int_{-\infty}^\infty u^2 \dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=1.
$$
\medskip\noindent}
{\bf Megjegyz\'es:} {\it Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa a $\Phi(x)$ standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny, akkor egy $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et
$\Phi\(\dfrac{x-m}\sigma\)$ eloszl\'as \'es
$\dfrac1\sigma\varphi\(\dfrac{x-m}\sigma\)=\dfrac1{\sqrt
{2\pi\sigma}}e^{-(x-m)^2/\sigma^2}$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
norm\'alis eloszl\'as illetve norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enynek nevezik tetsz\H{o}leges
$-\infty<m<\infty$ \'es $\sigma>0$ eset\'en.
 
A norm\'alis eloszl\'as rendk\'{\i}v\"ul fontos szerepet j\'atszik
a val\'oszin\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban, mert f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeinek eloszl\'asai nagyon \'al\-ta\-l\'a\-nos
felt\'etelek mellett a norm\'alis eloszl\'ashoz konverg\'alnak.
Jegyezz\"uk meg, hogy mint azt egy az ezen a gyakorlaton is
t\'argyaland\'o feladatban is megmutatjuk,
k\'et f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege is norm\'alis
eloszl\'as\'u.} \medskip
 
\item{0.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\dfrac\xi\eta$ h\'anyados eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as.}\/ Az eloszl\'asf\"uggv\'eny
$$
\align
F(x)=P\(\frac\xi\eta <x\)&=\iint_{v<xu
}\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{\frac{-\pi}2\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi =\frac12+\frac1{\pi}\arctan x,
\endalign
$$
a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny pedig
$f(x)=\dfrac{dF(x)}{dx}=\dfrac1{\pi(1+x^2)}$.
 
Tov\'abbi feladatok:
\medskip
\item{1.)} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok.
L\'assuk be, hogy $\xi^2+\eta^2$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $P(\xi^2<x)=\Phi(\sqrt x)-\Phi(-\sqrt x)$.
\'Irjuk fel $\xi^2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et \'es
konvol\'uci\'o seg\'\i{}ts\'eg\'evel a k\'\i{}v\'ant
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt. A $\xi^2$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$g(x)=\dfrac1{\sqrt x}\varphi(\sqrt x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi
x}}e^{-x/2}$, \'es $\xi^2+\eta^2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$$
f(x)=\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{u(x-u)}}
e^{-u/2}e^{-(x-u)/2}\,du=\frac{e^{-x/2}}{2\pi}
\int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}}\,dv=\frac12 e^{-x/2}
$$
f\"uggv\'eny.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Az $x$ param\'etert\H{o}l nem
f\"ugg\H{o} $\dsize \int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}}\,dv$ integr\'alt
meghat\'arozza az a t\'eny, hogy a v\'egeredm\'enyk\'ent kapott
$f(x)$ f\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. De ki is tudjuk
sz\'amolni ezt az integr\'alt. Hogyan? Vagy\"uk \'eszre, hogy
$$
\frac1{\sqrt{v(1-v)}}=\dfrac1{\sqrt{\frac14-(v-\frac12)^2}}.
$$
\item{2.} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor $\sigma \xi+m$ egy $m$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma$-n\'egyzet
sz\'or\'asn\'egyzt\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Legyen $\eta_1$ \'es $\eta_2$
k\'et f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
va\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1$ illetve $m_2$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
L\'assuk be, hogy $\eta_1+\eta_2$ $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'u
\'es $\sigma_1^2+\sigma^2_2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o akkor \'es csak akkor norm\'alis eloszl\'as\'u, ha
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}$ alak\'u.
 
Ez\'ert $\eta_1+\eta_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
f(x)&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-(u-m_1)^2/2\sigma_1^2}
e^{-(x-u-m_2)^2/2\sigma_2^2}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-u^2
\(\frac1{2\sigma_1^2}+\frac1{2\sigma_2^2}\)+u\(\frac{m_1}{\sigma_1^2}
+\frac{x-m_2}{\sigma_2^2}\)\\
&\hskip5truecm -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\(u-\frac{m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2}
{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\)^2 \\
&\hskip4,5truecm +\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\exp\left\{
\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\exp\left\{
-\frac{(x-m_1-m_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}.
\endalign
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
 
