\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=4pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
\TagsOnRight
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A november 6-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
\medskip\noindent
Az al\'abbi feladatot r\'eszben megbesz\'elt\"uk a m\'ult gyakorlaton.
Most felid\'ezz\"uk az eredm\'enyt, mert azt bizonyos tov\'abbi
\'ervel\'esekben haszn\'alni fogjuk.
\item{1.} Legyen egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak $k$-ik abszolut momentuma, azaz tegy\"uk fel, hogy
$E|\xi|^k<\infty$. Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi(t)=Ee^{it\xi}$  $k$-szor deriv\'alhat\'o, \'es
$\left.\dfrac{d^j\varphi(t)}{dt^j}\right|_{t=0}=i^jE\xi^j$ minden
$1\le j\le k$ sz\'amra.
$$
\left|e^{it}-\(1+it+\frac{i^2t^2}2+\frac{i^3t^3}{3!}+\cdots
+\frac{i^{k-1}t^{k-1}}{(k-1)!}\)\right|\le\frac{t^k}{k!}.
$$
Ez\'ert, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
l\'etezik $k$-ik abszolut momentuma, akkor $m_j=E\xi^j$ jel\"ol\'essel
$$
\left|\varphi(t)-\sum_{j=1}^{k-1}\dfrac{i^jt^j m_j}{j!}\right|\le
\frac{t^k E|\xi|^k}{k!}.
$$
Speci\'alisan, ha $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
melyre $E\xi=0$, $E\xi^2=\sigma^2$, $E|\xi^3|<\infty$, akkor annak
$\varphi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ere teljes\"ul a
$\left|\varphi(t)-\(1-\dfrac{\sigma^2t^2}2\))\right|\le
\dfrac{t^3E|\xi|^3}6$ egyenl\H{o}tlens\'eg. Ha nem felt\'etlen\"ul van
abszolut hartmadik momentum, akkor
$\varphi(t)=1-\dfrac{\sigma^2t^2}2+o(t^2)$,
ha $t=o(1)$. (Ez \'ugy is \'{\i}rhat\'o, hogy
$\varphi(t)=e^{-t^2/2+o(t^2)}$, ha $t=o(1)$.)
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az els\H{o} azonoss\'ag k\"ovetkezm\'enye
az $e^{it}$ f\"uggv\'eny $k-1$ tag\'u Taylor sorfejt\'es\'enek. Azt
kell tudni, hogy annak finomabb alakj\'ab\'ol az is l\'athat\'o, hogy
a marad\'ektag becs\"ulhet\H{o} a jobboldalon szerepl\H{o}
kifejez\'essel. Alkalmazva ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget a
$t\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, majd azt
kiintegr\'alva (v\'eve a k\'et oldal v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et)
megkapjuk a m\'asodik \"ossszef\"ugg\'est. Az utols\'o
rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk el\H{o}sz\"or
\'eszre, hogy ha $E\xi^2<\infty$, akkor tetsz\H{o}legesen kicsi $\e>0$
sz\'amra l\'etezik olyan $K=K(\e)>0$ sz\'am, melyre $\int_{|u|\ge
K}u^2\,F(\,du)<\e$, ahol $F(\cdot)$ jel\"oli a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
Igaz, hogy
$$
\align
\left|\varphi(t)-\(1-\frac{\sigma^2t^2}2\)\right|&=
\left|\varphi(t)-\(1+itE\xi- \frac{t^2}2E\xi^2\)\right| \\
&=\left|\int \(e^{itu}-1-itu+\frac{t^2u^2}2\) F(\,du)\right| \\
&\le\int_{|u|\le K} |\cdots| F(\,du)+\int_{|u|> K}|\cdots|
F(\,du).
