\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
 
\TagsOnRight
 
\noindent{\bf A november 27-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
\medskip\noindent
Az utols\'o k\'et gyakorlaton els\H{o}sorban azzal foglalkozunk,
hogyan lehet meg\'erteni annak a jegyzetnek n\'eh\'any eredm\'eny\'et,
mely a vizsgan k\'erdezett anyagot tartalmazza.
 
\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'esek a m\'ert\'ekelm\'eleti
el\H{o}k\'esz\'{\i}t\'eshez.} \medskip
Az itt szerepl\H{o} anyagnak (esetleg kiss\'e m\'as
sz\'ohaszn\'alattal) szerepelnie kellett a m\'ert\'ekelm\'eleti
el\H{o}ad\'ason. A l\'enyeg az, hogy a $\sigma$-algebra
illetve $\sigma$-addit\'{\i}v hal\-maz\-f\"ugg\-v\'eny fogalma \'es a
r\'oluk sz\'ol\'o \'altal\'anos eredm\'enyek lehet\H{o}v\'e teszik a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
fel\'ep\'{\i}t\'es\'et. Fontos, hogy ezen fogalmak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet vezetni a Riemann integr\'al
megfelel\H{o}j\'et, a Lebesgue integr\'al fogalm\'at. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nem m\'as mint
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'eny.
 
Egy az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
\'ertelmezett $f(\oo)$ f\"uggv\'eny (Lebesgue) integr\'alj\'at a $P$
m\'ert\'ek szerint a Riemann integr\'alhoz hasonl\'oan
egysze\H{u}, term\'eszetes integr\'alk\"ozel\'{\i}t\'esek
limeszek\'ent defini\'aljuk. A k\"ul\"onbs\'eg az, hogy ebben az
esetben a feloszt\'ast m\'ask\'epp v\'egezz\"uk el. Vesz\"unk egy
$\e>0$ sz\'amot, mellyel majd null\'ahoz tartunk, minden
$k=0,\pm1,\pm2,\dots$ eg\'esz sz\'amra defini\'aljuk az
$$
A(k,f,\e)=\{\oo\:k\e\le f(\oo)<(k+1)\e\}
$$
halmazokat. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
fel\'ep\'{\i}t\'ese alapj\'an lehet az $A(k,f,\e)$ halmazok
$P(A(k,f,\e)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l besz\'elni,
ez\'ert defini\'alhatjuk a $\summ_{k=-\infty}^\infty k\e P(A(k,f\e)$
\"ossze\-ge\-ket. Ezeket tekintj\"uk az $\int f(\oo)dP(\oo)$
integr\'alk\"ozel\'{\i}t\'eseinek. Nagyon \'altal\'anos felt\'etelek
mellett ezeknek az \"ossze\-gek\-nek van limesz\"uk
$\e\to0$ eset\'en, \'es ez a limesz lesz az integr\'al.
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalma ebben a jegyzetben
\'ugg van t\'argyalva, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'ert\'ekeit tetsz\H{o}leges szepar\'abilis metrikus t\'erben veheti
fel. Ez nem okoz elvi neh\'ezs\'eget. \'Erts\"uk meg az
1.13 \'All\'{\i}t\'as \'ertelm\'et. (Ennek van jelent\H{o}s\'ege
k\'es\H{o}bb a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'aban.)
Ezen \'all\'{\i}t\'as meg\'ert\'es\'ehez el\H{o}sz\"or az 1.10
definici\'ot kell meg\'erteni. Az ott szerepl\H{o}
$\sigma(\xi_\gamma,\;\gamma\in \Gamma)$ $\sigma$-algebra
szeml\'eletes tartalma a k\"ovetkez\H{o}. Ha bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ekeit meg
tudjuk figyelni, akkor ez azt jelenti, hogy bizonyos
esem\'enyekr\H{o}l meg tudjuk mondani, hogy bek\"ovetkeztek-e vagy
sem. A jobb meg\'ert\'es c\'elj\'ab\'ol tekints\"unk egy p\'eld\'at:
Ledobunk v\'eletlen\"ul az egys\'egintervallumra 20 pontot. Legyen
$\xi_j(\oo)$ a $j$-ik dob\'as eredm\'enye, $1\le j\le20$. Ha a
$\sigma(\xi_j(\oo),\;1\le j\le 10$ $\sigma$-algebr\'at tekintj\"uk,
akkor ez tartalmazza az \"osszes olyan (m\'erhet\H{o}) esem\'enyt,
mely csak az els\H{o} 10 dob\'aseredm\'enyt\H{o}l f\"ugg, \'es nem
tartalmazza azokat, melyek m\'as esem\'enyt\H{o}l is f\"uggnek.
\'{\i}gy p\'eld\'aul az az esem\'eny, hogy az els\H{o} 10 dob\'as
\"osszeg\'enek az eredm\'enye kisebb mint 6 benne van ebben a
$\sigma$-algebr\'aban, de az az esem\'eny, hogy az els\H{o} 11
dob\'as eredm\'enye kisebb mint 6 m\'ar nincsen.
 
Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'altal gener\'alt
$\sigma$- algebr\'at tekint\"unk, akkor a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'enyei
benne vannak ebben a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'altal megfigyelhet\H{o} esem\'enyek \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'aban, azaz ha meg tudjuk \'alla\-p\'{\i}\-tani,
hogy a $\xi \in B$ esem\'eny bek\"ovetkezett-e minden $B$
(Borel-m\'erhet\H{o}) halmazra, \'es $g(\cdot)$ (Borel m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'eny, akkor a $g(\xi)\in B$ esem\'eny bek\"ovetkezt\'et vagy
be nem k\"ovetkezt\'et is meg tudjuk \'allap\'{\i}tani minden $B$
Borel-m\'erhet\H{o} halmazra. S\H{o}t igaz ennek az
\'all\'{\i}t\'asnak a megford\'{\i}t\'asa is, \'es ez az
\'all\'{\i}t\'as nehezebb fele. Nevezetesen, ha egy
$\eta(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o olyan, hogy
mindegyik $\{\oo\:\eta(\oo)\in B\}$ esem\'enyr\H{o}l meg tudjuk
\'al\-la\-p\'{\i}\-ta\-ni, hogy bek\"ovetkezett-e vagy sem, a
$\xi(\oo)$ ismeret\'eben, akkor l\'etezik olyan $g(x)$
(Borel-m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen, melyre igaz,
hogy $\eta(\oo)=g(\xi(\oo))$.
 
V\'eg\"ul az (1.15) \'all\'{\i}t\'asr\'ol n\'eh\'any sz\'o. Ez egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a jellemz\'es\'er\H{o}l
sz\'ol. Az \'all\'{\i}t\'as neh\'ez fele az, hogy egy az adott
tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o} f\"uggv\'eny eloszl\'asf\"uggv\'eny,
azaz l\'etezik olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} \'es rajta
olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melynek ez az
eloszl\'asf\"uggv\'enye.
 
\'Erdemes lehet megjegyezni, hogy van egy term\'eszetes konstrukci\'o,
de ezen konstrukci\'o helyess\'eg\'enek igazol\'as\'ahoz bizonyos
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek sz\"uks\'egesek. Nevezetesen
defini\'aljuk az $(\Omega,\Cal A,P)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t \'es rajta a $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Legyen $\Omega=R^k$, a
$k$ dimenzi\'os Euklideszi t\'er, egy elemi esem\'eny
$\oo=(x_1,\dots,x_k)$-re legyen
$\xi(\oo)=\xi(x_1,\dots,x_k)=(x_1,\dots,x_k)$, $\Cal A$ a
Borel $\sigma$-algebra. Legyen $P$ az $F$ f\"uggv\'eny \'altal
defini\'alt Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'ek. Nem neh\'ez bel\'atni,
hogy az \'{\i}gy defini\'alt $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}ss\'egi
v\'altoz\'o $F$ eloszl\'as\'u lesz. Egy nem trivi\'alis l\'ep\'es
van ezen konstrukci\'o helyess\'eg\'enek bizony\'{\i}t\'as\'aban.
Az, hogy a Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'ek val\'oban
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek. Annak indokl\'asa
k\"ovetel k\"ul\"on \'ervel\'est, hogy a
Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'ek $\sigma$-addit\'{\i}v.
 
