\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A m\'arcius 13-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
 
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat.}
\medskip
\item{} Legyen
$$
\align
&\xi_{1,1}\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1}\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
sz\'eriasorozat, azaz tegy\"uk fel, hogy az egy sorban \'all\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\item{1.)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel.
\item{2.)} $P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$.
\item{3.)} $\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$,
\'es $\summ_{j=1}^{n_k}P\(\xi_{k,j}\ge2\)\to0$, ha $k\to\infty$.
\item{} Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $\lambda$ para\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha
$k\to\infty$, azaz
$\limm_{k\to\infty}P(S_k=l)=\dfrac{\lambda^l}{l!}e^{-\lambda}$ minden
$l=0,1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Az eredm\'eny egyszer\H{u}bb,
az \'or\'an t\'argyalt v\'altozat\'anak a bizony\'{\i}t\'asa
megfelel\H{o} v\'altoztat\'assal alkalmazhat\'o. Adjunk j\'o
aszimptotikus becsl\'est a $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $g_{k,j}(x)=\summ_{l=0}^\infty P(\xi_{k,j}=l)x^l$
gener\'atorf\"uggv\'eny\'ere, $|x|<1$. \medskip
 
\item{1.} Egy t\'oban 3000 hal van. V\'eletlen\"ul kihal\'asznak
bel\H{o}le 1000 darabot, \'es ezekre piros p\"otty\"ot festenek \'es
visszaengedik \H{o}ket. Ezut\'an ism\'et kifognak v\'eletlen\"ul 1000
halat. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
kifogott halak k\"oz\"ott 100 megfestett van?
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$\dfrac{\dbinom{1000}{100}\dbinom{2000}{900}} {\dbinom{3000}{1000}}$,
mert a keresett eloszl\'as hipergeometrikus. Azt kell
kisz\'am\'{\i}tani, hogy ha 3000 objektumb\'ol (halb\'ol) k\'et
tipus van, az egyikb\H{o}l (a megjel\"olt halb\'ol) 1000, a
m\'asikb\'ol 2000, \'es kiv\'alasztunk (visszatev\'es n\'elk\"ul)
1000 objektumot, akkor mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
100-at v\'alasztunk az els\H{o} \'es 900-at a m\'asodik objektumb\'ol.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A
gyakorlatban el\H{o}fordul\'o
k\'erd\'es ennek ford\'{\i}tottja. Elv\'egezz\"uk a fenti kis\'erletet,
\"osszesz\'aml\'aljuk a megfestett halakat, \'es ebb\H{o}l
pr\'ob\'alunk k\"ovetkeztetni a t\'oban lev\H{o} halak sz\'am\'ara.
Hogyan \'erdemes ezt csin\'alni?
\medskip
Ezt a probl\'em\'at \'erdemes r\'eszletesebben megt\'argyalni.
Val\'oj\'aban, nem tudjuk, hogy h\'any hal van a t\'oban. De ennek
megbecsl\'ese \'erdek\'eben a k\"ovetkez\H{o} elj\'ar\'ast
alkalmazhatjuk:
 
