\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 2-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
\item{1.} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, azaz tegy\"uk fel, hogy $\{\oo\:\xi_j(\oo)\in B\}\in\Cal A$
minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra \'es a sz\'amegyenes minden $B$ Borel
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara. L\'assuk be, hogy
$$
C=\left\{\oo\:
\limm_{n\to\infty}\dfrac1n\summ_{j=1}^n\xi_j(\oo)=c\right\}\in \Cal A
$$
minden $c$ val\'os sz\'amra, teh\'at van \'ertelme a fenti esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l besz\'elni.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Defini\'aljuk a
$$
C(\e)=\left\{\oo\:
\limsup_{n\to\infty}\dfrac1n\summ_{j=1}^n\xi_j(\oo)<c+\e,\;
\liminf_{n\to\infty}\dfrac1n\summ_{j=1}^n\xi_j(\oo)>c-\e\right\}
$$
halmazokat. Ekkor $C=\bigcapp_{\e\:\e>0} C(\e)$. S\H{o}t
fel\'{\i}rhatjuk a $C=\bigcapp_{m=1}^\infty C\(\frac1m\)$ rel\'aci\'ot
is. Ez ut\'obbi formula az\'ert hasznosabb a sz\'amunkra, mert ebben
csak megsz\'aml\'ahat\'o sok halmaz szerepel. Ez\'ert annak
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz, hogy $C\in \Cal A$ el\'eg bel\'atni
azt, hogy $C\(\frac1m\)\in \Cal A$ minden $m=1,2,\dots$ sz\'amra, \'es
ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa egyszer\H{u}bb.
\item{} Val\'oban $\oo\in C\(\frac1m\)$ akkor \'es csak akkor, ha
l\'etezik olyan $M$ eg\'asz sz\'am, melyre
$$
c-\dfrac1m<\dfrac1n\summ_{j=1}^n\xi_j(\oo)<c+\dfrac1m
\quad \text{minden $n\ge M$ sz\'amra,}
$$
\'es ez k\'epletekkel a k\"ovetkez\H{o}k\'epp is kifejezhat\H{o}.
Legyen
$$
C\(\frac1m,M\)=\left\{\oo\:c-\dfrac1m<\dfrac1n\summ_{j=1}^n\xi_j(\oo)
<c+\dfrac1m \quad \text{minden $n\ge M$ sz\'amra}\right\}
$$
\'es
$$
C\(\frac1m,n\)=\left\{
\oo\:c-\dfrac1m<\dfrac1n\summ_{j=1}^n\xi_j(\oo)<c+ \dfrac1m \right\}.
$$
Ekkor $C\(\frac1m,M\)=\bigcapp_{n=M}^\infty C\(\frac1m, n\)$, \'es
$C\(\frac1m\)=\bigcupp_{m=1}^\infty C\(\frac1m,M\)$.
\item{} Haszn\'aljuk fel azt a m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyt, mely
szerint val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altozx\'ok \"osszege (szorzata)
is val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz abb\'ol, hogy
$\left\{\oo\:\xi_j(\oo)\in B\right\}\in \Cal A$ minden
$j=1,2,\dots$ sz\'amra \'es $B$ Borel m\'erhet\H{o} halmazra
k\"ovetkezik az, hogy
$$
\left\{\oo\:\frac1n\summ_{j=1}^n \xi_j(\oo)\in B\right\}\in\Cal A
$$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra \'es $B$ Borel m\'erhet\H{o} halmazra.
Ez\'ert $C\(\frac1m,n\)\in \Cal A$ minden $n=1,2,\dots$ \'es
$m=1,2,\dots$ sz\'amra. Ebb\H{o}l viszont a fenti formul\'ak alapj\'an
az is k\"ovetkezik, hogy a $C\(\frac1m, n\)\in\Cal A$,
$C\(\frac1m,M\)\in \Cal A$ \'es $C\(\frac1m\)\in\Cal A$ rel\'aci\'ok
teljes\"ulnek minden $m=1,2,\dots$, $n=1,2,\dots$, $M=1,2,\dots$
sz\'amra, ahonnan $C\in \Cal A$ szint\'en teljes\"ul.
 