\endalign
$$
Tov\'abb\'a, ha $t$ olyan kicsi, hogy $|tK^3|<\e$ alkalmas kis
$\delta=\delta(\e)$ sz\'amra, akkor
$$
\left|e^{itu}-1-itu+\frac{t^2u^2}2\right|<\frac{|t^3u^3|}6\le\e t^2,
\quad \text{ha } |t|\le K
$$
\'es
$$
\int_{|u|<K}\left|\(e^{itu}-1-itu+\frac{t^2u^2}2\)
\right|F(\,du) \le \e t^2.
$$
Ha $t\ge K$, akkor kiss\'e m\'ask\'epp \'erdemes becs\"ulni. Ekkor
$$
\left|\(e^{itu}-1-itu+\frac{t^2u^2}2\)\right|\le
\left|\(e^{itu}-1-itu\)\right|+
\left|\frac{t^2u^2}2\right|\le \frac {t^2u^2}2+\frac{t^2u^2}2
\le t^2u^2,
$$
ez\'ert
$$
\int_{|u|\ge K}\left|\(e^{itu}-1-itu+\frac{t^2u^2}2\)\right|
F(\,du)\le t^2 \int_{|u|\ge K}u^2F(\,du)\le \e t^2.
$$
Ezekb\H{o}l az egyenl\H{o}tlens\'egekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\left|\varphi(t)-\(1-\frac{\sigma^2t^2}2\)\right|\le 2\e t^2,
$$
ha $|t|\le t(\e)$ alkalmas $t(\e)$ k\"usz\"obindex v\'alaszt\'assal.
Mivel a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg minden  $\e>0$ \'es (az $\e$-t\'ol
f\"ugg\H{o}) kis $t$ sz\'amra igaz, innen k\"ovetkezik a feladat
utols\'o \'all\'{\i}t\'asa.
\item{2.} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$E\xi_1=0$, $E\xi_1^2=\sigma^2$, $0<\sigma^2<\infty$. L\'assuk be az
eddig t\'argyalt eredm\'enyek alapj\'an, hogy az
$S_n=n^{-1/2}\summ_{k=1}^n\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\'u norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Azt kell bel\'atnunk, hogy tetsz\H{o}leges
$t$ sz\'amra $\limm_{n\to\infty}Ee^{itS_n}=e^{-\sigma^2t^2/2}$.
M\'asr\'eszt, l\'attuk, hogy $Ee^{itS_n}=\(Ee^{it\xi_1/\sqrt
n}\)^n=\varphi(n^{-1/2}t)^n$, ahol $\varphi(t)=Ee^{it\xi_1}$ a $\xi_1$
vak\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye.
Viszont l\'attuk, hogy nagy $n$-re, \'es r\"ogz\'{\i}tett $t$
sz\'amra $n^{-1/2}t$ kicsi, ez\'ert
$\varphi(tn^{-1/2})=1-\frac{t^2}{2n}+o\(\frac{t^2}n\)
=e^{-t^2/2n(1+o(1))}$, ahonnan $\limm_{n\to\infty}
\varphi^n(tn^{-1/2})=e^{-t^2/2}$.
\medskip
Tekints\"unk egy $\xi$ eg\'esz \'ert\'ek\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, \'es annak
$p(k)=P(\xi=k)$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ eloszl\'as\'at. Defini\'aljuk
a $p(k)$ sorozat seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
$$
P(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty p(k)e^{ikt},\quad -\pi\le t\le \pi
$$
Fourier sort. Ekkor a Fourier sorok egyik alapvet\H{o} formul\'aja
alapj\'an ennek a Fourier sornak az egy\"utthat\'oit ki lehet
sz\'am\'{\i}tani a
$$
p(k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ikt}P(t)\,dt,\quad
k=0,\pm1,\pm2,\dots \tag a
$$
formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ez\'ert, ha j\'o aszimptotikus
formul\'at tudunk adni a $P(t)$ Fourier sorra, \'es j\'ol tudjuk
becs\"ulni az (a) formul\'aban szerepl\H{o} integr\'alt, akkor j\'o
becsl\'est kapunk a minket \'erdekl\H{o} $p(k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre is. A $P(t)$ Fourier sor
tulajdonk\'eppen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'enye. Ez\'ert, ha $\xi$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszege,
akkor sok esetben j\'ol tudjuk kezelni a karakterisztikus
f\"uggv\'enyt, \'es az (a) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Megmutatjuk
az al\'abbiakban, hogyan lehet e m\'odszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
Stirling formul\'at bebizony\'{\i}tani. \medskip
\item{3.)} Sz\'amoljuk ki egy $\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et. (Azaz $P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$.
