\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
 
\TagsOnRight
 
\noindent{\bf A december 11-i gyakorlat t\'em\'aja} \hfill\break
{\it R\"ovid \"osszefoglal\'o} \bigskip
\medskip\noindent
Ezen a gyakorlaton is els\H{o}sorban azzal foglalkozunk, hogy
hogyan lehet meg\'erteni annak a jegyzetnek n\'eh\'any eredm\'eny\'et,
mely a vizsgan k\'erdezett anyagot tartalmazza. El\H{o}tte azonban
besz\'elj\"uk meg r\"oviden a p\'otdolgozaton feladott els\H{o}
feladatot, mert erre a konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel is
megoldhat\'o feladatra senki nem adott j\'o
megold\'ast. A feladat a k\"ovetkez\H{o}:
\medskip \noindent
\item{} Legyen $\xi_1$ \'es $\xi_2$ k\'et f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o azaz legyen $\xi_j$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"oggv\'enye $f(x)=1$, ha $-\frac12\le x\le \frac12$,
\'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, $j=1,2$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as a konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel:}\/ A
$\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
f*f(x)&=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(x-y)\,dy=\int_{\left\{y\:-\frac12
\le y\le \frac12, -\frac12\le x-y\le
\frac12\right\}}1\,dy \\
&=\int_{\max\(-\frac12,-\frac12+x\)}
^{\min\(\frac12,\frac12,\frac12+x\)} \,dy,
\endalign
$$
ahonnan
$$
f*f(x)=\left\{
\aligned
\int_{-\frac12+x}^{\frac12}\,dx=1-x,&\quad\text{ha }0\le x\le 1\\
\int_{-\frac12}^{\frac12+x}\,dx=1+x,&\quad\text{ha }-1\le x\le 0\\
0&,\quad \text{egy\'ebk\'ent}
\endaligned \right.
$$
\item{} {\it M\'asik megold\'as:}\/ A $(\xi_1,\xi_2)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 1 a $B=\[-\dfrac12,\dfrac12\]
\times\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ n\'egyzeten, ez\'ert tetsz\H{o}leges (a
s\'{\i}kon \'ertelmezett) $A$ halmazra $P(\xi_1,\xi_2)\in
A)=\lambda(A\cap B)$, ahol $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'ek, azaz az
$A\cap B$ halmaz ter\"ulet\'et tekintett\"uk. Viszont a
$\{\xi_1+\xi_2<x\}$ esem\'eny megegyezik a $\{(\xi_1,\xi_2)\in A(x)\}$
esem\'ennyel, ahol $A(x)=\{(u,v)\: u+v<x\}$. Innen
$P(\xi_1+\xi_2<x)=\lambda(A_x\cap B)$, ahonnan
$P(\xi_1+\xi_2<x)=\frac12(1+x)^2$, ha $-1\le x\le 0$, \'es
$P(\xi_1+\xi_2<x)=
1-P(\xi_1+\xi_2\ge x)=\lambda(B\setminus A(x))=1-\frac12(1-x)^2$, ha
$0\le x\le 1$. Tov\'abb\'a $P(\xi_1+\xi_2<x)=0$, ha $x<-1$ \'es
$P(\xi_1+\xi_2<x)=1$, ha $x>1$. Deriv\'alva a $\xi_1+\xi_2$ fent
kisz\'am\'{\i}toott eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et megkapjuk a
$\xi_1+\xi_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
 
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'esek a f\"uggetlens\'eg \'es Kolmogorov 0--1
t\"orv\'enye fejezethez.}  \medskip
El\H{o}sz\"or \'erts\'ek meg $\sigma$-algebr\'aknak a 2.1
definici\'oban megadott f\"uggetlens\'eg\'et. Itt szerepel esem\'enyek
illetve val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege is.
\'En ez ut\'obbiakat t\'etelnek nevezn\'em. Nevezetesen arr\'ol
van sz\'o, hogy a kor\'abban tanult $\sigma$-algebr\'ak fogalma
n\'elk\"ul defini\'alt f\"uggetlens\'eg definici\'oja megegyezik az
itt megadottal. E fejezet meg\'ert\'es\'ehez elengedhetetlen a farok
$\sigma$-algebra 2.2 definici\'oja. A leg\'erdekesebb eset, \'es
gyakorlatilag az \"osszes tekintett p\'elda olyan, amelyikben bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at tekint\"unk. Ekkor a farok $\sigma$-algebra
szeml\'eletes tartalma az, hogy ez azon esem\'enyekb\H{o}l \'all,
melyek be vagy be nem k\"ovetkezt\'et meg tudjuk \'allap\'{\i}tani
akkor is, ha ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"ul
n\'eh\'anynak az \'ert\'ek\'et nem ismerj\"uk. P\'eld\'aul az az
esem\'eny, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlaga kisebb
mint egy r\"ogz\'{\i}tett $x$ sz\'am nem f\"ugg v\'eges sok az
\'atlagban r\'esztvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'ert\'ek\'et\H{o}l. A fejezet f\H{o} eredm\'enye a 2.6 T\'etel, a
Kolmogorov f\'ele 0--1 t\"orv\'eny. Ez azt mondja ki, hogy f\"uggetlen
$\sigma$-algebr\'ak, speci\'alisan f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'ak farok $\sigma$-algebr\'aja olyan esem\'enyekb\H{o}l
\'all, melyeknek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla vagy egy. A
bizony\'{\i}t\'as eszm\'eje a k\"ovetkez\H{o}: Tekint\"unk egy
r\"ogz\'{\i}tett $A$ esem\'enyt a farok $\sigma$-algebr\'aban, \'es
keres\"unk olyan (halmaz) algebr\'akat illetve $\sigma$-algebr\'akat,
melyeknek elemei f\"uggetlenek ett\H{o}l az $A$ halmazt\'ol. Bel\'atjuk
bizonyos anal\'{\i}zis seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a farok
$\sigma$-algebra esem\'enyei ilyenek. Az \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'aban kulcsszerepet j\'atszik m\'ert\'ekek
kiterjeszte\'es\'enek egy\'ertelm\H{u}s\'ege algebr\'ar\'ol az
\'altala gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara. Ez azt jelenti
speci\'alisan, hogy az $A$ halmaz \"onmag\'at\'ol is f\"uggetlen,
azaz $P(A)=P(A)^2$, \'es innen k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'as. Felt\'etlen\"ul javaslom, hogy n\'ezz\'ek \'at a
fejezetben szerepl\H{o} p\'eld\'akat is. A fejezetben szerepl\H{o}
Borel--Cantelli lemma megegyezik a bevezet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban szerepl\H{o} hasonl\'o
nev\H{u} eredm\'ennyel.
\medskip\noindent
{\it Konvergenciafogalmak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban. A nagy sz\'amok er\H{o}s
\'es gyenge t\"or\-v\'e\-nye.}
\medskip
 
