Az október 2-i gyakorlat témája Rövid összefoglaló

1. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, valószínűségi változók egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, azaz tegyük fel, hogy {ω: ξ_{j}(ω) ∈ B} ∈ A minden j = 1, 2, … számra és a számegyenes minden B Borel mérhető részhalmazára. Lássuk be, hogy

C = \{ω: lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}(ω) = c\} ∈ A

minden c valós számra, tehát van értelme a fenti esemény valószínűségéről beszélni. Megoldás: Definiáljuk a

C(ε) = \{ω: lim sup_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}(ω) < c + ε, lim inf_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}(ω) > c − ε\}

halmazokat. Ekkor C = ⋂_{ε: ε>0} C(ε). Sőt felírhatjuk a C = ⋂_{m=1}^{∞} C (\frac{1}{m}) relációt is.

Ez utóbbi formula azért hasznosabb a számunkra, mert ebben csak megszámláható sok halmaz szerepel. Ezért annak bizonyításához, hogy C ∈ A elég belátni azt, hogy C (\frac{1}{m}) ∈ A minden m = 1, 2, … számra, és ez utóbbi állítás bizonyítása egyszerűbb. Valóban ω ∈ C (\frac{1}{m}) akkor és csak akkor, ha létezik olyan M egász szám, melyre

c − \frac{1}{m} < \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}(ω) < c + \frac{1}{m} minden n ≥ M számra,

és ez képletekkel a következőképp is kifejezhatő. Legyen

C (\frac{1}{m}, M) = \{ω: c − \frac{1}{m} < \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}(ω) < c + \frac{1}{m} minden n ≥ M számra\}

és

C (\frac{1}{m}, n) = \{ω: c − \frac{1}{m} < \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}(ω) < c + \frac{1}{m}\} .

Ekkor C (\frac{1}{m}, M) = ⋂_{n=M}^{∞} C (\frac{1}{m}, n), és C (\frac{1}{m}) = ⋃_{m=1}^{∞} C (\frac{1}{m}, M).

Használjuk fel azt a mértékelméleti eredményt, mely szerint valószínűségi változxók összege (szorzata) is valószínűségi változó, azaz abból, hogy {ω: ξ_{j}(ω) ∈ B} ∈ A minden j = 1, 2, … számra és B Borel mérhető halmazra következik az, hogy

\{ω: \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}(ω) ∈ B\} ∈ A

minden n = 1, 2, … számra és B Borel mérhető halmazra. Ezért C (\frac{1}{m}, n) ∈ A minden n = 1, 2, … és m = 1, 2, … számra. Ebből viszont a fenti formulák alapján az is következik, hogy a C (\frac{1}{m}, n) ∈ A, C (\frac{1}{m}, M) ∈ A és C (\frac{1}{m}) ∈ A relációk teljesülnek minden m = 1, 2, …, n = 1, 2, …, M = 1, 2, … számra, ahonnan C ∈ A szintén teljesül.

Állítás. Egy k változós f(x_{1}, …, x_{k}) akkor és csak akkor sűrűségfüggvénye egy alkalmas (ξ_{1}, …, ξ_{k}) valószínűségi vektornak, ha teljesíti az f(x_{1}, …, x_{k}) ≥ 0 minden (x_{1}, …, x_{k}) ∈ R^{k} pontban, és

∫_{−∞}^{∞} ⋯ ∫_{−∞}^{∞} f(x_{1}, …, x_{k}) dx_{1} … dx_{k} = 1.

Adva egy F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlású (ξ_{1}, …, ξ_{k}) valószínűségi vektor, akkor annak valószínűsége, hogy ez a véletlen vektor beleesik egy B ⊂ R^{k} (mérhető) halmazban

P ((ξ_{1}, …, ξ_{k}) ∈ B) = ∫_{B} F ( dx_{1}, …, dx_{k}).

Kissé általánosabban, ha g(x_{1}, …, x_{k}) k-változós függvény, akkor

Eg(ξ_{1}, …, ξ_{k}) = ∫ g(x_{1}, …, x_{k})F ( dx_{1}, …, dx_{k}).

Ha az F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvénynek létezik f(x_{1}, …, x_{k}) sűrűségfüggvénye, akkor

P ((ξ_{1}, …, ξ_{k}) ∈ B) = ∫_{B} f(x_{1}, …, x_{k}) dx_{1} … dx_{k},

és

Eg(ξ_{1}, …, ξ_{k}) = ∫ g(x_{1}, …, x_{k})f(x_{1}, …, x_{k}) dx_{1}, …, dx_{k}.

Speciálisan, ha ξ és η két független valószínűségi változó F (x) és G(y) eloszlásfüggvénnyel, (f(x) és g(y) sűrűségfüggvénnyel) akkor a (ξ, η) vektornak az eloszlásfüggvénye F (x)G(y), (sűrűségfüggvénye pedig f(x)g(y)). Ezért a fentiek alapján a ξ + η összeg eloszlásfüggvénye

P (ξ + η < x) = ∫ ∫_{(u,v),u+v<x} F ( du)G( dv) és ha létezik sűrűségfüggvény
= ∫ ∫_{(u,v),u+v<x} f(u)g(v) du dv minden x ∈ R számra.

