\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A janu\'ar 30-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
 
%\bigskip
% A  gyakorlat elej\'en mindenki vegyen el\H{o} egy pap\'{\i}rlapot,
% \'es a hallgat\'os\'ag egyik fel egy p\'enzdarabot. Mindenki
% \'{\i}rjon fel egy jelsz\'ot a lapj\'ara, melynek
% seg\'{\i}ts\'eg\'evel azonos\'{\i}tani tudja a maga lapj\'at.
% Akin\'el van p\'enzdarab, az dobja fel az \'erm\'et 100-szor \'es
% \'{\i}rja fel az egyes dob\'asok eredm\'eny\'et (fej vagy
% \'{\i}r\'as). Akin\'el nincs \'erme az pr\'ob\'aljon
% szi\-mu\-l\'al\-ni egy min\'el  val\'oszer\H{u}bb 100
% hossz\'us\'ag\'u \'{\i}r\'as--fej sorozatot. Az  \'en feladatom
% lesz az \"osszegy\"ujt\"ott lapok alapj\'an meg\'allap\'{\i}tani,
% hogy melyek a val\'odi \'es melyek a szimul\'alt  dob\'assorozatok.
\medskip\noindent {\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.} Egy p\'enzdarabot feldobunk k\'etszer. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan egy fejdob\'as lesz? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy fejdob\'as lesz?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A dob\'asok lehets\'eges kimenete,
$(F,F)$, $(F,I)$, $(I,F)$ \'es $(I,I)$. Ezen lehets\'eges kimenetelek
mindegyik\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac14$. Ez\'ert annak
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy pontosan egy fejdob\'as,
azaz az $(F,I)$ vagy $(I,F)$ dob\'assorozat k\"ovetkezik be $\frac12$.
Annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy legal\'abb egy
fejdob\'as, azaz az $(F,F)$, $(F,I)$ vagy $(I,F)$ dob\'assorozatok
eredm\'enye k\"ovetkezik be, $\frac34$.
\item{2.} Feldobunk k\'et szab\'alyos dob\'okock\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek
\"osszege pontosan 9 illetve pontosan 10? H\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o}
m\'odon fordulhat el\H{o}, hogy a dob\'asok \"osszege 9 \'es h\'any
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon lehet a dob\'asok \"osszege 10?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A dob\'asok \"osszeg\'enek eredm\'enye
akkor 9, ha a $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$ vagy $(6,3)$ dob\'asp\'arok
valamelyike k\"ovetkezik be. Ezen dob\'assorozatok mindegyik\'enek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac1{36}$, ez\'ert $\frac4{36}=\frac19$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \"osszeg pontosan 9.
Hasonl\'oan, az \"osszeg akkor 10, ha a $(4,6)$, $(5,5)$ vagy $(6,4)$
dob\'asp\'arok valamelyike jelenik meg, \'es ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac3{36}=\frac1{12}$. Jegyezz\"uk meg,
hogy a fenti t\'argyal\'asban az egyes kimenetelek felsorol\'as\'aban
nemcsak azt vett\"uk figyelembe, hogy milyen dob\'aseredm\'enyek
jelentek meg, hanem azt is, hogy melyik kock\'an jelentek meg ezek
a dob\'aseredm\'enyek. Mi\'ert?
\medskip {\it H\'azi feladat:} \smallskip
\item{} H\'arom szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy h\'arom hatos lesz a dob\'asok
eredm\'enye? Annak, hogy k\'et hatos \'es egy \"ot\"os? Annak, hogy
egy egyes egy kettes \'es egy h\'armas?
\medskip
\item{3.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot visszatev\'essel. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros. Annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a m\'asodik\'e feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a t\'{\i}zenhatodik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} h\'uz\'as piros $\frac{20}{50}=\frac25$, mert 50 goly\'ob\'ol
h\'uzzuk ki a 20 piros goly\'o valamelyik\'et, \'es minden goly\'ot
egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzunk ki. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros, a
m\'asodik feh\'er, $\frac25\cdot\frac35=\frac6{25}$, mert
el\H{o}sz\"or 50 goly\'o k\"oz\"ul v\'alasztjuk ki a h\'usz piros
goly\'o valamelyik\'et majd 50 goly\'o valamelyik\'eb\H{o}l  a 30
feh\'er goly\'o valamelyik\'et, \'es minden h\'uz\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Hasonl\'oan annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az 5. h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk ki $\frac25$, \'es
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as sor\'an piros
\'es a 16. h\'uz\'as sor\'an feh\'er goly\'ot h\'uzunk
$\frac25\cdot\frac35=\frac6{25}$.