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'esek a v\'arhat\'o \'ert\'ekr\H{o}l \'{\i}rottakr\'ol.}
\medskip
Ez a fejezet tulajdonk\'eppen felsorolja azt, amit
m\'ert\'ekelm\'eletb\H{o}l a Lebesgue integr\'alr\'ol kellett tanulni.
Az itt szerepl\H{o} eredm\'enyek tartalmazz\'ak pontosan azt, hogy
milyen limeszel\'est lehet v\'egrhajtani az integr\'al\'as sor\'an,
ha egyszer\H{u} f\"uggv\'enyekkel k\"ozel\'{\i}tj\"uk az
integr\'aland\'o f\"uggv\'enyt. Ezek a domin\'alt konvergencia
t\'etel (xv) (szokt\'ak h\'{\i}vni Lebesgue t\'etelnek is), a monoton
konvergencia t\'etel (xiii) (szokt\'ak h\'{\i}vni Beppo--Levy
t\'etelnek is), \'es a Fatou lemma. A k\'es\H{o}bbiekben (a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'anak bevezet\'es\'eben)
fontos szerepet j\'atszik a (3.7) pontban megfogalmazott
Ra\-don--Ny\-ko\-dim t\'etel. Ennek megfogalmaz\'as\'ahoz sz\"uks\'eges
a (3.6) definici\'o. Jegyezz\"uk meg, hogy a Radon--Ny\-ko\-dim t\'etel
existencia t\'etel. Ez azt jelenti, hogy nem ismeretes olyan m\'odszer,
mely \'altal\'anos esetben elj\'ar\'ast ad egy m\'ert\'eknek
m\'asik m\'ert\'ek szerinti Radon--Ny\-ko\-dim deriv\'altj\'anak a
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara. Ez teszi el\'eg k\'enyelmetlenn\'e a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel \'es v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel val\'o sz\'amol\'ast az \'altal\'anos esetben. Ugyanis a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek
definixi\'oja a Radon--Ny\-ko-dim t\'etelen alapul. Viszont
gyakorlati esetekben, amikor ismert a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor a vizsg\'aland\'o
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \'es v\'arhat\'o \'ert\'ekek
explicit m\'odon sz\'amolhat\'oak
n\'eh\'any alapvet\'o anal\'{\i}zisbeli eredm\'eny alapj\'an.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'esek a karakterisztikus f\"uggv\'enyekr\H{o}l
\'{\i}rottakr\'ol.} \medskip
Egy fontos megjegyz\'es, hogy a karakterisztikus f\"uggv\'eny komplex
\'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny, egy komplex sz\'am \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a v\'arhat\'o \'ert\'eke.
Ez\'ert ellen\H{o}rizni kell, hogy a val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol tanultak ebben az esetben
is \'er\-v\'eny\-ben maradnak. K\"ul\"on\"osen fontos, hogy komplex
sz\'am \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra is
igaz, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ekeinek szorzat\'aval.
 
A karakterisztikus f\"uggv\'eny m\'odszer tulajdonk\'eppen nem m\'as
mint a Fourier anal\'{\i}zis alkalmaz\'asa a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban. A jegyzetben
felsorolt eredm\'enyek k\"oz\"ul a legfontosabb a (4.6)
folytonoss\'agi t\'etel. A (4.5) \'all\'{\i}t\'asban szerepelnek a
karakterisztikus f\"uggv\'eny legfontosabb tulajdons\'agai. B\'ar a
k\'es\H{o}bbiekben nincs r\'a sz\"uks\'eg, m\'egis \'erts\"uk meg mit
all\'{\i}t a (iv) pontban megfogalmazott Bochner t\'etel.
 
Tetsz\H{o}leges integr\'alhat\'o $f(\cdot)$ f\"uggv\'enynek illetve
v\'eges (korl\'atos v\'altoz\'as\'u) el\H{o}jeles m\'ert\'eknek lehet
defini\'alni az $int e^{itu}f(u)\,du$ $int e^{itu}F(\,du)$ Fourier
transzform\'altj\'at. A karakterisztikus f\"uggv\'enyt az t\"unteti ki
ezek k\"oz\"ul, hogy ebben az esetben pozit\'{\i}v
f\"uggv\'enynek illetve pozit\'{\i}v (azaz nem el\H{o}jeles
m\'ert\'eknek) defini\'aljuk a Fourier transzform\'altj\'at. Annak,
hogy az eredeti f\"uggv\'eny (m\'ert\'ek) pozit\'{\i}v,
(nem-negat\'{\i}v) a Fourier transzform\'altak ter\'eben az felel meg,
hogy a f\"uggv\'eny illetve m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja
pozit\'{\i}v (szemi)definit. Ez a Bochner t\'etel tartalma. A kimondott
\'all\'{\i}t\'asban hi\'anyzik az az \'eszrev\'etel, hogy mivel a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek 1-re
norm\'alt, ez\'ert $\varphi(0)=1$.
 