 
\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as.} {\it Egy $k$ v\'altoz\'os $f(x_1,\dots,x_k)$
akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy alkalmas
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektornak, ha
teljes\'{\i}ti az $f(x_1,\dots,x_k)\ge0$ minden
$(x_1,\dots,x_k)\in \bold R^k$ pontban, \'es
$$
\int_{-\infty}^\infty \cdots\int_{-\infty}^\infty
f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k=1.
$$
}\medskip\noindent
Adva egy $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'as\'u $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor, akkor annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy ez a v\'eletlen vektor
beleesik egy $\bold B\subset \bold R^k$ (m\'erhet\H{o}) halmazban
$$
P\( (\xi_1,\dots,\xi_k)\in\bold B\)=\int_{\bold B}
F(\,dx_1,\dots,\,dx_k).
$$
Kiss\'e \'altal\'anosabban, ha $g(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os
f\"uggv\'eny, akkor
$$
Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)=\int g(x_1,\dots,x_k)F(\,dx_1,\dots,\,dx_k).
$$
 
Ha az $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik
$f(x_1,\dots,x_k)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor
$$
P\( (\xi_1,\dots,\xi_k)\in\bold B\)=\int_{\bold B}
f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k,
$$
\'es
$$
Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)=\int
g(x_1,\dots,x_k)f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1,\dots,\,dx_k.
$$
 
 
Speci\'alisan, ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$ \'es $G(y)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel, ($f(x)$ \'es $g(y)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel) akkor a $(\xi,\eta)$ vektornak az
eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)G(y)$, (s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
pedig $f(x)g(y)$). Ez\'ert a fentiek alapj\'an a $\xi+\eta$ \"osszeg
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye
$$
\align
P(\xi+\eta<x)&=\int\int_{(u,v), u+v<x} F(\,du)G(\,dv)\quad\text{\'es ha
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny} \\
&=\int\int_{(u,v), u+v<x} f(u)g(v)\,du\,dv \quad\text{minden $x\in
\bold R$ sz\'amra.}
\endalign
$$
 
Ennek alapj\'an meg tudjuk \'erteni, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et hogyan lehet kisz\'am\'{\i}tani az
eredeti val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyei konvoluci\'oj\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)=\dfrac{d}{dx}P(\xi+\eta<x)$ a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon sz\'amolhat\'o ki:
$$
\align
h(x)&=\frac d{dx}P(\xi+\eta<x)=\frac
d{dx}\int\int_{\{(u,v)\:u+v<x\}}f(u)g(v)\,du\,dv\\
&=\frac d{dx}\int_{-\infty}^x\[\int_{-\infty}^\infty
f(\bar u)g(\bar v-\bar u)\,d\bar u\]\,d\bar v=\int_{-\infty}^\infty
f(u)g(x-u)\,du
\endalign
$$
A fenti sz\'amol\'asok els\H{o} azonoss\'ag\'aban egy
integr\'altranszform\'aci\'ot alkalmaztunk  $\bar v=u+v$, $\bar u=u$
helyettes\'{\i}t\'essel (majd k\'es\H{o}bb $\bar u$ \'es $\bar v$
helyett ism\'et $u$ \'es $v$ v\'altoz\'ot \'{\i}rtunk.) Felhaszn\'altuk,
hogy e transzform\'aci\'o sor\'an az $\{(u,v)\:u+v<x\}$ tartom\'any a
$\{(\bar u,\bar v)\:\bar v<x,\;-\infty< \bar u<\infty\}$ tartom\'anyba
megy \'at, \'es a fenti (line\'aris) transzform\'aci\'o Jakobi\'anja
azonosan 1. Az utols\'o azonoss\'agban a $\dsize\dfrac d{dx} \int
_{-\infty}^x H(v)\,dv=H(x)$ azonoss\'agot alkalmaztuk
$H(v)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(v-u)\,du$ v\'alaszt\'assal.
 