\item{} Jegyezz\"uk meg, hogy a k\"ovetkez\H{o} feladat megold\'asa
egy olyan \'ervet tartalmaz, amelyik ebben az esetben is
alkalmazhat\'o, \'es megmutatja, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as piros \'es a 16.
h\'uz\'as feh\'er megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as feh\'er.
\'Erdemes ezeket az \'ervel\'eseket m\'egegyszer v\'egiggondolni
azut\'an, hogy megt\'argyaltuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
pontos definici\'oj\'at.
\item{4.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot {\it visszatev\'es n\'elk\"ul}. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye piros
\'es a m\'asodik\'e feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a t\'{\i}zenhatodik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} h\'uz\'as piros $\frac{20}{50}=\frac25$, mert 50
goly\'ob\'ol h\'uzzuk ki a 20 piros goly\'o valamelyik\'et, \'es
minden goly\'ot egyforma va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
h\'uzunk ki. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as piros, a m\'asodik feh\'er,
$\frac25\cdot\frac{30}{49}=\frac{60}{245}$, mert
el\H{o}sz\"or 50 goly\'o k\"oz\"ul v\'alasztjuk ki a h\'usz piros
goly\'o valamelyik\'et, majd 49 goly\'o valamelyik\'eb\H{o}l  a 30
feh\'er goly\'o valamelyik\'et, \'es minden h\'uz\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Bel\'atjuk, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 16. h\'uz\'asban piros goly\'ot
h\'uzunk ki, megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy
az els\H{o} h\'uz\'as piros, azaz ez $\frac25$. Tov\'abb\'a
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as sor\'an
piros \'es a 16. h\'uz\'as sor\'an feh\'er goly\'ot h\'uzunk megegyezik
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er, a m\'asodik h\'uz\'as eredm\'enye  piros. Ez\'ert
ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg is
$\frac25\cdot\frac{30}{49}=\frac{60}{245}$.
\item{} Tekints\"uk ugyanis az \"osszes 25 hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozatot. Ekkor annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az 5. h\'uz\'as eredm\'enye piros a 16. h\'uz\'as eredm\'enye
feh\'er megegyezik az \"osszes olyan 25 hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszeg\'evel,
melyek 5. hely\'en piros \'es a 16. hely\'en feh\'er jegy \'all.
Hasonl\'oan sz\'am\'{\i}that\'o ki annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er, azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az 5. hely
helyett az els\H{o} \'es a 16. hely helyett a m\'asodik helyet kell
tekinteni. Be fogjuk l\'atni, hogy ugyanaz a k\'eplet fejezi ki ezt a
k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, er\'ert ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek megegyeznek.
\item{} Vegy\"uk \'eszre, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
egy el\H{o}\'{\i}rt konkr\'et 25 hossz\'us\'ag\'u sorozat jelenik meg
csak att\'ol f\"ugg, hogy a sorozat h\'any piros \'es h\'any feh\'er
goly\'ot tartalmaz, de nem f\"ugg a feh\'er \'es piros h\'uz\'asok
sorrendj\'et\H{o}l. Val\'oban, ha egy h\'uz\'assorozat $k$ piros \'es
$25-k$ feh\'er goly\'ot tartalmaz, akkor ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $P(k)=\dfrac{25\cdot24\cdots(25-k+1)\cdot
30\cdot29\cdots(30-(25-k)+1)}{50\cdot49\cdots26}$. Ugyanis egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat valosz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\prodd_{j=1}^{25}\dfrac{l(j)}{50-j+1}$, ahol $l(j)$ az a $j-1$-ik
h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban maradt piros goly\'ok sz\'ama, ha a
$j$-ik h\'uz\'as piros, \'es a $j-1$-ik h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban
maradt feh\'er goly\'ok sz\'ama, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er.
