\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=4pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
\TagsOnRight
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 16-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
 
\item{1.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$,
\'es legyen $t$ val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ha $\xi$ $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $h(x)$ val\'os
\'ert\'ek\H{u} (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny, akkor $Eh(\xi)=\int
h(x)f(x)\,dx$. Eset\"unkben ez azt jelenti, hogy ha $\xi$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
Ee^{t\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty{e^{tx}}\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx.
$$
Innen
$$
Ee^{t\xi}=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{tx-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{t^2/2-(t-x)^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}.
$$
 
Az els\H{o} feladat megold\'as\'ahoz hasonl\'oan lehet t\'argyalni
a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est. Ennek fontos szerepe van a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban.
\item{2.} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E^{it\xi}$, $-\infty<t<\infty$,
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. (Itt $i=\sqrt{-1}$.) \medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az els\H{o} feladat megold\'as\'ahoz
hasonl\'oan
$$
\align
Ee^{it\xi}&=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{itx-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-t^2/2-(it-x)^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx\\
&=e^{-t^2/2}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{it-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx= e^{-t^2/2}\int_{-\infty+it}^{\infty+it}
\frac{e^{-x^2/2}} {\sqrt{2\pi}}\,dx.
\endalign
$$
A feladat megold\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni, hogy
$\dsize\int_{-\infty+it}^{\infty+it}\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=1$. Ez az \'all\'{\i}t\'as igaz, de a
bizony\'{\i}t\'ashoz sz\"uks\'eg van a komplex f\"uggv\'enytan
n\'eh\'any alapvet\H{o} (nem trivi\'alis) eredm\'eny\'ere.
\item{} Az $f(z)=\frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}}$ f\"uggv\'eny
analitikus az eg\'esz komplex sz\'ams\'{\i}kon. Ez\'ert a komplex
sz\'ams\'{\i}k minden z\'art g\"orb\'ej\'ere
$\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0$.
V\'alasszuk a k\"ovetkez\H{o} $\gamma_t$ g\"orb\'eket.
Vegy\"uk el\H{o}sz\"or a $[-T,T]$ v\'{\i}zszintes szakaszt
(pozit\'{\i}v ir\'anyban), majd menj\"unk tov\'abb a $[T,T+it]$
f\"ugg\"oleges szakaszon. Folytassuk az \'utunkat a $[T+it,-T+it]$
v\'{\i}zszintes szakaszon, majd z\'arjuk be a k\"ort a $[-T+it,-T]$
szakaszon. Vegy\"uk \'eszre ezen k\'{\i}v\"ul, hogy  $z=x+iy$ esetben
$|e^z|=e^x|e^{iy}|=e^x$, ahonnan $e^z\to0$, ha
$\text{Re}\,z\to-\infty$. Ezt felhaszn\'alva kapjuk, hogy
$\oint_{\gamma_t}f(z)\,dz=0$, tov\'abb\'a $t\to\infty$ hat\'ar\'atmenet
eset\'en a f\"ugg\H{o}leges szakaszokon vett
integr\'alokra $\int_{[\pm T,\pm T+it]}f(z)\,dz=0$, ahonnan
$\dsize\int_{-\infty+it}^{\infty+it} \frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=1$.
 
