A május 8-i előadáshoz kapcsolódó gyakorlat feladatai

1. Legyen η = (η_{1}, …, η_{k}) k-dimenziós normális eloszlású valószínűségi változó nulla várható értékkel és D kovariancia mátrix-szal. Legyenek a λ_{1}, …, λ_{k} számok a D mátrix sajátértékei (multiplicitással). Bizonyítsuk be (alapvető lineáris algebrai is-

meretek felhasználásával), hogy a ∑_{j=1}^{k} η_{j}^{2} valószínűségi változó eloszlása megegyezik

egy ∑_{j=1}^{k} λ_{j}ξ_{j}^{2} valószínűségi változó eloszlásával, ahol ξ_{1}, …, ξ_{k} független standard

normális eloszlású valószínűségi változók. Megoldás: A D mátrix felírható D = UΛU^{∗} alakban, ahol U unitér, Λ pedig olyan diagonális mátrix, melynek átlójában a D mátrix λ_{j} sajátértékei vannak. (Az U mátrix is felírható explicit módon a D nátrix sajátvektorainak segítségével, de erre a tényre itt nincs szükségünk.) Az η = (η_{1}, …, η_{k}) véletlen vektor eloszlása megegyezik egy η̄ = (η̄_{1}, …, η̄_{k}) = ξΛ^{1/2}U^{∗} = (ξ_{1}, …, ξ_{k})Λ^{1/2}U^{∗} véletlen vektor eloszlásával, ahol a ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor standard normális eloszlású. Valóban η̄ normális eloszlású véletlen vektor, melynek várható értéke nulla és kovariancia mátrixa a (Λ^{1/2}U^{∗})^{∗}Λ^{1/2}U^{∗} = UΛ^{1/2}Λ^{1/2}U^{∗} = UΛU^{∗} = D mátrix. Ezért

a ∑_{j=1}^{k} η_{j}^{2} valószínűségi változó eloszlása megegyezik a ∑_{j=1}^{k} η̄_{j}^{2} valószínűségi változó

eloszlásával. Vegyük észre, hogy az η̃ = (η̃_{1}, …, η̃_{k}) = η̄U = (η̄_{1}, …, η̄_{k})U vektorra

teljesül a ∑_{j=1}^{k} η̄_{j}^{2} = ∑_{j=1}^{k} η̃_{j}^{2} azonosság, mert U unitér, tehát távolságtartó transz-

formáció. Viszont η̃ = η̄U = ξΛ^{1/2}U^{∗}U = ξΛ^{1/2}. Ez azt jelenti, hogy a ∑_{j=1}^{k} η_{j}^{2}

valószínűségi változó eloszlása megegyezik a ∑_{j=1}^{k}(λ_{j}^{1/2}ξ_{j})^{2} = ∑_{j=1}^{k} λ_{j}ξ_{j}^{2} valószínűségi

változó eloszlásával, és ez a feladat állítása.

2. Legyen (ξ_{1}, …, ξ_{m}) m-dimenziós valószínűségi változó φ_{1}(t_{1}, …, t_{m}) karakterisztikus függvénnyel, (η_{1}, …, η_{n}) n-dimenziós valószínűségi változó φ_{2}(t_{1}, …, t_{n}) karakterisztikus függvénnyel. A (ξ_{1}, …, ξ_{m}) és (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektorok akkor és csak akkor függetlenek egymástöl, ha a (ξ_{1}, …, ξ_{m}, η_{1}, …, η_{n}) n + m-dimenziós valószínűségi változó φ_{1}(t_{1}, …, t_{n+m}) karakterisztikus függvénye

φ(t_{1}, …, t_{n+m}) = φ_{1}(t_{1}, …, t_{m})φ_{2}(t_{m+1}, …, t_{m+n})

alakban írható. Megoldás: Ha a (ξ_{1}, …, ξ_{m}) és (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektorok függetlenek, akkor a (ξ_{1}, …, ξ_{m}, η_{1}, …, η_{n}) valószínűségi változó karakterisztikus függvénye