El\H{o}sz\"or id\'ezz\"uk fel e fogalmak definici\'oit. Megjegyzem, hogy
az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'at majdnem
minden\"utt val\'o a sztochasztikus konvergenci\'at pedig m\'ert\'ekben
val\'o konvergenci\'anak is h\'{\i}vj\'ak.
\medskip\noindent
{\bf Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergencia
definici\'oja:}  {\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak defini\'alva, m\'asr\'eszt)
$$
P\(\oo\: \lim_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=\xi(\oo)\)=1.
$$
}\medskip\noindent
{\bf A sztochasztikus konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al sztochasztikusan egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
de\-fi\-ni\-\'al\-va, m\'asr\'eszt) minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty} P\(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|>\e\)=0.
$$
}\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez vagy az
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal meghat\'arozott
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<u)=F(u)$
{\rm minden olyan $u$ sz\'amra, ahol az $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny f\"uggv\'eny folytonos.} (Azt mondjuk, hogy a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha ez a sorozat eloszl\'asban konverg\'al az
$F(u)=P(\xi<u)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.)
 
Eloszl\'asf\"uggv\'enyek $F_n(u)$ sorozata akkor \'es csak akkor
konverg\'al egy $F(u)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ha
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata, melyekre $\xi_n$ eloszl\'asa $F_n(u)$ eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. M\'as szavakkal
ez azt jelenti, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(u)=F(u)$ az $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny minden folytonoss\'agi pontj\'aban.
}\medskip\noindent
Igaz a k\"ovetkez\H{o} kapcsolat: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergencia $\Rightarrow$ Sztochasztikus konvergencia $\Rightarrow$
Eloszl\'asban val\'o konvergencia.
 
Megmutatjuk hogy, ha $\xi_n(\oo)\to\xi(\oo)$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor defini\'alva az
$A_n=A_n(\e)=\left\{\oo\:\supp_{k\ge n}|\xi_k(\oo)-\xi(\oo)|<\e\right\}$
halmazokat kapjuk, hogy az egym\'asba skatuly\'azott $A_n$ halmazokra,
(azaz $A_1(\oo)\subset A_2\subset\cdots$), $P\(\bigcupp_{n=1}^\infty
A_n\)=1$. Ez\'ert $\limm_{n\to\infty}P(A_n)=1$. Mivel
$\{|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e\} \supset A_n$,
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e)\to1$, azaz
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|\ge\e)\to0$, ha $n\to\infty$. Ez azt jelenti,
hogy az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'ab\'ol
k\"ovetkezik a sztochasztikus konvergencia.
A jegyzet tartalmazza a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt is (Lemma 5.7 (i):
\medskip Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\limm_{n\to\infty}\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0$.
\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges olyan $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
konstru\'alni, melyekre a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan tart $\xi$-hez, de a  $\xi_n$ sorozat nem konverg\'al
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t: $\Omega$ a $[0,1]$ intervallum,
$\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aja a $[0.1]$
intervallumon, a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a Lebesgue
m\'ert\'ek. Legyen
$$
\aligned
\xi_n(x)&=\left\{
\aligned
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]\\
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]
\endaligned \right.  \\
&\qquad\qquad\qquad \text{akkor ha } 2^k\le n<2^{k+1},\quad k=1,2,\dots,
\endaligned
$$
\'es $\xi(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra. Ekkor
$P(|\xi_n-\xi|>\e)=2^{-k}$ minden $\e>0$ sz\'amra, ha $2^k\le
n<2^{k+1}$. Teh\'at a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat sztochasztikusan
konverg\'al a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Viszont
mivel $\limsupp_{n\to\infty}\xi_n(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra,
ez\'ert a $\xi_n$ sorozat nem konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
\medskip
Azt mondjuk, hogy $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik
a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, ha ezek $S_n=\xi_1+\cdot+\xi_n$
\"osszegeire $\dfrac {S_n}n\to E\xi_1$ sztochasztikusan,
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, ha $\dfrac
{S_n}n\to E\xi_1$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $n\to\infty$.
Val\'oj\'aban, olyan becsl\'eseket bizony\'{\i}tanak, melyek
f\"uggetlen (esetleg csak korrel\'alatlan), de nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszeg\'er\H{o}l sz\'olnak.
 
Az 5.1 illetve 5.2 T\'etel tartalmazza a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at. A bizony\'{\i}t\'as
l\'enyege a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg.
 
Az itt szerepl\H{o} eredm\'enyekben fontos szerepet j\'atszik az,
hogy milyen momentum felt\'etelek teljes\"ulnek az egyes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra. Az, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak l\'eteznek a magas
momentumai azt jelenti, hogy viszonylag kis
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel vesz fel nagyon nagy
\'ert\'ekeket, ez\'ert nem kell att\'ol tartani, hogy n\'eh\'any tag
extr\'em viselked\'ese rontja el a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek az \'erv\'enyess\'eg\'et. \'Igy az 5.5 T\'etelben
n\'egy momentum l\'etez\'ese van felt\'eve. A nagy sz\'amok
t\"orv\'eny\'enek az igaz\'an \'eles \'es nehezebben
bizony\'{\i}that\'o alakja a nagy sz\'amok Kolmogorov f\'ele
er\H{o}s t\"orv\'enye, 5.11 t\'etel. Eszerint az eredm\'eny
szerint a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges
\'es el\'egs\'eges felt\'etele az, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok abszolut \'ert\'ek\'enek legyen v\'eges
v\'arhat\'o \'ert\'eke. A bizony\'{\i}t\'asban szerepl\H{o}
el\'egs\'egess\'eg bizony\'{\i}t\'as\'anak alapl\'ep\'ese a
Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg. Ez az egyenl\H{o}tlens\'eg
ugyanazt a becsl\'est adja arra, hogy f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeinek maximuma nagyobb mint egy $x$ sz\'am, mint
amit a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg ad arra, hogy a maximumban
r\'esztvev\H{o} \"osszegek k\"oz\"ul az utols\'o nagyobb mint ez az
$x$ sz\'am. Egy m\'asik fontos technikai l\'ep\'es a
bizony\'{\i}t\'asban a (nem val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
tartalm\'u) Kronecker Lemma ((5.9) Lemma). Ennek
bizony\'{\i}t\'as\'aban az \'ugynevezett Abel f\'ele \'atrendez\'es
j\'atszik fontos szerepet, melyet a jegyzetben ``parci\'alis
szumm\'az\'as"-nak neveznek.
 
\'Erdemes r\"oviden elmagyar\'azni azt, hogy a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek mi\'ert sz\"uks\'eges felt\'etele az, hogy
az \"osszeadand\'ok abszolut \'ert\'ek\'enek legyen v\'eges
v\'arhat\'o \'ert\'eke. Azaz tegy\"uk fel, hogy $\xi_1,\xi_2,\dots$,
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, $S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
amennyiben $\limm_{n\to\infty}\dfrac{S_n}n\to c$ valamilyen
konstanshoz (vagy valamilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz), akkor $E|\xi_1|<\infty$.
 
