\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\ee{\bold e}
 
\TagsOnRight
 
\centerline{\bf A h\'arom-dimenzi\'os t\'er "massz\'{\i}v''
halmazainak vizsg\'alata} \bigskip
 
A Markov l\'ancokr\'ol sz\'ol\'o egyik klasszikus eredm\'eny, a
P\'olya t\'etel szerint az Euk\-li\-deszi t\'er k\'et-dimenzi\'os
r\'acs\'an t\"ort\'en\H{o} klasszikus bolyong\'as visszat\'er\H{o},
m\'{\i}g a h\'arom dimenzi\'os r\'acson t\"ort\'en\H{o} bolyong\'as nem
visszat\'er\H{o}. Ez azt jelenti, hogy az orig\'ob\'ol kiindulva a
k\'et dimenzi\'os bolyong\'as egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
valamikor visszat\'er az orig\'oba, m\'{\i}g a h\'arom-dimenzi\'os
bolyong\'as egyn\'el kisebb val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'er vissza.
Be lehet l\'atni, hogy a k\'et illetve h\'arom-dimenzi\'os
bolyong\'asnak ez a tulajdons\'aga ekvivalens azzal, hogy a k\'et
dimenzi\'os bolyong\'as egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen
sokszor visszat\'er az orig\'oba, m\'{\i}g a h\'arom-dimenzi\'os
bolyong\'as egy val\'os\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sokszor t\'er
vissza.
 
Azzal a k\'erd\'essel foglalkozunk, E. B. Dynkin \'es A. A. Yushkevich
{\it Teoremy i zadachi o processzach Markova}\/ (T\'etelek \'es
feladatok Markov folyamatokr\'ol) c\'{\i}m\H{u} k\"onyv\'enek els\H{o}
fejezete alapj\'an, hogy melyek a h\'arom dimenzi\'os r\'acs azon
viszonylag nagy, a szerz\H{o}k \'altal massz\'{\i}vnak nevezett
r\'eszhalmazai, melyekbe a klasszikus bolyong\'as egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel eljut, ak\'armelyik pontb\'ol is indul
az ki. Mi is \'atvessz\"uk ezt a sz\'o\-hasz\-n\'a\-la\-tot, teh\'at
egy $K$ halmazt massz\'{\i}vnak illetve nem massz\'{\i}vnak fogunk
nevezni att\'ol f\"ugg\H{o}en, hogy a bolyong\'as tetsz\H{o}leges
kiindul\'o pont eset\'en ezt a $K$ halmazt egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megl\'atogatja, vagy van olyan kiindul\'o
pont ahonnan kiindulva a $K$ halmaz meg\-l\'a\-to\-ga\-t\'a\-s\'a\-nak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege kisebb mint egy. Be lehet l\'atni, \'es
a bizony\'{\i}t\'ast meg is adjuk az eml\'{\i}tett k\"onyv alapj\'an,
hogy egy tetsz\H{o}leges pontb\'ol kiindul\'o bo\-lyon\-g\'as egy
massz\'{\i}v halmazt v\'egtelen sokszor megl\'atogat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, m\'{\i}g egy nem massz\'{\i}v halmazt
b\'armely pontb\'ol is indulva ki egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
csak v\'eges sokszor l\'atogat meg. Jegyezz\"uk meg, hogy ez az
eredm\'eny nem k\"ovetkezm\'enye a Markov l\'ancok elm\'elet\'eben
bebizony\'{\i}tott \'altal\'anos eredm\'enyeknek.
 
Mivel a bizony\'{\i}t\'asok r\'eszletesen \'es vil\'agosan meg vannak
adva a k\"onyvben, ezeket nem \'{\i}rom le ebben az ismertet\'esben.
Amit \'erdemesnek tartok le\'{\i}rni, az ennek a
k\'er\-d\'es\-k\"or\-nek kapcsolata a harmonikus f\"uggv\'enyek
elm\'elet\'evel \'es a Laplace oper\'atorral, pontosabban annak egy
diszkr\'et v\'altozat\'aval.
 
Tekints\"unk egy el\H{o}\'{\i}rt pontb\'ol indul\'o bolyong\'ast a
h\'arom dimenzi\'os r\'acson, azaz legyen $H=H^3$ a h\'arom dimenzi\'os
r\'acs, az eg\'esz koordin\'at\'akb\'ol \'al\'o $k=(k_1,k_2,k_3)$
pontok halmaza, $\ee_1=(1,0,0)$, $\ee_2=(0,1,0)$, $\ee_3=(0,0,1)$ a
r\'acs egy\-s\'eg\-vek\-to\-rai az $x$ pontb\'ol kiindul\'o bolyong\'as
pedig $X_k$, $k=0,1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
olyan sorozata, melyre $P(X_0=x)=1$, \'es az $X_{k+1}-X_k$,
$k=0,1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
$P(X_{k+1}-X_k=\pm\ee_j)=\frac16$ minden $k=0,1,2,\dots$, \'es $j=1$
vagy $j=2$ vagy $j=3$ sz\'amra. Az el\H{o}bb defini\'alt $X_k$,
$k=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
tekinthet\H{o} \'ugy is mint egy speci\'alis (homog\'en) Markov
l\'anc. Vezess\"uk be a $p(x,y)=P(X_1=y|X_0=x)$ \'es
$p_k(x,y)=P(X_k=y|X_0=x)$, $x\in H$, $y\in H$, $k=0,1,\dots$,
f\"uggv\'enyeket. Speci\'alisan, legyen $p_0(x,y)=0$, ha $x\neq y$,
\'es $p_0(x,x)=1$ az $k=0$ esetben. Ezek a f\"uggv\'enyek a tekintett
Markov l\'anc egy l\'ep\'eses illetve $k$ l\'ep\'eses \'atmenet
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg f\"uggv\'enyei. Az al\'abb defini\'alt
fogalmak szint\'en tekinthet\H{o}ek \'ugy, mint a Markov l\'ancok
elm\'elet\'eben haszn\'alt definici\'ok bevezet\'esei a most tekintett
speci\'alis esetben.
 