A (xi) inverzi\'os formul\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'at nem l\'attam
a jegyzetben. Ennek az eredm\'enynek lenne n\'emi jelent\H{o}s\'ege a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban, ha a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt nemcsak eredeti form\'aj\'aban
akarn\'ank bizony\'{\i}tani, hanem azt is, hogy alkalmas feltev\'esek
mellett f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt \"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye tart a
norm\'alis s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Az inverzi\'os
formula egy ter\-m\'e\-sze\-tes \'es egyszer\H{u} bizony\'{\i}t\'asa
lenne a Fourier anal\'{\i}zisben fontos szerepet j\'atsz\'o
Parseval formula alkalmaz\'asa. Term\'eszetesen el\H{o}bb a Parseval
formul\'at is bizony\'{\i}tani kellene. A r\'eszletek
t\'argyal\'as\'ag elhagyom.
 
\medskip\noindent
{\it Magjegyz\'esek a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelhez.}
\medskip
\'Erdemes bevezetni \'es meg\'erteni a sz\'eriasorozat fogalm\'at.
B\'ar ez a fogalom a jegyzetben form\'alisan nincs bevezetve,
val\'oj\'aban ott a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-ra kimondott alakja szerepel.
\medskip\noindent
{\bf Sz\'eriasorozatok definici\'oja.} {\it A
$$
\align
&\xi_{1,1},\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszere, $k\to\infty$,
sz\'eriasorozat, ha az egy sorban lev\H{o}
$\xi_{k,1}$,\dots, $\xi_{k,n_k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"ug\-get\-le\-nek. (A k\"ul\"onb\"oz\H{o} sorokban lev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok kapcsolat\'ar\'ol nem
t\'etelez\"unk fel semmit.)} \medskip
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sz\'eriasorozatokra
megfogalmazott alakj\'aban az egy sorban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{n,k}$  \"osszeg\'et tekintj\"uk, \'es azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy alkalmas feltev\'esek mellett az $S_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok konverg\'alnak eloszl\'asban
(ezt jelenti a gyenge konvergencia) a norm\'alis eloszl\'ashoz.
Feltehetj\"uk, hogy $\Var S_k\to1$, ha $k\to\infty$. Val\'oban,
elosztva az egy sorban lev\H{o} val\'osz\'{\i}b\H{u}s\'egi
v\'atoz\'okat ugyazzal az alkalmas konstanssal ezt feltehetj\"uk. A
bizony\'{\i}t\'as\'aban nincs jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a
k\"ul\"onb\"oz\H{o} sorokban szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok k\"oz\"ott mi a kapcsolat. Az ilyen alak\'u
hat\'areloszl\'ast\'etel a leg\'altal\'anosabb alak\'u. Ha adva van
f\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_1,\xi_2,\dots$, v\'egtelen
sorozata, akkor elk\'esz\'{\i}tve az $n_k=k$,
$\xi_{k,j}=\dfrac{xi_j}{B_k}$, $B_k=\summ_{j=1}\Var \xi_j$,
$1\le j\le n_k=k$, sorozatot, egy sz\'eriasorozatot defini\'altunk,
\'es az erre a sz\'eriasorozatra megfogalmazott centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel megegyezik az eredeti centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etellel.
 
Ahhoz, hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'erv\'enyes legyen
az egyik term\'eszetes fel\-t\'e\-tel az, hogy az egyes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'or\'asn\'egyzete az
\"osszeg sz\'or\'asn\'egyzet\'ehez k\'e\-pest kicsi legyen, azaz
$r_k=\supp_{1\le j\le n_k}\Var \xi_{k,j}$  tartson null\'ahoz. Egy
m\'asik felt\'etel, amelyet feltessz\"unk az \'ugynevezett Lindeberg
felt\'etel. \medskip\noindent
{\bf Lindeberg felt\'etel definici\'oja:} {\it
Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, melyre $E\xi_{k,j}=0$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
\'es $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$. Ez a
sz\'eriasorozat akkor \'es csak akkor teljes\'{\i}ti a Lindeberg
felt\'etelt, ha tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{k\to\infty}L_n(\e)=
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I\(\{|\xi_{k,j}|>\e\}\)=0,
$$
ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye.}
\medskip
A 8. fejezet f\H{o} eredm\'enye, a Lindeberg t\'etelnek nevezett
eredm\'eny (8.1) t\'etel arra ad becsl\'est, hogy egy megfelel\H{o}en
s\'{\i}ma \'es a v\'egtelenben nem t\'ul gyorsan n\H{o}v\H{o} $g(u)$
f\"uggv\'enyre mennyire kicsi az $Eg(S_k)-Eg(\eta_k)$ k\"ul\"onbs\'eg,
ahol $S_k$ a sz\'eriasorozat $k$-ik sor\'aban szerepl\H{o} \"osszeg,
$\eta$ pedig standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Eml\'ekezz\"unk arra, hogy a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel azt jelenti, hogy amennyiben a
$g(u)=g_t(u)=e^{itu}$ v\'alaszt\'ast tessz\"uk,  akkor az
$Eg(S_k)-Eg(\eta_k)\to0$, ha $k\to\infty$ rel\'aci\'o jelenti a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'erv\'enyess\'eg\'et.
 
