\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=4pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
\TagsOnRight
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 30-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
\medskip\noindent
{\bf Karakterisztikus f\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
a $\varphi(t)=Ee^{it\xi}$, $-\infty<t<\infty$, (a val\'os sz\'amokon
\'ertelmezett komplex sz\'am\'ert\'ek\H{u}) f\"uggv\'eny. (Itt
$i=\sqrt{-1}$.) Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(\cdot)$, akkor karakterisztikus f\"uggv\'eny
az al\'abbi formul\'aval is kisz\'am\'{\i}that\'o:
$$
\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}F(\,du)
$$
} \medskip
\item{1.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $\varphi_k(t)=Ee^{it\xi_k}$,
$1\le k\le n$, karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel. Ekkor
a $\xi=\summ_{k=1}^n\xi_k$ \"osszeg karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\prodd_{k=1}^n\varphi_k(t)$. Ha a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)$, akkor az $a\xi+b$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi_{a,b}(t)=e^{ibt}\varphi(at)$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ha a $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, akkor
$$
\varphi(t)=Ee^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}
=E\(e^{it\xi_1}\cdots e^{it\xi_n}\)
=Ee^{it\xi_1}\cdots Ee^{it\xi_n}=\prod_{k=1}^n\varphi_k(t),
$$
\'es
$$
\varphi_{a,b}(t)=Ee^{it(a\xi+b)}=Ee^{it(at\xi)}e^{itb}=e^{itb}
Ee^{i(at)\xi}=Ee^{it(tb)} \varphi(at).
$$
\item{2.} Legyen egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
$k$-ik abszolut momentuma, azaz tegy\"uk fel, hogy $E|\xi|^k<\infty$.
Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi(t)=Ee^{it\xi}$  $k$-szor deriv\'alhat\'o, \'es
$\left.\dfrac{d^j\varphi(t)}{dt^j}\right|_{t=0}=i^jE\xi^j$ minden
$1\le j\le k$ sz\'amra.
\item{}
$$
\left|e^{it}-\(1+it+\frac{i^2t^2}2+\frac{i^3t^3}{3!}+\cdots
+\frac{i^kt^{k-1}}{(k-1)!}\)\right|\le\frac{t^k}{k!}.
$$
Ez\'ert, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
l\'etezik $k$-ik abszolut momentuma, akkor $m_j=E\xi^j$ jel\"ol\'essel
$$
\left|\varphi(t)-\sum_{j=1}^{k-1}\dfrac{i^jt^j m_j}{j!}\right|\le
\frac{t^k E|\xi|^k}{k!}.
$$
Speci\'alisan, ha $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
melyre $E\xi=0$, $E\xi^2=\sigma^2$, $E|\xi^3|<\infty$, akkor annak
$\varphi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ere teljes\"ul a
$\left|\varphi(t)-\(1-\dfrac{\sigma^2t^2}2\))\right|\le
\dfrac{t^3E|\xi|^3}6$ egyenl\H{o}tlens\'eg.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az els\H{o} azonoss\'ag k\"ovetkezm\'enye
az $e^{it}$ f\"uggv\'eny $k-1$ tag\'u Taylor sorfejt\'es\'enek. Azt
kell tudni, hogy annak finomabb alakj\'ab\'ol az is l\'athat\'o, hogy
a marad\'ektag becs\"ulhet\H{o} a jobboldalon szerepl\H{o}
kifejez\'essel. Alkalmazva ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget a
$t\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, majd azt
kiintegr\'alva (v\'eve a k\'et oldal v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et)
megkapjuk a m\'asodik \"ossszef\"ugg\'est.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Kor\'abban l\'attuk, hogy a standard
norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye az $e^{-t^2/2}$
f\"uggv\'eny. A fenti eredm\'enyek lehet\H{o}v\'e teszik, hogy
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
\"osszegeinek karakterisztikus f\"uggv\'enye konverg\'al a standard
norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez.
\item{3.} Az $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma^2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-nye $e^{itm-\sigma^2t^2/2}$. L\'assuk be
ennek a formul\'anak \'es annak a t\'enynek a
fel\-hasz\-n\'a\-l\'a\-s\'a\-val, hogy egy eloszl\'asf\"uggv\'enyt
meghat\'aroz annak karakterisztikus f\"uggv\'enye azt az eredm\'enyt,
hogy ha $\xi_1$ \'es $\xi_2$ k\'et f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1$ illetve
$m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel, akkor $\xi_1+\xi_2$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\xi=\sigma\eta+m$ alakban \'{\i}rhat\'o, ahol $\eta$
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Ez\'ert $\xi$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$Ee^{it\xi}=Ee^{it(\sigma\eta+m)} =e^{itm}Ee^{i\sigma
t\eta}=e^{itm}e^{-\sigma^2t^2/2}=e^{itm-\sigma^2t^2/2}$. Innen
k\"ovetkezik, hogy az adott felt\'etelek mellett $\xi_1+\xi_2$
karakterisztikus f\"uggv\'enye $e^{itm_1-\sigma_1^2t^2/2}
e^{itm_2-\sigma_2^2t^2/2}=e^{it(m_1+m_2)-(\sigma_1^2
+\sigma_2^2)t^2/2}$, ez pedig az $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
\'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye.
\item{4.} Legyenek $S_k$, $k=1,2,\dots$, egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok a $[-k,k]$ intervallumon,
azaz legyen $S_k$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f_k(x)=\dfrac1{2k}$,
ha $-k\le x\le k$, \'es $f_k(x)=0$ egy\'ebk\'ent. L\'assuk be, hogy az
$S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'enyei tartanak minden pontban egy hat\'arf\"uggv\'enyhez, de
ez a hat\'arf\"uggv\'eny nem folytonos a null\'aban.
K\"ovetkez\'esk\'epp az $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem konverg\'alnak eloszl\'asban.
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
\varphi_k(t)=Ee^{itS_k}=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}f_k(u)\,du
=\int_{-k}^k\frac{e^{itu}}{2k}\,du
=\frac{e^{itk}-e^{-itk}}{2ikt}=\frac{\sin kt}{kt},
$$
ha $t\neq0$. M\'asr\'eszt $\varphi_k(0)=1$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{k\to\infty}\varphi_k(t)=0$, ha $t\neq0$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\varphi_k(0)=1$, ha $t\neq0$, teh\'at a
karakterisztikus f\"ugg\'enyek sorozat\'anak hat\'arf\"uggv\'enye a
null\'aban nem folytonos. Az $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}ss\'egi
v\'altoz\'ok val\'oban nem konverg\'alnak eloszl\'asban egy
hat\'areloszl\'ashoz, mert $\limm_{k\to\infty}P(S_k\in B)=0$
tetsz\H{o}leges korl\'atos halmazra. K\"ovetkez\'esk\'eppen az $S_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asai ``kifolynak a
v\'egtelenbe", ahogy $k\to\infty$.
 
