\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus1pt
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat hetedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2001 m\'arcius 13.}
\medskip\noindent
{\it \"Osszefoglal\'o:}\/
\medskip\noindent
{\it A Poisson eloszl\'as}\/ (folytat\'as)
\medskip
L\'attuk az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason, hogy amennyiben az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $n=1,2,\dots$, binomi\'alis
eloszl\'as\'uak $n$ \'es $p_n$  param\'eterekkel, azaz $S_n$
eloszl\'asa megegyezik egy $\summ_{j=1}^n\xi_j^{(n)}$ \"osszeg
eloszl\'as\'aval, ahol a $\xi_j^{(n)}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
$$
P\(\xi_j^{(n)}=1\)=1-P\(\xi_j^{(n)}=0\)=p_n,\quad 1\le j\le n,
$$
tov\'abb\'a $\limm_{n\to\infty}np_n=\lambda$ valamely $\lambda>0$
sz\'ammal, akkor
$\limm_{n\to\infty}P(S_n=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
minden $k$ eg\'esz sz\'amra.
 
Jegyezz\"uk meg tov\'abb\'a, hogy szint\'en k\"ovetkezik az
el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'as eredm\'enyeib\H{o}l, hogy amennyiben
olyan $T_n$, $n=1,2,\dots$, v\'eletlen \"osszegeket tekint\"unk,
melyek $T_n=\summ_{j=1}^n\eta_j^{(n)}$ alakban \'{\i}rhat\'ok, ahol
r\"ogz\'{\i}tett $n$ sz\'amra az $\eta_j^{(n)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek, \'es
Poisson eloszl\'as\'uak $\dfrac {\lambda_n}n$ param\'eterrel, \'es
$\limm_{n\to\infty}\lambda_n=\lambda>0$, akkor
$\limm_{n\to\infty}P(T_n=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
minden $k$ eg\'esz sz\'amra. Ekkor ugyanis $T_n$ Poisson
eloszl\'as\'u $\lambda_n$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel.
 
Bel\'atunk egy eredm\'enyt, melynek a fent tekintett k\'et p\'elda
speci\'alis esete. Azut\'an megt\'argyaljuk egy p\'eld\'an
kereszt\"ul, hogy ez az eredm\'eny magyar\'azatot ad arra, hogy
mi\'ert fontos a Poisson eloszl\'as, mi\'ert t\'etelezhetj\"uk fel,
hogy bizonyos v\'eletlen je\-len\-s\'e\-ge\-ket Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'{\i}rnak le.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek minden r\"ogz\'{\i}tett $n=1,2,\dots$
sz\'amra $\xi_1^{(n)},\dots,\xi_n^{(n)}$ f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u, nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket
felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyek
teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\medskip
\item{a)} $\limm_{n\to\infty} n P\(\xi_1^{(n)}=1\)=\lambda>0$.
\item{b)} $\limm_{n\to\infty} n P\(\xi_1^{(n)}\ge2\)=0$.
\medskip
Ekkor az $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j^{(n)}$, $n=1,2,\dots$,
v\'eletlen \"osszegekre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}P(S_n=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
$$
rel\'aci\'o minden $k$ nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.}
\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ \'Erv\'enyes e t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'anak
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa megfelel\H{o} felt\'etelek mellett
f\"ug\-get\-len nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u}, de nem
felt\'etlen\"ul azonos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok \"osszeg\'ere is. Egy ilyen \'all\'{\i}t\'ast,
melyet a fent megfogalmazott t\'etelhez hasonl\'oan lehet
bizony\'{\i}tani, nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat
form\'aj\'aban megfogalmazok. \medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak v\'azlata:} Tekints\"uk az
$S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$$
G_n(x)=\summ_{j=0}^\infty P(S_n=j)x^j, \quad n=1,2,\dots,
$$
gener\'atorf\"uggv\'enyeit. El\'eg bel\'atni, hogy
$\limm_{n\to\infty} G_n(x)=G(x)$ valamilyen $-A<x<A$, $A>0$,
intervallumban, ahol $G(x)=e^{\lambda(x-1)}$ a $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'enye.
Ugyanis, mivel hatv\'anysorok konvergenci\'aja eset\'eben sza\-bad
ta\-gon\-k\'ent deriv\'alni, ez\'ert teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}\left.\dfrac{d^kG_n(x)}{dx^k}\right|_{x=0}
=\left.\dfrac{dG^k(x)}{dx^k}\right|_{x=0}$ rel\'aci\'o minden
$k=0,1,2,\dots$ sz\'amra. Azaz
$k!\limm_{n\to\infty}P(S_n=k)=k!\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
minden $k=0,1,\dots$ sz\'amra. Ennek a bizony\'{\i}tand\'o
rel\'aci\'onak az \'erv\'enyess\'eg\'et a k\"ovetkez\H{o}
\'eszrev\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel bizony\'{\i}thatjuk:
 