 
\medskip \noindent
{\it  A t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asr\'ol.}
\medskip
Az els\H{o} k\'erd\'es, ami e fogalom kapcs\'an felmer\"ul az, hogy
mi\'ert fontos ez a fogalom. A term\'eszetes v\'alasz az, hogy a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel, illetve annak t\"obb-dimenzi\'os
v\'altozata indokolja e fogalom bevezet\'es\'et. A centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel azt mondja, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszegeinek a
hat\'areloszl\'asa nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett mindig
ugyanaz a norm\'alis eloszl\'as. Felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy
\'erv\'enyes-e ennek az eredm\'enynek a megfelel\H{o}je, melyek
vektor \'ert\'ek\H{u} f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszegeir\H{o}l sz\'olnak.
 
Erre a k\'erd\'esre pozit\'{\i}v v\'alaszt lehet adni, \'es ez fontos
szerepet j\'atszik n\'eh\'any olyan fontos k\'erd\'es vizsg\'alat\'aban
mint a chi-n\'egyzet pr\'oba. Az eredm\'eny illetve a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny fogalm\'anak a
meg\'ert\'es\'ehez sz\"uks\'eges el\H{o}sz\"or meg\'erteni a
v\'arhat\'o \'ert\'ek illetve a sz\'or\'asn\'egyzet fogalm\'anak
t\"obb-dimenzi\'os meg\-fele\-l\H{o}\-j\'et. A nehezebb \'es
t\'argyaland\'o feladat a sz\'or\'asn\'egyzet t\"obb-dimenzi\'os
megfelel\H{o}j\'enek, a kovarianciam\'atrixnak a definici\'oja.
\medskip\noindent {\bf A kovarianciam\'atrix definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy $k$-dimenzi\'os v\'eletlen
vektor, melynek minden koordin\'at\'aj\'ara teljes\"ul az
$E\xi_j^2<\infty$, $1\le j\le k$, felt\'etel. Ekkor a $\xi$
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $D$
kovarianciam\'atrixa az a $k\times k$ m\'atrix, melynek $j$-ik
sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban a
$\Cov(\xi_j,\xi_l)=E\xi_j\xi_l-E\xi_jE\xi_l$,
$1\le j,l\le k$, sz\'am \'all.} \medskip
A kovarianciam\'atrix hasonl\'oan viselkedik mint annak egy
dimenzi\'os  megfelel\H{o}je, a sz\'or\'asn\'egyzet. \'Igy
p\'eld\'aul f\"uggetlen vektorok \"osszeg\'enek a kovarianciam\'atrixa
meg\-egye\-zik az \"osszeadand\'ok kovarianciam\'atrix\'anak az
\"osszeg\'evel, ha egy vektort meg\-szor\-zunk egy $c$ sz\'ammal,
akkor annak kovarianciam\'atrixa a $c^2$ sz\'ammal szorz\'odik meg.
Ezenk\'{\i}v\"ul fontos a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a kovarianciam\'atrix jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Egy
$k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor kovarianciam\'atrixa $k\times k$
m\'eret\H{u} szimmetrikus pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix. Egy
szimmetrikus $D=(d_{j,l})$, $1\le j,l\le k$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrixot pozit\'{\i}v szemidefinitnek nevez\"unk, ha minden
$x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimezi\'os vektorra
$xDx^*=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_jx_l d_{j,l}\ge0$.
Megford\'{\i}tva, minden $D$ $k\times k$ m\'eret\H{u} pozit\'{\i}v
definit m\'atrixhoz \'es $m$ $k$--dimenzi\'os vektorhoz l\'etezik
olyan $k$--dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor,
melynek a v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$, kovarianciam\'atrixa pedig
$D$. S\H{o}t az is igaz, hogy egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza annak v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es kovarianciam\'atrixa.}
\medskip Annak \'erdek\'eben, hogy ezt az eredm\'enyt meg\'erts\"uk
fel kell id\'ezn\"unk a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalm\'at.
\medskip\noindent
{\bf A t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o definici\'oja.}
