\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
 
\TagsOnRight
 
\noindent{\bf A december 4-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
\medskip\noindent
Ezen a gyakorlaton is els\H{o}sorban azzal foglalkozunk, hogy
hogyan lehet meg\'erteni annak a jegyzetnek n\'eh\'any eredm\'eny\'et,
mely a vizsgan k\'erdezett anyagot tartalmazza.
 
\medskip \noindent
 
\medskip\noindent
{\it  N\'eh\'any tov\'abbi megjegyz\'es a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelhez.} \medskip
 
A 8. fejezet k\'et legfontosabb eredm\'enye a 8.1 \'es 8.2 t\'etel.
Ezek jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben teszek n\'eh\'any megjegyz\'est.
Eml\'ekezz\"unk, hogy $F_n$ eloszl\'asok akkor \'es csak akkor
konverg\'alnak egy $F$ eloszl\'ashoz, ha $\int g(u)F_n(\,du)\to \int
g(u)F(\,du)$ minden foly\-to\-nos \'es korl\'atos $g(\cdot)$
f\"uggv\'enyre. A 8.1 t\'etel ilyen \'all\'{\i}t\'ast fogalmaz meg.
(Jegyezz\"uk meg, hogy
($Eg(\tilde S_n)=\int g(u)F_n(\,du)$, ha $F_n$ jel\"oli $\tilde S_n$
eloszl\'as\'at). De ebben az eredm\'enyben a $g(\cdot)$
f\"uggv\'enyr\H{o}l t\"obbet k\"ovetelt\"unk meg, azt hogy legyen
h\'aromszor folytonosan dif\-fe\-ren\-ci\'al\-hat\'o. A 8.2 t\'etel
arr\'ol sz\'ol, hogy bizonyos standard, de technikailag
meglehet\H{o}sen neh\'ez \'es f\'araszt\'o
sim\'{\i}t\'asi elj\'ar\'assal hogyan lehet az \'altal\'anos
folytonos f\"uggv\'enyek eset\'et erre a speci\'alis esetre
reduk\'alni. Erre nem t\'erek ki. Akinek nincs ideje, energi\'aja azt
\'attanulm\'anyozni, \'es a vizsg\'an ezt k\'erdezik t\H{o}le,
hivatkozzon arra, hogy \'en azt mondtam, hogy ez f\"ol\"osleges. Ha
tudjuk azt az eredm\'enyt, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek
karakterisztikus f\"uggv\'enyeinek konvergenci\'aj\'ab\'ol egy
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez k\"ovetkezik
maguknak az eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a konvergenci\'aja is, akkor
alkalmazva a 8.1 t\'etelt a $g(x)=g_t(x)=e^{itx}$, $-\infty<t<\infty$,
f\"uggv\'enyekre megkapjuk a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
Lindeberg f\'ele alakj\'at.
 
A 8.1 t\'etel bizony\'{\i}t\'asa sem egyszer\H{u}. Megpr\'ob\'alok
n\'emi fog\'odz\'ot adni hozz\'a. Felhaszn\'aljuk azt a gyakorlaton is
t\'argyalt eredm\'enyt, hogy f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege is norm\'alis
eloszl\'as\'u. Tekintj\"uk a bizony\'{\i}t\'asban defini\'alt
$\tilde \xi_{n,k}$ illetve $\tilde \eta_{n,k}$  (37. oldal alja)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
illetve a bel\"ol\"uk defini\'alt $\tilde S_n=\summ_{k=1}^n\tilde
\xi_{n,k}$ \'es $\tilde T_n=\summ_{k=1}^n\tilde \eta_{n,k}$
\"osszegeket. Azt kell bel\'atni, hogy $Eg(\tilde S_n)-Eg(\tilde T_n)$
kicsi. Ezt \'ugy l\'atjuk be, hogy egym\'asut\'an egyenk\'ent a
$\tilde \xi_{n,k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
kicser\'elj\"uk az $\tilde \eta_{n,k}$ v\'altoz\'okkal
\'es becs\"ulj\"uk a csere el\H{o}tti \'es ut\'ani
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny\'enek
a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ez t\"ort\'enik tulajdonk\'eppen az
$U_{n,l}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok illetve a
$\Delta_{n,l}$ sz\'amok bevezet\'es\'evel. A 8.1 T\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'anak a l\'enyege az, hogy j\'o becsl\'est adunk a
$\Delta_{n,l}$ mennyis\'egekre. Ez hasonl\'oan a gyakorlaton
t\'argyalt hasonl\'o, (egyszer\H{u}bb) feladatokhoz Taylor
sorfejt\'essel t\"ort\'enhet. Kiss\'e tal\'an rejtve, de ez
t\"ort\'enik az $R(x,y)$ f\"uggv\'enyek bevezet\'es\'en\'el.
Tov\'abb\'a hasonl\'oan a gyakorlaton t\'argyalt bizony\'{\i}t\'ashoz
m\'as tagsz\'am\'u sorfejt\'est \'erdemes alkalmazni, ha
$|\tilde\xi_{n,l}|<\e$ \'es $|\tilde\xi_{n,l}|\ge\e$, illetve ugyanez
mondhat\'o a $\tilde\eta_{n,l}$ f\"uggv\'enyekre.
 