\item{3.} Adva egy $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'am\'{\i}tsuk ki $8\xi^3$
\'es $\xi^4$ eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{a.)} $8\xi^3$ elosz\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye:
$P(8\xi^3<x)=P\(\xi<\dfrac{x^{1/3}}2\)=\Phi\(\dfrac{x^{1/3}}2\)$,
teh\'at $8\xi^3$ eloszl\'asf\"uggv\'enye $\Phi\(\dfrac{x^{1/3}}2\)$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig ennek deriv\'altja, azaz
$\dfrac16 x^{-2/3}\varphi\(\dfrac{x^{1/3}}2\)
=\dfrac{x^{-2/3}}{6\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2/3}/8}$.
\item{b.)} $\xi^4$ eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye:
$P(\xi^4<x)=0$, ha $x\le0$, \'es
$P(\xi^4<x)=P(-x^{1/4}<\xi<x^{1/4})=P(\xi<x^{1/4})-P(\xi<-x^{1/4})
=\Phi(x^{1/4})-\Phi(-x^{1/4})$, ha $x>0$. M\'asr\'eszt, mivel a
$\Phi(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye p\'aros f\"uggv\'eny, ez\'ert
$\Phi(-x^{1/4})=\dsize\int_{-\infty}^{-x^{1/4}}\varphi(u)\,du=
\int^{\infty}_{x^{1/4}}\varphi(u)\,du=1-
\int_{-\infty}^{x^{1/4}}\varphi(u)\,du=1-\Phi(x^{1/4})$.
Ez\'ert a $\xi^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye $P(\xi^4<x)=2\Phi(x^{1/4})-1$, ha $x\ge 0$,
\'es null\'aval egyenl\H{o}, ha $x<0$. S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
pedig ennek deriv\'altja $\frac12x^{-3/4}\varphi(x^{1/4})$, ha $x\ge0$,
\'es nulla, ha $x<0$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-\frac12,\frac12]$
intervallumban. Sz\'a\-m\'{\i}t\-suk ki a $\xi^2$ \'es $\xi^3$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\item{4.} Egy \'allamban, (nevezz\"uk az egyszer\H{u}s\'eg
kedv\'e\'ert Florid\'anak,) 5~000~000 v\'alaszt\'o v\'alaszt k\'et
p\'art (h\'{\i}vjuk ezeket mondjuk republik\'anus \'es demokrata
p\'artnak) jel\"oltje k\"oz\"ott. Tegy\"uk fel, hogy a v\'alaszt\'ok
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'a\-laszt\-j\'ak valamelyik p\'art jel\"oltj\'et. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a k\'et jel\"olt \'altal
\"ossze\-gy\"uj\-t\"ott szavazatok k\"ul\"onbs\'ege nem haladja meg a
h\'aromsz\'azat.
\item{} Az egyik jel\"oltre leadott szavazatok sz\'ama
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg norm\'alis eloszl\'as\'u
$\frac12\cdot5~000~000$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\frac14\cdot
5~000~000$ sz\'or\'asn\'egyzettel. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a k\'et jel\"oltre adott szavazatok  k\"ul\"onbs\'ege kisebb mint
300 megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az egyik
jel\"oltre adott szavazatok sz\'ama a szavazatok v\'ar\-ha\-t\'o
\'ert\'ek\'et\H{o}l kevesebb mint 150-nel t\'er el, ez pedig
k\"or\"ulbel\"ul, $\Phi\(\dfrac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)-
\Phi\(-\dfrac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)
=2\Phi\(\dfrac{6\sqrt5}{100}\)-1\sim2\Phi(0.124)-1\sim0.1$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ \'Erdemes megjegyezni, hogy igaz a
centr\'alis hat\'areloszl\'as t\'etel k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} lok\'alis
v\'altozata is a binomi\'alis eloszl\'asra. Ha $\xi$ binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n$ \'es
$p$ param\'eterekkel, akkor $\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eke $mn=np$,
sz\'or\'asn\'egyzete $n\sigma^2=np(1-p)$, \'es
$P(\xi=k)=P\(\dfrac{\xi-nm}{\sqrt n\sigma}=\dfrac{k-nm}{\sqrt
n\sigma}\)\sim \dfrac1{\sqrt n\sigma} \varphi\(\dfrac{k-nm}{\sqrt
n\sigma}\)=\dfrac1{\sqrt{2\pi
n}\sigma}\exp\(\dfrac{(k-nm)^2}{2n\sigma^2}\)$, ahol
 $\varphi(x)=\dfrac1{2\pi}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Az el\H{o}bb tekintett
esetben $n=5~000~000$, $p=\frac12$, $-150\le k\le 150$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket kell kisz\'am\'{\i}tani, \'es
$k$-ra \"osszegezni. Ebben az esetben a norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt a nulla k\"ozel\'eben kell venn\"unk,
\'es a k\'{\i}v\'ant val\'osz\'{\i}n\H{u}\'esegre j\'o becs\'es
$\dfrac1{\frac12\sqrt {2\pi \cdot5000000}}\cdot300
\sim\dfrac6{10\sqrt{10\pi}}\sim\dfrac1{10}$. \medskip\noindent
\item{}{\it 2. Megjegyz\'es:} Val\'oj\'aban az els\H{o} feladatban
t\'argyalt modell  n\'emileg irre\'alis. \'Altal\'aban vannak
csoportok, melyeknek azonos a v\'elem\'eny\"uk. Tegy\"uk fel, hogy a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} csoportokban lev\H{o} emberek v\'elem\'enye
f\"uggetlen, de az egyes csoportokban lev\H{o} emberek v\'elem\'enye
megegyezik. K\'erd\'es: Hogyan befoly\'asolja ez a t\'eny annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy rendk\'{\i}v\"ul szoros
v\'alaszt\'asi eredm\'eny sz\"ulessen? Be fogjuk l\'atni, hogy
e t\'eny figyelembev\'etele cs\"okkenti a szoros v\'alaszt\'asi eredm\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.
\item{} A fenti k\'erd\'es azzal f\"ugg \"ossze, hogy ha
k\"ul\"onb\"oz\H{o} embereknek azonos a v\'e\-le\-m\'e\-ny\"uk, akkor
az egyik jel\"oltre leadott (v\'eletlen, k\"ozel norm\'alis
eloszl\'as\'u) sz\'am\'anak a sz\'or\'asa n\H{o} vagy cs\"okken. A
feladatot \'ugy is reprezent\'alhatjuk, hogy egyes csoportokb\'ol
kijel\"ol\"unk egy embert, az annyi szavazatot ad le, mint amennyi a
csoport tagjainak a sz\'ama, a t\"obbi ember nem szavaz. Az, hogy
ebben az esetben nem v\'altozik az egyik jel\"oltre leadott szavazatok
v\'arhat\'o \'ert\'eke, de n\"ovekszik annak sz\'or\'asa,
k\"ovetkezik az al\'abbi feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l.
\item{5.} Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
melyeknek nem ismerj\"uk a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. L\'assuk be,
hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok tetsz\H{o}leges
s\'ulyozott \'atlaga, azaz a $T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)=
\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}{\summ_{k=1}^n a_k}$, $\summ_{k=1}^n
a_k\neq0$ a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek torz\'{\i}tatlan becsl\'ese, melynek
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te akkor a legkisebb, ha
$a_1=a_2=\cdots=a_n$.
\item{} {\it Megold\'as:} $E\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}
{\summ_{k=1}^n a_k}=\dfrac{\summ_{k=1}^n a_kE\xi_1}
{\summ_{k=1}^n a_k}=E\xi_1$, \'es ez jelenti azt, hogy a v\'arhat\'o
\'ert\'ek torz\'{\i}tatlan becsl\'es\'et \'{\i}rtuk fel. M\'asr\'eszt
$$
\Var\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}{\summ_{k=1}^n a_k}=
\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k^2E\xi_1}{\(\summ_{k=1}^n a_k\)}=
\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k^2}{\(\summ_{k=1}^n a_k\)^2}
\Var\xi_1.
$$
Ez\'ert, ha $a_1=a_2=\cdots=a_n$, akkor
$\Var\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}{\summ_{k=1}^n a_k}
=\dfrac{\Var\xi_1}n$. M\'asr\'eszt,  az \'ugynevezett
Cauchy--Schwarz egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an $\summ_{k=1}^n
a_k^2\le\dfrac1n \(\summ_{k=1}^n a_k\)^2$, ahonnan
$$
\Var\dfrac{\summ_{k=1}^n a_k\xi_k}
{\summ_{k=1}^n a_k}\le\dfrac{\Var\xi_1}n
$$
az \'altal\'anos esetben.
\bigskip\noindent
{\it Eloszl\'asban val\'o konvergencia fogalma \'es n\'eh\'ny
fontos tulajdons\'aga.}\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez vagy az
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal meghat\'arozott
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<u)=F(u)$
{\rm minden olyan $u$ sz\'amra, ahol az $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny f\"uggv\'eny folytonos.} (Azt mondjuk, hogy
a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha ez a sorozat
eloszl\'asban konverg\'al az $F(u)=P(\xi<u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.)
 
