\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Feladott h\'azi feladatok}
 
 
 
\bigskip
 
\item{} Ha a $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a
$$
P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2,\dots,\xi_n=k_n)=
P(\xi_{\pi(1)}=k_1,\xi_{\pi(2)}=k_2,\dots,\xi_{\pi(n)}=k_n),
$$
azonoss\'agot az $1,2,\dots,n$ sz\'amok tetsz\H{o}leges
$(\pi(1),\dots\pi(n))$ permut\'aci\'oj\'ara \'es minden $k_1,\dots,k_n$
eg\'esz sz\'amra, akkor
$$
P(\xi_i=k_1)=P(\xi_1=k_1),\quad
P(\xi_i=k_1,\xi_j=k_2)=P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2)
$$
mainden $1\le i,j\le n$ \'es $k_1$ \'es $k_2$ eg\'esz sz\'amra.
 
\medskip
\item{} Egy urn\'aban h\'usz piros \'es harminc feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 10 goly\'ot \'ugy, hogy amikor kih\'uzunk
egy goly\'ot akkor azt visszadobjuk \'es vele egy\"utt bedobunk az
urn\'aba egy vele azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete?
\medskip
 
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk sz\'azszor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a fejdob\'asok sz\'am\'nak a harmadik hatv\'any\'at,
\'es sz\'am\'{\i}tsuk ki annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\medskip
 
\item{} Legyen $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi_1$ \'es $\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le 1$, \'es
$f(x)=1$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
 
 
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk \"otsz\"or
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Rajzoljuk fel a fej-do\'asok sz\'am\'at
megad\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Adjuk meg egy $[a,b]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
 
 
\item{} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
 
 
\item{} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-\frac12,\frac12]$
intervallumban. Sz\'a\-m\'{\i}t\-suk ki a $\xi^2$ \'es $\xi^3$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
 
 
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 5120 \'es 5670 k\"oz\'e esik.
\medskip
 
 
 
 
 
 
 
 
\bye
 