Be lehet l\'atni, hogy $E|\xi|<\infty$ akkor \'es csak akkor, ha
$\summ_{n=0}^\infty P(|\xi|>n)<\infty$. Jel\"olje ugyanis $F(\cdot)$ a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ezzel a jel\"ol\'essel
$E|\xi|<\infty$ akkor \'es csak akkor, ha $\int|u|\,dF(u)<\infty$.
Tov\'abb\'a ez az integr\'al akkor \'es csak akkor v\'eges, ha
$\summ_{n=0}^\infty nP(n< |\xi|\le n+1)<\infty$. (Mi\'ert?) Ezt az
\"osszeget \'atrendezve
$$ \allowdisplaybreaks
\align
\summ_{n=0}^\infty nP(n< |\xi|\le n+1))
&=\summ_{n=0}^\infty n\(P(|\xi|>n)-P(|\xi|>n+1)\) \\
&=\summ_{n=0}^\infty P(|\xi|>n)[(n+1)-n]
=\summ_{n=0}^\infty P(|\xi|>n)
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.
\medskip
Bel\'atjuk az el\H{o}z\H{o} eredm\'eny \'es a Borel--Cantelli lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy ha a $\xi_1,\xi_2,\dots$,
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata olyan, hogy $E|\xi_1|=\infty$, akkor
az $\dfrac{S_n(\oo)}n$ sorozat egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
divergens, ahol $S_n=\summ_{k=1}^\infty \xi_k$. Ez azt jelenti, hogy
ebben az esetben nem teljes\"ul a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye.
 
Val\'oban, ha $E|\xi_1|=\infty$, akkor $\summ_{n=0}^\infty
P(|\xi_n|>n)=\summ _{n=0}^\infty P(|\xi_1|>n)=\infty$. Tov\'abb\'a
az $\{\oo\: |\xi_n(\oo)|>n\}$ esem\'enyek f\"uggetlenek, ez\'ert a
Borel-Cantelli lemma szerint majdnem minden $\oo\in\Omega$ eset\'en
$|\xi_n(\oo)|>n$ v\'egtelen sok $n$ indexre.
 
Ha $\oo\in\Omega$ olyan pont, melyben az $\dfrac{S_n(\oo)}n$,
$n=1,2,\dots$,  sorozat konvergens, akkor ebben az $\oo$ pontban
$\supp_{1\le n<\infty}\left|\dfrac{S_n(\oo)}n\right|<K(\oo)$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\(\dfrac{S_{n+1}(\oo)}{n+1}-\dfrac{S_n(\oo)}n\)=0$.
Vi\-szont, $\dfrac{S_{n+1}(\oo)}{n+1}-\dfrac{S_n(\oo)}n
=\dfrac{\xi_{n+1}(\oo)}{n+1}+\dfrac{S_n(\oo)}{n(n+1)}$, \'es
$\dfrac{S_n(\oo)}{n(n+1)}\to0$, $|\xi_{n+1}(\oo)|<n+1$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra, ha az $\dfrac{S_n(\oo)}n$ sorozat konverg\'al.
Ez vi\-szont csak nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} $\oo\in\Omega$
halmazra \'erv\'enyes. Megfogalmazom bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul,
hogy \'erv\'enyes ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a megford\'{\i}t\'asa
is, nevezetesen a k\"ovetkez\H{o} t\'etel, amelyik szerepel a
jegyzetben. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es
defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'eszlet\"osszegeket. Az $\dfrac{S_n(\oo)}n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
akkor \'es csak akkor konverg\'al pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $E|\xi_1|<\infty$. Ha
$E|\xi_1|<\infty$, akkor ez a sorozat
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, azaz
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n(\oo)}n=E\xi_1\quad\text{majdnem minden }
\oo\in\Omega\text{-ra}.
$$
}\medskip\noindent
{\it Az iter\'alt logaritmus t\'etel.}
\medskip
Ez az eredm\'eny felfoghat\'o \'ugy mint a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek az \'eles\'{\i}t\'ese. Ez pontosabban kifejezi azt,
hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszegeinek a $\limsup$-ja mekkora. Ez akkor
\'erv\'enyes, ha a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
l\'etezik m\'asodik momentuma. Az iter\'at logaritmust\'etel a
k\"ovetkez\H{o}t mondja ki: \medskip\noindent
{\bf Iter\'alt logaritmus t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok valamilyen $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyekre $E\xi_1(\oo)=0$,
$\Var\xi_1(\oo)=\sigma^2<\infty$.
Ekkor
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=1, \quad\text{majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre,}
$$
\'es
$$
\liminf_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=-1,
\quad\text{majdnem minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre,}
$$
s\H{o}t igaz a k\"ovetkez\H{o} n\'emileg \'elesebb \'all\'{\i}t\'as is:
A
$\dfrac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}$, $n=1,2,\dots$, sorozat torlod\'asi
pontjainak halmaza a $[-1,1]$ intervallum egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.} \medskip
Nem neh\'ez bel\'atni a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg vagy a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
tetsz\H{o}leges $\alpha(n)\to\infty$, ha $n\to\infty$ eset\'en
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\frac{|\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)|}
{\sqrt n \alpha(n)}<\e\)=1\quad \text{minden $\e>0$ sz\'amra},
$$
azaz a $\dfrac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}{\sqrt n \alpha(n)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sztochaszikusan
konverg\'alnak nul\-l\'a\-hoz.
 
A jegyzetben az \'all\'{\i}t\'as csak norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok \"osszeg\'ere
van bi\-zo\-ny\'{\i}t\-va. Az bizonyos fokig standard, de
meglehet\H{o}sen f\'araszt\'o l\'ep\'eseken alapul. Egyr\'eszt a
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny v\'egtelenben val\'o viselked\'es\'et
kell le\'{\i}rni, (Lemma (6.2) ezut\'an r\'eszben a Borel--Cantelli
lemm\'at alkalmzzuk illetve a
$$
P\(\dfrac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}>x\)
$$
\'es
$$
P\(\supp_{1\le k\le n}\dfrac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_k(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}>x\)
$$
alak\'u esem\'enyekre kell j\'o becsl\'est adni. Ez ut\'obbi
c\'elb\'ol szerepel a bizony\'{\i}t\'asban a t\"ukr\"oz\'esi elv
(Lemma 6.3).
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'esek a gyenge konvergencia c\'{\i}m\H{u} fejezethez.}
\medskip
A legfontosabb azt meg\'erteni, hogy a gyenge konvergencia fogalma a
sz\'amegyenesen m\'ar t\'argyalt eloszl\'asban val\'o konvergencia
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa (szepar\'abilis) metrikus tereken
\'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekekre.
Azaz, arr\'ol van sz\'o, hogy amennyiben olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok (m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyek)
sorozat\'at vessz\"uk, melyek \'ert\'ek\"uket nem felt\'etlen\"ul
a sz\'amegyenesen, hanem esetleg egy \'altal\'anos t\'eren veszik fel,
akkor mikor mondhatjuk, hogy ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban (azaz gyeng\'en) konverg\'alnak egy
ugyanazon a t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz. Az el\H{o}bb mondottak spe\-ci\'a\-li\-san azt jelentik,
hogy val\'os \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asban val\'o, illetve gyenge konvergenci\'aja megegyezik.
 