Eloszl\'asf\"uggv\'enyek $F_n(u)$ sorozata akkor \'es csak akkor
konverg\'al egy $F(u)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ha
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata, melyekre $\xi_n$ eloszl\'asa $F_n(u)$ eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. M\'as szavakkal
ez azt jelenti, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(u)=F(u)$ az $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny minden folytonoss\'agi pontj\'aban.
}\medskip\noindent
{\it Mi\'ert csak a hat\'areloszl\'as folytonoss\'agi pontjaiban
k\"ovetelt\"uk meg a konvergenci\'at az eloszl\'asban val\'o
konvergencia definici\'oj\'aban?} \medskip
Amikor eloszl\'asf\"uggv\'enyeket vizsg\'alunk, akkor sokszor
\'erdemes az eloszl\'asf\"uggv\'eny helyett az \'altaluk
meghat\'arozott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
tekinteni. Azaz, adva va\-la\-mi\-lyen $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny, defini\'aljuk azt a $\mu=\mu_F$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
a sz\'am\-egye\-ne\-sen, melyre $\mu([a,b))=F(b)-F(a)$. A
m\'ert\'ekelm\'elet eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
l\'etezik ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek, \'es azt
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza az $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny.
Ezt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket szeml\'eletesen \'ugy
k\'epzelhetj\"uk el, mint egy t\"omegeloszl\'ast a sz\'amegyenesen,
melyre a teljes sz\'amegyenes t\"omege (s\'ulya) 1, \'es a
sz\'amegyenes egy r\'eszhalmaz\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
megegyezik a halmaz s\'uly\'aval. Az, hogy $F_n$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata konverg\'al valamely
$F$ eloszl\'ashoz val\'oj\'aban azt jelenti, hogy az \'altaluk
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $\mu_{F_n}$ t\"omegeloszl\'asok
konverg\'alnak a $\mu_F$ t\"omegeloszl\'ashoz.
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'eld\'at: Legyen $a_n$
olyan monoton n\"oveked\H{o} sz\'am\-so\-ro\-zat, melyre
$\limm_{n\to\infty}a_n=a$ valamely $-\infty<a<\infty$ sz\'amra. Legyen
$\mu_n$ az a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek,
mely az $a_n$ pontba van koncentr\'alva, $n=1,2,\dots$, azaz
$\mu_n(B)=1$, ha $a_n\in B$, \'es $\mu_n(B)=0$, ha $a_n\notin B$ a
sz\'amegyenes tetsz\H{o}leges m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara.
Hasonl\'oan, legyen $\mu$ az $a$ pontba koncentr\'alt m\'ert\'ek.
Term\'eszetes  azt v\'arni, hogy ha alkalmasan defini\'altuk az
eloszl\'asban val\'o konvergencia fogalm\'at, akkor
a $\mu_n$ eloszl\'asok konverg\'alnak a $\mu$ m\'ert\'ekhez. A $\mu_n$
m\'ert\'ek \'altal meghat\'arozott eloszl\'asf\"uggv\'eny, azaz egy
olyan $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az
eloszl\'asf\"uggv\'enye, melyre $P(\xi_n=a_n)=1$, az az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny, melyre $F_n(u)=0$, ha $u\le a_n$, \'es
$F_n(u)=1$, ha $u>a_n$. Hasonl\'oan, a $\mu$ m\'ert\'ek \'altal
meghat\'arozott eloszl\'asf\"uggv\'eny az az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny,
melyre $F(u)=0$, ha $u\le a$, \'es $F(u)=1$, ha $u>a$. K\"onny\H{u}
ellen\H{o}rizni, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(u)=F(u)$ minden $u\neq a$
sz\'amra ebben a p\'eld\'aban, de ez a rel\'aci\'o az $u=a$ sz\'amra
nem teljes\"ul. Teh\'at a $\mu_n$ m\'ert\'ekek eloszl\'asban
konverg\'alnak ebben a p\'eld\'aban, de ehhez
sz\"uks\'eges volt az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban azt a megszor\'{\i}t\'ast tenni, hogy csak
hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny folytonoss\'agi
pontjaiban k\"ovetelj\"uk meg a konvergenci\'at.
 