Tekints\"uk a $H$ r\'acson \'ertelmezett
(val\'os \'ert\'ek\H{u}) f\"uggv\'enyek $\Cal H$ ter\'et, jel\"olje
$I$ az identit\'as  oper\'atort a $\Cal H$ t\'eren valamint
defini\'aljuk a $P$
$$
Pf(x)=\frac16\sum_{j=1}^3\sum_{\e_l=\pm1} f(x+\e_l\ee_j)=\sum_y
p(x,y)f(y), \quad x\in H,  \tag1
$$
\'es $A=P-I$ oper\'atorokat a $\Cal H$ t\'eren. Nevezz\"unk egy a
$H$ r\'acson \'ertelmezett f\"uggv\'enyt harmonikusnak, ha $Af(x)=0$
minden $x\in H$-ra, \'es excesszivnek, ha $f(x)\ge Pf(x)$,
azaz $Af(x)\le0$ \'es $f(x)\ge0$ minden $x\in H$ r\'acspontra.
 
A fent defini\'alt oper\'atoroknak, valamint a harmonikus \'es
excessziv f\"uggv\'enyeknek fontos szerep\"uk van a massz\'{\i}v
halmazok vizsg\'alat\'aban. Ezek a  fogalmak a parci\'alis
differenci\'alegyenletek elm\'elet\'eben fontos szerepet
j\'atsz\'o Laplace oper\'ator valamint a harmonikus \'es excessz\'{\i}v
f\"uggv\'enyek term\'eszetes analogonjai. Va\-l\'o\-ban, az el\H{o}bb
be\-ve\-ze\-tett $A$ oper\'ator a $k$-dimenzi\'os Euklideszi t\'erben
defini\'alt $\frac12\Delta$ oper\'ator
disz\-kre\-ti\-z\'alt\-j\'a\-nak tekinthet\H{o}, ahol
$\Delta=\summ_{j=1}^k\dfrac{\partial^2}{\partial x^2_j}$.
A parci\'alis differenci\'alegyenletek el\-m\'e\-le\-t\'e\-ben egy
$f$ f\"ugg\-v\'enyt harmonikusnak neveznek, ha $\Delta f(x)\equiv0$,
\'es excessz\'{\i}vnek, ha $\Delta f(x)\le0$ \'es $f(x)\ge0$ minden
$x$ argumentumra. A massz\'{\i}v halmazok vizsg\'alat\'aban
bizony\'{\i}tand\'o \'es fontos szerepet j\'atsz\'o eredm\'enyek
a parci\'alis differenci\'alegyenletek elm\'elet\'eben
bizony\'{\i}tott alapvet\H{o} eredm\'enyek diszkr\'et megfelel\H{o}i.
\'Erdemes ezt a kap\-cso\-la\-tot r\'eszletesebben t\'argyalni.
 
A $k$-dimenzi\'os Euklideszi t\'erben harmonikus \'es korl\'atos
f\"uggv\'enyek konstansok. S\H{o}t ennek az \'all\'{\i}t\'asnak egy
\'elesebb form\'aja is igaz. Ha egy harmonikus f\"uggv\'eny alulr\'ol
korl\'atos, akkor konstans. Legyen adva egy $h(x)$ f\"uggv\'eny a
$k$-dimenzi\'os t\'erben, \'es te\-kint\-s\"uk a $\frac12\Delta
f(x)=-h$ parci\'alis differenci\'alegyenletet. E feladat
megold\'as\'aban kulcs\-sze\-re\-pet j\'atszanak az al\'abbi $g_0(x,y)$
f\"uggv\'enyek.
$$
\aligned
g_0(x,y)&=\log |x-y|, \quad \text{ha a t\'er dimenzi\'oja } k=2 \\
g_0(x,y)&=\frac1{|x-y|^{k-2}}, \quad \text{ha a t\'er dimenzi\'oja }
k\ge3,
\endaligned \tag2
$$
ahol $|u|=\(\summ_{j=1}^ku^2_j\)^{1/2}$ egy $u$ vektor hossz\'at
jel\"oli. Vegy\"uk \'eszre, hogy a (2) formul\'aban defini\'alt
$g_0(x,y)$ f\"uggv\'eny majdnem harmonikus a k\"ovetkez\H{o}
\'ertelemben. R\"ogz\'{\i}tve az $y$ koordin\'at\'at teljes\"ul
a $\Delta g_0(x,y)=0$ azonoss\'ag az $x=y$ pontot kiv\'eve minden
pontban. (Az $x=y$ pontban viszont a $g_0(x,y)$ f\"uggv\'enynek
szakad\'asa van. Alkalmas fogalomrendszer ki\'ep\'{\i}t\'es\'evel
azt lehet \'all\'{\i}tani, hogy a $\Delta g_0$ f\"uggv\'eny
\'ert\'eke ebben a pontban  az \'ugynevezett $\delta(x)$ Dirac
f\'ele delta f\"uggv\'eny konstansszorosa.)
 