Megbesz\'elt\"uk, hogy a sz\'amegyenesen is az eloszl\'asban val\'o
konvergencia eset\'en az eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at
csak a hat\'areloszl\'as folytonoss\'agi pontjaiban
k\"o\-ve\-tel\-j\"uk meg. Nem meglep\H{o}, hogy ennek a
megszor\'{\i}t\'asnak valamilyen m\'odon \"or\"okl\H{o}dni kell
\'altal\'anos terekben is. R\'aad\'asul \'altal\'anos esetben nem
besz\'elhet\"unk el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek\-r\H{o}l. A fejezet
f\H{o} eredm\'enye a 7.2 Lemma, amelyik ekvivalens megfogalmaz\'asait
adja a gyenge konvergenci\'anak. Ezek k\"oz\"ul az (i) jellemz\'es a
sz\'amegyenesen megegyezik az eloszl\'asban val\'o konvergencia
\'altalunk megadott jellemz\'es\'evel. Annak \'erdek\'eben, hogy
meg\'erts\"uk a (iii) \'es (iv) jellemz\'eseket, azt hogy mi\'ert van
$\limsup$ a $\lim$ helyett z\'art halmazok, illetve $\liminf$ a $\lim$
helyett ny\'{\i}lt halmazok eset\'en, tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
egyszer\H{u} p\'eld\'at. Tekints\"uk a sz\'amegyenest, \'es
legyen rajta $x_n$, $n=1,2,\dots$, olyan sz\'amsorozat, melyre $x_n\to
x_0$ valamilyen $x_0$ sz\'amra Legyen tov\'abb\'a az $x_n$ sorozat
olyan, hogy $x_n\neq x_0$, ha $n\ge1$. Defini\'aljuk azon $\mu_n$,
$n=0,1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeket, melyek az
$x_n$ pontba vannak koncentr\'alva, $n=0,1,2,\dots$, azaz legyen
$\mu_n(A)=1$, ha $x_n\in A$, \'es $\mu_n(A)=0$, ha $x_n\notin A$. Ekkor
mint azt term\'eszetes v\'arni, a $\mu_n$ m\'ert\'ekek gyeng\'en
konverg\'alnak a $\mu_0$ m\'ert\'ekhez. Tekints\"uk az $F=\{x_0\}$
egyelem\H{u} halmazt. Ekkor $F$ z\'art halmaz, $\mu_n(F)=0$, ha
$n\ge1$, \'es $\mu_0(F)=1$. Ez azt jelenti, hogy $\limsup \mu_n(F)\le
\mu_0(F)$ erre a z\'art halmazra, ami konzisztens a (iii)
tulajdons\'aggal, de nem \'{\i}rhatunk limeszt \'es egyenl\H{o}s\'eget
a $\limsup$  \'es $\le$ helyett. Hasonl\'oan, ha a
$G=R^1\setminus\{x\}$ halmazt tekintj\"uk, azaz az $F$ halmaz
komplementer\'et, akkor a $G$ halmaz ny\'{\i}lt, $\mu_n(G)=1$, ha
$n\ge1$, \'es $\mu_0(G)=0$. Ez azt jelenti, hogy a (iv) tulajdons\'ag
teljes\"ul ebben az esetben, de nem \'{\i}rhatunk egyenl\H{o}s\'eget
\'es limeszt ebben a formul\'aban sem.
 
\medskip\noindent
{\it A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egr\H{o}l \'es felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ekr\H{o}l} \medskip
 
A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi felt\'etelek mellett is
defini\'alj\'ak, de az \'{\i}gy defini\'alt fogalmak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as legnehezebb fogalmai
k\"oz\'e tartoznak. Ahhoz, hogy e fo\-gal\-ma\-kat jobban
meg\'erts\"uk, pr\'o\-b\'al\-juk el\H{o}sz\"or meg\'erteni azt, hogy
milyen szeml\'eletes k\'epet akarunk ennek a definici\'onak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megfogalmazni. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk
a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at.
 
Van t\'{\i}z darab l\'amp\'ank, ezek \'elettartama egym\'ast\'ol
f\"uggetlen, (exponenci\'alis el\-osz\-l\'as\-sal \'es) 25 \'ora
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Egy foglalatba betessz\"uk az els\H{o}
l\'amp\'at, hogy bevil\'ag\'{\i}tson egy termet. Ha a l\'ampa
ki\'egett azonnal kicser\'elj\"uk a k\"ovetkez\H{o} l\'amp\'ara.
Els\H{o} k\'erd\'es: Mit v\'arunk v\'arunk, mennyi ideig elegend\H{o}
a t\'{\i}z l\'ampa egy\"uttesen a terem bevil\'ag\'{\i}t\'as\'ahoz? A
term\'eszetes v\'alasz az, hogy ez a t\'{\i}z l\'ampa egy\"uttes
\'elettartam\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke, azaz $10\times$25 \'ora.
A m\'asodik probl\'ema a k\"ovetkez\H{o}: Meg\-fi\-gyel\-j\"uk, hogy
me\-lyik id\H{o}\-pont\-ban cser\'elj\"uk ki a m\'asodik l\'amp\'at.
Mit v\'arunk ennek az inform\'aci\'onak az ismeret\'eben a t\'{\i}z
l\'ampa egy\"uttes \'elettartam\'ara? Ha ez a csere 48 \'ora 22 perc
m\'ulva t\"ort\'enik meg, akkor a term\'eszetes becsl\'es a 10 l\'ampa
egy\"uttes \'elettartam\'ara 48 \'ora 22 perc plusz $8\times25$ \'ora,
azaz 248 \'ora 22 perc. Ha ez a csere 51 \'ora 19 perc m\'ulva
t\"ort\'enik, akkor hasonl\'oan azt v\'arjuk, hogy ez az id\H{o}tartam
251 \'ora 19 perc.
 
