\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=4pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
\TagsOnRight
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A november 13-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
\medskip\noindent
Teszek n\'eh\'any kieg\'esz\'{\i}t\H{o} magyar\'azatot a m\'ult
gyakorlaton v\'egzett sz\'am\'{\i}t\'asokhoz. Ott haszn\'altam a
$O(\cdot)$ (ejtsd nagy ord\'o) illtve $o(\cdot)$ (ejtsd kis ord\'o)
jel\"ol\'est. A gyarkorlaton der\"ult ki, hogy ezzel a
jel\"ol\'esrendszerrel a hallgat\'os\'ag kor\'abban nem tal\'alkozott.
Mivel ez hasznos \'es term\'eszetes jel\"ol\'esrendszer, ez\'ert
\'erdemes ismertetni.
 
E jel\"ol\'esrendszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt akarjuk megfogalmazni,
hogy egy bonyolult kifejez\'est milyen pontoss\'aggal tudunk
k\"ozel\'{\i}teni egy egyszer\H{u}bb kifejez\'essel. A klasszikus
p\'elda a Taylor sorfejt\'es, \'es a vizsg\'alt sz\'amol\'asok
t\"obbs\'eg\'eben ezt haszn\'altuk. Ha egy f\"uggv\'eny el\'eg sokszor
differenci\'alhat\'o, akkor az e f\"uggv\'eny Taylor sor\'anak els\H{o}
n\'eh\'any tagj\'ab\'ol \'all\'o polinom j\'ol k\"ozel\'{\i}ti ezt a
f\"uggv\'enyt annak a pontnak a k\"ozel\'eben, ahol a sorfejt\'est
v\'egezt\"uk. De ez a k\"ozel\'{\i}t\'es csak ennek a pontnak kis
k\"ornyezet\'eben ad hasznos eredm\'enyt. A $O(\cdot)$ \'es $o(\cdot)$
jel\"ol\'est annak \'erdek\'eben vezett\'ek be, hogy egyszer\H{u} \'es
term\'eszetes m\'odon m\'erj\'ek az ilyen k\"ozel\'{\i}t\'esek
j\'os\'ag\'at.
 
E bevezet\'es ut\'an adjuk meg e fogalmak pontos definici\'oj\'at:
Legyen egy $f(t)$ f\"uggv\'enynek egy $g(t)$ f\"uggv\'eny j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'ese egy $t_0$ pont kis k\"ornyezet\'eben. Legyen
$R(t)$, $R(t)\ge0$, valamely f\"uggv\'eny. Azt mondjuk,
hogy $f(t)=g(t)+o(R(t))$ \ $t=t_0+o(1)$ eset\-ben, ha $\limm_{t\to
t_0}\dfrac{|f(t)-g(t)|}{ R(t)}=0$ Azt mondjuk, hogy $f(t)=g(t)+O(R(t))$
\ $t=t_0+O(1)$ esetben, ha l\'eteznek olyan $K>0$ \'es $L>0$ sz\'amok,
melyekre $\left|\dfrac{|f(t)-g(t)|}{ R(t)}\right|\le K$, ha $|t-t_0|\le
L$. Egy (fontos) p\'elda. Legyen $f(t)$ h\'aromszor
differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny. Ekkor
$f(t)=f(0)+f'(0)t+f''(0)\frac{t^2}2+O(t^3)$, ha $t=O(1)$, mert a
k\"ozel\'{\i}t\'es nagys\'agrendje annyi, mint a Taylor sorfejt\'es
harmadik tagja. Ha viszont csak annyit tudunk, hogy  az $f$
f\"uggv\'eny k\'etszer differenci\'alhat\'o (ez a helyzet p\'eld\'aul
akkor, ha olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et tekintj\"uk, melynek m\'asodik momentuma v\'eges,
de a harmadik momentuma lehet v\'egtelen is), akkor csak a
k\"ovetkez\H{o} gyeng\'ebb \'all\'{\i}t\'ast \'{\i}rhatjuk fel:
$f(t)=f(0)+f'(0)t+f''(0)\frac{t^2}2+o(t^2)$, ha $t=o(1)$.
 
 
\medskip\noindent
\item{1.} Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel, azaz
$F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-x}$, ha $x\ge0$, $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha $x\le0$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megod\'as:}\/ Jel\"olje $G(x)$ a $\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $G(x)=P(\xi+\xi^2<x)$.