Ennek alapján meg tudjuk érteni, hogy független valószínűségi változók összegének sűrűségfüggvényét hogyan lehet kiszámítani az eredeti valószínűségi változók sűrűségfüggvényei konvoluciójának a segítségével. Ha ξ és η két független valószínűségi változó f(·) és g(·) sűrűségfüggvénnyel, akkor a ξ + η összeg sűrűségfüggvénye h(x) = \frac{d}{dx}P (ξ + η < x) a következő módon számolható ki:

h(x) = \frac{d}{dx}P (ξ + η < x) = \frac{d}{dx} ∫ ∫_{\{(u,v) : u+v<x\}} f(u)g(v) du dv

= \frac{d}{dx} ∫_{−∞}^{x} [∫_{−∞}^{∞} f(ū)g(v̄ − ū) dū] dv̄ = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − u) du

A fenti számolások első azonosságában egy integráltranszformációt alkalmaztunk v̄ = u + v, ū = u helyettesítéssel (majd később ū és v̄ helyett ismét u és v változót írtunk.) Felhasználtuk, hogy e transzformáció során az {(u, v): u + v < x} tartomány a {(ū, v̄): v̄ < x, −∞ < ū < ∞} tartományba megy át, és a fenti (lineáris) transzformáció

Jakobiánja azonosan 1. Az utolsó azonosságban a \frac{d}{dx} ∫_{−∞}^{x} H(v) dv = H(x) azonosságot

alkalmaztuk H(v) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(v − u) du választással.

1. Legyenek ξ_{1} és ξ_{2} független exponenciális eloszlású valószínűségi változók, azaz legyen sűrűségfüggvényük f(x) = λe^{−λx} ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x > 0. Számítsuk ki ξ_{1} +ξ_{2} sűrűségfüggvényét. Általánosabban, legyenek ξ_{1}, … ξ_{m} független exponenciális eloszlású valószínűségi változók λ > 0 paraméterrel. Számítsuk ki ξ_{1} + ⋯ + ξ_{m} sűrűségfüggvényét. Ki kell számolnunk az f ∗ f(x) illetve \underbrace{f ∗ ⋯ ∗ f}_{m−szer}(x) konvoluciókat a fenti f(x)

sűrűségfüggvénnyel. Mivel f(x) = 0, ha x ≤ 0, a konvoluciót meghatározó integrálban szereplő f(y)f(x − y) integrandus nulla, ha y ≤ 0 vagy x − y ≤ 0. Innen a konvoluciót definiáló integrál csak x ≥ 0 esetén lehet nulla, az x ≤ 0 esetben f(y)f(x − y) > 0 minden y-ra nulla, és x ≥ 0 esetén az f(y)f(x − y) > 0 integrandus csak 0 ≤ y ≤ x esetén nem nulla. Innen a ξ_{1} + ξ_{2} valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f_{2}(x) = f ∗ f(x) x < 0-ra f_{2}(x) = 0, és

f_{2}(x) = f ∗ f(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(y)f(x − y) dy = ∫_{0}^{x} λe^{−λy}λe^{−λ(x−y)} dy
= ∫_{0}^{x} λ^{2}e^{−λx} dy = λ^{2}xe^{−λx}, ha x ≥ 0.

Hasonlóan, ha f_{m}(x) = \underbrace{f ∗ ⋯ ∗ f}_{m−szer}(x) jelöli ξ_{1} + ⋯ ξ_{m} sűrűségfüggvényét, akkor

f_{m}(x) = 0 minden m ≥ 1 számra, ha x < 0. Azt állítjuk, hogy f_{m}(x) =

\frac{λ^{m}x^{m−1}}{(m − 1)!} e^{−λx}, ha x ≥ 0. Ezen állítás bizonyításához elég belátni teljes indukcióval

azt, hogy f_{m−1} ∗ f(x) = f_{m}(x) a fent definiált f_{m} függvényekkel. Viszont

f_{m−1} ∗ f(x) = ∫_{−∞}^{∞} f_{m−1}(y)f(x − y) dy = ∫_{0}^{x} λ^{m−1} \frac{y^{m−2}}{(m − 2)!}λe^{−λy}e^{−λ(x−y)} dy

= λ^{m}e^{−λx} ∫_{0}^{x} \frac{y^{m−2}}{(m − 2)!} dy = e^{−λx} \frac{λ^{m}x^{m−1}}{(m − 1)!} , ha x ≥ 0.

2. Legyen ξ és η két független standard normális eloszlású valószínűségi változó.

Számítsuk ki a \frac{ξ}{η} hányados eloszlás és sűrűségfüggvényét.

