\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A m\'arcius 20-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip \noindent
{\it Feladatok:}
\item{1.} \'Altal\'anos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eset\'eben is \'erv\'enyes a
$$
\inf_{-\infty<M<\infty} E(\xi-M)^2=\Var\xi
$$
azonoss\'ag.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
A diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'ehez
hasonl\'oan \'ervelhet\"unk.
$$
E(\xi-M)^2=E(\xi-E\xi+(E\xi_M))^2=E(\xi-E\xi)^2+(E\xi-M)^2\ge\Var\xi,
$$
\'es $M=E\xi$ eset\'eben azonoss\'ag \'erv\'enyes.
\item{2.} Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $\eta=a\xi+b$ \'es $\zeta=\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=P(\xi<x)=\int_{-\infty}^x
f(u)\,du$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor az $\eta=a\xi+b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi<\dfrac{x-b}a\)=F\(\dfrac{x-b}a\)$ f\"uggv\'eny,
ha $a>0$, \'es
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi>\dfrac{x-b}a\)=1-F\(\dfrac{x-b}a\)$, ha $a<0$.
Innen $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\dfrac{dG(x)}{dx}=\dfrac1{|a|}f\(\dfrac{x-b}a\)$.
\item{} A $\zeta=\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
G(x)=P(\xi^2<x)=P\(-\sqrt x<\xi<\sqrt x\)=F\(\sqrt x\)-F\(-\sqrt x\),
$$
ha $x\ge 0$, \'es $G(x)=0$, ha $x<0$. Innen deriv\'al\'assal $\zeta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\dfrac1{2\sqrt x}\(f\(\sqrt
x\)+f\(-\sqrt x\)\)$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyen egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'onak
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi^3$
\'es $\xi^4$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\item{3.} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\dfrac1{|\sigma|}\varphi\(\dfrac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\item{4.} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor$E\xi^{2k-1}=0$,
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi^{2k-1}=\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. M\'asr\'eszt
parci\'alis integr\'al\'assal $f(x)=x^{2k-1}$ \'es $g(x)=
x\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}= \dfrac d{dx}\(-
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$  kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2k}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=
\int_{-\infty}^\infty (2k-1) x^{2k-2}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=(2k-1)E\xi^{2k-2}.
\endalign
$$
Innen $k$ szerinti indukci\'oval kapjuk a feladat m\'asodik
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait, azaz egy olyam val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait adjuk meg, mely\-nek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. \medskip
\item{5.} Mutassuk meg, hogy egy exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>x)
$$
minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mivel $P(\xi>u)=e^{-\lambda u}$ minden
$u\ge 0$ sz\'amra, ez\'ert
$P(\xi>x+y|\xi>y)=\dfrac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda y}}
=e^{-\lambda x}=P(\xi>x)$.
\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
teljes\H{u}ti az \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot, akkor az
exponenci\'alis eloszl\'as\'u.
\medskip
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Azt kell bel\'atni, hogy amennyiben
$P(\xi> x+y)=P(\xi> x)P(\xi> y)$ minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$
sz\'amra, akkor $P(\xi> x)=e^{-\lambda x}$ minden $x\ge0$ sz\'amra.
Legyen $P(\xi> x)=e^{-\lambda(x) x}$ valamely $x>0$ sz\'amra.
L\'assuk be el\H{o}sz\"or az $y=\frac pq x$ alak\'u sz\'amokra,
ahol $p$ \'es $q$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, hogy
$P(\xi> y)=e^{-\lambda(x)y}$. V\'eg\"ul, mivel $P(\xi> x)$ monoton
cs\"okken\H{o} f\"uggv\'eny, ez\'ert $\lambda(x)=\lambda$. \medskip
\item{6.} Mutassuk meg, hogy l\'etezik olyan $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} szuper \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)>P(\xi>x)
$$
minden $x>0$ \'es $y>0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o olyan, hogy $P(\xi>x)=e^{-\sqrt x}$, ha $x\ge0$ \'es
$P(\xi>x)=1$, ha $x<0$. Ekkor $P(\xi>x+y|x>y)=e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}$,
ha $x>0$, $y>0$. Ez\'ert el\'eg megmuatatni, hogy
$e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}>e^{-\sqrt y}$, illetve hogy
$\sqrt{x+y}<\sqrt x+\sqrt y$, ha $x>0$ \'es $y>0$. Ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg viszont (n\'egyzetre emel\'es ut\'an)
k\"onnyen l\'athat\'o.
\item{7.} Legyen egy $(\xi_1,\xi_2)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
az $F(x_1,x_2)=P(\xi_1<x_1,\xi_2<x_2)$ f\"uggv\'eny,
$-\infty<a_1<b_1<\infty$, $-\infty<a_2<b_2<\infty$ val\'os sz\'amok.
Fejezz\"uk ki az $F(x_1,x_2)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $P(a_1\le\xi_1<b_1,a_2\le\xi_2<b_2)$,
$P(a_1\le\xi_1\le b_1,a_2\le\xi_2\le b_2)$ \'es
$P(a_1<\xi_1<b_1,a_2<\xi_2<b_2)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
El\H{o}sz\"or azt megmutatjuk meg, hogy $P(a_1\le \xi_1<b_1,
a_2\le\xi_2<b_2) =F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)-F(a_1,b_2)+F(a_1,a_2)$.
Val\'oban, $F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)=P(\xi_1<b_1, a_2\le \xi_2<b_2)$,
\'es $F(a_1,b_2)-F(a_1,a_2)=P(\xi_1<a_1, a_2\le \xi_2<b_2)$. Ezt a
k\'et azonoss\'agot kivonva egym\'asb\'ol megkapjuk a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'ast.
$$
\align
&P(a_1\le\xi_1\le b_1,a_2\le\xi_2\le b_2)=\limm_{n\to\infty}
P\(a_1\le\xi_1< b_1+\frac1n,a_2\le\xi_2< b_2+\frac1n\)\\
&\quad= \!\limm_{n\to\infty}\! \(F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)
-F\(b_1+\frac1n,a_2\)-F\(a_1,b_2+\frac1n\) +F(a_1,a_2)\)\\
&\quad=\limm_{n\to\infty} F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)-
\limm_{n\to\infty} F\(b_1+\frac1n,a_2\)\\
&\qquad\qquad -\limm_{n\to\infty}
F\(a_1,b_2+\frac1n\)+F(a_1,a_2).
\endalign
$$
Jegyezz\"uk meg, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'eny
tulajdons\'agaib\'ol k\"ovetkezik, hogy a fel\'{\i}rt
hat\'ar\'ert\'ekek, p\'eld\'aul a $\limm_{n\to\infty}
F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)$ kifejez\'es val\'oban l\'etezik.
 