Mivel a $\xi$ (exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi) v\'altoz\'o csak nem negat\'{\i}v
\'ert\'ekeket vesz fel, ez\'ert $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o is egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel nem
negat\'{\i}v \'ert\'eket vesz fel, azaz $G(x)=0$, ha $x<0$. Ha $x\ge0$,
akkor a $\xi+\xi^2<x$ egyenl\H{o}tlens\'eg akkor \'es csak akkor
teljes\"ul, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o olyan
$y$ \'ert\'eket vesz fel, melyre $y+y^2<x$, azaz $y_1(x)<\xi<y_2(x)$,
ahol $y_2(x)=\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2$, \'es
$y_1(x)=\dfrac{-1-\sqrt{1+4x}}2$, azaz $y_2(x)$ \'es $y_1(x)$ az
$y^2+y-x=0$ egyenlet nagyobb illetve kisebb gy\"oke. Mivel $y_1(x)\le
0$, $y_2(x)\ge0$ minden $x\ge0$ sz\'amra, ez\'ert
$G(x)=P\(y_1(x)<\xi<y_2(x)\)=
P\(\xi<y_2(x)\)=1-e^{-y_2(x)}=1-\exp\left\{
\dfrac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$. Ezzel meghat\'aroztuk a
$\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye ennek
deriv\'altja, azaz $g(x)=0$, ha $x<0$, $g(x)=
\dfrac1{\sqrt{1+4x}}\exp\left\{
\dfrac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Ebben a feladatban
a $\xi\to \, \xi+\xi^2$ lek\'epez\'es inverz\'et
kellett kisz\'am\'{\i}tani, azaz azt, hogy ha $\xi+\xi^2$ egy
f\'elegyenesbe esik, akkor hova esik $\xi$.
A feladatban szerepl\H{o} $\xi$
\'es $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok {\it nem
f\"uggetlenek.}\/ Ez\'ert a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'olra tanultak (pl.\ a konvouluci\'o alkalmazhat\'os\'aga)
nem hasz\-n\'al\-ha\-t\'o a $\xi+\xi^2$ kisz\'am\'{\i}t\'as\'an\'al.
A $\xi+\xi^2$ \"osszeg tagjait egy\"utt kell tekinteni, az \"osszeg
eloszl\'as\'at nem lehet kisz\'am\'{\i}tani ha csak a $\xi$
\'es $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asait
ismerj\"uk, de egy\"uttes eloszl\'asukat nem.
\item{2.} Adva van 100 l\'ampa, amelyek \'elettartama exponenci\'alis
eloszl\'as\'u, $\lambda=\frac1{10}$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel. Ezeket a
l\'amp\'akat egym\'as ut\'an betessz\"uk egy foglalatba, hogy
be\-vi\-l\'a\-g\'{\i}t\-sa\-nak egy termet, \'es kicser\'elj\"uk
\H{o}ket akkor, amikor ki\'egnek vagy 11 \'orai haszn\'alat ut\'an
akkor is, ha m\'eg nem \'egtek ki. Arra vagyunk kiv\'ancsiak, mennyi
ideig vil\'ag\'{\i}tj\'ak be a l\'amp\'ak a termet. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
ennek v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$, $j=1,2,\dots$, azt, hogy
mennyi ideig vil\'ag\'{\i}tja be a termet a $j$-ik k\'ampa. Sz\'amoljuk
ki $\xi_j$ $E\xi_j$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es $\Var \xi_j$
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$$
\align
E\xi_j&=\int_0^{11}\frac x{10} e^{-x/10}\,dx+ 11P(\xi_j=11)=\[-x
e^{-x/10}\]_0^{11}+\int_0^{11} e^{-x/10}\,dx\\
&\qquad +\int_{11}^\infty \frac{11}{10}e^{-x/10}\,dx
=-11e^{-11/10}+10\(1-e^{-11/10}\)+ 11 e^{-11/10}\\
&=10(1-e^{-11/10}),
\endalign
$$
\'es
$$
\align
E\xi^2_j&=\int_0^{11}\frac {x^2}{10} e^{-x/10}\,dx+121P(\xi_j=11)=
\[-x^2 e^{-x/10}\]_0^{11}+\int_0^{11} 2x e^{-x/10}\,dx\\
&\qquad +121 e^{-11/10}=\int_0^{11} 2x e^{-x/10}\,dx=
+\int_0^{11}200e^{-x/10}\,dx \\
&=200\(1-e^{-11/10}\)-22e^{-11/10}.