\medskip \noindent
{\it  A t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asr\'ol.}
\medskip
Az els\H{o} k\'erd\'es, ami e fogalom kapcs\'an felmer\"ul az, hogy
mi\'ert fontos ez a fogalom. A term\'eszetes v\'alasz az, hogy a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel, illetve annak t\"obb-dimenzi\'os
v\'altozata indokolja e fogalom bevezet\'es\'et. A centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel azt mondja, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszegeinek a
hat\'areloszl\'asa nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett mindig
ugyanaz a norm\'alis eloszl\'as. Felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy
\'erv\'enyes-e ennek az eredm\'enynek egy olyan alkalmas
megfelel\H{o}je, amelyik vektor \'ert\'ek\H{u} f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
\"osszegeir\H{o}l sz\'ol.
 
Erre a k\'erd\'esre pozit\'{\i}v v\'alaszt lehet adni, \'es ez fontos
szerepet j\'atszik n\'eh\'any olyan fontos k\'erd\'es vizsg\'alat\'aban
mint a chi-n\'egyzet pr\'oba. Az eredm\'eny illetve a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny fogalm\'anak a
meg\'ert\'es\'ehez sz\"uks\'eges el\H{o}sz\"or meg\'erteni a
v\'arhat\'o \'ert\'ek illetve a sz\'or\'asn\'egyzet fogalm\'anak
t\"obb-dimenzi\'os meg\-fele\-l\H{o}\-j\'et. A nehezebb \'es
t\'argyaland\'o feladat a sz\'or\'asn\'egyzet t\"obb-dimenzi\'os
megfelel\H{o}j\'enek, a kovarianciam\'atrixnak a definici\'oja.
\medskip\noindent {\bf A kovarianciam\'atrix definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy $k$-dimenzi\'os v\'eletlen
vektor, melynek minden koordin\'at\'aj\'ara teljes\"ul az
$E\xi_j^2<\infty$, $1\le j\le k$, felt\'etel. Ekkor a $\xi$
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $D$
kovarianciam\'atrixa az a $k\times k$ m\'atrix, melynek $j$-ik
sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban a
$\Cov(\xi_j,\xi_l)=E\xi_j\xi_l-E\xi_jE\xi_l$,
$1\le j,l\le k$, sz\'am \'all.} \medskip
A kovarianciam\'atrix hasonl\'oan viselkedik mint annak egy
dimenzi\'os  megfelel\H{o}je, a sz\'or\'asn\'egyzet. \'Igy
p\'eld\'aul f\"uggetlen vektorok \"osszeg\'enek a kovarianciam\'atrixa
meg\-egye\-zik az \"osszeadand\'ok kovarianciam\'atrix\'anak az
\"osszeg\'evel, ha egy vektort meg\-szor\-zunk egy $c$ sz\'ammal,
akkor annak kovarianciam\'atrixa a $c^2$ sz\'ammal szorz\'odik meg.
Ezenk\'{\i}v\"ul fontos a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a kovarianciam\'atrix jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Egy
$k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor kovarianciam\'atrixa $k\times k$
m\'eret\H{u} szimmetrikus pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix. Egy
szimmetrikus $D=(d_{j,l})$, $1\le j,l\le k$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrixot pozit\'{\i}v szemidefinitnek nevez\"unk, ha minden
$x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimezi\'os vektorra
$xDx^*=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_jx_l d_{j,l}\ge0$.
