Az október 9-i gyakorlat témája Rövid összefoglaló

Az előző gyakorlaton megbeszéltük az alábbi feladatot. Megadtuk a feladat egy olyan (itt is ismertetett) megoldását, melyben bizonyos integrálokat átírtunk polár koordinátarendszerben. Beszéljük meg, hogyan kell többváltozós integrálokat átírni általában, mit jelent a Jacobian, és miért jelenik ez meg ebben a transzformációs képletben. Ezt ezen ismertetés végén ismertetem. Ezenkívül idézzük fel a legfontosabb tudnivalókat a normális eloszlásfüggvényről.

Standard normális eloszlás és sűrűségfüggvény definiciója. Egy ξ valószínűségi

változó standard normális eloszlású, ha P (ξ < x) = Φ(X) = ∫_{−∞}^{x} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du. Ezen

Φ(x) eloszlás φ(u) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} sűrűségfüggvényét a standard normális sűrűségfügg-

vénynek hívják.

Tétel. A standard normális eloszlásfüggvénynek nevezett

P (ξ < x) = Φ(x) = ∫_{−∞}^{x} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du

függvény valóban eloszlásfüggvény. Ez azt jelenti, hogy teljesül az ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du =

1 azonosság, (és néhány az adott esetben nyilvánvaló összfüggés, melyek ahhoz kellenek, hogy Φ(x) eloszlásfüggvény legyen.) Egy standard normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke nulla, szórásnégyzete 1, azaz

∫_{−∞}^{∞} u\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = 0, és ∫_{−∞}^{∞} u^{2} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = 1.

Megjegyzés: Ha egy ξ valószínűségi változó eloszlása a Φ(x) standard normális

eloszlásfüggvény, akkor egy σξ + m valószínűségi változó eloszlásfüggvényét Φ (\frac{x − m}{σ})

eloszlás és \frac{1}{σ} φ (\frac{x − m}{σ}) = \frac{1}{\sqrt{2πσ}} e^{−(x−m)^{2}/σ^{2}} sűrűségfüggvényét normális eloszlás il-

letve normális sűrűségfüggvénynek nevezik tetszőleges −∞ < m < ∞ és σ > 0 esetén.

A normális eloszlás rendkívül fontos szerepet játszik a valószinűségszámításban, mert független valószínűségi változók normalizált részletösszegeinek eloszlásai nagyon általános feltételek mellett a normális eloszláshoz konvergálnak. Jegyezzük meg, hogy mint azt egy az ezen a gyakorlaton is tárgyalandó feladatban is megmutatjuk, két független normális eloszlású valószínűségi változó összege is normális eloszlású.

0. Legyen ξ és η két független standard normális eloszlású valószínűségi változó.

Számítsuk ki a \frac{ξ}{η} hányados eloszlás és sűrűségfüggvényét.

Megoldás. Az eloszlásfüggvény

F (x) = P (\frac{ξ}{η} < x) = ∫∫_{v<xu} \frac{1}{2π} e^{−(u^{2}+v^{2})/2} du dv

= 2\frac{1}{2π} ∫_{\frac{−π}{2} φ<arctan x} ∫_{0}^{∞} re^{−r^{2}/2} dr dφ = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} arctan x,

a sűrűségfüggvény pedig f(x) = \frac{dF (x)}{dx} = \frac{1}{π(1 + x^{2})}.

További feladatok:

1.) Legyenek ξ és η független, standard normális eloszlású valószínűségi változók. Lássuk be, hogy ξ^{2} + η^{2} exponenciális eloszlású valószínűségi változó.

Megoldás: P (ξ^{2} < x) = Φ(\sqrt{x}) − Φ(−\sqrt{x}). Írjuk fel ξ^{2} sűrűségfüggvényét és konvolúció segítségével a kívánt sűrűségfüggvényt. A ξ^{2} valószínűségi változó sű-

rűségfüggvénye g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}φ(\sqrt{x}) = \frac{1}{\sqrt{2πx}}e^{−x/2}, és ξ^{2} + η^{2} sűrűségfüggvénye az

f(x) = ∫_{0}^{x} \frac{1}{2π\sqrt{u(x − u)}}e^{−u/2}e^{−(x−u)/2} du = \frac{e^{−x/2}}{2π} ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{v(1 − v)}} dv = \frac{1}{2}e^{−x/2}

függvény.