Ha adott egy $h(x)$ f\"uggv\'eny, akkor a $\frac12\Delta u(x)=-h(x)$
f\"uggv\'eny megold\'asa
$$
u(x)=G_0(h(x)=C_k\int g_0(x-y)h(y)\,dy             \tag3
$$
alak\'u, ahol a $C_k>0$ konstans csak a t\'er $k$ dimenzi\'oj\'at\'ol
f\"ugg. Tov\'abb\'a egy tetsz\H{o}leges $f(\cdot)$ excessziv
f\"uggv\'eny el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
$$
f(x)=G_0(h(x)+\const=C_k\int g_0(x-y)h(y)\,dy+\const \tag4
$$
alakban, ahol $h(x)=-\frac12\Delta f(x)\ge0$. A (4) k\'epletben
ugyanis a $\frac12\Delta u(x)=-h(x)$ egyenlet (egyik) megold\'as\'at
\'{\i}rtam fel. Val\'oj\'aban a fenti eredm\'enyeket kiss\'e
pongyol\'an fogalmaztam meg. Egy pontos megfogalmaz\'asban
tiszt\'azni kellett volna, hogy milyen f\"uggv\'enyt\'erben
kerest\"uk a megold\'ast. S\H{o}t, \'erdemes lett volna a Laplace
oper\'ator definici\'oj\'at is r\'eszletesebben t\'argyalni. Hasznos
lett volna azt olyan f\"uggv\'enyekre is kiterjeszteni, melyek nem
felt\'etlen\"ul differenci\'alhat\'oak. Ilyen vizs\-g\'a\-la\-tok
vezettek bizonyos \'altal\'anos\'{\i}tott f\"uggv\'enyek, az
\'ugynevezett disztribuci\'ok bevezet\'es\'ehez. Meg\-jegy\-zem,
hogy a Laplace egyenlet megold\'asa nem egy\'ertelm\H{u}.
Amennyiben egy $u(\cdot)$ f\"uggv\'eny megold\'asa a $\frac12 \Delta
u(x)=-f(x)$ egyenletnek, akkor az $u(x)+\const$ f\"uggv\'eny
tetsz\H{o}leges konstanssal szint\'en megold\'asa ennek az
egyenletnek. Az egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-s\'e\-get gyakran egy
\'uj felt\'etel bevezet\'es\'evel biztos\'{\i}tj\'ak. Nevezetesen
megk\"ovetelik, hogy a megold\'as a v\'eg\-te\-len\-ben tartson
null\'ahoz.
 
Tekints\"uk a fenti eredm\'enyek megfelel\H{o}it a probl\'ema
diszkr\'et v\'altozat\'ara, amikor a $k$-dimenzi\'os Euklideszi
t\'er helyett a h\'arom dimenzi\'os r\'acson \'ertelmezett
f\"uggv\'enyeket tekintj\"uk, \'es a Laplace oper\'atort annak
diszkr\'et megfelel\H{o}j\'evel az $A=P-I$ oper\'atorral
helyettes\'{\i}tj\"uk.
Ekkor is igaz, hogy tetsz\H{o}leges korl\'atos vagy \'altal\'anosabban
alulr\'ol kor\-l\'a\-tos harmonikus f\"uggv\'eny konstans. Az
$Au(x)=-f(x)$, $x\in H$, egyenletnek fel\'{\i}rhat\'o a (3)
formul\'ahoz hasonl\'o megold\'asa, de ebben a (2) formul\'aban
bevezetett $g_0(x,y)$ f\"uggv\'enyek  szerep\'et az al\'abbi
$g(x,y)$ f\"uggv\'enyek veszik \'at:
$$
g(x,y)=\summ_{k=0}^\infty p_n(x,y), \quad x,y\in H, \tag$2'$
$$
ahol $p_n(x,y)=P(X_n=y|X_0=x)$, a Markov l\'anc $n$ l\'ep\'eses
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi \'at\-me\-net f\"ugg\-v\'e\-nye.
Jegyezz\"uk meg, hogy  r\"ogz\'{\i}tett $y$-ra a $g(x,y)$
f\"uggveny teljes\'{\i}ti az $Ag(x,y)=0$ egyenletet minden $x\in
H\setminus\{y\}$ pontban. A $(2')$ formul\'aban szerepl\H{o}
\"osszeg konvergens. Ez azzal a t\'ennyel f\"ugg \"ossze, hogy a
h\'arom dimenzi\'os bolyong\'as nem visszat\'er\H{o}. A $g(x,y)$
f\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $Au(x)=-h(x)$ egyenlet
megold\'asa
$$
u(x)=Gh(x)=\sum_{y\in H} g(x,y) h(y) \tag$3'$
$$
alakban \'{\i}rhat\'o fel. Egy $f(x)$ excessz\'{\i}v f\"uggv\'eny
$$
f(x)=Gh(x)+\const=\summ_{y\in H} g(x,y) h(y)+\const
$$
alakban \'{\i}rhat\'o fel, ahol $h(x)=-Af(x)\ge0$.
 
A (2) formul\'aban defini\'alt $g(x,y)$ egy tov\'abbi fontos
tulajdons\'aga az, hogy r\"og\-z\'{\i}\-tett $y\in H$  sz\'amra
$g(x,y)\sim\const \dfrac1{|x-y|}$, ha $x\to\infty$, azaz
$\limm_{|x|\to\infty}|x-y|g(x,y)=\const>0$. Ez azt jelenti, hogy a
(2) formul\'aban defini\'alt $g_0(x,y)$ a $k=3$ h\'arom dimenzi\'os
esetben hasonl\'oan viselkedik a v\'egtelenben a $g(x,y)$
f\"uggv\'enyhez. Ennek a hasonl\'os\'agnak m\'elyebb oka van, amit
\'erdemes meg\'erteni.
 
