A Valószínűségszámítás I. előadássorozat hetedik előadása. 2001 március 13.

Összefoglaló:

A Poisson eloszlás (folytatás)

Láttuk az előző előadáson, hogy amennyiben az S_{n} valószínűségi változók, n = 1, 2, …, binomiális eloszlásúak n és p_{n} paraméterekkel, azaz S_{n} eloszlása megegyezik

egy ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}^{(n)} összeg eloszlásával, ahol a ξ_{j}^{(n)} valószínűségi változók függetlenek, és

P (ξ_{j}^{(n)} = 1) = 1 − P (ξ_{j}^{(n)} = 0) = p_{n}, 1 ≤ j ≤ n,

továbbá lim_{n→∞} np_{n} = λ valamely λ > 0 számmal, akkor lim_{n→∞} P (S_{n} = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} minden k egész számra.

Jegyezzük meg továbbá, hogy szintén következik az előző előadás eredményeiből, hogy amennyiben olyan T_{n}, n = 1, 2, …, véletlen összegeket tekintünk, melyek T_{n} =

∑_{j=1}^{n} η_{j}^{(n)} alakban írhatók, ahol rögzített n számra az η_{j}^{(n)} valószínűségi változók függet-

lenek, és Poisson eloszlásúak \frac{λ_{n}}{n} paraméterrel, és lim_{n→∞} λ_{n} = λ > 0, akkor lim_{n→∞} P (T_{n} =

k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} minden k egész számra. Ekkor ugyanis T_{n} Poisson eloszlású λ_{n} paraméterrel.

Belátunk egy eredményt, melynek a fent tekintett két példa speciális esete. Azután megtárgyaljuk egy példán keresztül, hogy ez az eredmény magyarázatot ad arra, hogy miért fontos a Poisson eloszlás, miért tételezhetjük fel, hogy bizonyos véletlen jelenségeket Poisson eloszlású valószínűségi változók írnak le.

Tétel. Legyenek minden rögzített n = 1, 2, … számra ξ_{1}^{(n)}, …, ξ_{n}^{(n)} független egyforma eloszlású, nem negatív egész értékeket felvevő valószínűségi változók, melyek teljesítik a következő feltételeket:

a) lim_{n→∞} nP (ξ_{1}^{(n)} = 1) = λ > 0.

b) lim_{n→∞} nP (ξ_{1}^{(n)} ≥ 2) = 0.

Ekkor az S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}^{(n)}, n = 1, 2, …, véletlen összegekre teljesül a

lim_{n→∞} P (S_{n} = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}

reláció minden k nem negatív egész számra.

Megjegyzés: Érvényes e tétel állításának általánosítása megfelelő feltételek mellett független nem negatív egész értékű, de nem feltétlenül azonos eloszlású valószínűségi változók összegére is. Egy ilyen állítást, melyet a fent megfogalmazott tételhez hasonlóan lehet bizonyítani, nem kötelező házi feladat formájában megfogalmazok.

A tétel bizonyításának vázlata: Tekintsük az S_{n} valószínűségi változók

G_{n}(x) = ∑_{j=0}^{∞} P (S_{n} = j)x^{j}, n = 1, 2, …,

generátorfüggvényeit. Elég belátni, hogy lim_{n→∞} G_{n}(x) = G(x) valamilyen −A < x <

A, A > 0, intervallumban, ahol G(x) = e^{λ(x−1)} a λ paraméterű Poisson eloszlás generátorfüggvénye. Ugyanis, mivel hatványsorok konvergenciája esetében szabad ta-

gonként deriválni, ezért teljesül a lim_{n→∞} \frac{d^{k}G_{n}(x)}{dx^{k}} |_{x=0} = \frac{dG^{k}(x)}{dx^{k}} |_{x=0} reláció minden

k = 0, 1, 2, … számra. Azaz k! lim_{n→∞} P (S_{n} = k) = k!\frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ} minden k = 0, 1, … számra. Ennek a bizonyítandó relációnak az érvényességét a következő észrevétel segítségével bizonyíthatjuk:

Legyen g_{n}(x) = ∑_{j=0}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j)x^{j}, a ξ_{1}^{(n)} valószínűségi változó generátorfüggvénye.

