Az október 16-i gyakorlat témája Rövid összefoglaló

1. Legyen ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen ξ sűrű-

ségfüggvénye f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}, és legyen t valós szám. Számoljuk ki az e^{tξ}

valószínűségi változó Ee^{tξ} várható értékét.

Megoldás: Ha ξ f(x) sűrűségfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó h(x) valós értékű (mérhető) függvény, akkor Eh(ξ) = ∫ h(x)f(x) dx. Esetünkben ez azt jelenti, hogy ha ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor

Ee^{tξ} = ∫_{−∞}^{∞} e^{tx} \frac{e^{−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx.

Innen

Ee^{tξ} = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{tx−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{t^{2}/2−(t−x)^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = e^{t^{2}/2} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = e^{t^{2}/2}.

Az első feladat megoldásához hasonlóan lehet tárgyalni a következő kérdést. Ennek fontos szerepe van a centrális határeloszlástétel bizonyításában.

2. Számítsuk ki egy standard normális eloszlású valószínűségi változó E^{itξ}, −∞ < t < ∞, karakterisztikus függvényét. (Itt i = \sqrt{−1}.)

Megoldás: Az első feladat megoldásához hasonlóan

Ee^{itξ} = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{itx−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−t^{2}/2−(it−x)^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx

= e^{−t^{2}/2} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{it−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = e^{−t^{2}/2} ∫_{−∞+it}^{∞+it} \frac{e^{−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx.

A feladat megoldásához elég belátni, hogy ∫_{−∞+it}^{∞+it} \frac{e^{−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = 1. Ez az állítás

igaz, de a bizonyításhoz szükség van a komplex függvénytan néhány alapvető (nem triviális) eredményére.

Az f(z) = \frac{e^{−z^{2}/2}}{\sqrt{2π}} függvény analitikus az egész komplex számsíkon. Ezért a komplex számsík minden zárt görbéjére ∮_{γ} f(z) dz = 0. Válasszuk a következő γ_{t} görbéket. Vegyük először a [−T, T] vízszintes szakaszt (pozitív irányban), majd menjünk tovább a [T, T + it] függöleges szakaszon. Folytassuk az útunkat a [T + it, −T + it] vízszintes szakaszon, majd zárjuk be a kört a [−T +it, −T] szakaszon. Vegyük észre ezen kívül, hogy z = x + iy esetben |e^{z}| = e^{x}|e^{iy}| = e^{x}, ahonnan e^{z} → 0, ha Re z → −∞. Ezt felhasználva kapjuk, hogy ∮_{γ_{t}} f(z) dz = 0, továbbá t → ∞ határátmenet esetén a függőleges szakaszokon vett integrálokra ∫_{[±T,±T +it]} f(z) dz = 0, ahonnan

∫_{−∞+it}^{∞+it} \frac{e^{−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = 1.

3. Adva egy ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó számítsuk ki 8ξ^{3} és ξ^{4} eloszlás és sűrűségfüggvényét.

a.) 8ξ^{3} eloszás és sűrűségfüggvénye: P (8ξ^{3} < x) = P (ξ < \frac{x^{1/3}}{2} ) = Φ (\frac{x^{1/3}}{2} ), tehát

8ξ^{3} eloszlásfüggvénye Φ (\frac{x^{1/3}}{2} ), sűrűségfüggvénye pedig ennek deriváltja, azaz

\frac{1}{6}x^{−2/3}φ (\frac{x^{1/3}}{2} ) = \frac{x^{−2/3}}{6\sqrt{2π}} e^{−x^{2/3}/8}.