\endalign
$$
Ez\'ert $\Var \xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2
=100\(1-e^{-11/10}\)-20e^{-11/10}$. Minket az
$S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel.
$ES=100E\xi_1=1000(1-e^{-11/10})$, \'es $\Var S=100\Var
\xi_1=20000\(1-e^{-11/10}\)-2200e^{-11/10}$.
\item{3.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o momentumait, azaz az $E\xi^k$
sz\'amokat, minden $k=1,2,\dots$, sz\'amra. Legyen $\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel. Sz\'a\-mol\-juk
ki az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\eta^k$
momentumait is minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E\xi^k=\dsize\int_{-\infty}^\infty x^k
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx$. Ha $k$ p\'aratlan sz\'am, azaz
$k=2l+1$ alak\'u, ahol $l$ eg\'esz sz\'am, akkor az integrandus
p\'aratlan f\"uggv\'eny akkor $E\xi^{2l-1}=$. Ha $k$ p\'aros sz\'am,
azaz $k=2l$, ahol $l$ eg\'esz sz\'am, akkor parci\'alis
integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2l}&=\int_{-\infty}^\infty
x^{2l}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=
\[x^{2l-1}\cdot(-1)\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty \\
&\qquad+ \int_{-\infty}^\infty (2l-1)
x^{2l-2}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx =(2l-1)E\xi^{2l-2}.
\endalign
$$
Ezt az azonoss\'agot felhaszn\'alva indukci\'oval kapjuk, hogy
$$
E\xi^{2l}=(2l-1)(2l-3)\cdots 3\cdot1.
$$
\item{} Ha $\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma^2$
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel akkor az $\eta=m+\sigma \xi$ alakban
\'{\i}rhat\'o fel, ahol $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o. Ez\'ert
$E\eta^k=E(m+\sigma\xi)^k=\summ_{j=0}^k \dbinom kj
m^{k-j}\sigma^{j}E\xi^j$, ahonnan az $E\xi^j$ kifejez\'esre el\H{o}bb
bizony\'{\i}tott eredm\'eny alapj\'an
$$
E\eta^k=\summ_{j=0}^{[\frac k2]}
\dbinom k{2j} m^{k-2j}\sigma^{2j}(2j-1)(2j-3)\cdots 3\cdot1,
$$
ahol $[x]$ az $x$ sz\'am eg\'esz r\'esz\'et, azaz
a legnagyobb $x$-n\'el kisebb eg\'esz sz\'amot jel\"oli.
\item{4.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk sz\'azszor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a p\'aros dob\'asok \"osszeg\'enek a harmadik
momentum\'at.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le100$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, \'es
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3, vagy 5. Legyen
$S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$. Ekkor minket az $ES^3$ mennyis\'eg
\'erdekel. $ES^3=E\(\summ_{j=1}^{100}\xi_j\)^3$. Tov\'abb\'a,
$E\xi_j=2$, $E\xi_j^2=7$, $E\xi_j^3=48$ minden $1\le j\le100$ sz\'amra,
\'es a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
Ez\'ert
$$
\align
ES^3&=\!\!\!\! \sum\Sb 1\le j,k,l\le 100\\ \text{a $j,k,l$ indexek
k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek}\endSb \!\!\!\!  E\xi_jE\xi_kE\xi_l
+ \!\!\!\!  \sum\Sb 1\le j,k\le 100\\ \text {a $j,k$ indexek
k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek}\endSb \!\!\!\!  E\xi_j^2E\xi_k+\sum_{j=1}^{100
}E\xi_j^3\\
&=100\cdot 99\cdot 98\cdot 2^3+3\cdot100\cdot99\cdot 14+100\cdot 48
=8176200.
\endalign
$$
\medskip
Id\'ezz\"uk fel a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot:
\medskip\noindent
{\bf Rendezett minta definici\'oja.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok valamilyen $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"oggv\'ennyel.