φ(t_{1}, …, t_{n+m}) = Ee^{i(t_{1}ξ_{1}+···+t_{m}ξ_{m}+t_{m+1}ξ_{m+1}+···+t_{m+n}ξ_{m+n})}
= Ee^{i(t_{1}ξ_{1}+···+t_{m}ξ_{m})}Ee^{i(t_{m+1}ξ_{m+1}+···+t_{m+n}ξ_{m+n})}
= φ_{1}(t_{1}, …, t_{m})φ_{2}(t_{m+1}, …, t_{m+n})

alakban írható. Megfordítva, ha a (ξ_{1}, …, ξ_{m}, η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektor karakterisztikus függvénye teljesíti a φ(t_{1}, …, t_{n+m}) = φ_{1}(t_{1}, …, t_{m})φ_{2}(t_{m+1}, …, t_{m+n}) azonosságot, akkor φ_{1}(t_{1}, …, t_{m}) = φ(t_{1}, …, t_{m}, 0, …, 0) a (ξ_{1}, …, ξ_{m}), és hasonlóan φ_{2}(t_{1}, …, t_{n}) az (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektornak a karakterisztikus függvénye. Tekintsünk két független m illetve n-dimenziós véletlen vektort, melyek eloszlása megegyezik a (ξ_{1}, …, ξ_{m}) illetve (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektorok eloszlásával, és ezenkívül függetlenek egymástól. Ezeknek a valószínűségi változóknak a karakterisztikus függvénye a φ_{1} illetve φ_{2}, együttes eloszlásuk pedig a φ(t_{1}, …, t_{n+m}) függvény. Mivel egy véletlen vektor karakterisztikus függvénye egyértelműen meghatározza e véletlen vektor eloszlását, innen következik, hogy a (ξ_{1}, …, ξ_{m}) és (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektorok függetlenek.

Nem kötelező házifeladat:

Valószínűségi változók ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata, akkor és csak akkor konvergál egy valószínűséggel egy ξ valószínűségi változóhoz, ha az η_{n} = sup_{k≥n} |ξ_{k} −ξ| valószínűségi

változók sorozata sztochasztikusan konvergál nullához, azaz minden ε > 0 számra

P ( lim_{n→∞} sup_{k≥n} |ξ_{k} − ξ| > ε) = 0.

Nem kötelező házifeladat:

a.) Ha ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sztochasztikusan konvergálnak egy ξ valószínűségi változóhoz, akkor a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlásban is konvergálnak ehhez a ξ valószínűségi változóhoz.

b.) Ennek az állításnak a megfordítása nem igaz. Például, ha ξ_{n}, n = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, melyek nem elfajultak, azaz nincs olyan konstans melyeket ezek a valószínűségi változók egy valószínűséggel vesznek fel, akkor a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a ξ_{1} valószínűségi változóhoz, viszont nem konvergálnak sztochasztikusan.

c.) Viszont igaz a következő állítás: Ha ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak egy a konstanshoz, (azaz egy olyan valószínűségi változóhoz, mely egy valószínűséggel az a konstanst veszi fel, akkor a ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozat sztochasztikusan is konvergál ehhez az a konstashoz.

Nem kötelező házi feladat.

A ξ valószínűségi változó abszolut értékének akkor és csak akkor létezik várható

értéke, ha ∑_{n=1}^{∞} P (|ξ| > n) < ∞, a |ξ| valószínűségi változónak akkor és csak akkor

van véges második momentuma, ha ∑_{n=1}^{∞} nP (|ξ| > n) < ∞. Általánosabban E|ξ|^{k} <

∞ valamilyen k = 1, 2, …, számra akkor és csak akkor, ha ∑_{n=1}^{∞} n^{k−1}P (|ξ| > n) < ∞.