V\'egezz\"unk k\'et fog\'ast, az els\H{o} fog\'asban kifogott
halakat jel\"oljuk meg. Ezut\'an meg akarjuk \'allap\'{\i}tani
mennyi hal lehet \"osszesen a t\'oban. Ezt term\'eszetesen csak
bizonyos (v\'eletlent\H{o}l f\"ugg\H{o}) pontoss\'aggal tudjuk
meghat\'arozni. Az ilyen tipus\'u fel\-ada\-tok tipikusak a
matematikai statisztik\'aban, az ilyen probl\'em\'ak vizsg\'alat\'at
nevezik becsl\'eselem\'eletnek. Vil\'agos, hogy az, hogy 1000-n\'el
alig t\"obb hal van, nem t\'ul val\'osz\'{\i}n\H{u}, mert akkor
sokkal t\"obb megjel\"olt hal lenne a m\'asodik fog\'asban. Az hogy
rengeteg, mondjuk 1~000~000 hal lenne a t\'oban szint\'en nem t\'ul
val\'osz\'{\i}n\H{u}, mert akkor sokkal kevesebb megjel\"olt hal
lenne a m\'asodik fog\'asban. A matematikai statisztik\'aban
kidolgoztak egy \'altal\'anos elvet a maximum likelihood
m\'odszernek ne\-ve\-zett elj\'ar\'ast, mely nagyon
\'altal\'anos felt\'etelek mellett nagyon j\'o m\'odszert ad,
\'es mely jelen esetben is al\-kal\-maz\-ha\-t\'o. T\'argyaljuk
meg ezt a m\'odszert a jelen esetben. Te\-kint\-s\"unk kiss\'e
\'altal\'anosabb esetet. Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
jel\"ol\'eseket:
\item{} $x$ a t\'oban l\'ev\H{o} halak (ismeretlen) sz\'ama,
\item{} $n$ az els\H{o} fog\'asban kifogott (\'es megjel\"olt) halak
sz\'ama,
\item{} $r$ a m\'asodik fog\'asban kifogott halak sz\'ama,
\item{} $k$ a m\'asodik fog\'asban kifogott el\H{o}z\"oleg
megjel\"olt halak sz\'ama.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy adott (ismeretlen) $x$ \'es
$n$, $r$ sz\'amok eset\'en pontosan $k$ megjel\"olt halat fogunk ki
$$
q_k(x,n,r)=\frac{\dbinom{n}k\dbinom {x-n}{r-k}}{\dbinom xr}.
$$
Tekints\"uk az ismeretlen $x$ sz\'am (maximum likelihood)
becsl\'es\'enek azt az $x$ sz\'amot, melyre a $q_k(x,n,r)$
mennyis\'eg (r\"ogz\'{\i}tett $n$, $k$ \'es $r$ sz\'amok mellett)
maxim\'alis.
\item{2.} Hat\'arozzuk meg a fenti feladatban a maximum likelihood
becsl\'est.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ N\'emi sz\'amol\'as mutatja, hogy
$$
\frac{q_k(x,n,r)}{q_k(x-1,n,r)}=\frac
{x-n}{x-n-r+k}\cdot\frac{x-r}x=\frac{x^2-rx
-nx+rn}{x^2-rx-nx+kx}.
$$
Ez a t\"ort kisebb mint egy, ha $rn<kx$, nagyobb mint egy, ha
$rn>kx$. Ez\'ert a becsl\'es $rn=kx$, azaz $x=\dfrac {rn}k$,
pontosabban az e sz\'amot k\"ozrefog\'o eg\'esz sz\'amok valamelyike.
Val\'oban $x<\dfrac {rn}k$ eset\'eben a $q_k(x,n,r)$ f\"uggv\'eny
(mint az $x$ v\'altoz\'o f\"uggv\'enye r\"ogz\'{\i}tett $k$, $n$
\'es $r$ param\'eterekkel) monoton n\H{o}, $x>\dfrac {rn}k$
eset\'eben pedig a $q_k(x,n,r)$ f\"uggv\'eny monoton cs\"okken.
\item{3.} Feldobunk egy p\'enzdarabot, mely $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej, $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra k\'etszer
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Jel\"olje $\xi$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely a fejdob\'asok
sz\'am\'at adja meg. Adjuk meg a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A vizsg\'alt $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o olyan, hogy $P(\xi=0)=(1-p)^2$,
$P(\xi=1)=2p(1-p)$, $P(\xi=2)=p^2$. Innen $F(x)=0$, ha $x\le0$,
$F(x)=(1-p)^2$, ha $0<x\le1$, $F(x)=(1-p)^2+2p(1-p)=1-p^2$, ha
$1<x\le2$, \'es $F(x)=1$, ha $2<x<\infty$.
\item{4.} Legyen adva egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye. Hat\'arozzuk meg ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $\{\oo\:a<\xi(\oo)<b\}$ alak\'u esem\'enyek,
$-\infty<a<b<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, valamint annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy $\xi(\oo)$ valamilyen p\'aros
eg\'esz \'ert\'eket vesz fel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
P\(\{\oo\:a<\xi(\oo)<b\}\)=&
\limm_{n\to\infty} P\(\left\{\oo\:a+\dfrac1n\ge\xi(\oo)<b\right\}\)\\
&=\limm_{n\to\infty} \[F(b)-F\(a+\dfrac1n\)\].
\endalign
$$
Egy tetsz\H{o}leges $u$ pontra $P(\xi=u)
=\limm_{n\to\infty}\[F\(u+\dfrac1n\)-F(u)\]$. Ez\'ert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely p\'aros eg\'esz \'ert\'eket vesz fel
$\summ_{k=-\infty}^\infty \limm_{n\to\infty}\[F\(2k+\dfrac1n\)-F(2k)\]$.
 
 
\item{5.} L\'assuk be, hogy l\'etezik olyan diszkr\'et eloszl\'as\'u
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melynek $F(x)=P(\xi<x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere igaz, hogy minden $-\infty<a<b<\infty$
sz\'amp\'arra $F(a)<F(b)$ szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eggel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy lehets\'eges konstrukci\'o a
k\"ovetkez\H{o}. Legyen $r_1,r_2,\dots$, a racion\'alis sz\'amok
sorozata valamilyen sorrendben felsorolva. Defini\'aljunk olyan $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot, melyre
$P(\xi=r_j)=2^{-j}$, $j=1,2,\dots$. Ekkor $\xi$ diszkr\'et
el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
ennek $F(x)$ eloszl\'as\'ara $F(b)-F(a)=P(a<\xi<b)>0$, mert
$P(a<\xi<b)>P(\xi=r_j)>0$, ahol $r_j$ egy az $[a,b]$ intervallum
belsej\'eben l\'ev\H{o} racion\'alis sz\'am.
 
 
 \bye
 
 
 
 