Rendezz\"uk ezeket a (v\'eletlen) sz\'amokat $\xi^*_1\le
\xi^*_2\le\cdots\le \xi^*_n$ monoton n\"ovekv\H{o} sorrendbe. Ekkor a
$\xi^*_1\le \xi^*_2\le\cdots\le \xi^*_n$ sorozatot $n$ elem\H{u} $G(x)$
eloszls\'u rendezett mint\'anak nevezz\"uk.}\medskip
\item{5.} Legyen $\xi^*_1\le \xi^*_2\le\cdots\le \xi^*_n$  $n$
elem\H{u} rendezett mint olyan $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel,
melynek l\'etezik $g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ekkor e
rendezett mint\'anak l\'etezik ($n$-dimenzi\'os) $h(x_1,\dots,x_n)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es $h(x_1,\dots,x_n)=n!\prodd_{k=1}^n
g(x_k)$, ha $x_1\le x_2\le \cdots\le x_n$, \'es
$h(x_1,\dots,x_n)=0$, ha ez a felt\'etel nem teljes\"ul.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $B$ az
$A=\{(x_1,\dots,x_n)\:-\infty< x_1< x_2< \cdots< x_n<\infty\}$
halmaz tetsz\H{o}leges, (m\'erhet\H{o}) r\'eszhalmaza az
$n$-dimenzi\'os t\'erben. Ekkor
$$
P((\xi_1^*,\dots,\xi^*_n)\in B)=n!
P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in B),
$$
mert $P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in B)=
P((\xi_{\pi(1)},\dots,\xi_{\pi(n)})\in B)$ az $\{1,\dots,n\}$
sz\'amok tet\-sz\H{o}\-le\-ges $\pi$ permut\'aci\'oj\'ara, \'es
k\"ul\"onb\"oz\H{o} permut\'aci\'okra diszjunkt esem\'enyeket
te\-kin\-tet\-t\"unk. Innen,
$$
P((\xi_1^*,\dots,\xi^*_n)\in B)=\int_B n!g(x_1)\cdots
g(x_n)\,dx_1\dots, dx_n,
$$
ha $B\subset A$, \'es $P((\xi_1^*,\dots,\xi^*_n)\in B)=0$, ha
$B\cap A=\emptyset$. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{6.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\lambda>0$ param\'eterrel, $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $1\le k\le n$.
Az $\(\dfrac{S_1}{S_n},\dots, \dfrac{S_{n-1}}{S_n}\)$ vektor f\"uggetlen
az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-t\'ol, \'es e
vektor elemei a $[0,1]$ intervallumban f\"uggetlen, egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-b\'ol
\'all\'o rendezett mint\'at alkotnak.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amoljuk ki az
$(S_1,\dots,S_n)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
$$
P(S_1<u_1,\dots,S_n<u_n)=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in B)=\int_B \lambda^n
e^{-\lambda(y_1+\cdots+y_n)}\,dy_1\,\dots\,dy_n,
$$
ahol $B=B(u_1,\dots,u_n)=\{(y_1,\dots,y_n)\:
y_j\ge0,y_1+y_2+\cdots+y_j<u_j,\;j=1,\dots,n\}$.
 
\item{} \'Irjuk \'at a fenti integr\'alt az $x_j=y_1+\cdots+y_j$,
$j=1,2,\dots, n$ transzform\'aci\'oval. E transzform\'aci\'o
invert\'alhat\'o. Jacobi\'anja 1, a $B$ halmazt az $\{0\le x_j<u_j,\;
j=1,\dots,n\}$ halmazba k\'epezi, ez\'ert
$$
P(S_1<u_1,\dots,S_n<u_n)=\int_{\{0\le x_1\le x_2<\cdots\le x_n,\;
x_j<u_j,\; j=1,\dots,n\}} \lambda^n
e^{-\lambda x_n}\,dx_1\,\dots\,dx_n,
$$
ahonnan az $(S_1,\dots,S_n)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x_1,\dots,x_n)=\lambda^n e^{-\lambda x_n}$, ha $0\le x_1\le x_2\le
\cdots\le x_n$, \'es $f(x_1,\dots,x_n)=0$ egy\'ebk\'ent.
$$
\align
&P\(\dfrac {S_1}{S_n}<u_1,\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}<u_{n-1},S_n<x\)\\
&\qquad =P(S_1<S_n u_1,\dots, S_{n-1}<S_nu_{n-1},S_n<x)\\
&\qquad =\int_{\{ 0\le y_j< u_j y_n,\, j=1,\dots,n,\, 0\le y_n<x\}}
f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots dy_n\\
&\qquad =\int_{\{ 0\le y_j< u_j y_n,\, j=1,\dots,n,\, 0\le y_1\le y_2
\le y_n<x\}} \lambda^n e^{-\lambda y_n} \,dy_1\dots \,dy_n.