Megjegyzés: Az x paramétertől nem függő ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{v(1 − v)}} dv integrált meghatározza

az a tény, hogy a végeredményként kapott f(x) függvény sűrűségfüggvény. De ki is tudjuk számolni ezt az integrált. Hogyan? Vagyük észre, hogy

\frac{1}{\sqrt{v(1 − v)}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} − (v − \frac{1}{2})^{2}}} .

2. Ha ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó akkor σξ +m egy m várható értékű és σ-négyzet szórásnégyztű normális eloszlású valószínűségi változó. Legyen η_{1} és η_{2} két független normális eloszlású vaószínűségi változó m_{1} illetve m_{2} várható értékkel, σ_{1}^{2} és σ_{2}^{2} szórásnégyzettel. Lássuk be, hogy η_{1}+η_{2} m_{1}+m_{2} várható értékú és σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó.

Megoldás: Egy ξ valószínűségi változó akkor és csak akkor normális eloszlású, ha

sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}σ} e^{−(x−m)^{2}/2σ^{2}} alakú.

Ezért η_{1} + η_{2} sűrűségfüggvénye

f(x) = ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2πσ_{1}σ_{2}} e^{−(u−m_{1})^{2}/2σ_{1}^{2}}e^{−(x−u−m_{2})^{2}/2σ_{2}^{2}} du

= ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2πσ_{1}σ_{2}} exp\{−u^{2} (\frac{1}{2σ_{1}^{2}} + \frac{1}{2σ_{2}^{2}} ) + u (\frac{m_{1}}{σ_{1}^{2}} + \frac{x − m_{2}}{σ_{2}^{2}} )

− \frac{m_{1}^{2}}{2σ_{1}^{2}} − \frac{(x − m_{2})^{2}}{2σ_{2}^{2}} \} du

= ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2πσ_{1}σ_{2}} exp\{−\frac{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}{2σ_{1}^{2}σ_{2}^{2}} (u − \frac{m_{1}σ_{2}^{2} + (x − m_{2})σ_{1}^{2}}{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}} )^{2}

+ \frac{(m_{1}σ_{2}^{2} + (x − m_{2})σ_{1}^{2})^{2}}{2σ_{1}^{2}σ_{2}^{2}(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})} − \frac{m_{1}^{2}}{2σ_{1}^{2}} − \frac{(x − m_{2})^{2}}{2σ_{2}^{2}} \} du

= \frac{1}{\sqrt{2π(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}} exp \{\frac{(m_{1}σ_{2}^{2} + (x − m_{2})σ_{1}^{2})^{2}}{2σ_{1}^{2}σ_{2}^{2}(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})} − \frac{m_{1}^{2}}{2σ_{1}^{2}} − \frac{(x − m_{2})^{2}}{2σ_{2}^{2}} \}

= \frac{1}{\sqrt{2π(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}} exp \{−\frac{(x − m_{1} − m_{2})^{2}}{2(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})} \} .

Házi feladat:

Legyen ξ és η két független λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Számoljuk ki ξ − η sűrűségfüggvényét.

3. Legyen ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen ξ sűrű-

ségfüggvénye f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}, és legyen t valós szám. Számoljuk ki az e^{tξ}

valószínűségi változó Ee^{tξ} várható értékét.

Megoldás: Ha ξ f(x) sűrűségfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó h(x) valós értékű (mérhető) függvény, akkor Eh(ξ) = ∫ h(x)f(x) dx. Esetünkben ez azt jelenti, hogy ha ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor

Ee^{tξ} = ∫_{−∞}^{∞} e^{tx} \frac{e^{−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx.

Innen

Ee^{tξ} = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{tx−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{t^{2}/2−(t−x)^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = e^{t^{2}/2} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = e^{t^{2}/2}.

4. Adva egy ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó számítsuk ki 8ξ^{3} és ξ^{4} eloszlás és sűrűségfüggvényét. a.) 8ξ^{3} eloszás és sűrűségfüggvénye: P (8ξ^{3} < x) = P (ξ < \frac{x^{1/3}}{2} ) = Φ (\frac{x^{1/3}}{2} ), tehát

8ξ^{3} eloszlásfüggvénye Φ (\frac{x^{1/3}}{2} ), sűrűségfüggvénye pedig ennek deriváltja, azaz

\frac{1}{6}x^{−2/3}φ (\frac{x^{1/3}}{2} ) = \frac{x^{−2/3}}{6\sqrt{2π}} e^{−x^{2/3}/8}.