Ekkor a Tétel feltételei miatt G_{n}(x) = g_{n}^{n}(x) minden x számra. Ezért logaritmust véve a bizonyítandó relációban elég megmutatni azt, hogy lim_{n→∞} n log g_{n}(x) = λ(x − 1).

Továbbá, mivel P (ξ_{1}^{(n)} = 0) = 1 − P (ξ_{1}^{(n)} = 1) − ∑_{j=2}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j), ezért g_{n}(x) =

1 + P (ξ_{1}^{(n)} = 1) (x − 1) + ∑_{j=2}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j) (x^{j} − 1). Ezért az a) és b) feltételek miatt

azt várjuk, hogy a g_{n}(x) ∼ 1+ \frac{λ}{n} (x − 1) jó közelítés. Mivel log(1+u) ∼ u kis u számokra

ezért természetes azt várni, hogy log g_{n}(x) ∼ \frac{λ}{n} (x − 1) jó közelítés, és lim_{n→∞} log g_{n}(x) = λ (x − 1), ahonnan következik a Tétel állítása. A Tétel bizonyítása a fenti közelítések jogosságának ellenörzéséből áll.

A Tétel bizonyításának befejezése. Vegyük észre, hogy minden ε > 0 számra létezik

olyan n_{0} = n_{0}(ε) küszöbindex, melyre |g_{n}(x) − (1 + \frac{λ}{n}(x − 1))| < \frac{ε}{n}, ha n ≥ n_{0}

és |x| < 1. Valóban a g_{n}(x) = 1 + P (ξ_{1}^{(n)} = 1) (x − 1) + ∑_{j=2}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j) (x^{j} − 1)

azonosság teljesül. Ezenkívül a b) relációból következik, hogy

|∑_{j=2}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j) (x^{j} − 1)| ≤ 2 ∑_{j=2}^{∞} P (ξ_{1}^{(n)} = j) = 2P (ξ_{1}^{(n)} ≥ 2) ≤ \frac{ε}{2n},

és az a) relációból pedig az, hogy |P (ξ_{1}^{(n)} = 1) (x − 1) − \frac{λ}{n}(x − 1)| < \frac{ε}{2n}, ha n ≥ n_{0}

és |x| < 1. Ezért igaz a fenti azonosság.

Továbbá, mivel mint azt például a log(1 + x) függvény Taylor sorfejtéséből lehet

látni, | log(1 + u) − u| < u^{2}, ha |u| < \frac{1}{2}, ezért a fenti egyenlőtlenségből következik, hogy

|log g_{n}(x) − \frac{λ(x − 1)}{n}| < \frac{2ε}{n}, ha n ≥ n_{1}, és |x| ≤ 1 alkalmas n_{1} = n_{1}(e) küszöbindexre.

Mivel ez az állítás igaz minden ε > 0 számra, ezért lim_{n→∞} n log g_{n}(x) = λ(x − 1), ha x < 1. Viszont láttuk, hogy innen következik a Tétel állítása.

Nem kötelező házi feladat.

Legyen

ξ_{1,1} …, ξ_{1,n_{1}}
⋮  ⋮
ξ_{k,1} …, ξ_{k,n_{k}}
⋮  ⋮

szériasorozat, azaz tegyük fel, hogy az egy sorban álló valószínűségi változók függetlenek. Tegyük fel továbbá, hogy e valószínűségi változók teljesítik a következő feltételeket:

1.) A ξ_{k,j} valószínűségi változók nem negatív egész értékeket vesznek fel.

2.) P (ξ_{k,j} = 1) = λ_{k,j}, lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j} = λ > 0.

3.) sup_{1≤j≤n_{k}} λ_{k,j} → 0, ha k → ∞, és ∑_{j=1}^{n_{k}} P (ξ_{k,j} ≥ 2) → 0, ha k → ∞.

Ekkor az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a λ para-

méterű Poisson eloszláshoz, ha k → ∞, azaz lim_{k→∞} P (S_{k} = l) = \frac{λ^{l}}{l!} e^{−λ} minden l = 0, 1, 2, … számra.