Gondoljuk meg, hogy ez a kifejez\'es megegyezik a megadott
formul\'aval.
\item{} Jel\"olje $A(k;5,16)$ az olyan 25 hossz\'us\'ag\'u sorozatok
sz\'am\'at, melyek $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er jelet tartalmaznak,
\'es az 5. helyen piros a 16. helyen pedig feh\'er jel \'all.
Jel\"olje tov\'abb\'a $A(k;1,2)$ az olyan 25 hossz\'us\'ag\'u sorozatok
sz\'am\'at, melyek $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er jelet tartalmaznak,
az 1. helyen piros a 2. helyen pedig feh\'er jel \'all. Ekkor a k\'et
\"osszehasonl\'{\i}tand\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\summ_k
A(k;5,16)P(k)$ illetve $\summ_k A(k;1,2)P(k)$. Ez\'ert annak
\'erdek\'eben, hogy megmutassuk a k\'{\i}v\'ant azonoss\'ag
teljes\"ul\'es\'et elegend\H{o} bel\'atni azt, hogy
$A(k;5,16)=A(k;1,2)$ minden $k$ sz\'amra.
\item{} Viszont nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$A(k;5,16)=A(k;1,2)=\binom{23}{k-1}$, mert mind a k\'et esetben 23
el\H{o}\'{\i}rt helyre kell \'{\i}rni $k-1$ piros \'es $25-(k+1)$
feh\'er goly\'ot.
\item{} Az utols\'o azonoss\'ag egy m\'asik lehets\'eges
bizony\'{\i}t\'asa: Mutassuk meg, hogy ha tekintj\"uk az \"osszes 25
hossz\'us\'ag\'u $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er goly\'ot tartalmaz\'o
sorozatot, akkor az ilyen sorazatok 5. jel\'et kicser\'elve
az els\H{o}vel \'es a 16. jel\'et a m\'asodikkal k\"olcs\"on\"osen
egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'est kapunk azon halmazok k\"oz\"ott,
melyek sz\'a\-mos\-s\'a\-ga\-k\'ent defini\'altuk az  $A(k;5,16)$
\'es $A(k;1,2)$ sz\'amokat.
\item{} Hasonl\'oan mutathat\'o meg, hogy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}, illetve hogy az
\"ot\"odik h\'uz\'as piros megegyezik.
 
\medskip\noindent {\it De M\'er\'e
lovag probl\'em\'aja:}
\medskip\noindent Az utols\'o k\'et probl\'ema t\"ort\'enetileg
\'erdekes. Ezekkel a k\'erd\'esekkel fordult de M\'er\'e lovag
Pascalhoz. Sokan e feladat megold\'as\'at\'ol, illetve Pascalnak \'es
Fermat-nak e probl\'ema megold\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o
levelez\'es\'et\H{o}l sz\'am\'{\i}tj\'ak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
meg\-sz\"u\-le\-t\'e\-s\'et. \medskip
\item{a.)} Ha egy kock\'at 4-szer feldobunk, akkor mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy hatos dob\'as lesz? Ha
k\'et kock\'at 24-szer feldobunk, mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb egy dupla hatos lesz.
\item{} (De M\'er\'e lovag arra csod\'alkozott r\'a, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac12$-n\'el kicsit kisebb, a m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg pedig $\frac12$-n\'el kicsit nagyobb.)
\item{b.)} K\'et j\'at\'ekos egy igazs\'agos j\'at\'ekot j\'atszik,
melynek mindegyik fordul\'oj\'aban az egyes j\'at\'ekosok $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyernek, illetve vesz\'{\i}tenek.
Meg\'allapodnak, hogy az a j\'at\'ekos nyeri el a t\'etet,
aki el\H{o}sz\"or \'er el hat nyer\'est. A j\'at\'ekot f\'elbe kell
szak\'{\i}taniuk akkor, amikor az egyik\"uknek h\'arom a m\'asikuknak
pedig \"ot nyer\'ese volt. Hogyan kell igazs\'agosan osztozkodniuk?