Megford\'{\i}tva, minden $D$ $k\times k$ m\'eret\H{u} pozit\'{\i}v
definit m\'atrixhoz \'es $m$ $k$--dimenzi\'os vektorhoz l\'etezik
olyan $k$--dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor,
melynek a v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$, kovarianciam\'atrixa pedig
$D$. S\H{o}t az is igaz, hogy egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza annak v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es kovarianciam\'atrixa.}
\medskip Annak \'erdek\'eben, hogy ezt az eredm\'enyt meg\'erts\"uk
fel kell id\'ezn\"unk a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalm\'at.
\medskip\noindent
{\bf A t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o definici\'oja.}
{\it Ha $\xi_1$,\dots, $\xi_k$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor a
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\"uk\-kel defini\'alt $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektort $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak ne\-vez\-z\"uk. Ha $\xi$
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, $A$ tetsz\H{o}leges
$k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix $m$ $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor,
akkor $\eta=\xi A+m$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor.
Akkor nevez\"unk egy v\'eletlen vektort $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektornak, ha annak eloszl\'asa megegyezik
egy el\H{o}bb defini\'alt $\eta=\xi A+m$ alak\'u $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor eloszl\'as\'aval.} \medskip
Be lehet l\'atni, hogy igaz a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Az el\H{o}bb defini\'alt
$\eta=\xi A+m$ alak\'u $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ kovarianciam\'atrixa pedig a
$D=AA^*$ m\'atrix. Karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\varphi(t)=\varphi(t_1,\dots,t_k)=
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_k\eta_k)}=e^{i(t,m)-tDt^*/2}
$$
f\"uggv\'eny, ahol $t=(t_1,\dots,t_k)$, $(\cdot,\cdot)$
skal\'arszorzatot ${}^*$ pedig transzpon\'altat jel\"ol.
Ez utobbi formula az\'ert hasznos, mert egy (t\"obb-di\-men\-zi\'os)
eloszl\'ast meghat\'aroz annak karakterisztikus f\"uggv\'enye.}
\medskip
Az, hogy tetsz\H{o}leges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor
kovarianciam\'atrixa pozit\'{\i}v (szemi)definit viszonylag
egyszer\H{u}en l\'athat\'o. Tekints\"unk ugyanis egy
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektort, \'es jel\"olje $\Sigma$
ennek kovarianciam\'atrix\'at. Vegy\"unk tetsz\H{o}leges
$\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ val\'os sz\'amokb\'ol \'all\'o
vektort, \'es defini\'aljuk az
$\eta=\eta(\alpha)=\summ_{j=1}^k\alpha_j\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot. Tudjuk, hogy $\Var \eta\ge0$. Be lehet l\'atni, hogy
$\Var\eta=\alpha\Sigma\alpha^*$. Ez\'ert $\alpha\Sigma\alpha^*\ge0$
minden $\alpha$ vektorra, \'es ez jelenti azt, hogy $\Sigma$
pozit\'{\i}v szemidefinit.
 
Annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy tetsz\H{o}leges $D$ pozit\'{\i}v
szermidefinit m\'atrix megjelenik mint al\-kal\-mas norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor kovarianciam\'atrixa
m\'ar nehezebb. Ez k\"ovetkezik egyr\'eszt az el\H{o}bb kimondott
t\'etelb\H{o}l, tov\'abb\'a a k\"ovetkez\H{o} line\'aris algebrai
eredm\'enyb\H{o}l. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy szimmetrikus $D$ pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'atrixb\'ol lehet "n\'egyzetgy\"ok\"ot vonni", azaz a $D=AA^*$
egyenletnek van megold\'asa. Ez a megold\'as nem egy\'ertelm\H{u}.
Val\'oban, ha $U$ unit\'er m\'atrix, azaz $UU^*=U^*U=I$, akkor az
$\bar A=AU$ m\'atrixra is igaz, hogy $\bar A\bar A^*=D$, ha $D=AA^*$.}
\medskip
Ezek az eredm\'enyek azt is jelentik, hogy b\'ar egy el\H{o}\'{\i}rt
eloszl\'as\'u norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor $\eta=\xi A+m$
reprezent\'aci\'oj\'aban az $A$ m\'atrix megad\'asa nem
egy\'ertelm\H{u}, m\'egis a $D$ kovarianciam\'atrix \'es $m$
v\'arhat\'o \'ert\'ek meghat\'arozza a v\'eletlen vektor
el\-osz\-l\'a\-s\'at, mert meghat\'arozza annak karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et. Annak, hogy egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
kovarianciam\'atrixa az al\'abbi fontos k\"ovetkezm\'enye
is van. (L\'asd a 10.5 k\"ovetkezm\'enyt a jegyzetben.)
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, melynek els\H{o} $l$ \'es utols\'o
$k-l$ koordin\'at\'aja korrel\'alatlan valamely $1\le l<k$ sz\'amra,
azaz $E\xi_p\xi_q=E\xi_pE\xi_q$, ha $1\le p\le l<q\le k$. Ekkor a
$(\xi_1,\dots,\xi_l)$ illetve $(\xi_{l+1},\dots,\xi_k)$ vektorok
f\"uggetlenek.} \medskip
Ez ut\'obbi eredm\'eny kiolvashat\'o abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy
az adott felt\'etel mellett a $\xi$ v\'eletlen vektor karakterisztikus
f\"uggv\'enye faktoriz\'al\'odik. Jegyezz\"uk meg, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok mindig korrel\'alatlanok,
de az \'all\'{\i}t\'as megford\'{\i}t\'asa nem igaz. L\'eteznek olyan
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, melyek
korrel\'alatlanok, de nem f\"uggetlenek. Ez a t\'eny r\'amutat a
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok egyik
k\"ul\"onleges tu\-laj\-don\-s\'a\-g\'a\-ra; arra, hogy ebben a
speci\'alis esetben a koordin\'at\'ak korrel\'alatlans\'ag\'ab\'ol
k\"ovetkezik azok f\"uggetlens\'ege is.
 