A Tétel szemléletes tartalma: Tekintsük például a csillaghullást. Arra vagyunk kiváncsiak, hogy amennyiben egy éjszaka azt figyeljük, hány hullócsillagot látunk egy adott időintervallumban, (mondjuk egy óra alatt), akkor a lehullott csillagok (véletlen száma) milyen valószínűségi törvényeknek tesz eleget. Osszuk fel az egy óra időintervallumot rövid ΔT hosszúságú időintervallumokra. Akkor a lehullott csillagok száma e rövid ΔT időintervallumokban lehullott csillagok összege. Ezenkívül feltehetjük, hogy diszjunkt időintervallumokban lehullott csillagok száma egymástól független, és a különböző rövid intervallumokban lehulló csillagok száma hasonló valószínűségi törvényeknek tesz eleget. Annak valószínűsége, hogy egy csillag egy rövid időintervallumban lehullik nagyon kicsi, és arányos az időintervallum hosszával. Annak valószínűsége, hogy egy kis időintervallumban kettő vagy még több csillag hullik, még ehhez képest is elhanyagolható. Ez azt jelenti, hogy természetes feltenni, hogy teljesülnek az előbb megfogalmazott tétel feltételei. Ezért az alkalmazható, és egy adott időintervallumban lehullott csillagok száma Poisson eloszlású. Hasonló érvelés alkalmazható sok más hasonló esetben, és ez magyarázza meg, miért különösen fontos a Poisson eloszlás.

Egy a hipergeometrikus eloszlással kapcsolatos statisztikai problémáról.

Tekintsük először a következő problémát:

Feladat:

Egy tóban 3000 hal van. Véletlenül kihalásznak belőle 1000 darabot, és ezekre piros pöttyöt festenek és visszaengedik őket. Ezután ismét kifognak véletlenül 1000 halat. Mi annak a valószínűsége, hogy a kifogott halak között 100 megfestett van? Megjegyzés: A gyakorlatban előforduló kérdés ennek fordítottja. Elvégezzük a fenti kisérletet, összeszámláljuk a megfestett halakat, és ebből próbálunk következtetni a tóban levő halak számára. Hogyan érdemes ezt csinálni?

Ezt a problémát érdemes részletesebben megtárgyalni. Valójában, nem tudjuk, hogy hány hal van a tóban. De ennek megbecslése érdekében a következő eljárást alkalmazhatjuk:

Végezzünk két fogást, az első fogásban kifogott halakat jelöljuk meg. Ezután meg akarjuk állapítani mennyi hal lehet összesen a tóban. Ezt természetesen csak bizonyos (véletlentől függő) pontossággal tudjuk meghatározni. Az ilyen tipusú feladatok tipikusak a matematikai statisztikában, az ilyen problémák vizsgálatát nevezik becsléseleméletnek. Világos, hogy az, hogy 1000-nél alig több hal van, nem túl valószínű, mert akkor sokkal több megjelölt hal lenne a második fogásban. Az hogy rengeteg, mondjuk 1 000 000 hal lenne a tóban szintén nem túl valószínű, mert akkor sokkal kevesebb megjelölt hal lenne a második fogásban. A matematikai statisztikában kidolgoztak egy általános elvet a maximum likelihood módszernek nevezett eljárást, mely nagyon általános feltételek mellett nagyon jó módszert ad, és mely jelen esetben is alkalmazható. Tárgyaljuk meg ezt a módszert a jelen esetben. Tekintsünk kissé általánosabb esetet. Vezessük be a következő jelöléseket:

x a tóban lévő halak (ismeretlen) száma,

n az első fogásban kifogott (és megjelölt) halak száma,

r a második fogásban kifogott halak száma,

k a második fogásban kifogott előzöleg megjelölt halak száma. Annak valószínűsége, hogy adott (ismeretlen) x és n, r számok esetén pontosan k megjelölt halat fogunk ki

q_{k}(x, n, r) = \begin{matrix}\binom{n}{k} & \binom{x − n}{r − k} \\ ( & {x \atop r} & ) \end{matrix}.

Tekintsük az ismeretlen x szám (maximum likelihood) becslésének azt az x számot, melyre a q_{k}(x, n, r) mennyiség (rögzített n, k és r számok mellett) maximális. Határozzuk meg a fenti feladatban a maximum likelihood becslést. Némi számolás mutatja, hogy

\frac{q_{k}(x, n, r)}{q_{k}(x − 1, n, r)} = \frac{x − n}{x − n − r + k} · \frac{x − r}{x} = \frac{x^{2} − rx − nx + rn}{x^{2} − rx − nx + kx}.