Megoldás. Az eloszlásfüggvény

F (x) = P (\frac{ξ}{η} < x) = ∫∫_{v<xu} \frac{1}{2π} e^{−(u^{2}+v^{2})/2} du dv

= 2\frac{1}{2π} ∫_{\frac{−π}{2} φ<arctan x} ∫_{0}^{∞} re^{−r^{2}/2} dr dφ = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} arctan x,

a sűrűségfüggvény pedig f(x) = \frac{dF (x)}{dx} = \frac{1}{π(1 + x^{2})}.

Második megoldás. A (ξ, η) vektor sűrűségfüggvénye \frac{1}{2π} e^{−(x^{2}+y^{2})/2}, ami forgatásinvariáns függvény. Innen k0vetkeik, hogy annak valószínűsége, hogy a (ξ, η) vektor egy origóból kiinduló α szögű szögtartományba esik, \frac{α}{2π}. Ezért

P (\frac{ξ}{η} < x) = P ((ξ, η) ∈ [−\frac{π}{2} , arctan x) ∪ [\frac{π}{2} , arctan x + π) szögtartományban)
= \frac{1}{2π} 2 (arctan x + \frac{π}{2} ) = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} arctan x.

3.) Legyenek ξ és η független, standard normális eloszlású valószínűségi változók. Lássuk be, hogy ξ^{2} + η^{2} exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Megoldás: P (ξ^{2} < x) = Φ(\sqrt{x}) − Φ(−\sqrt{x}). Írjuk fel ξ^{2} sűrűségfüggvényét és konvolúció segítségével a kívánt sűrűségfüggvényt. A ξ^{2} valószínűségi változó sű-

rűségfüggvénye g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}e^{−x/2}, és ξ^{2} + η^{2} sűrűségfüggvénye

f(x) = ∫_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{u(x − u)}π} e^{−u/2}e^{−(x−u)/2} du = e^{−x/2} ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{v(1 − v)}π} dv = \frac{1}{2}e^{−x/2}

Megjegyzés: Az x paramétertől függő ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{v(1 − v)}π} dv integrált meghatározza az

a tény, hogy a végeredményként kapott függvény sűrűségfüggvény. De ki is tudjuk számolni ezt az integrált. Hogyan? Vagyük észre, hogy

\frac{1}{\sqrt{v(1 − v)}π} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} − (v − \frac{1}{2})^{2}}} .

4. Ha ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó akkor σξ +m egy m várható értékű és σ-négyzet szórásnégyztű normális eloszlású valószínűségi változó. Legyen η_{1} és η_{2} két független normális eloszlású vaószínűségi változó m_{1} illetve m_{2} várható értékkel, σ_{1}^{2} és σ_{2}^{2} szórásnégyzettel. Lássuk be, hogy η_{1}+η_{2} m_{1}+m_{2} várható értékú és σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó. Megoldás: Egy ξ valószínűségi változó akkor és csak akkor normális eloszlású, ha

sűrűségfüggvénye \frac{1}{\sqrt{2π}σ} e^{−(x−m)^{2}/2σ^{2}}. Ezért, η_{1} + η_{2} sűrűségfüggvénye

f(x) = ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2πσ_{1}σ_{2}} e^{−(u−m_{1})^{2}/2σ_{1}^{2}}e^{−(x−u−m_{2})^{2}/2σ_{2}^{2}} du

= ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2πσ_{1}σ_{2}} exp\{−u^{2} (\frac{1}{2σ_{1}^{2}} + \frac{1}{2σ_{2}^{2}} ) + u (\frac{m_{1}}{σ_{1}^{2}} + \frac{x − m_{2}}{σ_{2}^{2}} )

− \frac{m_{1}^{2}}{2σ_{1}^{2}} − \frac{(x − m_{2})^{2}}{2σ_{2}^{2}} \} du

= ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2πσ_{1}σ_{2}} exp\{−\frac{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}{2σ_{1}^{2}σ_{2}^{2}} (u − \frac{m_{1}σ_{2}^{2} + (x − m_{2})σ_{1}^{2}}{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}} )^{2}

+ \frac{(m_{1}σ_{2}^{2} + (x − m_{2})σ_{1}^{2})^{2}}{2σ_{1}^{2}σ_{2}^{2}(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})} − \frac{m_{1}^{2}}{2σ_{1}^{2}} − \frac{(x − m_{2})^{2}}{2σ_{2}^{2}} \} du

= \frac{1}{\sqrt{2π(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}} exp \{\frac{(m_{1}σ_{2}^{2} + (x − m_{2})σ_{1}^{2})^{2}}{2σ_{1}^{2}σ_{2}^{2}(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})} − \frac{m_{1}^{2}}{2σ_{1}^{2}} − \frac{(x − m_{2})^{2}}{2σ_{2}^{2}} \}

= \frac{1}{\sqrt{2π(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}} exp \{−\frac{(x − m_{1} − m_{2})^{2}}{2(σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})} \} .

Házi feladat: Legyen ξ és η két független λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Számoljuk ki ξ − η sűrűségfüggvényét.