V\'eg\"ul a teljess\'eg kedv\'e\'ert fogalmazzuk meg a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok \"osszeg\'ere.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it
Legyenek $\xi^{(j)}=\(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_k\)$, $j=1,2,\dots$,
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektorok
$$
M=\(E\xi^{(j)}_1,\dots,E\xi^{(j)}_k\)
$$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\Sigma$ kovarianciam\'atrix-szal.
Legyen $S_n=\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}$. Ekkor az
$\dfrac{S_n-nM}{\sqrt n}$ v\'eletlen vektorok eloszl\'asban
konverg\'alnak egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\Sigma$
ko\-va\-riancia\-m\'at\-rix\'u nom\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektorhoz.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'esek a f\"uggetlens\'eg \'es Kolmogorov 0--1
t\"orv\'enye fejezethez.}  \medskip
El\H{o}sz\"or \'erts\'ek meg $\sigma$-algebr\'aknak a 2.1
definici\'oban megadott f\"uggetlens\'eg\'et. Itt szerepel esem\'enyek
illetve val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege is.
\'En ez ut\'obbiakat t\'etelnek nevezn\'em. Nevezetesen arr\'ol
van sz\'o, hogy a kor\'abban tanult $\sigma$-algebr\'ak fogalma
n\'elk\"ul defini\'alt f\"uggetlens\'eg definici\'oja megegyezik az
itt megadottal. E fejezet meg\'ert\'es\'ehez elengedhetetlen a farok
$\sigma$-algebra 2.2 definici\'oja. A leg\'erdekesebb eset, \'es
gyakorlatilag az \"osszes tekintett p\'elda olyan, amelyikben bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at tekint\"unk. Ekkor a farok $\sigma$-algebra
szeml\'eletes tartalma az, hogy ez azon esem\'enyekb\H{o}l \'all,
melyek be vagy be nem k\"ovetkezt\'et meg tudjuk \'allap\'{\i}tani
akkor is, ha ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"ul
n\'eh\'anynak az \'ert\'ek\'et nem ismerj\"uk. P\'eld\'aul az az
esem\'eny, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlaga kisebb
mint egy r\"ogz\'{\i}tett $x$ sz\'am nem f\"ugg v\'eges sok az
\'atlagban r\'esztvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'ert\'ek\'et\H{o}l. A fejezet f\H{o} eredm\'enye a 2.6 T\'etel, a
Kolmogorov f\'ele 0--1 t\"orv\'eny. Ez azt mondja ki, hogy f\"uggetlen
$\sigma$-algebr\'ak, speci\'alisan f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'ak farok $\sigma$-algebr\'aja olyan esem\'enyekb\H{o}l
\'all, melyeknek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla vagy egy. A
bizony\'{\i}t\'as eszm\'eje a k\"ovetkez\H{o}: Tekint\"unk egy
r\"ogz\'{\i}tett $A$ esem\'enyt a farok $\sigma$-algebr\'aban, \'es
keres\"unk olyan (halmaz) algebr\'akat illetve $\sigma$-algebr\'akat,
melyeknek elemei f\"uggetlenek ett\H{o}l az $A$ halmazt\'ol. Bel\'atjuk
bizonyos anal\'{\i}zis seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a farok
$\sigma$-algebra esem\'enyei ilyenek. Az \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'aban kulcsszerepet j\'atszik m\'ert\'ekek
kiterjeszte\'es\'enek egy\'ertelm\H{u}s\'ege algebr\'ar\'ol az
\'altala gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara. Ez azt jelenti
speci\'alisan, hogy az $A$ halmaz \"onmag\'at\'ol is f\"uggetlen,
azaz $P(A)=P(A)^2$, \'es innen k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'as. Felt\'etlen\"ul javaslom, hogy n\'ezz\'ek \'at a
fejezetben szerepl\H{o} p\'eld\'akat is. A fejezetben szerepl\H{o}
Borel--Cantelli lemma megegyezik a bevezet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban szerepl\H{o} hasonl\'o
nev\H{u} eredm\'ennyel.
\medskip\noindent
{\it Konvergenciafogalmak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban. A nagy sz\'amok er\H{o}s
\'es gyenge t\"or\-v\'e\-nye.}
\medskip
 
El\H{o}sz\"or id\'ezz\"uk fel e fogalmak definici\'oit. Megjegyzem, hogy
az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'at majdnem
minden\"utt val\'o a sztochasztikus konvergenci\'at pedig m\'ert\'ekben
val\'o konvergenci\'anak is h\'{\i}vj\'ak.
\medskip\noindent
{\bf Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergencia
definici\'oja:}  {\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak defini\'alva, m\'asr\'eszt)
$$
P\(\oo\: \lim_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=\xi(\oo)\)=1.
$$
}\medskip\noindent
{\bf A sztochasztikus konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al sztochasztikusan egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
de\-fi\-ni\-\'al\-va, m\'asr\'eszt) minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty} P\(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|>\e\)=0.
$$
}\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez vagy az
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal meghat\'arozott
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<u)=F(u)$
{\rm minden olyan $u$ sz\'amra, ahol az $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny f\"uggv\'eny folytonos.} (Azt mondjuk, hogy a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha ez a sorozat eloszl\'asban konverg\'al az
$F(u)=P(\xi<u)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.)
 