A fenti p\'elda nem \"onmaga miatt \'erdekes sz\'amunkra, hanem
az\'ert, mert r\'amutat arra, hogy term\'eszetes felvetni a
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est. Adva egy esem\'eny vagy egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, akkor \'erdekelhet
minket ennek az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege vagy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak v\'arhat\'o
\'ert\'eke. El\H{o}fordulhat, hogy m\'as esem\'enyekenek
be\-k\"o\-vet\-ke\-z\'e\-s\'et vagy be nem k\"ovetkez\'es\'et
m\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felvett \'ert\'ek\'et
meg tudjuk figyelni, \'es ezen plusz inform\'aci\'o ismeret\'eben
akarjuk megbecs\"ulni a minket \'erdekl\H{o} esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ekkor term\'eszetes olyan
becsl\'est adni, amelyik ezeket a plusz inform\'aci\'okat is
figyelembe veszi. Az el\H{o}z\H{o} paragrafusban is ilyen k\'erd\'est
fogalmaztunk meg. Ott meg akartuk becs\"ulni t\'{\i}z
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et azon felt\'etel mellett, hogy az els\H{o}
k\'et v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az \'ert\'eke ismert. Ennek a
k\'erd\'esnek a term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'asa vezet a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek fogalm\'ahoz.
 
Az el\H{o}z\H{o} p\'elda azt sugallja, hogy egy $A$ halmaz felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et felt\'eve bizonyos $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy \'erdemes defini\'alni,
mint a $\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
alkalmas (Borel) m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny\'et, azaz
$P(A|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)=f_A(x_1,\dots,x_k)$, ahol
$f_A(x_1,\dots,x_k)$ Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny az $R^k$
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben, \'es azt m\'eri mennyire
val\'osz\'{\i}n\H{u} az $A$ esem\'eny felt\'eve, hogy $\xi_1=x_1,\dots,
\xi_k=x_k$. Ezt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget implicit m\'odon tudjuk
defini\'alni. Azt v\'arjuk, hogy
$$
\align
&P\((\xi_1,\dots,\xi_k)\in [x_1,x_1+dx_1]\times\cdots\times
[x_k,x_k+dx_k] \cap A\)\\
&\qquad =P\((\xi_1,\dots,\xi_k)\in [x_1,x_1+dx_1]\times\cdots\times
[x_k,x_k+dx_k]) f_A(x_1,\dots,x_k\).
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag azonban semmitmond\'o, mert az azonoss\'ag mindk\'et
oldala nulla. Vi\-szont ez egy tartalmas \'all\'{\i}t\'ass\'a v\'alik,
ha ezt az azonoss\'agot kiintegr\'aljuk. Ez azt su\-gall\-ja, hogy
teljes\"ulnie kell a
$$
\align
&P\(A\cap \{(\xi_1,\dots,\xi_k)\in B\}\)\\
&\qquad=\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
f_A(x_1,\dots,x_k) P\(\xi_1\in [x_1,x_1+dx_1],\dots,\xi_k\in
[x_k,x_k+dx_k]\)\\
&\qquad=\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
f_A(x_1,\dots,x_k) F(\,dx_1,\dots,\,dx_k) \tag$*$
\endalign
$$
azonoss\'agnak, ahol $B$ az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'er
tetsz\H{o}leges (Borel) m\'erhet\H{o} halmaza, $F(x_1,\dots,x_k)$
pedig a $k$-dimenzi\'os $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az anal\'{\i}zis egy fontos
eredm\'eny\'eb\H{o}l, a Banach--Hahn t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik,
hogy l\'etezik olyan $f_A(\cdot,\cdot,\cdot)$ f\"uggv\'eny mely
teljes\'{\i}ti a $(*)$ azonoss\'agot minden m\'erhet\H{o} $B$ halmazra,
\'es ezek az azonoss\'agok l\'enyeg\'eben egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozz\'ak ezt az $f_A$ felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg f\"uggv\'enyt. Annak \'erdek\'eben,
hogy meg\'erts\"uk a l\'enyeg\'eben egy\'ertelm\H{u}en kit\'etel
\'ertelm\'et jegyezz\"uk meg, hogy ha egy $f_A$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a $(*)$ azonoss\'agok rendszer\'et, akkor
meg\-v\'al\-toz\-tat\-va ezt az $f_A$ f\"uggv\'enyt egy a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$F$ eloszl\'asa \'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott m\'ert\'ek szerint
null m\'ert\'ek\H{u} halmazon, akkor olyan \'uj f\"uggv\'enyt kapunk,
mely szint\'en teljes\'{\i}ti a fenti egyenletrendszert. Az, hogy a
$(*)$ azonoss\'agot minden $B$ halmazra teljes\'{\i}t\H{o} $f_A$
f\"uggv\'eny l\'enyeg\'eben  egy\'ertelm\H{u}en meg van hat\'arozva
azt jelenti, hogy ha k\'et $f_A$ \'es $\bar f_A$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a $(*)$ azonoss\'agot a $k$-dimenzi\'os euklideszi
t\'er minden $B$ Borel m\'erhet\H{o} halmaz\'ara, akkor
$f_A(x_1,\dots,x_k)=\bar f_A(x_1,\dots,x_k)$ az $F$ eloszl\'as szerint
meghat\'arozott m\'ert\'ek szerint majdnem minden $(x_1,\dots,x_k)$
pontra.
 
Hasonl\'o gondolatmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk meg egy $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $E|\eta|<\infty$, \
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'at felt\'eve a
$\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k$ felt\'eteleket. Ezt az
$$
\aligned
E\eta(\oo) I\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in A\}\)&=\int_A
\eta(\oo)\,dP(\oo)\\
&=\int_A g_\eta(x_1,\dots,x_k) F(dx_1,\dots,dx_k)
\endaligned  \tag $**$
$$
rel\'aci\'ok defini\'alj\'ak, ahol $I(B)$ jel\"oli egy
$B\subset\Omega$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et, $A$ a
$k$-dimenzi\'os $R^k$ euklideszi t\'er tetsz\H{o}leges Borel
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaza, $F(x_1,\dots,x_k)$ a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asf\"uggv\'enye. Azt, hogy ilyen
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny val\'oban l\'etezik, \'es ez a
$g_\eta$ f\"uggv\'eny az $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott m\'ert\'ek szerint egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel meg van hat\'arozva szint\'en a
Banach--Hahn t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel l\'athatjuk.
 
Miel\H{o}tt megt\'argyaln\'ank a fent eml\'{\i}tett Banach--Hahn
t\'etelt, megfogalmazzuk a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'es v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at n\'emileg \'altal\'anosabb
esetben. El\H{o}\-for\-dul\-hat ugyanis, hogy az el\H{o}zetes
inform\'aci\'oink, melyek alapj\'an egy halmaz
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-re vagy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ek\'ere becsl\'est
akarunk adni nem t\"om\"or\'{\i}thet\H{o} v\'eges sok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o megfigyelt \'ert\'ek\'ebe.
Ahhoz, hogy a felt\'eteles va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at term\'eszetes m\'odon
meg tudjuk fogalmazni ebben az \'altal\'anosabb esetben is,
el\H{o}sz\"or azt kell tiszt\'aznunk, hogy mit jelent az \'altal\'anos
esetben az, hogy bizonyos megfigyelt esem\'enyek f\"uggv\'eny\'ek\'ent
akarunk valamit megbecs\"ulni.
 