Tekints\"uk a $\lambda=n$ esetet, \'es sz\'amoljuk ki a $P(\xi=n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget az (a) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Mutassuk meg e formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
$$
n!=\(\frac ne\)^n\frac{2\pi}{\dsize \int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}. $$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Ha $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\lambda$ param\'eterrel, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$, $k=0,1,2,\dots$, akkor
$$
Ee^{it\xi}=P(t)=\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)e^{itk}=\sum_{k=0}^\infty
\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda+ikt}=e^{-\lambda+\lambda e^{it}}.
$$
Innen, \'es a (a) formul\'ab\'ol kapjuk $\lambda=n$ \'es $k=n$
v\'alaszt\'assal, hogy
$$
\frac{n^n}{n!}e^{-n}=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-n-int+ne^{it}},
$$
\'es ez ekvivalens a feladatban fel\'{\i}rt azonoss\'aggal.
\item{4.)} Bizony\'{\i}tsuk be, hogy
$$
\int_{-\pi}^\pi e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt
n}\(1+O\(\frac1n\)\),
$$
\'es
$$
n!=\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n\(1+O\(\frac 1n\)\).
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
A feladat m\'asodik rel\'aci\'oja az els\H{o} rel\'aci\'o \'es a
az $\dfrac1{1+x}=1-x+O(x^2)=1+O(x)$, ha $|x|\le \frac12$ rel\'aci\'o
egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye.
\item{} Az els\H{o} rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
adjunk fels\H{o} becsl\'est az integr\'al hozad\'ek\'ara a $\{t\:
|t|\ge n^{-1/3}\}$ tartom\'anyban. Azut\'an tekints\"uk
az integr\'al megszor\'{\i}t\'as\'at a $\{t\: |t|<n^{-1/3}\}$
tartom\'anyra, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek aszimptotik\'aj\'at
pontosan.
\item{} Az els\H{o} becsl\'es elv\'egz\'es\'enek \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\left|e^{n(e^{it}-1-it)}\right|= e^{n\Re (e^{it}-1-it)}=e^{n(\cos
t-1)}<e^{-nt^2/4}<e^{-n^{1/3}/4} \text{ ha }n^{-1/3}\le t\le \pi
$$
\'es innen
$$
\left|\int_{\{n^{-1/3}\le |t|\le \pi\}}
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt\right|=O\(e^{-\const n^{1/3}}\). \tag1
$$
A m\'asik becsl\'es v\'egrehajt\'asa \'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tsuk
ki az integrandus aszimp\-to\-ti\-k\'a\-j\'at Taylor-sorfejt\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel pontosabban az origo kis k\"ornyezet\'eben.
Azt kapjuk, hogy
$n(e^{it}-1-it)=n\(-\dfrac{t^2}2-i\dfrac{t^3}6+O(t^4)\)$, \'es
$$
\align
e^{n(e^{it}-1-it)}&=e^{-nt^2/2}e^{-in{t^3}/6+O(nt^4)}\\
&=e^{-nt^2/2}\(1-\dfrac{i(\sqrt nt)^3}{6\sqrt n}+O\(\frac{(\sqrt
nt)^4}n\)+O\(\dfrac{(\sqrt nt)^6}n\)\),
\endalign
$$
ha $|t|\le n^{-1/3}$. Felhaszn\'alva ezt a becsl\'est \'es elv\'egezve
az $\bar t=\sqrt nt$ helyettes\'{\i}t\'est kapjuk, hogy
$$
\align
\int_{-n^{-1/3}}^{n^{-1/3}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt&=
\frac1{\sqrt n}\int_{-n^{1/6}}^{n^{1/6}}
e^{-{\bar{t}}^2/2}\(1-i\frac{{\bar {t}}^3}{6\sqrt
n}+\dfrac{O\({\bar t}^4+{\bar t}^6\)}n\)\,d\bar t\\
&=\frac1{\sqrt n}\(\int_{-\infty}^\infty-\int_{|\bar t|>n^{1/6}}\).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt
$$
\align
&\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\(1-i\frac{t^3}{6\sqrt
n}+\dfrac{O(t^4+t^6)}n\)\,dt\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\,dt-
\int_{-\infty}^\infty \frac i{6\sqrt n} t^3e^{-t^2/2}\,dt+O\(\frac1n\)
=\sqrt{2\pi}+O\(\frac1n\)
\endalign
$$
az $\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\,dt=\sqrt{2\pi}$
azonoss\'ag miatt, illetve az\'ert mert a $t^3e^{-t^2/2}$ f\"uggv\'eny
p\'aratlan. Ezenk\'{\i}v\"ul
$$
\int_{|t|\ge n^{1/6}} e^{-t^2/2}\(1-i\frac{t^3}{6\sqrt
n}+\dfrac{O(t^4+t^6)}n\)\,dt=O\(e^{-n^{1/3}/4}\).