Legyen $g_n(x)=\summ_{j=0}^\infty P(\xi^{(n)}_1=j)x^j$, a
$\xi^{(n)}_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
gener\'atorf\"uggv\'enye. Ekkor a T\'etel felt\'etelei miatt
$G_n(x)=g_n^n(x)$ minden $x$ sz\'amra. Ez\'ert logaritmust v\'eve a
bizony\'{\i}tand\'o rel\'aci\'oban el\'eg megmutatni azt, hogy
$\limm_{n\to\infty}n\log g_n(x)=\lambda(x-1)$. Tov\'abb\'a, mivel
$P\(\xi_1^{(n)}=0\)=1-P\(\xi_1^{(n)}=1\)-\summ_{j=2}^\infty
P\(\xi_1^{(n)}=j\)$, ez\'ert $g_n(x)=1+P\(\xi^{(n)}_1=1\)\(x-1\)
+\summ_{j=2}^\infty P\(\xi^{(n)}_1=j\)\(x^j-1\)$. Ez\'ert az a)
\'es b) felt\'etelek miatt azt v\'arjuk, hogy a $g_n(x)\sim 1+\dfrac
\lambda n\(x-1\)$ j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es. Mivel $\log(1+u)\sim
u$ kis $u$ sz\'amokra ez\'ert term\'eszetes azt v\'arni, hogy
$\log g_n(x)\sim \dfrac\lambda n\(x-1\)$ j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es,
\'es $\limm_{n\to\infty}\log g_n(x)=\lambda\(x-1\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa. A T\'etel
bizony\'{\i}t\'asa a fenti k\"ozel\'{\i}t\'esek jogoss\'ag\'anak
ellen\"orz\'es\'eb\H{o}l \'all. \medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'ese.}\/ Vegy\"uk
\'eszre, hogy minden $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $n_0=n_0(\e)$
k\"usz\"obindex, melyre $\left|g_n(x)-\(1+\dfrac\lambda
n(x-1)\)\right|<\dfrac\e n$, ha $n\ge n_0$ \'es $|x|<1$. Val\'oban
a $g_n(x)=1+P\(\xi^{(n)}_1=1\)\(x-1\)+\summ_{j=2}^\infty
P\(\xi^{(n)}_1=j\)\(x^j-1\)$ azonoss\'ag teljes\"ul.
Ezenk\'{\i}v\"ul  a b) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\left|\summ_{j=2}^\infty P\(\xi^{(n)}_1=j\)\(x^j-1\)\right| \le
2\summ_{j=2}^\infty P\(\xi^{(n)}_1=j\)= 2P\(\xi^{(n)}_1\ge2\)\le
\dfrac\e{2n},
$$
\'es az a) rel\'aci\'ob\'ol pedig az,
hogy $\left|P\(\xi^{(n)}_1=1\)\(x-1\)-\dfrac\lambda
n(x-1)\right|<\dfrac\e{2n}$, ha $n\ge n_0$ \'es $|x|<1$.
Ez\'ert igaz a fenti azonoss\'ag.
 
Tov\'abb\'a, mivel mint azt p\'eld\'aul a $\log(1+x)$ f\"uggv\'eny
Taylor sorfejt\'es\'eb\H{o}l lehet l\'atni, $|\log(1+u)-u|<u^2$, ha
$|u|<\dfrac12$, ez\'ert a fenti egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy $\left|\log g_n(x)-\dfrac{\lambda(x-1)}
n\right|<\dfrac{2\e}n$, ha $n\ge n_1$, \'es $|x|\le 1$ alkalmas
$n_1=n_1(e)$ k\"usz\"obindexre. Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as igaz
minden $\e>0$ sz\'amra, ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}n\log g_n(x)=\lambda(x-1)$, ha $x<1$. Viszont
l\'attuk, hogy innen k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat.}
\medskip
\item{} Legyen
$$
\align
&\xi_{1,1}\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1}\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
sz\'eriasorozat, azaz tegy\"uk fel, hogy az egy sorban \'all\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\item{1.)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel.
\item{2.)} $P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$.
\item{3.)} $\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$,
\'es $\summ_{j=1}^{n_k}P\(\xi_{k,j}\ge2\)\to0$, ha $k\to\infty$.
 
\item{} Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $\lambda$ para\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha
$k\to\infty$, azaz
$\limm_{k\to\infty}P(S_k=l)=\dfrac{\lambda^l}{l!}e^{-\lambda}$ minden
$l=0,1,2,\dots$ sz\'amra. \medskip\noindent
{\it A T\'etel szeml\'eletes tartalma:} Tekints\"uk p\'eld\'aul a
csillaghull\'ast. Arra vagyunk ki\-v\'an\-csi\-ak, hogy amennyiben
egy \'ejszaka azt figyelj\"uk, h\'any hull\'ocsillagot l\'atunk egy
adott id\H{o}\-in\-ter\-val\-lum\-ban, (mondjuk egy \'ora alatt),
akkor a lehullott csillagok (v\'eletlen sz\'ama) milyen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi t\"orv\'enyeknek tesz eleget.
Osszuk fel az egy \'ora id\H{o}intervallumot r\"ovid $\Delta T$
hossz\'us\'ag\'u id\H{o}intervallumokra. Akkor a lehullott csillagok
sz\'ama e r\"ovid $\Delta T$ id\H{o}intervallumokban lehullott
csillagok \"osszege. Ezenk\'{\i}v\"ul feltehetj\"uk, hogy diszjunkt
id\H{o}intervallumokban lehullott csillagok sz\'ama egym\'ast\'ol
f\"uggetlen, \'es a k\"ul\"onb\"oz\H{o} r\"ovid intervallumokban
lehull\'o csillagok sz\'ama hasonl\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
t\"orv\'enyeknek tesz eleget. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy csillag egy r\"ovid id\H{o}\-inter\-val\-lum\-ban lehullik
nagyon kicsi, \'es ar\'anyos az id\H{o}intervallum hossz\'aval.
Annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy egy kis
id\H{o}\-in\-ter\-val\-lum\-ban kett\H{o} vagy m\'eg t\"obb csillag
hullik, m\'eg ehhez k\'epest is elhanyagolhat\'o. Ez azt jelenti,
hogy term\'eszetes feltenni, hogy  teljes\"ulnek az el\H{o}bb
megfogalmazott t\'etel felt\'etelei. Ez\'ert az alkalmazhat\'o, \'es
egy adott id\H{o}intervallumban lehullott csillagok sz\'ama Poisson
eloszl\'as\'u. Hasonl\'o \'ervel\'es alkalmazhat\'o sok m\'as
hasonl\'o esetben, \'es ez magyar\'azza meg, mi\'ert
k\"ul\"on\"osen fontos a Poisson eloszl\'as.
 