A Laplace oper\'ator vizsg\'alat\'aban \'erdemes azt tekinteni,
hogyan hat a Laplace oper\'ator egy f\"uggv\'eny Fourier
transzform\'altj\'ara. Adva egy $f(x)$ f\"uggv\'eny a $k$-dimenzi\'os
Euklideszi t\'erben, tekints\"uk annak Fourier transzform\'altj\'at,
az $\tilde f(t)=\int e^{i(t,x)} f(x)\,dx$ f\"uggv\'enyt, ahol
$(t,x)=\summ_{j=1}^k t_jx_j$ a $t=(t_1,\dots,t_k)$ \'es
$x=(x_1,\dots,x_k)$ vektor ska\-l\'ar\-szor\-za\-t\'at jel\"oli. Be
lehet l\'atni, hogy ekkor $\widetilde{\Delta f}(t)=
-\(\summ_{j=1}^kt_j^2\)\tilde f(t)$. Ennek alapj\'an a $\Delta
u(x)=h(x)$ egyenlet a Fourier transzform\'altak ter\'eben
$|t|^2\tilde u(t)=-\tilde h(t)$, $|t|^2=\(\summ_{j=1}^kt_j^2\)$,
alakban \'{\i}rhat\'o fel. A (2) \'es (3) formula tulajdonk\'eppen
ennek az egyenletnek a megold\'as\'ab\'ol kaphat\'o meg az inverz
Fourier transzform\'alt seg\'{\i}ts\'eg\'evel (a Parseval formula
felhaszn\'al\'as\'aval). A (2) formul\'aban defini\'alt $g_0(x,y)$
f\"uggv\'eny ennek az \'ervel\'esnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'ugy
jelenik meg mint a $|t|^{-2}$ f\"uggv\'eny Fourier
transzform\'altj\'anak az eltoltja.
 
Val\'oj\'aban a fenti \'ervel\'es kiss\'e pongyola volt. Kiss\'e
szabadon b\'antam a Fourier transzform\'alt fogalm\'aval, nem
vettem figyelembe, hogy klasszikus \'ertelemben vett Fou\-rier
transzform\'altja csak az integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyeknek van.
(N\'emi plusz munk\'aval a  n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
f\"uggv\'enyek Fourier transzform\'altjai is defini\'alhat\'oak.)
Viszont kidolgozva a disztribuci\'ok elm\'elet\'et a fenti
\'ervel\'es precizen elmondhat\'o. Ha a Laplace oper\'ator diszkr\'et
v\'altozat\'at tekintj\"uk a $H$ t\'eren \'ertelmezett f\"uggv\'enyek
ter\'eben, akkor a fenti \'ervel\'es analogonja elmondhat\'o, \'es az
eml\'{\i}tett technikai neh\'ezs\'egek nem l\'epnek fel. Ebben az
esetben a Fourier transzform\'altakkal val\'o sz\'amol\'as
f\"uggv\'nyek Fourier sor\'anak vizsg\'alat\'at jelenti.
 
Tekints\"uk a $(2')$ formul\'aban defini\'alt $g(x,y)$ f\"uggv\'enyt
a $H\times H$ r\'acson. Ez $g(x,y)=\bar g(x-y)$ alakban \'{\i}rhat\'o.
Defini\'aljuk a
$$
\tilde g(t_1,t_2,t_3)=\summ_{(k_1,k_2,k_3)\in H}
e^{i(k_1t_1+k_2t_2+k_3t_3)}\bar g(k_1,k_2,k_3)
$$
Fourier sort, \'es fejezz\"uk ki azt z\'art alakban. Ennek
\'erdek\'eben defini\'aljuk el\H{o}sz\"or a $\bar p(u)=p(x,x+u)$
\'es $\bar p_n(u)=p_n(x,x+u)$, $n=1,2,\dots$, $u\in H$,
f\"uggv\'enyeket \'es a
$$
\align
\tilde p(t_1,t_2,t_3)&=\summ e^{i(k_1t_1+k_2t_2+k_3t_3)}
\bar p(k_1,k_2,k_3)\\
\tilde p_n(t_1,t_2,t_3)&=\summ e^{i(k_1t_1+k_2t_2+k_3t_3)}\bar
p_n(k_1,k_2,k_3)
\endalign
$$
Fourier sorokat, \'es \'{\i}rjuk azokat jobban haszn\'alhat\'o
form\'aban. Mivel $\tilde p(t_1,t_2,t_3)$ egy $X_1$, $\tilde
p_n(t_1,t_2,t_3)$ egy $X_1+\cdots+X_n$ v\'eletlen \"osszeg
karakterisztikus f\"uggv\'enye, ahol $X_1,\dots,X_n$ f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(X_1=\pm\ee_j)=\frac16$, $j=1,2,3$, ez\'ert
$$
\tilde p(t_1,t_2,t_3)=\frac16\summ_{j=1}^3\(e^{it_j}+e^{-it_j}\),
\qquad \tilde p_n(t_1,t_2,t_3)=\tilde p(t_1,t_2,t_3)^n, \tag5
$$
ahonnan
$$
\tilde g(t_1,t_2,t_3)=\summ_{n=0}^\infty \tilde p^n(t_1,t_2,t_3)
=\frac1{1-\tilde p^n(t_1,t_2,t_3)}. \tag5a
$$
Egy f\"uggv\'eny Fourier sor\'anak Fourier egy\"utthat\'oit megad\'o
formula alapj\'an
$$
\align
g(x,y)=\bar g(x-y)&=\frac1{(2\pi)^3}\int_{[-\pi,\pi)^3} \!\!\!\!
e^{-i((x_1-y_1)t_1+(x_2-y_2)t_2+(x_3-y_3)t_3)} \tilde
g(t_1,t_2,t_3)\,dt_1\,dt_2\,dt_3\\
&=\frac1{(2\pi)^3}\int_{[-\pi,\pi)^3}\frac{ e^{-i((x_1-y_1)t_1
+(x_2-y_2)t_2+(x_3-y_3)t_3)}}{1-\tilde
p(t_1,t_2,t_3)}\,dt_1\,dt_2\,dt_3
\endalign
$$
 