Eloszl\'asf\"uggv\'enyek $F_n(u)$ sorozata akkor \'es csak akkor
konverg\'al egy $F(u)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ha
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata, melyekre $\xi_n$ eloszl\'asa $F_n(u)$ eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. M\'as szavakkal
ez azt jelenti, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(u)=F(u)$ az $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny minden folytonoss\'agi pontj\'aban.
}\medskip\noindent
Igaz a k\"ovetkez\H{o} kapcsolat: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergencia $\Rightarrow$ Sztochasztikus konvergencia $\Rightarrow$
Eloszl\'asban val\'o konvergencia.
 
Megmutatjuk hogy, ha $\xi_n(\oo)\to\xi(\oo)$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor defini\'alva az
$A_n=A_n(\e)=\left\{\oo\:\supp_{k\ge n}|\xi_k(\oo)-\xi(\oo)|<\e\right\}$
halmazokat kapjuk, hogy az egym\'asba skatuly\'azott $A_n$ halmazokra,
(azaz $A_1(\oo)\subset A_2\subset\cdots$), $P\(\bigcupp_{n=1}^\infty
A_n\)=1$. Ez\'ert $\limm_{n\to\infty}P(A_n)=1$. Mivel
$\{|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e\} \supset A_n$,
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e)\to1$, azaz
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|\ge\e)\to0$, ha $n\to\infty$. Ez azt jelenti,
hogy az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'ab\'ol
k\"ovetkezik a sztochasztikus konvergencia.
A jegyzet tartalmazza a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt is (Lemma 5.7 (i):
\medskip Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\limm_{n\to\infty}\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0$.
\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges olyan $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
konstru\'alni, melyekre a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan tart $\xi$-hez, de a  $\xi_n$ sorozat nem konverg\'al
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t: $\Omega$ a $[0,1]$ intervallum,
$\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aja a $[0.1]$
intervallumon, a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a Lebesgue
m\'ert\'ek. Legyen
$$
\aligned
\xi_n(x)&=\left\{
\aligned
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]\\
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]
\endaligned \right.  \\
&\qquad\qquad\qquad \text{akkor ha } 2^k\le n<2^{k+1},\quad k=1,2,\dots,
\endaligned
$$
\'es $\xi(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra. Ekkor
$P(|\xi_n-\xi|>\e)=2^{-k}$ minden $\e>0$ sz\'amra, ha $2^k\le
n<2^{k+1}$. Teh\'at a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat sztochasztikusan
konverg\'al a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Viszont
mivel $\limsupp_{n\to\infty}\xi_n(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra,
ez\'ert a $\xi_n$ sorozat nem konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
\medskip
Azt mondjuk, hogy $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik
a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, ha ezek $S_n=\xi_1+\cdot+\xi_n$
\"osszegeire $\dfrac {S_n}n\to E\xi_1$ sztochasztikusan,
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, ha $\dfrac
{S_n}n\to E\xi_1$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $n\to\infty$.
Val\'oj\'aban, olyan becsl\'eseket bizony\'{\i}tanak, melyek
f\"uggetlen (esetleg csak korrel\'alatlan), de nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszeg\'er\H{o}l sz\'olnak.
 
Az 5.1 illetve 5.2 T\'etel tartalmazza a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at. A bizony\'{\i}t\'as
l\'enyege a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg.
 