Ez a tört kisebb mint egy, ha rn < kx, nagyobb mint egy, ha rn > kx. Ezért a becslés rn = kx, azaz x = \frac{rn}{k}, pontosabban az e számot közrefogó egész számok

valamelyike. Valóban x < \frac{rn}{k} esetében a q_{k}(x, n, r) függvény (mint az x változó

függvénye rögzített k, n és r paraméterekkel) monoton nő, x > \frac{rn}{k} esetében pedig a q_{k}(x, n, r) függvény monoton csökken.

Természetes kérdés az, hogy az így kapott becslés valóban jó-e. Azt nem várhatjuk, hogy az adott becslés valóban pontos. A természetes elvárás az, hogy meg tudunk adni az x pontnak viszonylag kis környezetét, egy olyan [x − a, x + a] intervallumot, melyre igaz, hogy annak valószínűsége, hogy a halak valódi száma ebbe az intervallumba esik nagyobb mint egy előírt egyhez közeli szám. Az ilyen intervallumot a matematikai statisztikában kondfidencia intervallumnak szokták nevezni.

Ahhoz, hogy ilyen konfidenciaintervallumot tudjunk szerkeszteni szükség van bizonyos valószínűségi változók eloszlásának jobb ismeretére, és ez a valószínűségszámítás egyik alapvető feladata. Jegyezzük meg, hogy a most vizsgált feladatban, amennyiben a tóban x számú hal van, az első fogásban n, a második fogásban r pedig r halat fogunk ki, akkor a második fogásban kifogott véletlen k számú megjelölt halak számának a várható értéke Ek = \frac{rn}{x}. Ahhoz, hogy vizsgálni tudjuk mennyire jó a becslés, hogyan lehet jó konfidenciaintervallumot konstruálni, azt kell megértenünk, hogy mekkora az ingadozása a k valószínűségi változónak a várható értéke körül.

Általános valószínűségi változók, velük kapcsolatos alapvető fogalmak.

Megbeszéltük, hogy egy ξ (valós értékű) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn értelmezett (mérhető) függvény. Általában, nem a valószínűségi változókat adjuk meg, hanem azoknak alább definiált eloszlásfüggvényét.

Valószínűségi változó eloszlásfüggvényének a definiciója. Legyen adva egy ξ(ω) (valós értékű) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Ennek F (x) eloszlásfüggvényén az F (x) = P ({ω: ξ(ω) < x}), −∞ < x < ∞, függvényt értjük.

Tekintsük például egy szabályos dobókocka feldobását, illetve azt a valószínűségi változót, mely megmondja mi a dobás eredménye. Hogy néz ki ennek a ξ valószínűségi változónak az F (x) eloszlásfüggvénye?

Ez a ξ valószínűségi változó az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 értékek valamelyikét veszi fel,

mindegyiket \frac{1}{6} valószínűséggel. Ezért annak a valószínűsége, hogy P (ξ < x) nullával egyenlő, ha x < 1. Sőt x = 1 esetében is teljesül a P (ξ < 1) = 0 azonosság, mert annak valószínűségét nézzük, hogy a ξ valószínűségi változó szigorúan kisebb mint az x szám. Ezért F (x) = 0, ha −∞ < x ≤ 1. Ha 1 < x < 2, akkor az {ω: ξ(ω) < x} esemény azt

jelenti, hogy a dobás eredménye 1. Ez az állítás igaz x = 2 esetében is. Ezért F (x) = \frac{1}{6}, ha 1 < x ≤ 2. Ha 2 < x ≤ 3, akkor az {ω: ξ < x(ω)} esemény azt jelenti, hogy a dobás

eredménye 1 vagy 2. Ezért F (x) = \frac{2}{6}, ha 2 < x ≤ 3. Ezt a gondolatot végigkövetve

kapjuk, hogy F (x) = 0, ha −∞ < x ≤ 1, F (x) = \frac{j}{6}, ha j < x ≤ j + 1, 1 ≤ j ≤ 5, és F (x) = 1, ha 6 < x < ∞,

Feladat:

Feldobunk egy pénzdarabot, mely p valószínűséggel esik a fej, 1 − p valószínűséggel az írás oldalra kétszer egymástól függetlenül. Jelölje ξ azt a valószínűségi változót, mely a fejdobások számát adja meg. Adjuk meg a ξ valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvényét.