b.) ξ^{4} eloszlás és sűrűségfüggvénye: P (ξ^{4} < x) = 0, ha x ≤ 0, és P (ξ^{4} < x) = P (−x^{1/4} < ξ < x^{1/4}) = P (ξ < x^{1/4})−P (ξ < −x^{1/4}) = Φ(x^{1/4})−Φ(−x^{1/4}), ha x > 0. Másrészt, mivel a Φ(x) eloszlásfüggvény φ(x) sűrűségfüggvénye páros függvény,

ezért Φ(−x^{1/4}) = ∫_{−∞}^{−x^{1/4}} φ(u) du = ∫_{x^{1/4}}^{∞} φ(u) du = 1 − ∫_{−∞}^{x^{1/4}} φ(u) du = 1 −

Φ(x^{1/4}). Ezért a ξ^{4} valószínűségi változó eloszlásfüggvénye P (ξ^{4} < x) = 2Φ(x^{1/4})− 1, ha x ≥ 0, és nullával egyenlő, ha x < 0. Sűrűségfüggvénye pedig ennek deriváltja \frac{1}{2}x^{−3/4}φ(x^{1/4}), ha x ≥ 0, és nulla, ha x < 0.

Házi feladat:

Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban. Számítsuk ki a ξ^{2} és ξ^{3} valószínűségi változók eloszlás és sűrűségfüggvényét.

Házi feladat:

Legyen ξ és η két független λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Számoljuk ki ξ − η sűrűségfüggvényét.

4. Egy államban, (nevezzük az egyszerűség kedvéért Floridának,) 5 000 000 választó választ két párt (hívjuk ezeket mondjuk republikánus és demokrata pártnak) jelöltje között. Tegyük fel, hogy a választók egymástól függetlenül \frac{1}{2} valószínűséggel választják valamelyik párt jelöltjét. Mi annak a valószínűsége, hogy a két jelölt által összegyüjtött szavazatok különbsége nem haladja meg a háromszázat.

Az egyik jelöltre leadott szavazatok száma közelítőleg normális eloszlású \frac{1}{2} ·5 000 000 várható értékkel és \frac{1}{4} · 5 000 000 szórásnégyzettel. Annak a valószínűsége, hogy a két jelöltre adott szavazatok különbsége kisebb mint 300 megegyezik annak a valószínűségével, hogy az egyik jelöltre adott szavazatok száma a szavazatok várha-

tó értékétől kevesebb mint 150-nel tér el, ez pedig körülbelül, Φ (\frac{150}{\sqrt{\frac{1}{4} · 5000000}})−

Φ (−\frac{150}{\sqrt{\frac{1}{4} · 5000000}}) = 2Φ (\frac{6\sqrt{5}}{100}) − 1 ∼ 2Φ(0.124) − 1 ∼ 0.1.

Megjegyzés: Érdemes megjegyezni, hogy igaz a centrális határeloszlás tétel következő lokális változata is a binomiális eloszlásra. Ha ξ binomiális eloszlású valószínűségi változó n és p paraméterekkel, akkor ξ várható értéke mn = np,

szórásnégyzete nσ^{2} = np(1 − p), és P (ξ = k) = P (\frac{ξ − nm}{\sqrt{n}σ} = \frac{k − nm}{\sqrt{n}σ}) ∼

\frac{1}{\sqrt{n}σ} φ (\frac{k − nm}{\sqrt{n}σ}) = \frac{1}{\sqrt{2πn}σ} exp (\frac{(k − nm)^{2}}{2nσ^{2}} ), ahol φ(x) = \frac{1}{2π} e^{−x^{2}/2}, a stan-

dard normális eloszlás sűrűségfüggvénye. Az előbb tekintett esetben n = 5 000 000, p = \frac{1}{2}, −150 ≤ k ≤ 150, valószínűségeket kell kiszámítani, és k-ra összegezni. Ebben az esetben a normális sűrűségfüggvényt a nulla közelében kell vennünk, és

a kívánt valószínűésegre jó becsés \frac{1}{\sqrt[\frac{1}{2}]{2π · 5000000}} · 300 ∼ \frac{6}{10\sqrt{10π}} ∼ \frac{1}{10}.