\endalign
$$
V\'egezz\"uk el az $x_j=y_jy_n$, $j=1,2,\dots,n-1$ \'es $x_n=y_n$
helyettes\'{\i}t\'esket. E transzform\'aci\'o Jacobi\'anja
$x_n^{n-1}$, \'es
$$
\align
&P\(\dfrac {S_1}{S_n}<u_1,\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}<u_{n-1},S_n<x\)\\
&\qquad =\int_{\{ 0\le x_j< u_j,\, j=1,\dots,n,\, 0\le x_n<x\}}
x_n^{n-1}f\(\frac{x_1}{x_n},\dots,\frac{x_{n_1}}{x_n},x_n\)\,dx_1\dots
dx_n. \endalign
$$
Innen a keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $f(x_1,\dots,
x_{n-1},x_n)=\lambda^n e^{-\lambda x_n} x^{n-1}_n$, ha $0\le
x_1\le x_1\le x_{n-1}\le 1$, \'es $x_n\ge 0$, $f(x_1,\dots,x_n)=0$
egy\'ebk\'ent. Ez azt jelenti, hogy $f(x_1,\dots,
x_{n-1},x_n)=h(x_1,\dots,x_{n-1}) g(x_n)$, ahol
$h(x_1,\dots,x_{n-1})=(n-1)!$, ha $0\le x_1\le\cdots\le x_{n-1}$,
$h(x_1,\dots,x_{n-1})=0$, egy\'ebk\'ent,
$g(x_n)=\dfrac{x_n^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda x_n}$, ha $x_n\ge 0$,
$g(x_n)=0$, ha $x_n<0$. Ez azt jelenti, hogy az $\(\dfrac
{S_1}{S_n},\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}\)$ vektor \'es $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, az
$\(\dfrac{S_1}{S_n},\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}\)$
vektor eloszl\'asa megegyezik $n-1$ f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ob\'ol k\'esz\'{\i}tett rendezett minta eloszl\'as\'aval,
az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa pedig,
melynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(y)=
\dfrac{y^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda y}$, ha $y\ge 0$, \'es $g(y)=0$,
ha $y<0$, megegyezik $n$ f\"uggetlen $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\"osszeg\'enek az eloszl\'as\'aval.
 
 
\item{7.} V\'alasszunk a $[0,1]$ intervallumban egy $x$ sz\'amot
v\'eletlen\"ul egyenletes eloszl\'assal, \'es \'{\i}rjuk azt
$x=\summ_{k=1}^\infty \alpha(k)10^{-k}$, $0\le \alpha(k)\le 9$,
alakban, azaz \'{\i}rjuk fel az $x$ sz\'am t\'{\i}zedest\"ort
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at. L\'assuk be, hogy az $\alpha(k)$,
$k=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
f\"uggetlenek, egyforma eloszl\'as\'uak, \'es
$P(\alpha(k)=j)=\dfrac1{10}$, $0\le j\le9$. M\'as\-k\'epp
megfogalmazva: Egy v\'eletlen sz\'am tizedest\"ortj\'enek a jegyei
f\"uggetlen \'es egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Azt kell bel\'atni, hogy tetsz\H{o}leges
$m\ge1$ sz\'amra \'es $j_1,\dots,j_m$, eg\'esz sz\'amokra, $0\le j\le
9$,
$$
P(\alpha(k)=j_k,\; 1\le k\le m)=10^{-m}.
$$
Viszont
$$
\align
&\{x\: x\text{ olyan sz\'am, melynek t\'{\i}zedesjegyeire }
\alpha(k)=j_k, \;1\le k\le  m\}\\
&\qquad=\left\{x\:\sum_{k=1}^m j_k10^{-k}\le x
\le \sum_{k=1}^m j_k10^{-k}+10^{-m}\right\},
\endalign
$$
ez\'ert val\'oban $P(\alpha(k)=j_k,\; 1\le k\le m)=10^{-m}$.
 
\bye
 
 
 