Ha meg tudunk figyelni megsz\'aml\'alhat\'o sok esem\'enyt, akkor meg
tudjuk figyelni ezek uni\'oj\'at, metszet\'et, illetve mindegyik
esem\'eny komplementer\'et. Ez azt jelenti, hogy ezek az esem\'enyek
egy $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Ez\'ert az \'altal\'anos k\'erd\'es
\'ugy fogalmazhat\'o meg, hogy adva egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n $\Cal F\subset\Cal A$
$\sigma$-algebra \'es egy $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, melyre $E|\eta|<\infty$, illetve $A$ esem\'eny, akkor
defini\'aljuk a $P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, illetve $E(\eta|\Cal F)(\oo)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket felt\'eve a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at. Az, hogy a $\Cal F$ $\sigma$ algebra
ismeret\'eben akarjuk megbecs\"ulni az $A$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et illetve $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \'ert\'ek\'et a $P(\A|\Cal F)(\oo)$ \'es $E(\eta|\Cal
F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oj\'aban,
azt jelenti, hogy
\medskip
\item{i.)} A $P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{i$'$).} Az $E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.
\medskip
A $\Cal F$ $\sigma$-algebra szerinti felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
definici\'oj\'at a $(*)$ k\'eplethez vezet\H{o} \'ervel\'eshez
hasonl\'oan a k\"ovetkez\H{o} m\'odon pr\'ob\'aljuk defini\'alni a
$P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'es
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket. \medskip
\item{ii.)} $P(A\cap B)=\dsize \int_B P(A|\Cal F)(\oo)\,dP(\oo)$
minden $\Cal F$ m\'erhet\H{o} $B$ halmazra.
\item{ii.$'$)} $\dsize \int_B \eta(\oo)\,dP(\oo)=\int_B E(\eta|\Cal
F)(\oo)\,dP(\oo)$ minden $\Cal F$ m\'erhet\H{o} $B$ halmazra.
\medskip\noindent
{\bf A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi t\'ernek egy $\Cal
F\subset \Cal A$  r\'esz $\sigma$-algebr\'aja. Legyen tov\'abb\'a
adva egy $A\in \Cal A$ esem\'eny vagy egy $\eta(\oo)$,
$E|\eta(\oo)|<\infty$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ezen a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$ esem\'eny $P(A|\Cal
F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege felt\'eve a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o mely
teljes\'{\i}ti az i.) \'es ii.) tulajdons\'agokat. Az $\eta(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E(\eta|\Cal F)(\oo)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eke felt\'eve a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, mely
teljes\'{\i}ti az i.$'$) \'es ii$'$.) tulajdons\'agokat.}\medskip
Tiszt\'azni kell, hogy a fenti definici\'o t\'enyleg meghat\'arozza a
$P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'es
$E(\xi|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket. Ez az
al\'abb megfogalmazand\'o Banach--Hahn t\'etel k\"ovetkezm\'enye.
Ezenk\'{\i}v\"ul meg k\'{\i}v\'anjuk \'erteni az \'altal\'anos esetben
definini\'alt $P(A|\Cal F)$ illetve $E(\eta|\Cal F)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
kapcsolat\'at az el\H{o}z\H{o}leg speci\'alis esetben defini\'alt
$P(A|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ \'es
$E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ kifejez\'esekkel.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy a Banach--Hahn t\'etelt megfogalmazhassuk
el\H{o}bb be kell vezetni  a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.
\medskip\noindent {\bf Definici\'o: Egy m\'ert\'ek abszolut
folytonoss\'aga egy m\'asik m\'ert\'ek szerint.} {\it Legyen $\mu$
v\'eges ($\sigma$-addit\'{\i}v) m\'ert\'ek \'es $\nu$ v\'eges
($\sigma$-addit\'{\i}v) el\H{o}jeles m\'ert\'ek egy $\Omega$ t\'eren
\'ertelmezett $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'an. Azt mondjuk, hogy
a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint, ha minden olyan $C\in\Cal F$ halmazra, melyre $\mu(C)=0$, a
$\nu(C)=0$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.}
\medskip\noindent
{\bf Banach--Hahn t\'etel.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ t\'er, rajta
egy $\Cal F$ $\sigma$-algebra, tov\'abb\'a ezen a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'an egy $\mu$ (v\'eges) m\'ert\'ek \'es $\nu$ (v\'eges)
el\H{o}jeles m\'ert\'ek. Tegy\"uk fel, hogy a $\nu$ el\H{o}jeles
m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve. Akkor
l\'etezik olyan az $\Omega$ t\'eren defini\'alt val\'os \'ert\'ek\H{u}
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} $f(\oo)$ f\"uggv\'eny, melyre
$\int|f(\oo)|\,d\mu(\oo)<\infty$, \'es $\int_C
f(\oo)\,d\mu(\oo)=\nu(C)$ minden $C\in \Cal F$ halmazra. Tov\'abb\'a
ez az $f(\oo)$ f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u} a k\"ovetkez\H{o}
\'ertelemben. Ha k\'et $f_1(\oo)$ \'es $f_2(\oo)$ $\Cal F$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a fenti rel\'aci\'ot minden
$C\in \Cal F$ halmazra, akkor $f_1(\oo)=f_2(\oo)$ a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.}\medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy az a kit\'etel, hogy a Banach--Hahn t\'etelben
meghat\'arozott $f(\oo)$ m\'ert\'ek csak $\mu$ majdnem minden\"utt van
meghat\'arozva term\'eszetes. Ha egy $f(\oo)$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a Banach--Hahn t\'etelt, \'es a $\mu$ m\'ert\'ek szerint
null m\'ert\'ek\H{u} halmazon megv\'altoztatjuk ezt a f\"uggv\'enyt,
akkor ez a megv\'altoztatott f\"uggv\'eny is teljes\'{\i}ti a
Banach--Hahn t\'etelben megk\"ovetelt tulajdons\'agokat.
 
A Banach--Hahn t\'etelb\H{o}l egyszer\H{u}en k\"ovetkezik a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek l\'etez\'ese. Val\'oban, ha adva van
egy $(\Omega,\Cal A, P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, azon egy
$\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra valamint egy $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre $E|\xi|<\infty$, akkor
alkalmazzuk a Banach--Hahn t\'etelt a k\"ovetkez\H{o} v\'alaszt\'assal:
Legyen a $\mu$ m\'ert\'ek a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek,
pontosabban annak megszor\'{\i}t\'asa az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara,
\'es defini\'aljuk a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'eket az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'an a k\"ovetkez\H{o} formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$\nu(F)=\int_F\eta(\oo)\,dP(\oo)$ minden $F\in \Cal F$ halmazra. Ekkor
a Banach--Hahn t\'etelt alkalmazhatjuk a $\mu$ m\'ert\'ekre \'es a
$\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ekre, mert a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek
abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ek szerint. E t\'etel szerint
l\'etezik olyan {\it $f(\oo)$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny,}\/
melyre $\nu(F)=\int_F f(\oo)\mu(\,d\oo)$ minden $F\in\Cal F$ halmazra.
Ez pedig azt jelenti, hogy a Banach--Hahn t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel
konstru\'alt $f(\oo)$ f\"uggv\'eny az $E(\eta|\Cal F)(\oo)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek.
 