Az itt szerepl\H{o} eredm\'enyekben fontos szerepet j\'atszik az,
hogy milyen momentum felt\'etelek teljes\"ulnek az egyes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra. Az, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak l\'eteznek a magas
momentumai azt jelenti, hogy viszonylag kis
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel vesz fel nagyon nagy
\'ert\'ekeket, ez\'ert nem kell att\'ol tartani, hogy n\'eh\'any tag
extr\'em viselked\'ese rontja el a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek az \'erv\'enyess\'eg\'et. \'Igy az 5.5 T\'etelben
n\'egy momentum l\'etez\'ese van felt\'eve. A nagy sz\'amok
t\"orv\'eny\'enek az igaz\'an \'eles \'es nehezebben
bizony\'{\i}that\'o alakja a nagy sz\'amok Kolmogorov f\'ele
er\H{o}s t\"orv\'enye, 5.11 t\'etel. Eszerint az eredm\'eny
szerint a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges
\'es el\'egs\'eges felt\'etele az, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok abszolut \'ert\'ek\'enek legyen v\'eges
v\'arhat\'o \'ert\'eke. A bizony\'{\i}t\'asban szerepl\H{o}
el\'egs\'egess\'eg bizony\'{\i}t\'as\'anak alapl\'ep\'ese a
Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg. Ez az egyenl\H{o}tlens\'eg
ugyanazt a becsl\'est adja arra, hogy f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeinek maximuma nagyobb mint egy $x$ sz\'am, mint
amit a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg ad arra, hogy a maximumban
r\'esztvev\H{o} \"osszegek k\"oz\"ul az utols\'o nagyobb mint ez az
$x$ sz\'am. Egy m\'asik fontos technikai l\'ep\'es a
bizony\'{\i}t\'asban a (nem val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
tartalm\'u) Kronecker Lemma ((5.9) Lemma). Ennek
bizony\'{\i}t\'as\'aban az \'ugynevezett Abel f\'ele \'atrendez\'es
j\'atszik fontos szerepet, melyet a jegyzetben ``parci\'alis
szumm\'az\'as"-nak neveznek.
 
\'Erdemes r\"oviden elmagyar\'azni azt, hogy a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek mi\'ert sz\"uks\'eges felt\'etele az, hogy
az \"osszeadand\'ok abszolut \'ert\'ek\'enek legyen v\'eges
v\'arhat\'o \'ert\'eke. Azaz tegy\"uk fel, hogy $\xi_1,\xi_2,\dots$,
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, $S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
amennyiben $\limm_{n\to\infty}\dfrac{S_n}n\to c$ valamilyen
konstanshoz (vagy valamilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz), akkor $E|\xi_1|<\infty$.
 
Be lehet l\'atni, hogy $E|\xi|<\infty$ akkor \'es csak akkor, ha
$\summ_{n=0}^\infty P(|\xi|>n)<\infty$. Jel\"olje ugyanis $F(\cdot)$ a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ezzel a jel\"ol\'essel
$E|\xi|<\infty$ akkor \'es csak akkor, ha $\int|u|\,dF(u)<\infty$.
Tov\'abb\'a ez az integr\'al akkor \'es csak akkor v\'eges, ha
$\summ_{n=0}^\infty nP(n< |\xi|\le n+1)<\infty$. (Mi\'ert?) Ezt az
\"osszeget \'atrendezve
$$
\align
\summ_{n=0}^\infty nP(n< |\xi|\le n+1))
&=\summ_{n=0}^\infty n\(P(|\xi|>n)-P(|\xi|>n+1)\) \\
&=\summ_{n=0}^\infty P(|\xi|>n)[(n+1)-n]
=\summ_{n=0}^\infty P(|\xi|>n)
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.
\medskip
Bel\'atjuk az el\H{o}z\H{o} eredm\'eny \'es a Borel--Cantelli lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy ha a $\xi_1,\xi_2,\dots$,
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata olyan, hogy $E|\xi_1|=\infty$, akkor
az $\dfrac{S_n(\oo)}n$ sorozat egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
divergens, ahol $S_n=\summ_{k=1}^\infty \xi_k$. Ez azt jelenti, hogy
ebben az esetben nem teljes\"ul a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye.
 
Val\'oban, ha $E|\xi_1|=\infty$, akkor $\summ_{n=0}^\infty
P(|\xi_n|>n)=\summ _{n=0}^\infty P(|\xi_1|>n)=\infty$. Tov\'abb\'a
az $\{\oo\: |\xi_n(\oo)|>n\}$ esem\'enyek f\"uggetlenek, ez\'ert a
Borel-Cantelli lemma szerint majdnem minden $\oo\in\Omega$ eset\'en
$|\xi_n(\oo)|>n$ v\'egtelen sok $n$ indexre.
 