2. Megjegyzés: Valójában az első feladatban tárgyalt modell némileg irreális. Általában vannak csoportok, melyeknek azonos a véleményük. Tegyük fel, hogy a különböző csoportokban levő emberek véleménye független, de az egyes csoportokban levő emberek véleménye megegyezik. Kérdés: Hogyan befolyásolja ez a tény annak valószínűségét, hogy rendkívül szoros választási eredmény szülessen? Be fogjuk látni, hogy e tény figyelembevétele csökkenti a szoros választási eredmény valószínűségét.

A fenti kérdés azzal függ össze, hogy ha különböző embereknek azonos a véleményük, akkor az egyik jelöltre leadott (véletlen, közel normális eloszlású) számának a szórása nő vagy csökken. A feladatot úgy is reprezentálhatjuk, hogy egyes csoportokból kijelölünk egy embert, az annyi szavazatot ad le, mint amennyi a csoport tagjainak a száma, a többi ember nem szavaz. Az, hogy ebben az esetben nem változik az egyik jelöltre leadott szavazatok várható értéke, de növekszik annak szórása, következik az alábbi feladat eredményéből.

5. Legyen ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, melyeknek nem ismerjük a várható értékét. Lássuk be, hogy e valószínűségi válto-

zók tetszőleges súlyozott átlaga, azaz a T_{n}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}}, ∑_{k=1}^{n} a_{k} ≠ 0 a ξ_{1}

valószínűségi változó várható értékének torzítatlan becslése, melynek szórásnégyzete akkor a legkisebb, ha a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n}.

Megoldás: E \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}Eξ_{1}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = Eξ_{1}, és ez jelenti azt, hogy a várható érték torzítatlan becslését írtuk fel. Másrészt

Var \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2}Eξ_{1}}{( ∑_{k=1}^{n} a_{k})} = \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2}}{( ∑_{k=1}^{n} a_{k})^{2}} Var ξ_{1}.

Ezért, ha a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n}, akkor Var \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} = \frac{Var ξ_{1}}{n}. Másrészt, az

úgynevezett Cauchy–Schwarz egyenlőtlenség alapján ∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2} ≤ \frac{1}{n} ( ∑_{k=1}^{n} a_{k})^{2}, ahonnan

Var \frac{∑_{k=1}^{n} a_{k}ξ_{k}}{∑_{k=1}^{n} a_{k}} ≤ \frac{Var ξ_{1}}{n}

az általános esetben.

Eloszlásban való konvergencia fogalma és néhńy fontos tulajdonsága.

Az eloszlásban való konvergencia definiciója: Valószínűségi változók ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata akkor konvergál eloszlásban egy F (u) eloszlásfüggvényhez vagy az ezen eloszlásfüggvény által meghatározott eloszláshoz, ha lim_{n→∞} P (ξ_{n} < u) = F (u) minden olyan u számra, ahol az F (·) eloszlásfüggvény függvény folytonos. (Azt mondjuk, hogy a ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozata eloszlásban konvergál egy ξ valószínűségi változóhoz, ha ez a sorozat eloszlásban konvergál az F (u) = P (ξ < u) eloszlásfüggvényhez.)

Eloszlásfüggvények F_{n}(u) sorozata akkor és csak akkor konvergál egy F (u) eloszlásfüggvényhez, ha valószínűségi változók olyan ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata, melyekre ξ_{n} eloszlása F_{n}(u) eloszlásban konvergálnak az F (u) eloszlásfüggvényhez. Más szavakkal ez azt jelenti, hogy lim_{n→∞} F_{n}(u) = F (u) az F (·) függvény minden folytonossági pontjában.

Miért csak a határeloszlás folytonossági pontjaiban követeltük meg a konvergenciát az eloszlásban való konvergencia definiciójában?