A $g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'eket hasonl\'oan defini\'alhatjuk csak ekkor m\'as
$\mu$ m\'ert\'ekkel \'es $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ekkel dolgozunk.
Ekkor mind a $\mu$ m\'ert\'eket mind a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'eket
az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'er Borel m\'erhet\H{o} halmazain
defini\'aljuk. A $\mu$ m\'ert\'ek a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen
vektor eloszl\'asa az $R^k$ t\'er $B\in\Cal B$ Borel m\'erhet\H{o}
r\'eszhalmazain, azaz $\mu(B)=P((\xi_1,\dots,\xi_k)\in B)$, $B\in \Cal
B$, \'es $\nu(B)=\int_{\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
B\}}\eta(\oo)\,dP(\oo)$ minden $B\in \Cal B$ halmazra. A Banach--Hahn
t\'etel alapj\'an l\'etezik olyan $g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ Borel
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny a $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren, melyre
$\nu(B)=\int_B g_\eta(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1,\dots,\,dx_k)$. Ekkor be
lehet l\'atni, hogy ez a $g_\eta$ f\"uggv\'eny a
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek.
 
A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg fogalm\'aval nem kell
k\"ul\"on foglalkoznunk, mert a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy tetsz\H{o}leges m\'er\-he\-t\H{o} $A$ halmazra
\'es annak $I_A(\oo)$ indik\'ator f\"uggv\'eny\'ere $P(A|\Cal F)(\oo)=
E(I_A(\oo)|\Cal F)(\oo)$ \'es $P(A|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)
=E(\chi_A(\oo)|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)$. A
to\-v\'a\-bbi\-ak\-ban  egyr\'eszt meg k\'{\i}v\'anjuk t\'argyalni az
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ \'es $E(\eta|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekek k\"oz\"otti kapcsolatot abban az
esetben, ha $\Cal F=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_k)$, a $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebra, azaz az a legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra, melyben
az \"osszes $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny. Ezenk\'{\i}v\"ul felsoroljuk
a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek legfontosabb tulajdons\'agait,
\'es azt, hogy hogyan lehet sz\'amolni a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel. Ez az\'ert is fontos, mivel a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'eket csak implicit m\'odon (a Banach--Hahn t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel) tudjuk defini\'alni. Ez a f\H{o} oka annak,
hogy csak nehezebben tudunk a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'amolni.
 
Az els\H{o} k\'erd\'es meg\'ert\'es\'ehez sz\"uks\'eg\"unk van a
k\"ovetkez\H{o} (nem trivi\'alis) m\'er\-t\'ek\-el\-m\'e\-leti
eredm\'enyre. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy $(\Omega, \Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  mez\H{o}, azon $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Jel\"olje $\Cal F$ a
$\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'at. Egy $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor \'es csak akkor
m\'erhet\H{o} erre az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara, ha l\'etezik a
$k$-dimenzi\'os $R^k$ euklideszi t\'erben olyan Borel m\'erhet\H{o}
$f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny, melyre
$\eta(\oo)=f(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$. }\medskip
(Megjegyezz\"uk, hogy a t\'etelben tekintett $f(x_1,\dots,x_k)$ Borel
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny nincs egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozva. A
fent kimondott t\'etel tulajdonk\'eppen a jegyzetben szerepl\H{o} 1.13
\'All\'{\i}t\'as n\'emileg \'altal\'anosabb form\'aban.)
 