Ha $\oo\in\Omega$ olyan pont, melyben az $\dfrac{S_n(\oo)}n$,
$n=1,2,\dots$,  sorozat konvergens, akkor ebben az $\oo$ pontban
$\supp_{1\le n<\infty}\left|\dfrac{S_n(\oo)}n\right|<K(\oo)$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\(\dfrac{S_{n+1}(\oo)}{n+1}-\dfrac{S_n(\oo)}n\)=0$.
Vi\-szont, $\dfrac{S_{n+1}(\oo)}{n+1}-\dfrac{S_n(\oo)}n
=\dfrac{\xi_{n+1}(\oo)}{n+1}+\dfrac{S_n(\oo)}{n(n+1)}$, \'es
$\dfrac{S_n(\oo)}{n(n+1)}\to0$, $|\xi_{n+1}(\oo)|<n+1$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra, ha az $\dfrac{S_n(\oo)}n$ sorozat konverg\'al.
Ez vi\-szont csak nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} $\oo\in\Omega$
halmazra \'erv\'enyes. Megfogalmazom bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul,
hogy \'erv\'enyes ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a megford\'{\i}t\'asa
is, nevezetesen a k\"ovetkez\H{o} t\'etel, amelyik szerepel a
jegyzetben. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es
defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'eszlet\"osszegeket. Az $\dfrac{S_n(\oo)}n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
akkor \'es csak akkor konverg\'al pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $E|\xi_1|<\infty$. Ha
$E|\xi_1|<\infty$, akkor ez a sorozat
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, azaz
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n(\oo)}n=E\xi_1\quad\text{majdnem minden }
\oo\in\Omega\text{-ra}.
$$
}\medskip\noindent
{\it Az iter\'alt logaritmus t\'etel.}
\medskip
Ez az eredm\'eny felfoghat\'o \'ugy mint a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek az \'eles\'{\i}t\'ese. Ez pontosabban kifejezi azt,
hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszegeinek a $\limsup$-ja mekkora. Ez akkor
\'erv\'enyes, ha a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
l\'etezik m\'asodik momentuma. Az iter\'at logaritmust\'etel a
k\"ovetkez\H{o}t mondja ki: \medskip\noindent
{\bf Iter\'alt logaritmus t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok valamilyen $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyekre $E\xi_1(\oo)=0$,
$\Var\xi_1(\oo)=\sigma^2<\infty$.
Ekkor
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=1, \quad\text{majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre,}
$$
\'es
$$
\liminf_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=-1,
\quad\text{majdnem minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre,}
$$
s\H{o}t igaz a k\"ovetkez\H{o} n\'emileg \'elesebb \'all\'{\i}t\'as is:
A
$\dfrac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}$, $n=1,2,\dots$, sorozat torlod\'asi
pontjainak halmaza a $[-1,1]$ intervallum egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.} \medskip
Nem neh\'ez bel\'atni a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg vagy a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
tetsz\H{o}leges $\alpha(n)\to\infty$, ha $n\to\infty$ eset\'en
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\frac{|\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)|}
{\sqrt n \alpha(n)}<\e\)=1\quad \text{minden $\e>0$ sz\'amra},
$$
azaz a $\dfrac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}{\sqrt n \alpha(n)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sztochaszikusan
konverg\'alnak nul\-l\'a\-hoz.
 
A jegyzetben az \'all\'{\i}t\'as csak norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok \"osszeg\'ere
van bi\-zo\-ny\'{\i}t\-va. Az bizonyos fokig standard, de
meglehet\H{o}sen f\'araszt\'o l\'ep\'eseken alapul. Egyr\'eszt a
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny v\'egtelenben val\'o viselked\'es\'et
kell le\'{\i}rni, (Lemma (6.2) ezut\'an r\'eszben a Borel--Cantelli
lemm\'at alkalmzzuk illetve a
$$
P\(\dfrac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}>x\)
$$
\'es
$$
P\(\supp_{1\le k\le n}\dfrac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_k(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}>x\)
$$
alak\'u esem\'enyekre kell j\'o becsl\'est adni. Ez ut\'obbi
c\'elb\'ol szerepel a bizony\'{\i}t\'asban a t\"ukr\"oz\'esi elv
(Lemma 6.3).
 
 
\bye
 
 
 
