DOLGOZAT FELADATOK

Megjegyzés: Abban az esetben, ha egy megkérdezett fogalom definícióját több (egymással ekvivalens) módon lehet megadni, akkor ezek mindegyike jó válasznak minősül.

1. Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után 10-szer egymástól függetlenül. Tekintsük a páros eredményű dobások összegének a harmadik hatványát, és számoljuk ki annak várható értékét.

2. Legyen ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen sűrűség-

függvénye a φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2} függvény, és legyen t valós szám. Számoljuk ki az

e^{tξ} valószínűségi változó Ee^{tξ} várható értékét.

3. Egy urnában 20 fehér és 30 piros golyó van. Kihúzunk 10 golyót visszatevés nélkül. Számoljuk ki a kihúzott piros golyók számának várható értékét és szórásnégyzetét.

4. Péter és Pál a következő játékot játssza. Mind a ketten feldobnak egy szabályos dobókockát. Ha Pál dobott nagyobbat, akkor ő nyer három forintot Pétertől, ha Péter dobása nagyobb, akkor Pál fizet Péternek három forintot. Ha a dobások egyenlőek, akkor senki sem fizet a másiknak. Ezt a játékot játsszák 3000 alkalommal. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és a mellékelt normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy Péter legalább 90 forintot nyer.

5. Legyen A_{1}, A_{2} és A_{3} három esemény egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy az A_{1}, A_{2} és A_{3} események függetlenek?

6. Mikor konvergál F_{n}(x), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények sorozata eloszlásban egy F (x) eloszlásfüggvényhez?

MEGOLDÁSOK

1. Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 2, ha a j-ik dobás eredménye 2, ξ_{j} = 4, ha a j-ik dobás eredménye 4, ξ_{j} = 6, ha a j-ik dobás

eredménye 6, és ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye 1, 3, vagy 5. Legyen S = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}.

Ekkor minket az ES^{3} mennyiség érdekel. ES^{3} = E ( ∑_{j=1}^{10} ξ_{j})^{3}. Továbbá, Eξ_{j} = 2,

Eξ_{j}^{2} = \frac{28}{3}, Eξ_{j}^{3} = 48 minden 1 ≤ j ≤ 10 számra, és a ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek. Ezért

ES^{3} =  ∑_{1≤j,k,l≤10 a j,k,l indexek különbözőek}Eξ_{j}Eξ_{k}Eξ_{l} +  ∑_{1≤j,k≤100 a j,k indexek különbözőek}Eξ_{j}^{2}Eξ_{k} + ∑_{j=1}^{10} Eξ_{j}^{3}

= 10 · 9 · 8 · 2^{3} + 3 · 10 · 9 · \frac{28}{3} + 10 · 48 = 8760.

2. Ha ξ f(x) sűrűségfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó h(x) valós értékű (mérhető) függvény, akkor Eh(ξ) = ∫ h(x)f(x) dx. Esetünkben ez azt jelenti, hogy ha ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor

Ee^{tξ} = ∫_{−∞}^{∞} e^{tx} \frac{e^{−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx.

Innen

Ee^{tξ} = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{tx−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{t^{2}/2−(t−x)^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = e^{t^{2}/2} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = e^{t^{2}/2}.

3. Legyen ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10, az a valószínűségi változó, amelyik 1, ha a j-ik húzás piros, 0

ha a j-ik húzás fehér. Ekkor mint azt a gyakorlaton megbeszéltük, Eξ_{j} = Eξ_{1} = \frac{3}{5},

Var ξ_{j} = Var ξ_{1} = \frac{3}{5} − (\frac{3}{5})^{2} = \frac{6}{25}, Cov ξ_{j}, ξ_{k}) = Cov (ξ_{1}, ξ_{2}) = Eξ_{1}ξ_{2} − Eξ_{1}Eξ_{2} =

\frac{3}{5} \frac{29}{49} − \frac{9}{25} = −\frac{6}{1245}, ha j ≠ k, és a kihúzott piros golyók számána S = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}

várható értéke és szórásnégyzete

ES = ∑_{j=1}^{10} Eξ_{j} = 6,

Var S = ∑_{j=1}^{10} Var ξ_{j} + 2 ∑_{j=1}^{p} ∑_{k=j=1}^{10} Cov (ξ_{j}, ξ_{k})

= 10Var ξ_{1} + 90Cov (ξ_{1}, ξ_{2}) = 10\frac{6}{25} − 90\frac{6}{1245} = \frac{96}{49}.

4. Legyen ξ_{j} Péter nyereménye a j-ik játékban. Ekkor a ξ_{j} valószínűségi változók

függetlenek, Péter össznyereménye S = ∑_{j=1}^{3000} ξ_{j}, és P (ξ_{j} = 3) = \frac{5}{12}, P (ξ_{j} = −3) =

\frac{5}{12}, P (ξ_{j} = 0) = \frac{1}{6}. (Annak valószínűségét írtuk fel, hogy Péter vagy Pált dob

nagyobbat, illetve hogy a két dobás egyenlő. Innen Eξ_{j} = 0, Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} = \frac{45}{6},

ES = 0, Var S = 15 · 1500 = 150^{2}. Innen annak valószínűsége, hogy Péter legalább 90 forintot nyer

P (S ≥ 90) = P (\frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≥ \frac{90}{150}) = 1 − P (\frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} < 0.6) ∼ 1 − Φ(0.6) ∼ 0.274

5. Az A_{1}, A_{2} és A_{3} események függetlenek, ha P (A_{1}A_{2}) = P (A_{1})P (A_{2}), P (A_{1}A_{3}) = P (A_{1})P (A_{3}), P (A_{2}A_{3}) = P (A_{2})P (A_{3}) és P (A_{1}A_{2}A_{3}) = P (A_{1})P (A_{2})P (A_{3}).

6. Az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F eloszlásfüggvényhez, ha az F eloszlásfüggvény minden folytonossági pontjában teljesül a lim_{n→∞} F_{n}(x) = F (x) reláció. Szerepelt egy eredmény, amelyik szerint meg lehet adni egy ezzel ekvivalens megfogalmazást is. Azt is elfogaldtam, ha valaki ez utóbbi eredmény segítségével fogalmazta meg a definiciót. Eszerint az F_{n} eloszlásfüggvények akkor konvergálnak eloszlásban egy F eloszlásfüggvényhez, ha minden a számegyenesen folytonos és korlátos h(x) függvényre

lim_{n→∞} ∫ h(x)F_{n}( dx) = ∫ h(x)F ( dx).