Feladott házi feladatok

Ha a ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} egész értékű valószínűségi változók teljesítik a

P (ξ_{1} = k_{1}, ξ_{2} = k_{2}, …, ξ_{n} = k_{n}) = P (ξ_{π(1)} = k_{1}, ξ_{π(2)} = k_{2}, …, ξ_{π(n)} = k_{n}),

azonosságot az 1, 2, …, n számok tetszőleges (π(1), … π(n)) permutációjára és minden k_{1}, …, k_{n} egész számra, akkor

P (ξ_{i} = k_{1}) = P (ξ_{1} = k_{1}), P (ξ_{i} = k_{1}, ξ_{j} = k_{2}) = P (ξ_{1} = k_{1}, ξ_{2} = k_{2})

mainden 1 ≤ i, j ≤ n és k_{1} és k_{2} egész számra.

Egy urnában húsz piros és harminc fehér golyó van. Kihúzunk egymás után 10 golyót úgy, hogy amikor kihúzunk egy golyót akkor azt visszadobjuk és vele együtt bedobunk az urnába egy vele azonos színű golyót. Mi a kihúzott piros golyók számának a várható értéke és szórásnégyzete?

Egy szabályos pénzdarabot feldobunk százszor egymás után. Tekintsük a fejdobások számńak a harmadik hatványát, és számítsuk ki annak várható értékét.

Legyen ξ_{1} és ξ_{2} független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen ξ_{1} és ξ_{2} sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 1 egyébként. Számítsuk ki ξ_{1} + ξ_{2} sűrűségfüggvényét.

Egy szabályos pénzdarabot feldobunk ötször egymástól függetlenül. Rajzoljuk fel a fej-doások számát megadó valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Adjuk meg egy [a, b] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét.

Legyen ξ és η két független λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Számoljuk ki ξ − η sűrűségfüggvényét.

Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban. Számítsuk ki a ξ^{2} és ξ^{3} valószínűségi változók eloszlás és sűrűségfüggvényét.

Egy szabályos dobókockát feldobunk 2700 alkalommal egymástól függetlenül, és összeszámoljuk a páros értékű dobások eredményét. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy ez az összeg 5120 és 5670 közé esik.