A $\Phi(x)=\dsize\int_{-\infty}^x\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny minden pontban folytonos, ez\'ert
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alkalmaz\'as\'aban nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia csak
az eloszl\'asf\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontjaiban
k\"o\-ve\-te\-l\"unk meg konvergenci\'at. Viszont olyan
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-ben, melyben a
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-nak van szakad\'asi pontja (p\'eld\'aul a
Poisson eloszl\'as vagy b\'armely diszkr\'et eloszl\'as ilyen)
ez a megszor\'{\i}t\'as l\'enyeges. Kimondunk bizony\'{\i}t\'as
n\'elk\"ul egy eredm\'enyt, mely ekvivalens felt\'etelt ad arra, hogy
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata eloszl\'asban konverg\'aljon egy
hat\'areloszl\'ashoz. Ennek az eredm\'enynek fontos szerepe van a
karakterisztikus f\"uggv\'eny m\'odszer alkalmaz\'as\'aban is.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha minden a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
folytonos, korl\'atos $g(u)$ f\"uggv\'enyre
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u)\,dF_n(u)=\int g(u)\,dF(u).
$$
}\medskip\noindent
{\it Eloszl\'asban val\'o konvergencia \'es
hat\'areloszl\'ast\'etelek.} \medskip
 