b.) ξ^{4} eloszlás és sűrűségfüggvénye: P (ξ^{4} < x) = 0, ha x ≤ 0, és P (ξ^{4} < x) = P (−x^{1/4} < ξ < x^{1/4}) = P (ξ < x^{1/4})−P (ξ < −x^{1/4}) = Φ(x^{1/4})−Φ(−x^{1/4}), ha x > 0. Másrészt, mivel a Φ(x) eloszlásfüggvény φ(x) sűrűségfüggvénye páros függvény,

ezért Φ(−x^{1/4}) = ∫_{−∞}^{−x^{1/4}} φ(u) du = ∫_{x^{1/4}}^{∞} φ(u) du = 1 − ∫_{−∞}^{x^{1/4}} φ(u) du = 1 −

Φ(x^{1/4}). Ezért a ξ^{4} valószínűségi változó eloszlásfüggvénye P (ξ^{4} < x) = 2Φ(x^{1/4})− 1, ha x ≥ 0, és nullával egyenlő, ha x < 0. Sűrűségfüggvénye pedig ennek deriváltja \frac{1}{2}x^{−3/4}φ(x^{1/4}), ha x ≥ 0, és nulla, ha x < 0.

Házi feladat:

Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban. Számítsuk ki a ξ^{2} és ξ^{3} valószínűségi változók eloszlás és sűrűségfüggvényét.

Értsük meg, hogy egy (sűrűségfüggvénnyel rendelkező) valószínűségi vektor transzformáltjának a sűrűségfüggvényét hogyan tudjuk kiszámolni, illetve azt, hogy hogyan szól az az integráltranszformációs képlet, amelyik egy ilyen számolás alapját képezi. A felidézendő eredmény annak az állításnak a több-dimenziós megfelelője, mely szerint ∫_{a}^{b} f(g(u))g′(u) du = ∫_{g(a)}^{g(b)} f(u) du.

Az eredmény megfogalmazásához először felidézzük egy síma transzformáció Jacobian-jának a definicióját.

Jacobian definiciója. Legyen y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{n}), 1 ≤ k ≤ n, az n-dimenziós tér egy tartományának síma transzformáltja az n-dimenziós tér egy másik tartományába. E transzformáció J (T(x_{1}, …, x_{n})) Jacobianja egy (x_{1}, …, x_{n}) pontban a

(\frac{∂T_{k}(x_{1}, …, x_{k})}{∂x_{l}}) , 1 ≤ l, k ≤ n,

n × n-es (az (x_{1}, …, x_{n}) pontban vett derivált) mátrix determinánsának az abszolut értéke.

(A Jacobian szemléletes tartalma: Ez adja meg, hogy az (x_{1}, …, x_{n}) pont kis környezetének a térfogatát a T = (T_{1}, …, T_{n}) transzformáció hányszorosára nagyítja ki.)

Integráltranszformációról szóló képlet. Legyen adva az n-dimenziós tér egy A tartományának egy síma y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{n}), 1 ≤ k ≤ n, transzformáltja az n-dimenziós tér egy másik B tartományába. Legyen továbbá adva a B tartományon egy f(y_{1}, …, y_{n}) függvény. Ezen f(y_{1}, …, y_{n}) függvénynek a T = (T_{1}, …, T_{n}) transzformáció által meghatározott ősképén azt az A tartományon értelmezett g(x_{1}, …, x_{n}) = T^{−1}f(x_{1}, …, x_{n}) függvényt értjük az A tartományon, melyre

g(x_{1}, …, x_{n}) = f(T_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, T_{n}(x_{1}, …, x_{n}))

minden (x_{1}, …, x_{n}) ∈ A pontban. Ekkor

∫_{B} f(y_{1}, …, y_{n}) dy_{1} … dy_{n}

= ∫_{A} \frac{T^{−1}f(x_{1}, …, x_{n})}{∑_{olyan (z_{1},...,z_{n})∈A pontok melyekre T_{k}(z_{1},...,z_{n})=T_{k}(x_{1},...,x_{n}) k=1,...,n} \frac{1}{J (T(z_{1}, …, z_{k}))}} dx_{1} … dx_{n}. (1)

Értsük meg az A(x_{1}, …, x_{k}) mátrix és J (T)(x_{1}, …, x_{k}) Jacobian szemléletes tartalmát.