A fentiek alapj\'an a $g(x,y)=\bar g(x-y)$ fel\'{\i}rhat\'o mint a
(5) \'es (5a) k\'epletek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
defini\'alhat\'o $\tilde g(t_1,t_2,t_3)=\dfrac1{1-\tilde
p(t_1,t_2,t_3)}$ f\"uggv\'eny (inverz) Fourier transzform\'altja.
Ennek viselked\'es\'ere vagyunk kiv\'ancsiak a v\'egtelenben.
Viszont ismeretes a Fourier transzform\'altak elm\'elet\'eb\H{o}l,
hogy egy f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altj\'anak a
viselked\'es\'et a v\'egtelenben a f\"uggv\'eny szingularit\'asai
hat\'arozz\'ak meg. A $\tilde g(t_1,t_2,t_3)$ f\"uggv\'eny egyetlen
szingularit\'asa az orig\'oban van. Mint azt Taylor-sor fejt\'es
mutatja, $\tilde g(t)\sim |t|^{-2}$., ha $t\to0$. Ennek a t\'enynek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet l\'atni, hogy $g(x,y)=\bar g(x-y)\sim
|y-x|^{-1}$. \'Erdemesnek tartom megjegyezni, hogy a $g(x,y)$ \'es
$g_0(x,y)$ f\"uggv\'enyek hasonl\'o viselked\'es\'enek h\'atter\'eben
az a t\'eny \'all, hogy e f\"uggv\'enyek Fourier transzform\'altjai
hasonl\'oan viselkednek az orig\'oban, ahol szingularit\'asuk van.
 
A Laplace oper\'atornak fontos szerepe van a fizik\'aban az
elektromoss\'agtanban is. A tov\'abbiakban az egyszer\H{u}s\'eg
kedv\'e\'ert tekints\"uk csak a $k=3$ dimenzi\'os teret. Ha
elhelyez\"unk elektromos t\"olt\'eseket a t\'erben, akkor azok
l\'etrhoznak egy er\H{o}teret. Ha a t\"olt\'eselhelyez\'es
s\H{u}r\H{u}s\'ege $h(x)$, azaz egy $B$ tartom\'anyba es\H{o}
t\"olt\'es $\int _B h(u)\,du$, akkor egy $x$ pontbeli potenci\'al
$u(x)$ \'ert\'eke a $\frac12\Delta u(x)=-h(x)$ vagy az ezzel
ekvivalens $u(x)=G_0h(x)$ egyenlet megold\'asa. Ez azt jelenti, hogy
az $x$ pontb\'ol az $y$ pontba val\'o elmozdul\'ashoz a t\"olt\'esek
\'altal l\'etrehozott er\H{o}t\'erben $u(y)-u(x)$ munka
sz\"uks\'eges. Azt a norm\'al\'ast alkalmazzuk, mely szerint a
potenci\'al \'ert\'eke a v\'egtelenben nulla. Az eletromoss\'agtan
fontos k\'erd\'ese az, hogy amennyiben t\"olt\'esek ker\"ulnek egy
vezet\H{o}re, amelyik a t\'er bizonyos $B$ tartom\'any\'at t\"olti
ki, akkor hogyan fognak ezek a t\"olt\'esek eloszlani az
egyens\'ulyi \'allapotban, \'es milyen er\H{o}teret hoznak l\'etre.
Ennek a k\'erd\'esnek a vizsg\'alata vezetett az
elektromoss\'agtanban a kapacit\'as fogalm\'anak bevezet\'es\'ehez.
 
Mint a fizika sok probl\'em\'aj\'aban a fenti k\'erd\'esre adott
v\'alasz megfogalmazhat\'o egy maximumelv seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Be
lehet l\'atni a k\"ovetkez\H{o} t\'enyt. Ha \'ugy akarunk elhelyezni
bizonyos mennyis\'eg\H{u} t\"olt\'est egy $B$ tartom\'anyban, hogy
az \'{\i}gy megval\'os\'{\i}tott er\H{o}t\'erben a potenci\'al
\'ert\'eke minden pontban legyen kisebb mint 1, akkor l\'etezik egy
olyan t\"olt\'eseloszl\'as, mely szerint a potenci\'al minden pontban
maxim\'alis ezen mell\'ek\-fel\-t\'e\-tel mellett. A $B$ tartom\'anyban
ily m\'odon elhelyezhet\H{o} t\"olt\'est h\'{\i}vj\'ak a $B$ tartom\'any
kapacit\'as\'anak. Ha bizonyos mennyis\'eg\H{u} t\"olt\'est
elhelyez\"unk egy $B$ alak\'u tartom\'anyt kit\"olt\H{o} vezet\H{o}re,
akkor az egyens\'uly \'allapot, amelyik megval\'osul megegyezik ennek
a t\"omegeloszl\'as konstansszoros\'aval. Ismeretes tov\'abb\'a az is,
hogy a t\"olt\'esek az egyens\'ulyi \'allapot eloszl\'asa olyan, hogy
a t\"olt\'esek a tartom\'any sz\'el\'ere ker\"ulnek, \'es a
t\'erer\H{o}ss\'eg a tartom\'any belsej\'eben nulla. Ez egyben
azt is jelenti, hogy a potenci\'al \'ert\'eke a tartom\'any
belsej\'eben konstans, \'es a potenci\'al a tartom\'any belsej\'eben
a legnagyobb. Ennek az egyens\'ulyi \'allapotnak van egy m\'asik
sz\'els\H{o}\'ert\'ek tulajdons\'aga is. Be lehet l\'atni, hogy ha
\'ugy akarunk elhelyezni t\"olt\'eseket elhelyezni egy $B$ alak\'u
vezet\H{o}ben, hogy a potenci\'al semmelyik pontban  sem legyen
nagyobb mint 1, akkor nem tudunk t\"obb t\"olt\'est elhelyezni,
mint a $B$ halmaz kapacit\'asa. Ez azt jelenti, hogy ha a potenci\'alnak
az eg\'esz t\'erben felvett \'ert\'ekeit tekintj\"uk, \'es ennek
maximum\'at akarjuk minimaliz\'alni \'ugy, hogy el\H{o}\'{\i}rt
mennyis\'eg\H{u} t\"olt\'est helyez\"unk el egy $B$ tartom\'anyon \'es
az \'altaluk l\'etrehozott er\H{o}teret vizsg\'aljuk,
akkor az egyens\'ulyi \'allapot adja meg az optim\'alis elhelyez\'est.
 