\item{5.} Sz\'amoljuk ki egy $(1,p)$ param\'eter\H{u} $\xi$ negativ
binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
(Azaz $P(\xi=k)=(1-p) p^{k-1}$, $k=1,2,\dots$).
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ha $\xi$ $(1,p)$ param\'eter\H{u} negativ
binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty k(1-p) p^{k-1} \qquad
E\xi^2=\sum_{k=1}^\infty k^2(1-p) p^{k-1}
$$
Ezen \"osszegek egyik lehets\'eges kisz\'amol\'asa:
$\summ_{k=0}^\infty x^k=\dfrac 1{1-x}$, ha $|x|<1$. K\'et egym\'as
ut\'ani deriv\'al\'assal kapjuk, hogy $\summ_{k=1}^\infty
kx^{k-1}=\dfrac 1{(1-x)^2}$ \'es $\summ_{k=2}^\infty
k(k-1)x^{k-2}=\dfrac 2{(1-x)^3}$. Innen $\summ_{k=1}^\infty
kp^{k-1}=\dfrac 1{(1-p)^2}$, $\summ_{k=1}^\infty k^2 p^{k-1}=
\summ_{k=1}^\infty k p^{k-1}+p\summ_{k=2}^\infty k(k-1) p^{k-2}=
\dfrac 1{(1-p)^2}+\dfrac {2p}{(1-p)^3}$, \'es $E\xi=\dfrac 1{1-p}$,
$E\xi^2=\dfrac 1{1-p}+\dfrac {2p}{(1-p)^2}$. Ez\'ert
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\dfrac p{(1-p)^2}$.
\item{6.} Vegy\"unk egy olyan p\'enzdarabot, mely $\frac23$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $\frac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra. Ezt a
p\'enzdarabot annyiszor  dobjuk fel, ameddig megjelenik  1200 fej
dob\'as. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az elv\'egzett
dob\'asok sz\'ama 1680 1830 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est.
\medskip
 
\item{} Az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n=1200$
$p=\frac13$ param\'eterekkel, \'es egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak ki lehet sz\'amolni a pontos eloszl\'as\'at, azaz azt,
hogy milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel.
Elvileg, ez lehet\H{o}s\'eget ad a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara egy bonyolult
\"osszeg kisz\'am\'{\i}t\'as\'enak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Enn\'el
hasznosabb becsl\'est tudunk kapni a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, mely a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget j\'o pontoss\'aggal kisz\'am\'{\i}tja a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
 
\item{} Jel\"olje $\xi_j$, $2\le j\le 1200$  a $j-1$-ik \'es $j$-ik
fejdob\'as k\"oz\"otti dob\'asok sz\'am\'at (a $j$-ik fejdob\'ast
belesz\'am\'{\i}tjuk a $j-1$-iket viszont nem  sz\'am\'{\i}tjuk bele e
dob\'asok k\"oz\'e), \'es legyen $\xi_1$ az els\H{o} fejdob\'asig (ezt
is belesz\'am\'{\i}tva) elv\'egzett dob\'asok sz\'ama. Ekkor a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'uak $n=1$, $p=\dfrac13$
param\'eterekkel, \'es minket a $P(1680<\xi_1+\cdots+\xi_{1200}<1830)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Megmutattuk az 5. feladatban,
hogy $E\xi_j=\dfrac1{1-p}=\dfrac32$, $\Var \xi_j=\dfrac
p{(1-p)^2}=\dfrac34$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{1200}$ jel\"ol\'essel minket a
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt{1200\Var\xi_1}}<1\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'erdekel. A cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel alapj\'an
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt {1200\Var\xi_1}}<1\)
\sim \Phi\(1\)+\Phi(4)-1\sim\Phi(1)$. \medskip
 
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Vezess\"uk be a $\xi_j=2$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye 2 $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5, $1\le j\le 2700$. Ekkor minket a
$P\(420<\summ_{j=1}^{2700}\xi_j<720\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'erdekel. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
\'es alkalmazzuk a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
 
 
 
\bye
 
 
 