Amikor eloszlásfüggvényeket vizsgálunk, akkor sokszor érdemes az eloszlásfüggvény helyett az általuk meghatározott valószínűségi mértéket tekinteni. Azaz, adva valamilyen F (·) eloszlásfüggvény, definiáljuk azt a μ = μ_{F} valószínűségi mértéket a számegyenesen, melyre μ([a, b)) = F (b) − F (a). A mértékelmélet eredményeiből következik, hogy létezik ilyen valószínűségi mérték, és azt egyértelműen meghatározza az F eloszlásfüggvény. Ezt a valószínűségi mértéket szemléletesen úgy képzelhetjük el, mint egy tömegeloszlást a számegyenesen, melyre a teljes számegyenes tömege (súlya) 1, és a számegyenes egy részhalmazának a valószínűsége megegyezik a halmaz súlyával. Az, hogy F_{n} eloszlásfüggvények sorozata konvergál valamely F eloszláshoz valójában azt jelenti, hogy az általuk meghatározott μ_{F_{n}} tömegeloszlások konvergálnak a μ_{F} tömegeloszláshoz.

Tekintsük a következő egyszerű példát: Legyen a_{n} olyan monoton növekedő számsorozat, melyre lim_{n→∞} a_{n} = a valamely −∞ < a < ∞ számra. Legyen μ_{n} az a valószínűségi mérték, mely az a_{n} pontba van koncentrálva, n = 1, 2, …, azaz μ_{n}(B) = 1, ha a_{n} ∈ B, és μ_{n}(B) = 0, ha a_{n} ∉ B a számegyenes tetszőleges mérhető részhalmazára. Hasonlóan, legyen μ az a pontba koncentrált mérték. Természetes azt várni, hogy ha alkalmasan definiáltuk az eloszlásban való konvergencia fogalmát, akkor a μ_{n} eloszlások konvergálnak a μ mértékhez. A μ_{n} mérték által meghatározott eloszlásfüggvény, azaz egy olyan ξ_{n} valószínűségi változónak az eloszlásfüggvénye, melyre P (ξ_{n} = a_{n}) = 1, az az F_{n}(·) eloszlásfüggvény, melyre F_{n}(u) = 0, ha u ≤ a_{n}, és F_{n}(u) = 1, ha u > a_{n}. Hasonlóan, a μ mérték által meghatározott eloszlásfüggvény az az F (·) függvény, melyre F (u) = 0, ha u ≤ a, és F (u) = 1, ha u > a. Könnyű ellenőrizni, hogy lim_{n→∞} F_{n}(u) = F (u) minden u ≠ a számra ebben a példában, de ez a reláció az u = a számra nem teljesül. Tehát a μ_{n} mértékek eloszlásban konvergálnak ebben a példában, de ehhez szükséges volt az eloszlásban való konvergencia definiciójában azt a megszorítást tenni, hogy csak határeloszlásfüggvény folytonossági pontjaiban követeljük meg a konvergenciát.

A Φ(x) = ∫_{−∞}^{x} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du normális eloszlásfüggvény minden pontban folytonos,

ezért a centrális határeloszlástétel alkalmazásában nincs jelentősége annak, hogy az eloszlásban való konvergencia csak az eloszlásfüggvény folytonossági pontjaiban követelünk meg konvergenciát. Viszont olyan határeloszlástételben, melyben a határeloszlásnak van szakadási pontja (például a Poisson eloszlás vagy bármely diszkrét eloszlás ilyen) ez a megszorítás lényeges. Kimondunk bizonyítás nélkül egy eredményt, mely ekvivalens feltételt ad arra, hogy eloszlásfüggvények egy sorozata eloszlásban konvergáljon egy határeloszláshoz. Ennek az eredménynek fontos szerepe van a karakterisztikus függvény módszer alkalmazásában is.

Tétel. F_{n}(u), n = 1, 2, … eloszlásfüggvények sorozata akkor és csak akkor konvergál eloszlásban egy F (u) eloszlásfüggvényhez, ha minden a számegyenesen értelmezett folytonos, korlátos g(u) függvényre

lim_{n→∞} ∫ g(u) dF_{n}(u) = ∫ g(u) dF (u).