Legyen $\Cal F$ egy $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebra, \'es $\eta(\oo)$, $E|\eta|<\infty$
tetsz\H{o}leges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor az
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az el\H{o}z\H{o} t\'etel
alapj\'an fel\'{\i}rhat\'o $E(\eta(\oo)|\Cal
F)=g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$  alakban, ahol
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os Borel m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'eny. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ekkor
$E(\eta|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)=g_\eta(x_1,\dots,x_k)$.
Ehhez azt kell ellen\H{o}rizni integr\'altranszform\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a ii$'$.) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a
$(**)$ rel\'aci\'o, ha a ii$'$.) rel\'aci\'oban
$B=\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in A\}$ halmazt v\'alasztunk.
Hasonl\'oan be lehet l\'atni, hogy ha
$E(\eta|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)=g_\eta(x_1,\dots,x_k)$,
akkor $E(\eta|\Cal F)(\oo)=g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$.
Ehhez, azt kell \'eszrevenni, hogy az el\H{o}bb kimondott t\'etel
alapj\'an egy $B\in \Cal F$ halmazra l\'etezik olyan $A$ Borel
m\'erhet\H{o} halmaz az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'eren, melyre
$B=\{\oo\:\(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)\)\in A\}$. Ezut\'an be lehet
l\'atni az integr\'altranszform\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
a $(**)$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a ii$'$.) rel\'aci\'ob\'ol.
\medskip
Felsoroljuk a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek legfontosabb
tulajdons\'agait. Ezek bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'at, ami viszonylag
egyszer\H{u} elhagyjuk. Ezek \'es n\'eh\'any egy\'eb \'all\'{\i}t\'as
szerepel a 9.5 t\'etelben. R\"og\-z\'{\i}t\-s\"unk egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t. Az al\'abbi
tulajdons\'agokban szerepl\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok ezen a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
\'ertelmezve. \medskip
\item{1.} Ha $\summ_{k=1}^\infty |a_k|E|\xi_k|<\infty$, $\Cal F\subset
A$ tetsz\H{o}leges $\sigma$-algebra, akkor
$$
E\(\left.\summ_{k=1}^\infty a_kE(\xi_k\right|\Cal F\)(\oo)
=\summ_{k=1}^\infty a_k E(\xi_k|\Cal F)(\oo)
\quad\text{majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.}
$$
\item{2.} Ha $E|\xi|<\infty$, $\Cal G\subset \Cal F\subset\Cal A$
tetsz\H{o}leges $\sigma$-algebr\'ak, akkor $E\(E(\xi|\Cal F)|\Cal
G\)(\oo)=E(\xi|\Cal G)(\oo)$ majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.
Speci\'alisan $E\(E\xi|\Cal F\)=E\xi$.
\item{3.} Ha $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre
$P(a\le \xi\le b)=1$ alkalmas $-\infty<a<b<\infty$ sz\'amokkal, $\Cal
F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra, akkor $a\le E(\xi|\Cal F)(\oo)<b$
majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.
\item {4.} $E(\xi|\Cal A)(\oo)=\xi(\oo)$. Ha $\Cal A_0$ jel\"oli a
trivi\'alis $\sigma$-algebr\'at, amelyik csak az $\Omega$ \'es
$\emptyset$ \"ures halmazb\'ol \'all, akkor $E(\xi|\Cal A_0)(\oo)=E\xi$.
\item{5.} Ha $E|\xi|<\infty$, $\Cal F\subset \Cal A$, a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at\'ol, azaz ha tetsz\H{o}leges $F\in \Cal F$ \'es a
sz\'amegyenesen l\'ev\H{o} Borel m\'erhet\H{o} $B\subset R^1$
halmazokra, $P(\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}\cap F)= P(\{\oo\:\xi(\oo) \in
B\})P(F)$, akkor $E(\xi|\Cal F)(\oo)=E\xi$.
\item{6.} Ha $E\xi^2<\infty$, $E\eta^2<\infty$, $\Cal F\subset \Cal
A$, a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'ara m\'erhet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, azaz tetsz\H{o}leges a sz\'amegyenesen l\'ev\H{o} Borel
m\'erhet\H{o} $B\subset R^1$  halmazra, $\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}\in \Cal
F$, akkor $E(\xi\eta|\Cal F)(\oo)=\xi(\oo)E(\eta|\Cal F)(\oo)$
majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.
\medskip
A fenti \'all\'{\i}t\'asok egyik \'erdekes k\"ovetkezm\'enye a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'ag. Tekints\"unk egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, melyre $E\xi^2<\infty$.
Ekkor a
$$
\xi(\oo)=E(\xi|\Cal F)(\oo)+\(\xi(\oo)-E(\xi|\Cal F)(\oo)\)
$$
felbont\'as olyan, hogy az \"osszegben szerepl\H{o} k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egym\'asra mer\H{o}leges az
$(\Omega,\Cal A,P)$ t\'eren n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
f\"uggv\'enyek (Hilbert) ter\'eben, azaz
$$
E(\xi|\Cal F)(\oo)\(\xi(\oo)-E(\xi|\Cal F)(\oo)\)=0.
$$
Ebb\H{o}l a t\'enyb\H{o}l, illetve a Hilbert terek n\'eh\'any
(egyszer\H{u}) alapvet\H{o} tulajdons\'aga se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
l\'athat\'o, hogy \medskip
\item{7.} $E\[\xi(\oo)-E(\xi|\Cal F)(\oo)\]^2=\inff\Sb \eta\; \Cal F
\text{ m\'erhet\H{o}} \\ \text{val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, }
E\eta^2<\infty \endSb E(\xi(\oo)-\eta(\oo))^2$.
\medskip
A hatodik pontban megfogalmazott tulajdons\'ag fontos mind a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban mind a
statisztik\'aban. \'Ugy lehet interpret\'alni, hogy az $E(\xi|\Cal
F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o legjobb k\"ozel\'{\i}t\'ese
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval (az
$L_2(\Omega,\Cal A,P)$ t\'erben). \medskip
A matematikai statisztik\'aban bizonyos vizsg\'alatokban sz\"uks\'eg
van felt\'eteles el\-osz\-l\'a\-sok\-kal val\'o sz\'amol\'asra. Az itt
felmer\"ul\H{o} k\'erd\'esek azonban egyszer\H{u}bbek. Olyan tipus\'u
k\'er\-d\'e\-sek mer\"ulnek fel, melyekben adott egy
$(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})$ v\'eletlen vektor,
melynek l\'etezik $f(x_1,\dots,x_{k+l})$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es ki akarjuk sz\'am\'{\i}tani a
$$
(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})
$$
v\'eletlen vektor egy $h(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})$
f\"uggv\'eny\'enek felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et a
$\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_{k+l}=x_{k+l}$ felt\'etelek mellett. Ez
az\'ert egyszer\H{u}bb az el\H{o}z\H{o}leg vizsg\'alt
k\'erd\'esekn\'el, mert ebben az esetben a felmer\"ul\H{o} felt\'eteles
eloszl\'asokat explicit m\'odon kisz\'am\'{\i}thatjuk. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy ebben az esetben a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
felt\'eteles s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye felt\'eve a
$\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_{k+l}=x_{k+l}$ felt\'eteleket
$$
f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})=
\frac{f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})}
{g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})},
$$
ahol
$$
g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})=\int
f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1,\dots\,dx_k,
$$
azaz a $\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l}$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez azt jelenti, hogy tetsz\H{o}leges
Borel m\'erhet\H{o} $A\subset R^k$ halmazra
$$
\align
P&\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
A\}|\xi_{k+1}(\oo)=x_{k+1},\dots,\xi_{k+l}(\oo)=x_{k+l}\)\\
&\qquad=\int_A f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1\dots\,dx_k.
\endalign
$$
Illetve a $(*)$ formula alapj\'an azt kell ellen\H{o}rizni, hogy minden
$A\subset R^k$ \'es $B\in R^l$ Borel m\'erhet\H{o} halmazp\'arra
$$
\align
&P\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
A\}\cap\{\oo\:(\xi_{k+1}(\oo),\dots,\xi_{k+l}(\oo))\in B\}\)\\
&\quad=\int\limits_B\[\int\limits_A
f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1\dots\,dx_k\]
g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_{k+1}\dots dx_{k+l}.
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag viszont \'erv\'enyes, mert
$$
\align
&\int_B\[\int_A
f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1\dots\,dx_k\]
g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_{k+1}\dots\,dx_{k+l}\\
&\qquad =\int_{A\times B}
f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})
\,dx_1\dots\,dx_k\,dx_{k+1}\dots\,dx_{k+l}\\
&\qquad=P\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
A\}\cap\{\oo\:(\xi_{k+1}(\oo),\dots,\xi_{k+l}(\oo))\in B\}\).
\endalign
$$
Be lehet l\'atni, hogy egy $h(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})$
f\"uggv\'enyre
$$
\align
&h(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})|\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,
\xi_{k+l}=x_{k+l})\\
&\qquad=\int h(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})
\frac{f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})}
{g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})}\,dx_1\dots\,dx_k.
\endalign
$$
 
Ennek a formul\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'at, mely \'ugy
t\"ort\'enhet, hogy el\H{o}bb a legegyszer\H{u}bb $h$ f\"uggv\'enyre
bizony\'{\i}tjuk, majd alkalmas hat\'ar\'atmenettel
\'altal\'anos f\"uggv\'enyekkel el\-hagy\-juk. A fent t\'argyalt
formul\'ak seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet bizony\'{\i}tani n\'eh\'any
\'erdekes formul\'at a fel\-t\'e\-te\-les eloszl\'asokra, ezt azonban
id\H{o}hi\'any miatt nem tessz\"uk.
 
 
 
 
 
 
 
 
\bye
 
 
 