Vegy\"uk \'eszre, hogy  mivel az $ f_t(x)=e^{itx}$, $-\infty<t<\infty$,
f\"uggv\'enyek folytonosak \'es korl\'atosak, ez\'ert az
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a fenti T\'etel-ben kimondott jellemz\'ese
alap\-j\'an eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}\int e^{itx}F_n(\,dx)=\int e^{itx}F(\,dx)$, minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra, ha az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
Felmer\"ul a k\'erd\'es: Igaz-e ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
megford\'{\i}t\'asa is, azaz, ha tudjuk, hogy a $\varphi_n(t)=\e^{itx}
F_n(dx)\to\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$, ha $n\to\infty$ rel\'aci\'o
teljes\"ul egy $F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enysorozatra valamint egy $F$
eloszl\'asf\"uggv\'enyre, akkor k\"ovetkezik-e ebb\H{o}l az, hogy az
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak az
$F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez? Az el\H{o}z\H{o} formul\'aban
bevezetett $\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$ f\"uggv\'enyt nevezz\"uk
az $F$ eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek.
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik alapvet\H{o}
fontoss\'ag\'u eredm\'enye szerint a v\'alasz erre a k\'erd\'esre
igenl\H{o}. Jegyezz\"uk meg, hogy ezen \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz sz\"uks\'eges egy olyan jelleg\H{u} eredm\'eny,
mely azt mondja ki, hogy az $e(t)=e^{itx}$ trigonometrikus f\"uggv\'enyek
az \"osszes folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o
halmaznak el\'eg nagy r\'eszhalmaza. Ugyanis, ha
$\limm_{n\to\infty}\int e^{itx}F_n(\,dx)=\int e^{itx}F(\,dx)$ minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra, akkor teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}\dsize \int \summ_{k=1}^p c_k e^{it_kx}F_n(\,dx)
=\int \summ_{k=1}^p c_ke^{t_kx}F(\,dx)$ rel\'aci\'o minden
v\'eges line\'aris kombin\'aci\'ora is, s\H{o}t b\'{\i}zonyos
limeszel\'essel eljutunk tov\'abbi olyan $g(\cdot)$  f\"uggv\'enyekhez,
melyekre $\limm_{n\to\infty}\int g(x)F_n(\,dx)=\int g(x)F(\,dx)$. De
eljutunk-e \'{\i}gy minden folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyhez.
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik m\'ely eredm\'enye
szerint igen.
 
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o alapt\'etel.} {\it
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, $F_n$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
$\varphi_n(t)=Ee^{it\xi_n}=\int e^{itx}F_n(dx)$ karakterisztikus
f\"ugg\-v\'ennyel. Ha a $\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyek minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra konverg\'alnak egy $\varphi(t)$
f\"ugg\-v\'eny\-hez, mely az orig\'oban folytonos f\"uggv\'eny, akkor
ez a $\varphi(t)$ limeszf\"uggv\'eny is karakterisztikus f\"uggv\'eny,
azaz l\'etezik olyan (egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott) $F(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny, melyre $\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$.
Tov\'abb\'a, az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak ehhez az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n$ eloszl\'asok, $n=1,2,\dots$,
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $F$ eloszl\'ashoz, akkor
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra a $\varphi_n(t)=\int e^{itx}F_n(dx)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek konverg\'alnak a $\varphi(t)=\int
e^{itx}F(dx)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyhez, ha $t\to\infty$.
Tov\'abb\'a ez a konvergencia egyenletes minden v\'eges
intervallumban.} \medskip\noindent
Tal\'an \'erdemes lett volna ennek az eredm\'enynek a megfogalmaz\'asa
el\H{o}tt kimondani a k\"ovetkez\H{o} t\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt meghat\'aroz annak
$\varphi(t)=\int e^{itx}F(\,dx)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye.}
 
 
 
 
\bye
 
 
 