\medskip\noindent
{\it Egy a hipergeometrikus eloszl\'assal kapcsolatos statisztikai
probl\'em\'ar\'ol.}
\medskip
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at:
 
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Egy t\'oban 3000 hal van. V\'eletlen\"ul kihal\'asznak
bel\H{o}le 1000 darabot, \'es ezekre piros p\"otty\"ot festenek \'es
visszaengedik \H{o}ket. Ezut\'an ism\'et kifognak v\'eletlen\"ul 1000
halat. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
kifogott halak k\"oz\"ott 100 megfestett van?
%\item{} {\it Megold\'as:}\/
%$\dfrac{\dbinom{1000}{100}\dbinom{2000}{900}} {\dbinom{3000}{1000}}$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A gyakorlatban el\H{o}fordul\'o
k\'erd\'es ennek ford\'{\i}tottja. Elv\'egezz\"uk a fenti kis\'erletet,
\"osszesz\'aml\'aljuk a megfestett halakat, \'es ebb\H{o}l
pr\'ob\'alunk k\"ovetkeztetni a t\'oban lev\H{o} halak sz\'am\'ara.
Hogyan \'erdemes ezt csin\'alni?
\medskip
Ezt a probl\'em\'at \'erdemes r\'eszletesebben megt\'argyalni.
Val\'oj\'aban, nem tudjuk, hogy h\'any hal van a t\'oban. De ennek
megbecsl\'ese \'erdek\'eben a k\"ovetkez\H{o} elj\'ar\'ast
alkalmazhatjuk:
 
V\'egezz\"unk k\'et fog\'ast, az els\H{o} fog\'asban kifogott halakat
jel\"oljuk meg. Ezut\'an meg akarjuk \'allap\'{\i}tani mennyi hal
lehet \"osszesen a t\'oban. Ezt term\'eszetesen csak bizonyos
(v\'eletlent\H{o}l f\"ugg\H{o}) pontoss\'aggal tudjuk meghat\'arozni.
Az ilyen tipus\'u fel\-ada\-tok tipikusak a matematikai
statisztik\'aban, az ilyen probl\'em\'ak vizsg\'alat\'at nevezik
becsl\'eselem\'eletnek. Vil\'agos, hogy az, hogy 1000-n\'el alig
t\"obb hal van, nem t\'ul val\'osz\'{\i}n\H{u}, mert akkor sokkal
t\"obb megjel\"olt hal lenne a m\'asodik fog\'asban. Az hogy
rengeteg, mondjuk 1~000~000 hal lenne a t\'oban szint\'en nem t\'ul
val\'osz\'{\i}n\H{u}, mert akkor sokkal kevesebb megjel\"olt hal
lenne a m\'asodik fog\'asban. A matematikai statisztik\'aban
kidolgoztak egy \'altal\'anos elvet a maximum likelihood
m\'odszernek ne\-ve\-zett elj\'ar\'ast, mely nagyon
\'altal\'anos felt\'etelek mellett nagyon j\'o m\'odszert ad, \'es
mely jelen esetben is al\-kal\-maz\-hat\'o. T\'argyaljuk meg ezt a
m\'odszert a jelen esetben. Te\-kint\-s\"unk kiss\'e \'altal\'anosabb
esetet. Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket:
\item{} $x$ a t\'oban l\'ev\H{o} halak (ismeretlen) sz\'ama,
\item{} $n$ az els\H{o} fog\'asban kifogott (\'es megjel\"olt) halak
sz\'ama,
\item{} $r$ a m\'asodik fog\'asban kifogott halak sz\'ama,
\item{} $k$ a m\'asodik fog\'asban kifogott el\H{o}z\"oleg megjel\"olt
halak sz\'ama.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy adott (ismeretlen) $x$ \'es
$n$, $r$ sz\'amok eset\'en pontosan $k$ megjel\"olt halat fogunk ki
$$
q_k(x,n,r)=\frac{\dbinom{n}k\dbinom {x-n}{r-k}}{\dbinom xr}.
$$
Tekints\"uk az ismeretlen $x$ sz\'am (maximum likelihood)
becsl\'es\'enek azt az $x$ sz\'amot, melyre a $q_k(x,n,r)$
mennyis\'eg (r\"ogz\'{\i}tett $n$, $k$ \'es $r$ sz\'amok mellett)
maxim\'alis.
\item{} Hat\'arozzuk meg a fenti feladatban a maximum likelihood
becsl\'est.
\item{} N\'emi sz\'amol\'as mutatja, hogy
$$
\frac{q_k(x,n,r)}{q_k(x-1,n,r)}=\frac
{x-n}{x-n-r+k}\cdot\frac{x-r}x=\frac{x^2-rx
-nx+rn}{x^2-rx-nx+kx}.
$$
Ez a t\"ort kisebb mint egy, ha $rn<kx$, nagyobb mint egy, ha
$rn>kx$. Ez\'ert a becsl\'es $rn=kx$, azaz $x=\dfrac {rn}k$,
pontosabban az e sz\'amot k\"ozrefog\'o eg\'esz sz\'amok valamelyike.
Val\'oban $x<\dfrac {rn}k$ eset\'eben a $q_k(x,n,r)$ f\"uggv\'eny
(mint az $x$ v\'altoz\'o f\"uggv\'enye r\"ogz\'{\i}tett $k$, $n$
\'es $r$ param\'eterekkel) monoton n\H{o}, $x>\dfrac {rn}k$
eset\'eben pedig a $q_k(x,n,r)$ f\"uggv\'eny monoton cs\"okken.
\medskip
 