Eloszlásban való konvergencia és határeloszlástételek.

Vegyük észre, hogy mivel az f_{t}(x) = e^{itx}, −∞ < t < ∞, függvények folytonosak és korlátosak, ezért az eloszlásfüggvényeknek a fenti Tétel-ben kimondott jellemzése alapján eloszlások konvergenciájából következik, hogy lim_{n→∞} ∫ e^{itx}F_{n}( dx) = ∫ e^{itx}F ( dx), minden −∞ < t < ∞ számra, ha az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F eloszlásfüggvényhez. Felmerül a kérdés: Igaz-e ennek az állításnak a megfordítása is, azaz, ha tudjuk, hogy a φ_{n}(t) = ε^{itx}F_{n}(dx) → φ(t) = ∫ e^{itx}F ( dx), ha n → ∞ reláció teljesül egy F_{n}(·), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvénysorozatra valamint egy F eloszlásfüggvényre, akkor következik-e ebből az, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F eloszlásfüggvényhez? Az előző formulában bevezetett φ(t) = ∫ e^{itx}F ( dx) függvényt nevezzük az F eloszlás karakterisztikus függvényének.

A valószínűségszámítás egyik alapvető fontosságú eredménye szerint a válasz erre a kérdésre igenlő. Jegyezzük meg, hogy ezen állításnak a bizonyításához szükséges egy olyan jellegű eredmény, mely azt mondja ki, hogy az e(t) = e^{itx} trigonometrikus függvények az összes folytonos és korlátos függvényekből álló halmaznak elég nagy részhalmaza. Ugyanis, ha lim_{n→∞} ∫ e^{itx}F_{n}( dx) = ∫ e^{itx}F ( dx) minden −∞ < t < ∞

számra, akkor teljesül a lim_{n→∞} ∫ ∑_{k=1}^{p} c_{k}e^{it_{k}x}F_{n}( dx) = ∫ ∑_{k=1}^{p} c_{k}e^{t_{k}x}F ( dx) reláció minden

véges lineáris kombinációra is, sőt bízonyos limeszeléssel eljutunk további olyan g(·) függvényekhez, melyekre lim_{n→∞} ∫ g(x)F_{n}( dx) = ∫ g(x)F ( dx). De eljutunk-e így minden folytonos és korlátos függvényhez. A valószínűségszámítás egyik mély eredménye szerint igen.

Eloszlások konvergenciájáról szóló alaptétel. Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, F_{n} eloszlású valószínűségi változók sorozata φ_{n}(t) = Ee^{itξ_{n}} = ∫ e^{itx}F_{n}(dx) karakterisztikus függvénnyel. Ha a φ_{n}(t) függvények minden −∞ < t < ∞ számra konvergálnak egy φ(t) függvényhez, mely az origóban folytonos függvény, akkor ez a φ(t) limeszfüggvény is karakterisztikus függvény, azaz létezik olyan (egyértelműen meghatározott) F (x) eloszlásfüggvény, melyre φ(t) = ∫ e^{itx}F ( dx). Továbbá, az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak ehhez az F eloszlásfüggvényhez.

Megfordítva, ha F_{n} eloszlások, n = 1, 2, …, sorozata eloszlásban konvergál egy F eloszláshoz, akkor minden −∞ < t < ∞ számra a φ_{n}(t) = ∫ e^{itx}F_{n}(dx) karakterisztikus függvények konvergálnak a φ(t) = ∫ e^{itx}F (dx) karakterisztikus függvényhez, ha t → ∞. Továbbá ez a konvergencia egyenletes minden véges intervallumban.

Talán érdemes lett volna ennek az eredménynek a megfogalmazása előtt kimondani a következő tételt.

Tétel. Egy F eloszlásfüggvényt meghatároz annak φ(t) = ∫ e^{itx}F ( dx) karakterisztikus függvénye.