Miért fontos az eloszlásfüggvény fogalma? Általában nem tudjuk, hogy milyen véletlen hatások eredményeként jelenik meg egy ξ(ω) valószínűségi változó értéke, csak azt, hogy milyen valószínűséggel történik az, hogy ez a valószínűségi változó bizonyos értékeket vesz fel. Ezért természetes, hogy csak ezeket a valószínűségeket adjuk meg. A ξ(ω) valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvénye csak az {ω: ξ(ω) < x} alakú események valószínűségét adja meg. A következő kérdés az, hogy nem jelent-e ez megszorítást, hiszen minket az összes {ω: ξ(ω) ∈ B} alakú esemény valószínűsége érdekel, ahol B ,,szép” halmaz. Viszont bizonyos mértékelméleti eredményekből következik, hogy az F (x) eloszlásfüggvény meghatározza az összes ilyen esemény valószínűségét. Az, hogy egy halmaz ,,szép” pontosan azt jelenti, hogy ez a halmaz Borel mérhető. Lássuk, hogyan lehet néhány ilyen esemény valószínűségét meghatározni.

Mivel {ω: a ≤ ξ(ω) < b} = {ω: < ξ(ω) < b} \ {ω: ξ(ω) < a}, ezért

P ({ω: a ≤ ξ(ω) < b}) = P ({ω: a ≤ ξ(ω) < b}) − P ({ω: ξ(ω) < a}) = F (b) − F (a).

Mivel \{ω: a ≤ ξ(ω) ≤ b\} = ⋂_{n=1}^{∞} \{ω: a ≤ ξ(ω) < b + \frac{1}{n}\}, és a valószínűség σ-additi-

vitásából következnek annak folytonossági tulajdonságai (lásd a Borel–Cantelli lemma bizonyítása előtt szereplő lemmát), ezért

P (\{ω: a ≤ ξ(ω) ≤ b\}) = lim_{n→∞} P (\{ω: a ≤ ξ(ω) < b + \frac{1}{n}\})

= lim_{n→∞} [F (b + \frac{1}{n}) − F (a)] .

Hasonlóan, ha adva vam diszjunkt zárt [a_{k}, b_{k}], 1 ≤ k ≤ n, intervallumok halmaza, akkor

P ( ⋃_{k=1}^{n} \{ω: a_{k} ≤ ξ(ω) ≤ b_{k}\}) = ∑_{k=1}^{n} lim_{N→∞} [F (b_{k} + \frac{1}{N} ) − F (a_{k})] .

Feladat:

Legyen adva egy ξ(ω) valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvénye. Határozzuk meg ennek segítségével az {ω: a < ξ(ω) < b} alakú események, −∞ < a < b < ∞, valószínűségét, valamint annak valószínűségét, hogy ξ(ω) valamilyen páros egész értéket vesz fel.

Megfogalmazzuk azokat eredményeket, melyek segítségével jellemezni tudjuk az eloszlásfüggvényeket, illetve, amelyek kimondják, hogy az eloszásfüggvények meghatározzák a minket érdeklő valószínűségeket.

Lemma. Legyen ξ(ω) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, és legyen F (x) = P ({ω: ξ(ω) < x}), −∞ < x < ∞, e valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. Az F (x) eloszlásfüggvény teljesíti a következő tulajdonságokat.

a) F (x) monoton növekvő függvény.

b) F (x) balról folytonos függvény, azaz lim_{h→0, h>0} F (x − h) = F (x) minden −∞ < x <

∞ számra.

c) lim_{x→∞} F (x) = 1.

d) lim_{x→−∞} F (x) = 0.

Tétel A. Ha egy F (x) függvény teljesíti az előző lemmában megfogalmazott a)—d) tulajdonságokat, akkor az eloszlásfüggvény. Részletesebben megfogalmazva ez azt jelenti, hogy ha az F (x) függvény teljesíti az a)—d) feltételeket, akkor létezik egy (Ω, A, P) valószínűségi mező, és azon olyan ξ(ω) valószínűségi változó, melynek az eloszlásfüggvénye ez az F (x) függvény.

A fent megfogalmazott tétel felhasznál egy fontos mértékelméleti eredményt, melyet megfogalmazunk, de nem bizonyítunk.