Term\'eszetes k\'erd\'es az, hogy az \'{\i}gy kapott becsl\'es
val\'oban j\'o-e. Azt nem v\'arhatjuk, hogy az adott becsl\'es
val\'oban pontos. A term\'eszetes elv\'ar\'as az, hogy meg tudunk adni
az $x$ pontnak viszonylag kis k\"ornyezet\'et, egy olyan $[x-a,x+a]$
intervallumot, melyre igaz, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a halak val\'odi sz\'ama ebbe az intervallumba esik nagyobb mint
egy el\H{o}\'{\i}rt egyhez k\"ozeli sz\'am. Az ilyen intervallumot a
matematikai statisztik\'aban kondfidencia intervallumnak szokt\'ak
nevezni.
 
Ahhoz, hogy ilyen konfidenciaintervallumot tudjunk szerkeszteni
sz\"uks\'eg van bizonyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'as\'anak jobb ismeret\'ere, \'es ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik alapvet\H{o}
feladata. Jegyezz\"uk meg, hogy a most vizsg\'alt feladatban,
amennyiben a t\'oban $x$ sz\'am\'u hal van, az els\H{o} fog\'asban
$n$, a m\'asodik fog\'asban $r$ pedig $r$ halat fogunk ki, akkor a
m\'asodik fog\'asban kifogott v\'eletlen $k$ sz\'am\'u megjel\"olt
halak sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke $Ek=\dfrac {rn}x$.  Ahhoz,
hogy vizsg\'alni tudjuk mennyire j\'o a becsl\'es, hogyan lehet j\'o
konfidenciaintervallumot konstru\'alni, azt kell meg\'erten\"unk,
hogy mekkora az ingadoz\'asa a $k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak a v\'arhat\'o \'ert\'eke k\"or\"ul.
\medskip\noindent
{\bf \'Altal\'anos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, vel\"uk
kapcsolatos alapvet\H{o} fogalmak.}
\medskip\noindent
Megbesz\'elt\"uk, hogy egy $\xi$ (val\'os \'ert\'ek\H{u})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'eny. \'Altal\'aban, nem a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat adjuk meg, hanem azoknak al\'abb defini\'alt
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. \medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
 $\xi(\oo)$ (val\'os \'ert\'ek\H{u}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ennek $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'en az
$F(x)=P\(\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\)$, $-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'enyt
\'ertj\"uk.} \medskip
Tekints\"uk p\'eld\'aul egy szab\'alyos dob\'okocka feldob\'as\'at,
illetve azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely megmondja
mi a dob\'as eredm\'enye. Hogy n\'ez ki ennek a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye?
 
Ez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az 1, 2, 3, 4, 5
\'es 6 \'ert\'ekek valamelyik\'et veszi fel, mindegyiket $\dfrac16$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $P(\xi<x)$ null\'aval egyenl\H{o},
ha $x<1$. S\H{o}t $x=1$ eset\'eben is teljes\"ul a $P(\xi<1)=0$
azonoss\'ag, mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et n\'ezz\"uk,
hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o szigor\'uan kisebb
mint az $x$ sz\'am. Ez\'ert $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$. Ha $1<x<2$,
akkor az $\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as
eredm\'enye 1. Ez az \'all\'{\i}t\'as igaz $x=2$ eset\'eben is.
Ez\'ert $F(x)=\dfrac16$, ha $1<x\le2$. Ha $2<x\le3$, akkor az
$\{\oo\:\xi<x(\oo)\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as
eredm\'enye 1 vagy 2. Ez\'ert $F(x)=\dfrac26$, ha $2<x\le3$. Ezt a
gondolatot v\'egigk\"ovetve kapjuk, hogy $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$,
$F(x)=\dfrac j6$, ha $j<x\le j+1$, $1\le j\le 5$, \'es $F(x)=1$, ha
$6<x<\infty$,
 
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Feldobunk egy p\'enzdarabot, mely $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej, $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra k\'etszer
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Jel\"olje $\xi$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mely a fejdob\'asok
sz\'am\'at adja meg. Adjuk meg a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
Mi\'ert fontos az eloszl\'asf\"uggv\'eny fogalma? \'Altal\'aban nem
tudjuk, hogy milyen v\'eletlen hat\'asok eredm\'enyek\'ent jelenik meg
egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'eke, csak
azt, hogy milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\"ort\'enik az, hogy
ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o bizonyos \'ert\'ekeket
vesz fel. Ez\'ert term\'eszetes, hogy csak ezeket a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket adjuk meg. A $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye
csak az $\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et adja meg. A k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es
az, hogy nem jelent-e ez megszor\'{\i}t\'ast, hiszen minket az
\"osszes $\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}$ alak\'u esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel, ahol $B$ ,,sz\'ep"  halmaz.
Viszont bizonyos m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyekb\H{o}l
k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
meghat\'arozza az \"osszes ilyen esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Az, hogy egy halmaz ,,sz\'ep"
pontosan azt jelenti, hogy ez a halmaz Borel m\'erhet\H{o}.
L\'assuk, hogyan lehet n\'eh\'any ilyen esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et meghat\'arozni.
 