Nem kötelező házi feladat Legyen ξ_{k}, k = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, az f(x) = \frac{C}{x^{2} log |x|}, ha |x| > 2. f(x) = 0, ha |x| ≤ 2, képlettel megadott sűrűségfüggvénnyel. (∫_{|x|>2} \frac{C dx}{x^{2} log |x|} = 1.) Definiáljuk az S_{n} = ∑_{k=1}^{m} ξ_{k}, n = 1, 2, …, részletösszegeket. Lássuk be, hogy E|ξ_{1}| = ∞, ezért ezek a valószínűségi változók nem teljesítik a nagy számok erős törvényét. Másrészt az \frac{S_{n}}{n} átlagok sztochasztikusan tartanak nullához, azaz minden ε > 0 számra P (|\frac{S_{n}}{n} | > ε) → 0, ha n → ∞. Segítség: Legyen ξ̄_{k} = ξ̄_{k}^{(n)} = ξ_{k}I (|ξ_{k}| ≤ a_{n}), ¯ ξ̄_{k} = ¯ ξ̄_{k}^{(n)} = ξ_{k}I (|ξ_{k}| > a_{n}), és S̄_{n} =

∑_{k=1}^{n} ξ̄_{k}, ¯ S̄_{n} = ∑_{k=1}^{n} ¯ ξ̄_{k}. Ekkor P (|S_{n}| > εn) ≤ P (|S̄_{n}| > \frac{ε}{2}n) + P (|¯S̄_{n}| > \frac{ε}{2}n) ≤

\frac{Var S̄_{n}}{\frac{ε^{2}}{4} n^{2}} + nP ( ¯ξ̄_{1} ≠ 0). Adjunk az a_{n} konstans alkalmas megválasztásával (például a_{n} = n) jó becslést a P (|S_{n}| > nε) valószínűségre.

3. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független egyforma eloszlású valószínűségi változók, melyekre Eξ_{1} = 0 és Eξ_{1}^{2} < ∞. Legyen S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}, n = 1, 2, . . .. Ekkor pozitív valós számok valamely a_{n} sorozatára a \frac{S_{n}}{a_{n}} valószínűségi változók akkor és csak akkor tartanak sztochasztikusan nullához n → ∞ esetén, ha lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{\sqrt{n}} = ∞. Megoldás: Ha lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{\sqrt{n}} = ∞, akkor

P (\frac{|S_{n}|}{a_{n}} > ε) = P (\frac{|S_{n}|}{\sqrt{nVar ξ_{1}}} > \frac{εa_{n}}{\sqrt{nVar ξ_{1}}} ) ≤ P (\frac{|S_{n}|}{\sqrt{nVar ξ_{1}}} > K)

tetszőleges ε > 0 és K > 0 számra, ha n ≥ n_{0}(ε, K). Ezért a centrális határeloszlástétel alapján P (\frac{|S_{n}|}{a_{n}} > ε) ≤ δ, ha n ≥ n_{0} = n_{0}(ε, δ), azaz az \frac{S_{n}}{a_{n}} sorozat sztochasztikusan tart nullához. Megfordíta, ha az \frac{a_{n}}{\sqrt{n}} sorozat nem tart végtelenhez, akkor létezik a természetes számoknak olyan n_{k} → ∞ részsorozata, melyre lim sup_{k→∞} \frac{a_{n_{k}}}{\sqrt{n_{k}}} ≤ L, ezért

lim inf_{k→∞} P (\frac{|S_{n_{k}}|}{a_{n_{k}}} > 1) = lim inf_{k→∞} P (\frac{|S_{n_{k}}|}{\sqrt{n_{k}Var ξ_{1}}} > \frac{a_{n_{k}}}{\sqrt{n_{k}Var ξ_{1}}} )

≥ lim inf_{k→∞} P (\frac{|S_{n_{k}}|}{\sqrt{nVar ξ_{1}}} > \frac{L}{\sqrt{Var ξ_{1}}} ) > 0

a centrális határeloszlástétel alapján. Ezért ebben az esetben az \frac{S_{n}}{a_{n}} sorozat nem tar sztochasztikusan nullához.