$$
Ezekb\H{o}l a becsl\'esekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\int_{-n^{-1/3}}^{n^{1/3}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt=\frac{\sqrt{2\pi}}{
\sqrt n} \(1+O\(\frac1n\)\). \tag2
$$
A feladat els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa k\"ovetkezik az (1) \'es (2)
formul\'akb\'ol.
 
\item{5.} Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{}{\it Megold\'as:} Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\[-x
e^{-\lambda x}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda
x}\,dx=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\[-x^2
e^{-\lambda x}\]_0^\infty+\int_0^\infty 2x e^{-\lambda
x}\,dx=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var
\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\dfrac2{\lambda^2}-\dfrac1{\lambda^2}
=\dfrac1{\lambda^2}$.
 
\item{6.} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, melyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\dfrac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
bevil\'ag\'{\i}tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az
ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o becsl\'est
arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150 \'ora.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa
\'elettartam\'at, $1\le j\le100$. Ekkor a
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell j\'o becsl\'est adnunk, ahol az
\"osszegben f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. Vezess\"uk be az
$\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
\item{} Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\dfrac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\dfrac
m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\dfrac1{10}$
v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
sze\-rint $\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.
 
\item{6a.} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, melyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u. Azt a hipot\'ezist
akarjuk ellen\H{o}rizni, hogy a l\'amp\'ak \'elettartama legal\'abb 10
\'ora, azaz az exponenci\'alis eloszl\'as param\'etere kisebb vagy
egyenl\H{o} mint $\lambda=\dfrac1{10}$. Egy termet bevil\'ag\'{\i}tunk
ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az ki\'egett \'uj
l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Megfigyelj\"uk, hogy mennyi a
l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama. Ennek alapj\'an akarjuk eld\"onteni,
hogy hipot\'ezis\"unk helyes-e. Term\'eszetes \'ugy d\"onteni, hogy
amennyiben a l\'amp\'ak el\'eg sok\'aig \'egnek, akkor elfogadjuk a
hipot\'ezist, ha pedig nem akkor elutas\'{\i}tjuk. Mekkora \'elettartam
eset\'en fogadjuk el a hipot\'ezist, ha azt akarjuk, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul\'ese eset\'en legal\'abb 0.95 val\'osz\H{u}s\'eggel
fogadjuk azt el. (A matematikai statisztika szok\'asos
terminol\'ogi\'aj\'aval ezt a k\"ovetelm\'enyt \'ugy fogalmazz\'ak meg,
hogy az els\H{o}faj\'u hiba legyen kisebb mint 0.05.)
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa
\'el\'ettartam\'at, $1\le
j\le100$, \'es adjunk j\'o becsl\'est $P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>x)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre ha az \"osszegben f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
szerepelnek $\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. (Ez a hipot\'ezis
teljes\"ul\'ese eset\'en a a legkellemetlenebb eset.) Vezess\"uk be
az $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
\item{} Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben $E\eta=mE\xi_1=\dfrac
m\lambda=1000$, $\Var \eta=\dfrac m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es
$\lambda=\dfrac1{10}$ v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel sze\-rint $\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o k\"ozel\'{\i}t\'essel standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>x) =P\(\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>x\)\sim1-\Phi\(\dfrac x{100}-10\)$. Ez\'ert term\'eszetes az
$x$ szintet \'ugy v\'alasztani, hogy $1-\Phi\(\dfrac
x{100}-10\)=0.95$, \'es ha az \"ossz\'elettartam nagyobb mint ez a
szint akkor elfogadjuk a hipot\'ezist. Innen $\Phi\(10-\dfrac
x{100}\)=1-\Phi\(\dfrac x{100}-10\)=0.95$. Mivel
$\Phi(1.645)\sim0.95$, ez\'ert $x=835.5$.
 
\bye
 
 
 