Mivel $\{\oo\:a\le\xi(\oo)<b\}=\{\oo\:<\xi(\oo)<b\}\setminus
\{\oo\:\xi(\oo)<a\}$, ez\'ert
$$
P\(\{\oo\:a\le\xi(\oo)<b\}\)=
P\(\{\oo\:a\le\xi(\oo)<b\}\)-P\(\{\oo\:\xi(\oo)<a\}\)=F(b)-F(a).
$$
Mivel $\{\oo\:a\le \xi(\oo)\le b\}=\bigcapp_{n=1}^\infty
\left\{\oo\:a\le\xi(\oo)<b+\dfrac1n\right\}$, \'es a
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-ad\-di\-ti\-vi\-t\'a\-s\'a\-b\'ol k\"ovetkeznek
annak folytonoss\'agi tulajdons\'agai (l\'asd a Borel--Cantelli
lemma bizony\'{\i}t\'asa el\H{o}tt szerepl\H{o} lemm\'at), ez\'ert
$$
\align
P\(\{\oo\:a\le \xi(\oo)\le b\}\)&=\limm_{n\to\infty}
P\(\left\{\oo\:a\le\xi(\oo)<b+\dfrac1n\right\}\)\\
&=\limm_{n\to\infty}\[F\(b+\dfrac1n\)-F(a)\].
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha adva vam diszjunkt z\'art $[a_k,b_k]$, $1\le k\le n$,
intervallumok halmaza, akkor
$$
P\(\bigcupp_{k=1}^n\left\{\oo\: a_k\le \xi(\oo)\le b_k\right\}\)=
\summ_{k=1}^n\limm_{N\to\infty}\[F\(b_k+\dfrac1N\)-F(a_k)\].
$$
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen adva egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye. Hat\'arozzuk meg ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $\{\oo\:a<\xi(\oo)<b\}$ alak\'u esem\'enyek,
$-\infty<a<b<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, valamint annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy $\xi(\oo)$ valamilyen p\'aros
eg\'esz \'ert\'eket vesz fel. \medskip
 
Megfogalmazzuk azokat eredm\'enyeket, melyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
jellemezni tudjuk az eloszl\'asf\"uggv\'enyeket, illetve, amelyek
kimondj\'ak, hogy az elosz\'asf\"uggv\'enyek meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak
a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, \'es legyen $F(x)=P(\{\oo\:\xi(\oo)<x\})$,
$-\infty<x<\infty$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat. \medskip
\item{a)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{b)} $F(x)$ balr\'ol folytonos f\"uggv\'eny, azaz
 $\limm_{h\to0,\, h>0} F(x-h)=F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$
sz\'amra.
\item{c)} $\limm_{x\to\infty}F(x)=1$.
\item{d)} $\limm_{x\to-\infty}F(x)=0$.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Ha egy $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
el\H{o}z\H{o} lemm\'aban megfogalmazott a)---d) tulajdons\'agokat,
akkor az eloszl\'asf\"uggv\'eny. R\'eszletesebben megfogalmazva ez
azt jelenti, hogy ha az $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az a)---d)
felt\'eteleket, akkor l\'etezik egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon olyan $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melynek az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye ez az $F(x)$ f\"uggv\'eny.}
\medskip
A fent megfogalmazott t\'etel felhaszn\'al egy fontos
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyt, melyet megfogalmazunk, de nem
bizony\'{\i}tunk. \medskip\noindent
{\bf T\'etel B.} {\it Ha egy $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
el\H{o}z\H{o} lemm\'aban megfogalmazott a)---d) tulajdons\'agokat,
akkor l\'etezik egy olyan \'ugynevezett $\mu_F(\cdot)$ az $F$
f\"uggv\'enyhez kapcsol\'od\'o Stieltjes m\'ert\'ek, mely
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat.
\item{a)} A sz\'amegyenes minden $B$ Borel halmaz\'anak l\'etezik
$\mu_F(B)$ Stieltjes m\'ert\'eke.
\item{b)} A $\mu_F(\cdot)$ halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-additiv a
 sz\'amegyenes Borel-halmazaib\'ol \'all\'o (Borel)
$\sigma$-algebr\'an, \'es $\mu_F(R^1)=1$.
\item{c)} $\mu_F([a,b))=F(b)-F(a)$ minden $-\infty\le a<b\le \infty$
sz\'amra. Speci\'alisan, \hfill\break
$\mu_F((-\infty,b))=F(b)$ minden $-\infty<b<\infty$ sz\'amra.
\medskip
Egy fenti tulajdons\'ag\'u $F(x)$ f\"uggv\'eny, egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza azokat az $\mu_F(B)$ sz\'amokat minden Borel
m\'erhet\H{o} $B$ halmazra, melyekre teljes\"ul, hogy
$\mu_F((-\infty,b))=F(b)$ minden $-\infty<b< \infty$ sz\'amra, \'es
$\mu_F(\cdot)$ $\sigma$-additiv halmazf\"uggv\'eny a sz\'amegyenes
Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an.} \medskip
 
Jegyezz\"uk meg, hogy a $\mu_F(B)=P(\{\oo\:\xi(\oo)\in B\})$
halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-additiv a sz\'amegyenes Borel
$\sigma$-algebr\'aj\'an, \'es $P(\{\oo\:\xi(\oo)<b\})=F(b)$. Ez\'ert
az el\H{o}bb megfogalmazott T\'etel~B azt is \'all\'{\i}tja, hogy az
$F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny meghat\'arozza a $P(\{\oo\:\xi(\oo)\in
B\})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket minden Borel--m\'erhet\H{o} $B$
halmazra. \medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Mivel $\{\oo\:\xi(\oo)<a\}
\subset\{\oo\:\xi(\oo)<b\}$, ha $a<b$, ez\'ert
$P(\{\oo\:\xi(\oo)<a\})\le P(\{\oo\:\xi(\oo)<b\})$ ebben az esetben,
\'es ez az a) tulajdons\'ag.
 