\item{1.} Legyenek $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x>0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \'Altal\'anosabban, legyenek
$\xi_1, \dots \xi_m$ f\"ug\-get\-len exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$ param\'eterrel.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\cdots+\xi_m$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} Ki kell sz\'amolnunk az $f*f(x)$ illetve $\underbrace
{f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$ konvoluci\'okat a fenti $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mivel $f(x)=0$, ha $x\le 0$, a
konvoluci\'ot meghat\'aroz\'o integr\'alban szerepl\H{o} $f(y)f(x-y)$
integrandus nulla, ha $y\le 0$ vagy $x-y\le0$. Innen a konvoluci\'ot
defini\'al\'o integr\'al csak $x\ge0$ eset\'en lehet nulla, az $x\le0$
esetben $f(y)f(x-y)>0$ minden $y$-ra nulla, \'es $x\ge0$ eset\'en az
$f(y)f(x-y)>0$ integrandus csak $0\le y\le x$ eset\'en nem nulla.
Innen a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f_2(x)=f*f(x)$ $x<0$-ra $f_2(x)=0$,
\'es
$$
\align
f_2(x)&=f*f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda e^{-\lambda y}\lambda e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\int_0^x \lambda^2 e^{-\lambda x}\,dy=\lambda^2xe^{-\lambda x}, \quad
\text{ha } x\ge0.
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha $f_m(x)=\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$
jel\"oli $\xi_1+\cdots\xi_m$  s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, akkor
$f_m(x)=0$ minden $m\ge1$ sz\'amra, ha $x<0$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
$f_m(x)=\dfrac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$.
Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni teljes
indukci\'oval azt, hogy $f_{m-1}*f(x)=f_m(x)$ a fent defini\'alt $f_m$
f\"uggv\'enyekkel. Viszont
$$
\align
f_{m-1}*f(x)&=\int_{-\infty}^\infty f_{m-1}(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda^{m-1}\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \lambda
e^{-\lambda y}e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\lambda^m e^{-\lambda x}\int_0^x
\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \,dy=e^{-\lambda
x}\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!},\quad\text{ha }x\ge0.
\endalign
$$
\item{2.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\dfrac\xi\eta$ h\'anyados eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as.}\/ Az eloszl\'asf\"uggv\'eny
$$
\align
F(x)=P\(\frac\xi\eta <x\)&=\iint_{v<xu
}\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{\frac{-\pi}2\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi =\frac12+\frac1{\pi}\arctan x,
\endalign
$$
a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny pedig
$f(x)=\dfrac{dF(x)}{dx}=\dfrac1{\pi(1+x^2)}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ A $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ami
for\-ga\-t\'as\-in\-va\-ri\'ans f\"uggv\'eny. Innen k0vetkeik, hogy
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $(\xi,\eta)$ vektor egy
orig\'ob\'ol kiindul\'o $\alpha$ sz\"og\H{u} sz\"ogtartom\'anyba esik,
$\dfrac\alpha{2\pi}$. Ez\'ert
$$
\align
P\(\dfrac\xi\eta<x\)&=P\((\xi,\eta)\in
\[-\dfrac \pi2,\arctan x\)\cup \[\dfrac\pi2, \arctan x+\pi\)
\text{sz\"ogtartom\'anyban}\)\\
&=\frac1{2\pi}2\(\arctan x+\frac\pi2\)=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
\item{3.)} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok. L\'assuk be, hogy
$\xi^2+\eta^2$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $P(\xi^2<x)=\Phi(\sqrt x)-\Phi(-\sqrt x)$.
\'Irjuk fel $\xi^2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et \'es
konvol\'uci\'o seg\'\i{}ts\'eg\'evel a k\'\i{}v\'ant
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt. A $\xi^2$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye  $g(x)=\dfrac1{\sqrt
x}e^{-x/2}$, \'es $\xi^2+\eta^2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
f(x)=\int_0^x\frac1{\sqrt{u(x-u)}\pi} e^{-u/2}e^{-(x-u)/2}\,du=e^{-x/2}
\int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}\pi}\,dv=\frac12 e^{-x/2}
$$
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Az $x$ param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o}
$\dsize \int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}\pi}\,dv$ integr\'alt
meghat\'arozza az a t\'eny, hogy a v\'egeredm\'enyk\'ent kapott
f\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. De ki is tudjuk
sz\'amolni ezt az integr\'alt. Hogyan? Vagy\"uk \'eszre, hogy
$$
\frac1{\sqrt{v(1-v)}\pi}=\dfrac1{\sqrt{\frac14-(v-\frac12)^2}}.
$$
\item{4.} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor $\sigma \xi+m$ egy $m$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma$-n\'egyzet
sz\'or\'asn\'egyzt\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Legyen $\eta_1$ \'es $\eta_2$
k\'et f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
va\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1$ illetve $m_2$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
L\'assuk be, hogy $\eta_1+\eta_2$ $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'u
\'es $\sigma_1^2+\sigma^2_2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o akkor \'es csak akkor norm\'alis eloszl\'as\'u, ha
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}$. Ez\'ert,
$\eta_1+\eta_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
f(x)&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-(u-m_1)^2/2\sigma_1^2}
e^{-(x-u-m_2)^2/2\sigma_2^2}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-u^2
\(\frac1{2\sigma_1^2}+\frac1{2\sigma_2^2}\)+u\(\frac{m_1}{\sigma_1^2}
+\frac{x-m_2}{\sigma_2^2}\)\\
&\hskip5truecm -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\(u-\frac{m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2}
{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\)^2 \\
&\hskip4,5truecm +\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\exp\left\{
\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\exp\left\{
-\frac{(x-m_1-m_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}.
\endalign
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
 
 
 
\bye
 