 
\item{3.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$,
\'es legyen $t$ val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ha $\xi$ $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $h(x)$ val\'os
\'ert\'ek\H{u} (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny, akkor $Eh(\xi)=\int
h(x)f(x)\,dx$. Eset\"unkben ez azt jelenti, hogy ha $\xi$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
Ee^{t\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty{e^{tx}}\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx.
$$
Innen
$$
Ee^{t\xi}=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{tx-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{t^2/2-(t-x)^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}.
$$
 
\item{4.} Adva egy $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'am\'{\i}tsuk ki $8\xi^3$
\'es $\xi^4$ eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{a.)} $8\xi^3$ elosz\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye:
$P(8\xi^3<x)=P\(\xi<\dfrac{x^{1/3}}2\)=\Phi\(\dfrac{x^{1/3}}2\)$,
teh\'at $8\xi^3$ eloszl\'asf\"uggv\'enye $\Phi\(\dfrac{x^{1/3}}2\)$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig ennek deriv\'altja, azaz
$\dfrac16 x^{-2/3}\varphi\(\dfrac{x^{1/3}}2\)
=\dfrac{x^{-2/3}}{6\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2/3}/8}$.
\item{b.)} $\xi^4$ eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye:
$P(\xi^4<x)=0$, ha $x\le0$, \'es
$P(\xi^4<x)=P(-x^{1/4}<\xi<x^{1/4})=P(\xi<x^{1/4})-P(\xi<-x^{1/4})
=\Phi(x^{1/4})-\Phi(-x^{1/4})$, ha $x>0$. M\'asr\'eszt, mivel a
$\Phi(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye p\'aros f\"uggv\'eny, ez\'ert
$\Phi(-x^{1/4})=\dsize\int_{-\infty}^{-x^{1/4}}\varphi(u)\,du=
\int^{\infty}_{x^{1/4}}\varphi(u)\,du=1-
\int_{-\infty}^{x^{1/4}}\varphi(u)\,du=1-\Phi(x^{1/4})$.
Ez\'ert a $\xi^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye $P(\xi^4<x)=2\Phi(x^{1/4})-1$, ha $x\ge 0$,
\'es null\'aval egyenl\H{o}, ha $x<0$. S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
pedig ennek deriv\'altja $\frac12x^{-3/4}\varphi(x^{1/4})$, ha $x\ge0$,
\'es nulla, ha $x<0$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-\frac12,\frac12]$
intervallumban. Sz\'a\-m\'{\i}t\-suk ki a $\xi^2$ \'es $\xi^3$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
 
 
\medskip
\'Erts\"uk meg, hogy egy  (s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor
transzform\'altj\'anak a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
hogyan tudjuk kisz\'amolni, illetve azt, hogy hogyan sz\'ol az az
integr\'altranszform\'aci\'os k\'eplet, amelyik egy ilyen
sz\'amol\'as alapj\'at k\'epezi. A felid\'ezend\H{o} eredm\'eny annak
az \'all\'{\i}t\'asnak a t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}je, mely
szerint $\int_a^b f(g(u))g'(u)\,du=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$.
 
Az eredm\'eny megfogalmaz\'as\'ahoz el\H{o}sz\"or
felid\'ezz\"uk egy s\'{\i}ma transzform\'aci\'o Ja\-co\-bian-j\'anak
a definici\'oj\'at. \medskip\noindent
{\bf Jacobian definici\'oja.} {\it Legyen $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$,
$1\le k\le n$, az $n$-dimenzi\'os t\'er egy tartom\'any\'anak
s\'{\i}ma transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik
tartom\'any\'aba. E  transzform\'aci\'o $\Cal J(\bold
T(x_1,\dots,x_n))$ Jacobianja  egy $(x_1,\dots,x_n)$ pontban a
$$
\(\dfrac {\partial
T_k(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_l}\),  \quad 1\le l,k\le n,
$$
$n\times n$-es (az $(x_1,\dots,x_n)$ pontban vett deriv\'alt) m\'atrix
determin\'ans\'anak az abszolut \'ert\'eke.
 