Az a) tulajdons\'ag \'erv\'enyess\'ege miatt a b) tulajdons\'ag
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben el\'eg megmutatni azt, hogy ha $h_n$,
$n=1,2,\dots$, monoton cs\"okken\H{o} sorozat, melyre
$\limm_{n\to\infty}h_n=0$, akkor $\limm_{n\to\infty}F(x-h_n)=
\limm_{n\to\infty}P\(\{\oo\:\xi(\oo)<x-h_n\}\)= F(x)=
P\(\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\)$. Ez viszont k\"ovetkezik az
$\bigcupp_{n=1}^\infty\{\oo\:\xi(\oo)<x-h_n\}=\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$
rel\'aci\'ob\'ol \'es a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
folytonoss\'ag\'ab\'ol. A c) \'es d) tulajdons\'ag
bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o. \medskip\noindent
{\it A T\'etel A bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
$(\Omega, \Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t,
$\Omega=R^1$, a sz\'amegyenes, $\Cal A=\Cal B$ a sz\'amegyenes Borel
m\'erhet\H{o} halmazainak $\sigma$-algebr\'aja, $P=\mu_F$, a Borel
m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aj\'an az $F$ f\"uggv\'eny
\'altal defini\'alt Stieltjes m\'ert\'ek, melynek l\'etez\'es\'et a
T\'etel~B \'all\'{\i}t\'asa fogalmazza meg. Legyen $\xi(x)=x$, azaz
jelen p\'eld\'aban az $\oo$ elemi esem\'enyek az $x$ val\'os sz\'amok,
\'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok az $x$
helyen az $x$ sz\'ammal egyenl\H{o}. Ekkor
$P(\{\oo\:\xi(\oo)<x\})=\mu_F(u\:u<x)=F(x)$ minden $x$ sz\'amra. Ez
azt jelenti, hogy a defini\'alt $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A T\'etel~A bizony\'{\i}t\'as\'anak egyetlen
nehezebb l\'ep\'ese annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy a konstru\'alt
$\mu_F$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek val\'oban
$\sigma$-additiv, azaz a T\'etel~B \'all\'{\i}t\'as\'anak
bizony\'{\i}t\'asa. Megjegyezz\"uk, hogy ennek az \'all\'{\i}t\'asnak
a bizony\'{\i}t\'asa elker\"ulhetetlen. Ugyan\-is a T\'etel~B
\'all\'{\i}t\'asa k\"onnyen levezethet\H{o} a T\'etel~A
\'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} L\'assuk be, hogy l\'etezik olyan diszkr\'et eloszl\'as\'u
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melynek $F(x)=P(\xi<x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere igaz, hogy minden $-\infty<a<b<\infty$
sz\'amp\'arra $F(a)<F(b)$ szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eggel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy lehets\'eges konstrukci\'o a
k\"ovetkez\H{o}. Legyen $r_1,r_2,\dots$, a racion\'alis sz\'amok
sorozata valamilyen sorrendben felsorolva. Defini\'aljunk olyan $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot, melyre
$P(\xi=r_j)=2^{-j}$, $j=1,2,\dots$. Ekkor $\xi$ diszkr\'et
el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
ennek $F(x)$ eloszl\'as\'ara $F(b)-F(a)=P(a<\xi<b)>0$, mert
$P(a<\xi<b)>P(\xi=r_j)>0$, ahol $r_j$ egy az $[a,b]$ intervallum
belsej\'eben l\'ev\H{o} racion\'alis sz\'am.
 
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'eke.}
\medskip\noindent
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy nagyon fontos fogalma
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'eke. Ezt a
fogalmat r\'eszletesen t\'argyaltuk diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben. Az \'altal\'anos
eset t\'argyal\'asa visszavezethet\H{o} erre a speci\'alis esetre
alkalmas hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezt a
hat\'ar\'atmenet elj\'ar\'ast kiss\'e \'altal\'anosabb form\'aban
elv\'egezt\'ek a m\'ert\'ekelm\'eletben az \'ugynevezett Lebesgue
integr\'al bevezet\'es\'en\'el. A
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
t\'argyal\'as\'aban a v\'arhat\'o \'ert\'ek vizsg\'alat\'at
 egyszer\H{u}en \'es gyorsan el tudj\'ak v\'egezni, ha szabad
haszn\'alni a Lebesgue integr\'al fogalm\'at.
 
Ebben az el\H{o}ad\'asban a k\"ovetkez\H{o} k\"oztes megold\'ast
v\'alasztjuk. Elmagyar\'azzuk azt a k\'epet, mely term\'eszetess\'e
teszi a haszn\'alt Lebesgue m\'ert\'ek definici\'oj\'at, \'es
szem\-l\'e\-le\-te\-sen megmutatjuk, mi\'ert \'erv\'enyesek a
legfontosabb eredm\'enyek. A form\'alis r\'eszletek kidolgoz\'asa
viszont nem ennek az el\H{o}ad\'asnak a t\'em\'aja.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek {\it form\'alis}\/ definici\'oja.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n.
E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'ugy defini\'aljuk, mint a $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enynek az
$$
E\xi(\oo)=\int \xi(\oo) dP(\oo)
$$
Lebesgue integr\'alj\'at a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
szerint, felt\'eve, hogy $\int |\xi(\oo)| dP(\oo)<\infty$. Ha ez a
felt\'etel nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.}
\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} {\it Fontos T\'etel}-nek nevezett eredm\'eny
lehet\H{o}v\'e teszi egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at csak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek
az ismeret\'eben. \medskip\noindent
{\bf Fontos T\'etel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
melynek $F(x)$ az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$,
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor
$$
E\xi(\oo)=\int_{-\infty}^\infty xF(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty |x| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben az
$E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip
S\H{o}t igaz a Fontos T\'etel k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. \medskip\noindent
{\bf A Fontos T\'etel \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melynek $F(x)$ az
$F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye.
Legyen $g(x)$ tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen, \'es defini\'aljuk az $\eta(\oo)=g(\xi(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor
$$
E\eta(\oo)=Eg(\xi(\oo))=\int_{-\infty}^\infty  g(x) F(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben
az $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}bb megfogalmazott eredm\'enyekben
szerepelt az $\int_{-\infty}^\infty|x| F(\,dx)<\infty$, illetve
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$ felt\'etel. E
felt\'etelek term\'eszetes megfelel\H{o}i annak a diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben szerep;\H{o}
felt\'etelnek,  hogy egy diszkr\'et va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et defini\'al\'o \"osszeg legyen
abszolut konvergens. \medskip
 