Adva egy (x_{1}, …, x_{k}) pont az R^{k} k-dimenziós térben, és kis h_{1}, …, h_{k} számok, akkor

T(x_{1} + h_{1}, …, x_{k} + h_{k}) − T(x_{1}, …, x_{k}) = (h_{1}, …, h_{k})A(x_{1}, …, x_{k})

+ elhanyagolhatóan kis hiba,

(1)

azaz az A(x_{1}, …, x_{k}) mátrix a számegyenesen értelmezett függvények deriváltjának természetes általánosítása. Ennek következménye, hogy a h_{1} ⋯ h_{k} térfogatú [x_{1}, x_{1} + h_{1}] × ⋯ × [x_{k}, x_{k}+_{k}] téglatest képe a T transzformáció hatására jó közelítéssel egy J (T)(x_{1}, …, x_{k})h_{1} ⋯ h_{k} térfogatú tartomány. Ugyanis az (1) formula alapján ez a tartomány jó közelítéssel a

T (x_{1}, …, x_{k}) + ([0, h_{1}] × ⋯ × [0, h_{k}]) A(x_{1}, …, x_{k})

a T (x_{1}, …, x_{k}) pontba eltolt h_{1} … h_{k}J (T)(x_{1}, …, x_{k}) térfogatú parallelepipedon.

Ez a geometriai kép, illetve a többdimenziós integrál definiciója (felosztjuk a B ⊂ R^{k} teret kis átmérőjű diszjunkt tartományok uniójára, ezen tartományok térfogatát megszorozzuk az integrálandó függvény értékével e tartomány valamelyik pontjában, majd összegezünk) sugallja az (1) formulát, melyet ennek a heurisztikus érvelésnek a finomításával (enyhe feltételek kikötése mellett) be lehet bizonyítani.

Lássuk az előbb tárgyalt integráltranszformációnak legfontosabb alkalmazását, azt hogy hogyan lehet kétváltozós integrálokat polár koordinátarendszerben kiszámolni.

Tekintsük az A = {(r, φ): r > 0, −π < φ < π} tartománynak az x = r cos φ és y = r sin φ képletekkel megadott kölcsönösen egyértelmű leképezését a síkra. (Pontosabban, ez a leképezés az A halmazt arra a B halmazra képezi, melyet úgy kapunk, hogy a síkból kihagyjuk az {(x, y): x = 0, y ≤ 0} félegyenest, de egy síkbeli integrál értéke nem változik meg, ha egy félegyenest kihagyunk az integrálási tartományból.

Számoljuk ki a tekintett leképezés Jacobianját, majd mutassuk meg, hogy a kapott

eredmény megfelel a szemléletes képnek. Egyszerű számolással, \frac{∂x}{∂r} = cos φ, \frac{∂x}{∂φ} =

−r sin φ, \frac{∂y}{∂r} = sin φ, \frac{∂y}{∂φ} = r cos φ, ezért a Jacobian értéke

J (r cos φ, r sin φ) = |det | \begin{matrix}cos φ, −r sin φ \\ sin φ, r cos φ \end{matrix}| | = r(cos^{2} φ + sin^{2} φ) = r,

ahonnan

∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} f(x, y) dx dy = ∫_{−π}^{π} ∫_{0}^{∞} rf(r cos φ, r sin φ) dr dφ.  (∗∗)

Annak érdekében, hogy szemléletesen is megértsük miért jelenik meg a polár koordinátarendszerre való áttéréskor az r-rel való szorzás az integrandusban, tekintsük a következő feladatot:

Ha adva van egy T = [r, r + Δr] × [φ, φ + Δφ] téglalap, ahol Δr és Δφ kis számok és alkalmazzuk az A(r, φ) = (x, y), x = r cos φ, y = r sin φ, leképezést, és tekintjük a T halmaz A(T) képét, akkor mi lesz az A(T) és T halmaz területének az aránya?

A T halmaz területe λ(T) = ΔrΔφ. Az A(T) halmaz azon pontokat tartalmazza az (x, y) síkon, melyeknek az abszolut értéke r és r+Δr közé, az abszcissza tengellyel bezárt

szöge pedig φ és φ+Δφ közé esik. Ezért ennek területe A(T) = (r+Δr)^{2} \frac{Δφ}{2} −r^{2} \frac{Δφ}{2} =

rΔrΔφ + \frac{(Δr)^{2}Δφ}{2}, ahonnan \frac{λ(A(T))}{λ(T)} = r + \frac{Δr}{2} . Innen következik, hogy a \frac{λ(A(T))}{λ(T)}

hányados az r számhoz tart, ha Δr → 0, és Δφ → 0. Ebből a formulából és az integráloknak a szokásos integrálközelítő összegek segítségével felírt approximációjából következik, hogy a polár-koordinátarendszerbe való áttéréskor, az (x, y) koordinátáknak az r cos φ, r sin φ változókkal való helyettesítésekor az integrandust az r számmal kell megszorozni, azaz a (∗∗) formula érvényes.