(A Jacobian szeml\'eletes tartalma: Ez adja meg, hogy az
$(x_1,\dots,x_n)$ pont kis k\"ornyezet\'enek a t\'erfogat\'at a
$\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara
nagy\'{\i}tja ki.)} \medskip\noindent
{\bf Integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o k\'eplet.} {\it
Legyen adva az $n$-dimenzi\'os t\'er egy $A$ tartom\'any\'anak egy
s\'{\i}ma $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$,
transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba. Legyen tov\'abb\'a adva a $B$ tartom\'anyon egy
$f(y_1,\dots,y_n)$ f\"uggv\'eny. Ezen $f(y_1,\dots,y_n)$
f\"uggv\'enynek a $\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o \'altal
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott \H{o}sk\'ep\'en azt az $A$ tartom\'anyon
\'ertelmezett $g(x_1,\dots,x_n)=\bold T^{-1}f(x_1,\dots,x_n)$
f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk az $A$ tartom\'anyon, melyre
$$
g(x_1,\dots,x_n)=f(T_1(x_1,\dots,x_n),\dots,T_n(x_1,\dots,x_n))
$$
minden $(x_1,\dots,x_n)\in A$ pontban. Ekkor
$$
\aligned
&\int _{B} f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n \\
&\qquad =\int_{A}\dfrac {\bold T^{-1}f(x_1,\dots,x_n)}
{\summ \Sb \text{olyan } (z_1,\dots,z_n)\in A \text{ pontok}\\
\text{melyekre }T_k(z_1,\dots,z_n)=T_k(x_1,\dots,x_n)\\
k=1,\dots,n\endSb\dfrac1{\Cal J(\bold T(z_1,\dots,z_k))}} \bold
\,dx_1\dots\,dx_n.
\endaligned \tag1
$$
}\medskip
 
 
 
\'Erts\"uk meg az $A(x_1,\dots,x_k)$ m\'atrix \'es $\Cal J(\bold
T)(x_1,\dots,x_k)$ Jacobian szem\-l\'e\-le\-tes tartalm\'at.
 
Adva egy $(x_1,\dots,x_k)$ pont az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'erben,
\'es kis $h_1,\dots,h_k$ sz\'amok, akkor
$$
\aligned
\bold T(x_1+h_1,\dots,x_k+h_k)-\bold T(x_1,\dots,x_k)
&=(h_1,\dots,h_k)A(x_1,\dots,x_k) \\
&\qquad +\text{elhanyagolhat\'oan kis hiba},
\endaligned
\tag1
$$
azaz az $A(x_1,\dots,x_k)$ m\'atrix a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
f\"uggv\'enyek deriv\'altj\'anak term\'eszetes
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. Ennek k\"ovetkezm\'enye, hogy a
$h_1\cdots h_k$ t\'erfogat\'u $[x_1,x_1+h_1]\times\cdots\times
[x_k,x_k+_k]$ t\'eglatest k\'epe a $\bold T$ transzform\'aci\'o
hat\'as\'ara j\'o k\"ozel\'{\i}t\'essel egy $\Cal J(\bold
T)(x_1,\dots,x_k) h_1\cdots h_k$ t\'erfogat\'u tartom\'any. Ugyanis
az (1) formula alapj\'an ez a tartom\'any j\'o k\"ozel\'{\i}t\'essel a
$$
T(x_1,\dots,x_k)+\([0,h_1]\times\cdots\times
[0,h_k]\)A(x_1,\dots,x_k)
$$
a $T(x_1,\dots,x_k)$ pontba eltolt $h_1\dots h_k \Cal J(\bold
T)(x_1,\dots,x_k)$ t\'erfogat\'u parallelepipedon.
 
Ez a geometriai k\'ep, illetve a t\"obbdimenzi\'os integr\'al
definici\'oja (felosztjuk a $\bold B\subset R^k$ teret kis
\'atm\'er\H{o}j\H{u} diszjunkt tartom\'anyok uni\'oj\'ara,
ezen tartom\'anyok t\'erfogat\'at megszorozzuk az integr\'aland\'o
f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'evel e tartom\'any valamelyik pontj\'aban,
majd \"osszegez\"unk) sugallja az (1) formul\'at, melyet ennek a
heurisztikus \'ervel\'esnek a finom\'{\i}t\'as\'aval (enyhe
felt\'etelek kik\"ot\'ese mellett) be lehet bizony\'{\i}tani.
\medskip
 
L\'assuk az el\H{o}bb t\'argyalt integr\'altranszform\'aci\'onak
legfontosabb alkalmaz\'as\'at, azt hogy hogyan lehet k\'etv\'altoz\'os
integr\'alokat pol\'ar koordin\'atarendszerben kisz\'amolni.
 