Az el\H{o}z\H{o} bekezd\'esben megfogalmazott t\'enyekre nem lesz
k\"ozvetlen\"ul sz\"uks\'eg\"unk. Az ink\'abb csak arra szolg\'al,
hogy meg\'erts\"uk, milyen eredm\'enyeket v\'arhatunk, ha az
el\H{o}z\H{o} fogalmak diszkr\'et megfelel\H{o}j\'et tekintj\"uk,
amikor a Laplace oper\'atort a h\'arom dimenzi\'os r\'acson
defini\'alt $A=P-I$ oper\'atorral helyettes\'{\i}tj\"uk. Az el\H{o}bb
megfogalmazott, az elektromoss\'agtanben megjelen\H{o} eredm\'enyeknek
term\'eszetes megfelel\H{o}i \'erv\'enyben maradnak az eml\'{\i}tett
diszkr\'et modellben, s\H{o}t a bizony\'{\i}t\'asok k\"onnyebben
\'erthet\H{o}ek. Ezenk\'{\i}v\"ul a kapacit\'as fogalm\'anak \'erdekes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi tartalma van, \'es az
seg\'{\i}t annak a k\'erd\'esnek a vizsg\'alat\'aban, hogy melyek a
h\'arom dimenzi\'os t\'er r\'acs\'anak massz\'{\i}v r\'eszhalmazai.
 
Adva a h\'arom-dimenzi\'os t\'er eg\'esz koordin\'at\'aj\'u $H$
r\'acs\'anak egy $B\subset H$ r\'esz\-hal\-maza vezess\"uk be a
$$
\pi_B(x)=P(\text{az $x$ pontb\'ol kiindul\'o bolyong\'as el\'eri a
$B$ halmazt}), \quad x\in H \tag6
$$
f\"uggv\'enyt. A (6) formul\'aban defini\'alt $\pi_B(\cdot)$
f\"uggv\'eny excessziv. Ha a $B$ halmaz massz\'{\i}v. akkor
$\pi_B(x)=1$ minden $x\in H$ pontban, ha pedig a $B$ halmaz nem
massz\'{\i}v, akkor az excessziv f\"uggv\'enyek \'altal\'anos
tulajdons\'againak felhaszn\'al\'as\'aval bel\'athat\'o,
hogy $\pi_B(x)=G\varphi_B(x)$ alakban \'{\i}rhat\'o, ahol
$$
\varphi_B(x)=-A\pi_B(x)=\pi_B(x)-P\pi_B(x)\ge0\quad \text{ minden
$x\in H$ pontban,} \tag7
$$
\'es a $P$ oper\'atort az (1) a $G$ oper\'atort pedig a $(3')$
formul\'aban defini\'altuk.
 
Tekints\"uk egy $B$ tartom\'anyban elhelyezett t\"olt\'esek
egyens\'ulyi \'allapot\'at. A fent defini\'alt $\pi_B(x)$ szoros
kapcsolatban van az ezen egyens\'ulyi \'allapot \'altal meghat\'arozott
er\H{o}t\'er potenci\'alj\'aval, $\varphi_B(x)$ pedig az egyens\'ulyi
\'allapot eloszl\'as\'aval. Le\'{\i}rjuk az ezen t\'enyt le\'{\i}r\'o
eredm\'enyeket. Ezek r\'eszletes bizony\'{\i}t\'asa
megtal\'alhat\'o a Dynkin--Yush\-ke\-vich k\"onyvben, \'es az fontos
szerepet j\'atszik a massz\'{\i}v halmazok le\'{\i}r\'as\'aban.
 
Jel\"olje $\Cal K_B$ azon a $H$ r\'acson \'ertelmezett $\varphi(x)$,
$x\in H$, f\"uggv\'enyek oszt\'aly\'at, me\-lyek\-re, $\varphi(x)\ge0$
minden $x\in H$ \'es $\varphi(x)=0$ minden $x\in H\setminus B$
pontban, tov\'abb\'a, $G\varphi(x)\le1$, $x\in H$. Legyen $B$ egy
nem massz\'{\i}v halmaz. Ekkor a (7) formul\'aban defini\'alt
$\varphi_B(\cdot)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a $\varphi_B\in \Cal
K_B$ tulajdons\'agot. Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anek
legnehezebb r\'esze a $G\varphi_B(x)=\pi_B(x)\le1$ azonoss\'ag
igazol\'asa. A $\varphi_B(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti tov\'abb\'a
a $G\varphi(x)\le G\varphi_B(x)$ egyenl\H{o}tlens\'eget minden
$\varphi\in\Cal K_B$ f\"uggv\'enyre \'es $x\in H$ pontra. Ez azt
jelenti, hogy a $\varphi_B(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}t egy olyan
tulajdons\'agot, mely term\'eszetes megfelel\H{o}je az
elektromoss\'agtanban a $B$ halmazon kialakul\'o egyens\'ulyi
\'allapotnak.
 