{\it Ha $\xi_1$,\dots, $\xi_k$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor a
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\"uk\-kel defini\'alt $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektort $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak ne\-vez\-z\"uk. Ha $\xi$
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, $A$ tetsz\H{o}leges
$k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix $m$ $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor,
akkor $\eta=\xi A+m$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor.
Akkor nevez\"unk egy v\'eletlen vektort $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektornak, ha annak eloszl\'asa megegyezik
egy el\H{o}bb defini\'alt $\eta=\xi A+m$ alak\'u $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor eloszl\'as\'aval.} \medskip
Be lehet l\'atni, hogy igaz a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Az el\H{o}bb defini\'alt
$\eta=\xi A+m$ alak\'u $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ kovarianciam\'atrixa pedig a $D=AA^*$
m\'atrix. Karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\varphi(t)=\varphi(t_1,\dots,t_k)=
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_k\eta_k)}=e^{i(t,m)-tDt^*/2}
$$
f\"uggv\'eny, ahol $t=(t_1,\dots,t_k)$, $(\cdot,\cdot)$
skal\'arszorzatot ${}^*$ pedig transzpon\'altat jel\"ol.
Ez utobbi formula az\'ert hasznos, mert egy (t\"obb-di\-men\-zi\'os)
eloszl\'ast meghat\'aroz annak karakterisztikus f\"uggv\'enye.}
\medskip
Azt a t\'enyt, hogy tetsz\H{o}leges $D$ pozit\'{\i}v szermidefinit
m\'atrix megjelenik mint al\-kal\-mas norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor kovarianciam\'atrixa k\"ovetkezik
egyr\'eszt a fenti \'all\'{\i}t\'asokb\'ol, tov\'abb\'a a
k\"ovetkez\H{o} line\'aris algebrai eredm\'enyb\H{o}l.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy szimmetrikus $D$ pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'atrixb\'ol lehet "n\'egyzetgy\"ok\"ot vonni", azaz a $D=AA^*$
egyenletnek van megold\'asa. Ez a megold\'as nem egy\'ertelm\H{u}.
Val\'oban, ha $U$ unit\'er m\'atrix, azaz $UU^*=U^*U=I$, akkor az $\bar
A=AU$ m\'atrixra is igaz, hogy $\bar A\bar A^*=D$, ha $D=AA^*$.}
\medskip
Ezek az eredm\'enyek azt is jelentik, hogy b\'ar egy el\H{o}\'{\i}rt
eloszl\'as\'u norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor $\eta=\xi A+m$
reprezent\'aci\'oj\'aban az $A$ m\'atrix megad\'asa nem
egy\'ertelm\H{u}, m\'egis a $D$ kovarianciam\'atrix \'es $m$
v\'arhat\'o \'ert\'ek meghat\'arozza a v\'eletlen vektor
el\-osz\-l\'a\-s\'at. Ennek az al\'abbi fontos k\"ovetkezm\'enye is
van. \medskip\noindent
{\bf T\'etel} {\it Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, melynek els\H{o} $l$ \'es utols\'o
$k-l$ koordin\'at\'aja korrel\'alatlan valamely $1\le l<k$ sz\'amra,
azaz $E\xi_p\xi_q=E\xi_pE\xi_q$, ha $1\le p\le l<q\le k$. Ekkor a
$(\xi_1,\dots,\xi_l)$ illetve $(\xi_{l+1},\dots,\xi_k)$ vektorok
f\"uggetlenek.} \medskip
Ez ut\'obbi eredm\'eny kiolvashat\'o abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy
az adott felt\'etel mellett a $\xi$ v\'eletlen vektor
faktoriz\'al\'odik. Jegyezz\"uk meg, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok mindig korrel\'alatlanok,
de az \'all\'{\i}t\'as megford\'{\i}t\'asa nem igaz. L\'eteznek olyan
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, melyek
korrel\'alatlanok, de nem f\"uggetlenek. Ez a t\'eny r\'amutat a
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok egyik
k\"ul\"onleges tulajdons\'ag\'ara, arra, hogy ebben a speci\'alis
esetben a koordin\'at\'ak korrel\'alatlans\'ag\'ab\'ol
k\"ovetkezik azok f\"uggetlens\'ege is.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\bye
 
 
 