Tekints\"uk az $A=\{(r,\varphi)\:r>0,-\pi<\varphi<\pi\}$ tartom\'anynak
az $x=r\cos\varphi$ \'es $y=r\sin\varphi$ k\'epletekkel megadott
k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} lek\'epez\'es\'et a s\'{\i}kra.
(Pontosabban, ez a lek\'epez\'es az $A$ halmazt arra a $B$ halmazra
k\'epezi, melyet \'ugy kapunk, hogy a s\'{\i}kb\'ol kihagyjuk az
$\{(x,y)\:x=0,y\le 0\}$ f\'elegyenest,
de egy s\'{\i}kbeli integr\'al \'ert\'eke nem v\'altozik meg,
ha egy f\'elegyenest kihagyunk az integr\'al\'asi tartom\'anyb\'ol.
 
Sz\'amoljuk ki a tekintett lek\'epez\'es Jacobianj\'at, majd mutassuk
meg, hogy a kapott eredm\'eny megfelel a szeml\'eletes k\'epnek.
Egyszer\H{u} sz\'amol\'assal, $\dfrac{\partial
x}{\partial r}=\cos\varphi$, $\dfrac{\partial x}{\partial\varphi}=
-r\sin\varphi$, $\dfrac{\partial y}{\partial r}=\sin\varphi$,
$\dfrac{\partial y}{\partial \varphi}=r\cos\varphi$, ez\'ert a
Jacobian \'ert\'eke
$$
\Cal J(r\cos\varphi,r\sin\varphi)= \left|  \det\left|
\aligned
&\cos\varphi,\,-r\sin\varphi \\
&\sin\varphi,\;\;\,r\cos\varphi
\endaligned
\right|\,\right|=r(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r,
$$
ahonnan
$$
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,dx\,dy=
\int_{-\pi}^\pi\int_0^\infty rf(r\cos\varphi,r\sin\varphi)
\,dr\,d\varphi. \tag$**$
$$
 
Annak \'erdek\'eben, hogy szeml\'eletesen is meg\'erts\"uk mi\'ert
jelenik meg a pol\'ar koordin\'ata\-rend\-szerre val\'o
\'at\-t\'e\-r\'es\-kor az $r$-rel val\'o szorz\'as az integrandusban,
tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} feladatot:
\medskip
Ha adva van egy $T=[r,r+\Delta r]\times [\varphi,\varphi+\Delta
\varphi]$ t\'eglalap, ahol $\Delta r$ \'es $\Delta\varphi$ kis
sz\'amok \'es alkalmazzuk az $A(r,\varphi)=(x,y)$, $x=r\cos\varphi$,
$y=r\sin\varphi$, lek\'epez\'est, \'es tekintj\"uk a $T$ halmaz $A(T)$
k\'ep\'et, akkor mi lesz az $A(T)$ \'es $T$ halmaz ter\"ulet\'enek az
ar\'anya?
\medskip
A $T$ halmaz ter\"ulete $\lambda(T)=\Delta r\Delta\varphi$. Az
$A(T)$ halmaz azon pontokat tartalmazza az $(x,y)$ s\'{\i}kon,
melyeknek az abszolut \'ert\'eke $r$ \'es $r+\Delta r$ k\"oz\'e, az
abszcissza tengellyel bez\'art sz\"oge pedig $\varphi$ \'es
$\varphi+\Delta\varphi$ k\"oz\'e esik. Ez\'ert ennek ter\"ulete
$A(T)=(r+\Delta r)^2\dfrac{\Delta\varphi}2 -r^2\dfrac{\Delta\varphi}2
=r\Delta r\Delta\varphi+\dfrac{(\Delta r)^2\Delta\varphi}2$, ahonnan
$\dfrac{\lambda(A(T))}{\lambda(T)}=r+\dfrac{\Delta r}2$. Innen
k\"ovetkezik, hogy a $\dfrac{\lambda(A(T))}{\lambda(T)}$ h\'anyados
az $r$ sz\'amhoz tart, ha $\Delta r\to0$, \'es $\Delta\varphi\to0$.
Ebb\H{o}l a formul\'ab\'ol \'es az integr\'aloknak a
szok\'asos integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel\'{\i}rt approxim\'aci\'oj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy a pol\'ar-koordin\'atarendszerbe val\'o
\'att\'er\'eskor, az $(x,y)$ koordin\'at\'aknak az $r\cos\varphi$,
$r\sin\varphi$ v\'altoz\'okkal val\'o helyettes\'{\i}t\'esekor az
integ\-ran\-dust az $r$ sz\'ammal kell megszorozni, azaz a $(**)$
formula \'erv\'enyes.
 
 
 
\bye
 
 
 