Az el\H{o}bb eml\'{\i}tett eredm\'enyek alapj\'an \'erdemes bevezetni
a k\"ovetkez\H{o} fogalmakat: Adva egy  nem massz\'{\i}v $B$ halmaz
tekints\"uk a (7) formul\'aban defini\'alt $\varphi_B(x)$
f\"uggv\'enyt. Nevezz\"uk ezt a $\varphi_B(x)$, $x\in
H$ halmazt egyens\'alyi \'allapotnak \'es legyen
$$
C(B)=\summ_{x\in B}\varphi_B(x)
$$
a $B$ halmaz kapacit\'asa. Teljes\"ul a kapacit\'asnak a folytonos
esetben eml\'{\i}tett tulajdons\'againak a k\"ovetkez\H{o}
megfelel\H{o}je is:
$$
\summ_{x\in B}\varphi(x)\le\summ_{x\in B}\varphi_B(x)\quad\text
{minden } \varphi\in \Cal K_B \text{ f\"uggv\'enyre.}
$$
A (6) formul\'aban defini\'alt $\pi_B(x)=G\varphi_B(x)$ f\"uggv\'eny
felel meg a folytonos esetben az egyens\'ulyi \'allapot \'altal
defini\'alt er\H{o}t\'er potenci\'al f\"uggv\'eny\'enek. Ennek a
f\"uggv\'enynek szeml\'eletes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalma
van. \'es ez teszi lehet\H{o}v\'e a massz\'{\i}v \'es nem massz\'{\i}v
halmazok jellemz\'es\'et. Jegyezz\"uk meg, hogy a $H$ minden v\'eges
halmaza nem massz\'{\i}v. A Dynkin--Yushkevich k\"onyv alapj\'an
ismertetni fogom a k\"ovetkez\H{o} Wiener--t\'etelnek h\'{\i}vott
eredm\'enyt. \medskip\noindent
{\bf Wiener t\'etele a massz\'{\i}v halmazok jellemz\'es\'er\H{o}l.}
{\it Legyen $B$ a h\'arom dimenzi\'os t\'er $H$ r\'acs\'anak egy
r\'eszhalmaza, \'es defini\'aljuk a $B$ halmaz
$$
B_k=\{x\:x\in B,\; 2^{k-1}\le |x|<2^k\}\quad k=1,2,\dots, \tag8
$$
r\'eszhalmazait. A $B$ halmaz akkor \'es csak akkor nem massz\'{\i}v,
ha
$$
\sum_{k=1}^\infty \frac{C(B_k)}{2^k}<\infty, \tag9
$$
ahol $C(B_k)$ a $B_k$ halmaz kapacit\'asa.}
\medskip
Ebben az ismertet\'esben csak r\"oviden ismertetem a bizony\'{\i}t\'as
n\'eh\'any gondolat\'at. A bizony\'{\i}t\'as alapgondolata az, hogy
j\'o fels\H{o} \'es als\'o becsl\'est kell adnunk annak $\pi_{B_k}(0)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy egy az orig\'ob\'ol kiindul\'o
bolyong\'as megl\'atogatja a $B_k$ halmazt. A becsl\'es sor\'an
felhaszn\'aljuk, hogy $\pi_{B_k}(0)=G\varphi_{B_k}(0)$, \'es a $G$
oper\'atort defini\'al\'o \"osszeg $g(x,y)$ magf\"uggv\'enye
teljes\'{\i}ti a $g(0,y)\sim \const |y|^{-1}$ rel\'aci\'ot. Ennek a
gondolatnak a kifejt\'ese \'es n\'eh\'any egyszer\H{u} \'eszrev\'etel
adja azt, hogy amennyiben a (9) formul\'aban szerepl\H{o} \"osszeg
konvergens, akkor a $B$ halmaz nem massz\'{\i}v. A t\'etel m\'asik
fel\'enek bizony\'{\i}t\'asa kiss\'e bonyolultabb \'ervel\'est
ig\'enyel. Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a bizony\'{\i}t\'asa sor\'an
egy k\"ovetkez\H{o} jelleg\H{u} becsl\'est bizony\'{\i}tanak. Tudjuk,
hogy az orig\'ob\'ol kiindul\'o bolyong\'as egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ak\'armilyen messze ell\'atogat.
Tekints\"unk egy $y_1<2^{k-1}<2^k\ll y_2$ sz\'amokat. Legyen $\tau_1$
az els\H{o} (v\'eletlen) id\H{o}pont, amikor a bo\-lyon\-g\'as $y_1$
t\'avols\'agra t\'avolodik az orig\'ot\'ol, $\tau_2$ az els\H{o}
(v\'eletlen) id\H{o}pont, amikor a bo\-lyon\-g\'as $y_2$ t\'avols\'agra
jut az orig\'ot\'ol. Be lehet l\'atni, hogy az $y_1$ \'es $y_2$
sz\'amok al\-kal\-mas r\"ogz\'{\i}t\'ese eset\'en
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a bo\-lyon\-g\'as a
$[\tau_1,\tau_2]$ id\H{o}intervallumban megl\'atogatja a $B_k$
halmazt ugyanolyan nagys\'agrend\H{u} mint annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a bo\-lyon\-g\'as megl\'atogatja
valamikor a $B_k$ halmazt. S\H{o}t, az is igaz, hogy annak
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a bo\-lyon\-g\'as a
$[\tau_1,\tau_2]$ id\H{o}intervallumban megl\'atogatja a $B_k$
halmazt felt\'eve a $\tau_1$ id\H{o}pontot \'es a bo\-lyon\-g\'as
$X(\tau_1)$ \'ert\'ek\'et a $\tau_1$ id\H{o}pontban nagyobb
mint egy univerz\'alis konstans szorozva annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy a bo\-lyon\-g\'as valamikor
megl\'atogatja a $B_k$ halmazt. Ez igaz a felt\'etel b\'armely
lehets\'eges \'ert\'eke eset\'en.
 