A v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'aban szerepelt a Lebesgue
integr\'al fogalma. Ennek a fogalomnak a jelent\'ese n\'emi
magyar\'azatra szorul. A hagyom\'anyos anal\'{\i}zis oktat\'asban az
\'ugynevezett Riemann integr\'alt vezetik be el\H{o}sz\"or. Egy $[a,b]$
intervallumon \'ertelmezett $f(u)$ f\"uggv\'eny $\int_a^b f(u)\,du$
integr\'alj\'at \'ugy defini\'aljuk, hogy el\H{o}sz\"or alkalmas
k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegeket vezet\"unk be a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon. Felosztjuk az $[a,b]$ intervallumot $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$
oszt\'opontok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, melyekre $\supp_{1\le k\le
n}(x_k-x_{k-1})$ kicsi, \'es mindegyik $[x_{k-1},x_k]$ intervallumban
kijel\"ol\"unk egy $\xi_k \in[x_{k-1},x_k]$ pontot, \'es tekintj\"uk a
$\summ_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$ k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegeket.
Az $\int_a^b f(u)\,du$ integr\'alt  \'ugy defini\'aljuk mint ezen
integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek limesz\'et, ha
$\supp_{1\le k\le n}(x_k-x_{k-1})$ null\'ahoz tart.
 
Adva egy $F(u)$ f\"uggv\'eny is az $[a,b]$ intervallumon az
$\int_a^b f(u)F(\,du)$ Riemann--Stieltjes intergr\'alt hasonl\'oan
defini\'aljuk. A k\"ul\"onbs\'eg az, hogy most a k\"ozel\'{\i}t\H{o}
\"ossze\-gek\-ben az $x_k-x_{k-1}$ megv\'altoz\'asokat az $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny $F(x_k)-F(x_{k-1})$ megv\'altoz\'asaival
helyettes\'{\i}tj\"uk, azaz a $\summ_{k=1}^nf(\xi_k)
\(F(x_k)-F(x_{k-1})\)$ k\"ozel\'{\i}t\H{o}\"osszegeket,
illetve azok ha\-t\'ar\-\'er\-t\'e\-k\'et te\-kint\-j\"uk.
 
A Lebesgue integr\'alt a Riemann integr\'alhoz hasonl\'oan
defini\'aljuk. A l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg az, hogy most nem az
integr\'aland\'o f\"uggv\'eny \'ertelmez\'esi tartom\'any\'anak, hanem
a f\"uggv\'eny \'ert\'ekk\'eszlet\'enek
tekintj\"uk egy finom feloszt\'as\'at az integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o}
\"osszegek definici\'oj\'aban. Kiss\'e r\'esz\-le\-te\-seb\-ben,
tekints\"unk egy $K>0$ sz\'amot, \'es osszuk fel a $[-K,K]$
intervallumot diszjunkt kis intervallumok uni\'oj\'ara valamilyen
$-K=y_0<y_1<\cdots<y_n=K$ oszt\'opontok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es
tekints\"uk az $[y_{k-1},y_k)$ intervallumoknak az $f$ f\"uggv\'eny
\'altal meghat\'arozott $A_k=\{x\: f(x)\in [y_{k-1},y_k)\}$,
$k=1,\dots,n$, \H{o}sk\'epeit. V\'alasszunk ezut\'an minden
$[y_{k-1},y_k)$ intervallumban egy $\eta_k\in [y_{k-1},y_k)$ pontot.
Ekkor az $\int_a^b f(u)\,du$ Riemann integr\'alnak megfelel\H{o}
Lebesgue integr\'alt \'ugy defini\'aljuk, mint a $\summ_{k=1}^n
\eta_k\lambda(A_k)$ k\"ozel\'{\i}t\H{o}\"osszegeknek a limesz\'et,
ahol $\lambda(A_k)$ jel\"oli az $A_k$ halmaz Lebesgue m\'ert\'ek\'et,
ha az integr\'alk\"ozel\'{\i}t\'esben szerepl\H{o} $[-K,K]$
intervallum jobb v\'epontj\'a teljes\'{\i}ti a $K\to\infty$
felt\'etelt, \'es $\supp_{1\le k\le n}(y_k-y_{k-1})\to0$, ahogy az
egyre finomod\'o integr\'alk\"ozel\'{\i}t\'eseket tekintj\"uk.
 
Az $\int_a^b f(u)F(\,du)$ Riemann--Stieltjes integr\'alnak
megfelel\H{o} Lebesgue--Stieltjes integr\'alt hasonl\'oan
defini\'aljuk azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy most az $A_k$ halmaz
$\lambda(A_k)$ Lebesgue m\'ert\'eke helyett annak $\mu_F(A_k)$
Lebesgue Stieltjes m\'ert\'ek\'et vessz\"uk, azaz a
$\summ_{k=1}^n \eta_k\mu_F(A_k)$ k\"ozel\'{\i}t\H{o}\"osszegek
ha\-t\'ar\-\'er\-t\'e\-k\'et te\-kint\-j\"uk.
 