Hasonl\'an,
$$
\align
&P(a_1<\xi_1< b_1,a_2<\xi_2< b_2)=\limm_{n\to\infty}
P\(a_1+\frac1n\le \xi_1< b_1,a_2+\frac1n\le \xi_2< b_2\)\\
&\quad=\limm_{n\to\infty} F(b_1,b_2)-F\(b_1,a_2+\frac1n\)\\
&\qquad\qquad -\limm_{n\to\infty}
F\(a_1+\frac1n,b_2\)+\limm_{n\to\infty}F\(a_1+\frac1n,a_2+\frac1n\).
\endalign
$$
 
\item{8.} Legyen az $F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k)$
f\"uggv\'eny a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Mutassuk meg a v\'arhat\'o \'ert\'ek
additivit\'as\'anak fel\-hasz\-n\'a\-l\'a\-s\'a\-val (\'es alkalmas
halmazok indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek a bevezet\'es\'evel), hogy
$$
P((a_j\le \xi_j<b_j,\; 1\le j\le k)=\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\psi(u_1,\dots,u_k)} F(u_1,\dots,u_k),
$$
ahol $\psi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k sz\'am\'at az
$u_1,\dots,u_k$ sorozatban.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Adva valamely $u_1,\dots,u_k$ sz\'amok, defini\'aljuk a
$$
B(u_1,\dots,u_k)=\{(t_1,\dots,t_k)\: t_j<u_j,\, 1\le j\le k\}
$$
halmazt, \'es legyen $\chi_{B(u_1,\dots,u_k)}(\oo)$ az
$\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B(u_1,\dots,u_k)\}$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye. Legyen tov\'abb\'a $\chi_{\bold K}(\oo)$
az $\{\oo\: a_j\le \xi_j<b_j,\,1\le j\le k\}$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye. El\'eg megmutatni, hogy
$$
\chi_{\bold K}(\oo)=\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\psi(u_1,\dots,u_k)}
\chi_{B(u_1,\dots,u_k)}(\oo),
$$
mert v\'eve ezut\'an mind a k\'et oldal v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
megkapjuk a k\'{\i}v\'ant azonoss\'agot.
\item{} Az is vil\'agos, hogy $\{\oo\: a_j\le \xi_j<b_j,\,1\le j\le
k\}$ eset\'eben a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag mind a k\'et oldala
1-gyel egyenl\H{o}. Azt kell \'eszrevenni, hogy ekkor a jobboldalon a
$\chi_{B(b_1,\dots,b_k)}(\oo)$ tag 1, \'es az \"osszes t\"obbi tag
a jobboldalon nulla.
\item{} Ha $\oo\in\Omega$ olyan, hogy az  $a_j\le \xi_j<b_j$
egyenl\H{o}tlens\'egek nem teljes\"ulnek minden $1\le j\le k$
indexre, akkor a baloldal nulla. Azt kell bel\'atni, hogy ugyanez
\'erv\'enyes a jobboldalon. Vil\'agos, hogy a jobboldal nulla, ha
$\xi_j(\oo)\ge b_j$ valamilyen $j$ indexre. Azt az esetet kell m\'eg
n\'ezni, amikor $\xi_j(\oo)<b_j$ minden $1\le j\le k$ indexre,
bizonyos $j$ indexekre $a_j\le \xi_j<b_j$, de l\'etezik legal\'abb
egy olyan $l$ index, melyre $\xi_j<a_j$. Legyen $L$ a legkisebb
ilyen index. Ha p\'aros\'{\i}tjuk az olyan
$(-1)^{\psi(u_1,\dots,u_k)}\chi_{B(u_1,\dots,u_k)}(\oo)$
kifejez\'eseket, melyeknek az $u_j$ koordin\'at\'at\'ai megegyeznek
$j\neq L$ esetben, de $u_L=a_L$ a p\'ar egyik \'es $u_L=b_L$ a p\'ar
m\'asik tagj\'ara, akkor az \"osszes ilyen p\'ar hozad\'eka
z\'er\'o. Ez\'ert az azonoss\'ag ekkor is \'erv\'enyes,
mert mind a bal mind a jobboldal z\'er\'o ebben az esetben.
 
 \bye
 
 
 
 