Megpr\'ob\'alhatjuk a fent kimondott t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel
vizsg\'alni, hogy a h\'arom dimenzi\'os r\'acs egy konkr\'et $B$
r\'eszhalmaza massz\'{\i}v-e. Ennek eld\"ont\'ese bizonyos esetekben
nem egyszer\H{u}, mert egy  konkr\'et $B$ halmaz eset\'eben
nem k\"onny\H{u} kisz\'amolni a (8) formul\'aban defini\'alt $B_k$
halmaz $C(B_k)$ kapacit\'as\'at. Viszont annak eld\"ont\'ese
\'erdek\'eben, hogy a (9) formul\'aban szerepl\H{o} \"osszeg
konvergens-e vagy divergens, elegend\H{o} j\'o fels\H{o} \'es als\'o
becsl\'est adni a $C(B_k)$ kapacit\'asra. Egy egyszer\H{u}, de
sokszor hasznos fels\H{o} becsl\'es a $C(B_k)\le |B_k|$ azonoss\'ag,
ami k\"ozvetlen\"ul ad\'odik a $\varphi_{B_k}(x)\le1$
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l. Als\'o becsl\'est kaphatunk az al\'abbi
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel: $C(B)\ge \summ_{x\in B}
\varphi(x)$ minden $\varphi(\cdot)\in \Cal K_B$ f\"uggv\'enyre. Annak
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz, hogy $\varphi(\cdot)\in\Cal K_B$ egy
konkr\'et $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny eset\'en meg kell mutatni
azt, hogy $G\varphi(x)\le 1$ minden $x\in H$ pontban. Ennek a
tulajdons\'agnak az ellen\H{o}rz\'es\'ehez \'erdemes alkalmazni a
$(3')$ formul\'at \'es a $g(x,y)\sim |x-y|^{-1}$, ha $|x-y|\to\infty$
rel\'aci\'ot. Ezen \'eszrev\'etelek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
bizony\'{\i}tj\'ak be a Dynkin--Yushkevich k\"onyvben az al\'abbi
eredm\'enyt, melyet szint\'en t\'argyalni fogok.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Tekints\"uk a $H$ r\'acs egy $B=\{(b_k,0,0),\;
k=1,2,\dots\}$ alak\'u halmaz\'at, ahol $1\le b_1<b_2< \cdots$,
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok szigor\'uan monoton sorozata. Ha
$\summ_{k=1}^\infty \dfrac1{b_k}<\infty$, akkor a $B$ halmaz nem
massz\'{\i}v. Ha $\summ_{k=1}^\infty \dfrac1{b_k}=\infty$, \'es
$b_{k+1}-b_k\le c\log b_k$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra alkalmas
$c>0$ sz\'ammal, akkor a $B$ halmaz massz\'{\i}v.} \medskip
 
Meg fogom t\'argyalni ennek az eredm\'enynek a h\'atter\'et is.
\bigskip
 
A fent megfogalmazott eredm\'enyekkel \'es az eredm\'enyek
h\'atter\'eben megjelen\H{o} elm\'elettel fogok foglalkozni. V\'eg\"ul
m\'eg egy megjegyz\'est teszek arr\'ol, hogy mi\'ert van a
k\"oz\"ons\'eges bolyong\'as vizsg\'alata szoros kapcsolatban a
Laplace oper\'atorral \'es a harmonikus f\"uggv\'enyek elm\'elet\'evel.
Tekints\"uk az orig\'ob\'ol kiintul\'o $X_1,X_2,\dots$, bolyong\'ast,
\'es defini\'aljuk minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra ennek a
bolyong\'asnak a k\"ovetkez\H{o} term\'eszetes \'atsk\'al\'az\'asa
seg\'{\i}ts\'eg\'eg\'evel defini\'alhat\'o $W_n(t)$, $t\ge 0$
sztochasztikus folyamatot:
$$
W_n\(\dfrac kn\)=\dfrac1{\sqrt n}X_k,\quad
k=0,1,2,\dots,
$$
\'es legyen a $W_n(\cdot)$ f\"uggv\'eny line\'aris a $\[\dfrac
kn,\dfrac{k+1}n\]$ intervallumban. Be lehet l\'atni, hogy
$n\to\infty$ esetben ezek a sztochasztikus folyamatok konverg\'alnak
a h\'arom-dimenzi\'os Wiener folyamathoz. A k\"oz\"ons\'eges
bolyong\'as eset\'eben defini\'alt $A=P-I$ oper\'atornak a
term\'eszetes megfelel\H{o}je a Wiener folyamat eset\'eben a Wiener
folyamat infinitezim\'alis oper\'atora, \'es ez az $\frac12\Delta$
oper\'ator.
 
A bolyong\'asra megfogalmazott probl\'em\'akat \'es a probl\'em\'ak
megold\'as\'aban szerepet j\'atsz\'o m\'odszereket term\'eszetes
m\'odon meg lehet fogalmazni Wiener folyamatok ese\-t\'e\-ben is. E
m\'odos\'{\i}tott probl\'em\'aban az $A=P-I$ oper\'ator helyett a
Wiener folyamat $\frac12\Delta$ infinitezim\'alis oper\'ator\'at
kell tekinten\"unk. Ez\'ert a vizsg\'alatban a Laplace oper\'ator
viselked\'es\'et kell meg\'erten\"unk. Az eredeti, a bolyong\'as
viselked\'es\'et t\'argyal\'o prob\-l\'e\-m\'a\-ban megjelen\H{o}
eredm\'enyek hasonl\'oak mint a Wiener folyamat viselked\'es\'et
le\'{\i}r\'o ered\-m\'e\-nyek. E hasonl\'os\'ag oka az, hogy az
$A=P-I$ oper\'ator, ami a Wiener folyamat infinitezim\'alis
oper\'arot\'anak term\'eszetes diszkr\'et k\"ozel\'{\i}t\'esek\'ent
is tekinthet\H{o}, hasonl\'oan viselkedik az $\frac12\Delta$
oper\'atorhoz.
 
 
\bye
 
 