Sz\'ep, egyszer\H{u} esetekben egy f\"uggv\'eny Riemann \'es
Lebesgue integr\'alja illetve Riemann--Stieltjes \'es
Lebesgue--Stieltjes integr\'alja megegyezik. A Lebesgue integr\'al
egyik el\H{o}nye az, hogy gazdagabb azon f\"uggv\'enyek oszt\'alya,
melyek  Lebesgue integr\'alj\'at defini\'alni tudjuk. Ugyanis az
integr\'al definici\'oj\'aban sz\"uks\'eges hat\'ar\'atmeneteketet
a Lebesgue integr\'al definici\'oj\'aban k\"onnyebb v\'egrehajtani mint
a Riemann integr\'al\'eban. S\H{o}t a Lebesgue
integr\'al definici\'oja --- szemben a Riemann integr\'al\'eval ---
nem k\"ot\H{o}dik a sz\'amegyenes geometri\'aj\'ahoz. Ilyen m\'odon
tetsz\H{o}leges $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek sze\-rint
tudunk $\int f(\oo)\,dP(\oo)$ alak\'u Lebesgue integr\'alt
defini\'alni. Ugyanis ahhoz, hogy a Lebesgue integr\'al
definici\'oj\'ahoz vezet\H{o} fent v\'azolt elj\'ar\'asban
szerepl\H{o} k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegeket fel tudjuk \'{\i}rni
az kell, hogy az $\{\oo\: f(\oo)\in [a,b)\}$ alak\'u halmazoknak
legyen m\'ert\'eke a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerint.
 
A Lebesgue integr\'al definici\'oj\'aban megjelen\H{o} f\H{o}
neh\'ezs\'eg az, hogy az ott meg\-je\-le\-n\H{o}
$\{\oo\: f(\oo)\in [a,b)\}$ alak\'u halmazok nem felt\'etlen\"ul
olyan egyszer\H{u}ek mint a Riemann integr\'al definic\'oj\'aban
szerepl\H{o} intervallumok. Ez\'ert az $\int_a^b f(u)\,du$
Riemann integr\'alnak megfelel\H{o} Lebesgue integr\'al
definici\'oj\'anak megad\'asa \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or
de\-fi\-ni\-\'al\-ni kell halmazok egy gazdag oszt\'aly\'anak a
m\'ert\'ek\'et, ,,hossz\'at". Ez konkr\'etabban azt jelenti, hogy
be kell vezetni a sz\'amegyenes Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazait,
\'es defini\'alni kell e Borel m\'erhet\H{o} halmazok Lebesgue
m\'ert\'ek\'et. Egy \'altal\'anos m\'ert\'ek szerinti ,,absztrakt"
Lebesgue integr\'alt hasonl\'oan defini\'alhatunk. Itt is az kell a
definici\'o megad\'as\'ahoz,  hogy halmazok egy gazdag oszt\'aly\'anak
ismerj\"uk a m\'ert\'ek\'et. Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
\'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek eset\'eben ez a
helyzet. Ez lehet\H{o}v\'e teszi val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
defini\'alt (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'enyek integr\'alj\'anak a
definici\'oj\'at a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek sze\-rint. Ez
a definici\'o viszonylag egyszerr\H{u} \'es term\'eszetes. Viszont a
r\'eszletek kidolgoz\'as\'ahoz sz\"uks\'eges a $\sigma$-addit\'{\i}v
m\'ert\'ekek elm\'elet\'enek az ismerete is. Val\'osz\'{\i}n\H{u}leg
ez a f\H{o} oka annak, hogy az anal\'{\i}zis oktat\'asban
el\H{o}sz\"or csak a Riemann integr\'alt t\'argyalj\'ak.
 
Tekints\"uk egy $f(\cdot)$ (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny
integr\'alj\'at valamilyen $\mu$ m\'ert\'ek szerint. Jegyezz\"uk meg,
hogy amennyiben ezt az $f$ f\"uggv\'enyt egy a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint null m\'ert\'ek\H{u} halmazon megv\'altoztatjuk, akkor az
integr\'al \'ert\'eke nem v\'altozik, mert az \'uj f\"uggv\'eny
integr\'alj\'at ugyanazoknak a k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek
hat\'ar\'ert\'ekek\'ent kapjuk. Ez az egyik oka annak, hogy a
m\'ert\'ekelm\'elet probl\'em\'aiban egy f\"uggv\'enyt
sokszor nem kell minden pontban ismerni, \'es azonos\'{\i}thatunk
k\'et f\"uggv\'enyt, ha azok majdnem minden pontban megegyeznek.
 
V\'eg\"ul megjegyezz\"uk, hogy a Fontos T\'etelnek illetve annak
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak a bizony\'{\i}t\'asa viszonylag
egyszer\H{u}, ha j\'ol meg\'ertj\"uk a Lebesgue integr\'al
definici\'oj\'at. Az $\int g(\xi(\oo))\,dP(\oo)$ Lebesgue
integr\'al k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegeit kifejezhetj\"uk a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et tartalmaz\'o \"osszegek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Ez ut\'obbi \"osszegek
ter\-m\'e\-sze\-tes k\"ozel\'{\i}t\H{o}\"osszegei az $\int
g(x)F(\,dx)$ Lebesque--Stieltjes in\-teg\-r\'al\-nak. Ezut\'an
alkalmas ha\-t\'ar\-\'at\-me\-net seg\'{\i}ts\'eg\'evel megkapjuk
a Fontos T\'etel \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak a
bizony\'{\i}t\'as\'at.
 
 
\bye
 
 
 
 
 
 