\medskip
\noindent {\it Megold\'as:}\/ \medskip
\item{a.)} Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy dob\'as
eredm\'enye nem hatos $\frac56$, annak pedig, hogy 4 egym\'as ut\'ani
dob\'asban nem jelenik meg a hatos $\(\frac 56\)^4$. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy n\'egy dob\'asban megjelenik egy
hatos $P_1=1-\(\frac56\)^4$. Hasonl\'oan, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy k\'et kocka dob\'as\'aban nem jelenik
meg a dupla hatos $\frac{35}{36}$, annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy ez 24 dob\'asban nem jelenik meg $\(\frac{35}{36}\)^{24}$. Annak
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy 24 dob\'asban megjelenik
egy dupla hatos $P_2=1-\(\frac{35}{36}\)^{24}$.
\item{} \'Erdemes meg\'erteni, hogy a $P_1$ \'es $P_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek mi\'ert vannak olyan k\"ozel egym\'ashoz.
Vezess\"uk be az $a_n=\(1-\frac1n\)^n$, $n=1,2,\dots$, sz\'amokat.
Ekkor $1-P_1=a_6^{2/3}$, $1-P_2=a_{36}^{2/3}$. Viszont tanultuk az
anal\'{\i}zisben, hogy $\limm_{n\to\infty} a_n=e^{-1}$, $e=2.71\dots$.
Tov\'abb\'a ez az $a_n$ sorozat el\'eg gyorsan tart a
hat\'ar\'ert\'ek\'ehez, ez\'ert az $a_6\sim e^{-1}$ \'es $a_{36}\sim
e^{-1}$ el\'eg j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es.  Ez\'ert mind a $P_1$ mind a
$P_2$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o} az
$1-e^{-2/3}$ sz\'ammal. Tov\'abb\'a ismeretes, hogy az $a_n$ sorozat
monoton cs\"okken\H{o}, \'es innen ad\'odik, hogy $P_1<P_2$.
T\"ort\'enetesen az $1-e^{-2/3}$ sz\'am k\"ozel van $\frac12$-hez,
\'es a $P_1$ \'es $P_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek ezt a
sz\'amot k\"ozrefogj\'ak. A $P_1$ sz\'am \'ert\'eke
$\frac12-\frac{23}{1296}\sim 0.48$.
\medskip
\item{b.)}Tekints\"uk azt az \'altal\'anosabb
probl\'em\'at, amikor $n$ nyer\'es kell a t\'et megszerz\'es\'ehez,
\'es az els\H{o} j\'at\'ekos $k$ a m\'asodik pedig $l$ alkalommal
nyert. Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(n-k)+(n-l)-1=2n-k-l-1$
fordul\'ot. Az els\H{o} j\'at\'ekos akkor \'es csak akkor
nyern\'e el a t\'etet, ha ezekben a fordul\'okban legal\'abb $n-k$
alkalommal nyer. Ennek val\'osz\'{\i}n\'os\'ege
$P=2^{k+l+1-2n}\summ_{j=n-k}^{2n-k-l-1}\dbinom{2n-k-l-1}j$.
Jelen esetben az els\H{o} j\'at\'ekos $\frac 78$, a m\'asodik
j\'at\'ekos $\frac18$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nyeri el a t\'etet.
Az igazs\'agos teh\'at a $7:1$ ar\'any\'u osztozkod\'as.
 
 
 \bye
 
 
 
 
 
\item{3.} Mi egy szab\'alyos p\'enzdarab 20 egym\'as ut\'ani
dob\'as\'anak a term\'eszetes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje? Mi
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje egy szab\'alyos dob\'okocka 10
egym\'as ut\'ani dob\'as\'anak?
\item{4.} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk.
Mi ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje?
\item{5.} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az utols\'oel\H{o}tti dob\'as eredm\'enye fej? \medskip
{\it H\'azi feladat:}\smallskip
\item{} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an eg\'eszen
addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy legal\'abb h\'arom dob\'ast v\'egz\"unk, \'es az
utols\'ot kett\H{o}vel megel\H{o}z\H{o} dob\'as ered\-m\'e\-nye fej?
 