Tétel B. Ha egy F (x) függvény teljesíti az előző lemmában megfogalmazott a)—d) tulajdonságokat, akkor létezik egy olyan úgynevezett μ_{F} (·) az F függvényhez kapcsolódó Stieltjes mérték, mely teljesíti a következő tulajdonságokat.

a) A számegyenes minden B Borel halmazának létezik μ_{F} (B) Stieltjes mértéke.

b) A μ_{F} (·) halmazfüggvény σ-additiv a számegyenes Borel-halmazaiból álló (Borel) σ-algebrán, és μ_{F} (R^{1}) = 1.

c) μ_{F} ([a, b)) = F (b) − F (a) minden −∞ ≤ a < b ≤ ∞ számra. Speciálisan, μ_{F} ((−∞, b)) = F (b) minden −∞ < b < ∞ számra.

Egy fenti tulajdonságú F (x) függvény, egyértelműen meghatározza azokat az μ_{F} (B) számokat minden Borel mérhető B halmazra, melyekre teljesül, hogy μ_{F} ((−∞, b)) = F (b) minden −∞ < b < ∞ számra, és μ_{F} (·) σ-additiv halmazfüggvény a számegyenes Borel σ-algebráján.

Jegyezzük meg, hogy a μ_{F} (B) = P ({ω: ξ(ω) ∈ B}) halmazfüggvény σ-additiv a számegyenes Borel σ-algebráján, és P ({ω: ξ(ω) < b}) = F (b). Ezért az előbb megfogalmazott Tétel B azt is állítja, hogy az F (x) eloszlásfüggvény meghatározza a P ({ω: ξ(ω) ∈ B}) valószínűségeket minden Borel–mérhető B halmazra.

A Lemma bizonyítása: Mivel {ω: ξ(ω) < a} ⊂ {ω: ξ(ω) < b}, ha a < b, ezért P ({ω: ξ(ω) < a}) ≤ P ({ω: ξ(ω) < b}) ebben az esetben, és ez az a) tulajdonság.

Az a) tulajdonság érvényessége miatt a b) tulajdonság bizonyítása érdekében elég megmutatni azt, hogy ha h_{n}, n = 1, 2, …, monoton csökkenő sorozat, melyre lim_{n→∞} h_{n} =

0, akkor lim_{n→∞} F (x − h_{n}) = lim_{n→∞} P ({ω: ξ(ω) < x − h_{n}}) = F (x) = P ({ω: ξ(ω) < x}).

Ez viszont következik az ⋃_{n=1}^{∞}{ω: ξ(ω) < x − h_{n}} = {ω: ξ(ω) < x} relációból és a

valószínűség folytonosságából. A c) és d) tulajdonság bizonyítása hasonló.

A Tétel A bizonyítása: Tekintsük a következő (Ω, A, P) valószínűségi mezőt, Ω = R^{1}, a számegyenes, A = B a számegyenes Borel mérhető halmazainak σ-algebrája, P = μ_{F}, a Borel mérhető halmazok σ-algebráján az F függvény által definiált Stieltjes mérték, melynek létezését a Tétel B állítása fogalmazza meg. Legyen ξ(x) = x, azaz jelen példában az ω elemi események az x valós számok, és a ξ valószínűségi változók az x helyen az x számmal egyenlő. Ekkor P ({ω: ξ(ω) < x}) = μ_{F} (u: u < x) = F (x) minden x számra. Ez azt jelenti, hogy a definiált ξ(ω) valószínűségi változó eloszlása az F (x) eloszlásfüggvény.

Megjegyzés: A Tétel A bizonyításának egyetlen nehezebb lépése annak bizonyítása, hogy a konstruált μ_{F} valószínűségi mérték valóban σ-additiv, azaz a Tétel B állításának bizonyítása. Megjegyezzük, hogy ennek az állításnak a bizonyítása elkerülhetetlen. Ugyanis a Tétel B állítása könnyen levezethető a Tétel A állításából.

Feladat:

Lássuk be, hogy létezik olyan diszkrét eloszlású ξ valószínűségi változó, melynek F (x) = P (ξ < x) eloszlásfüggvényére igaz, hogy minden −∞ < a < b < ∞ számpárra F (a) < F (b) szigorú egyenlőtlenséggel. Megoldás: Egy lehetséges konstrukció a következő. Legyen r_{1}, r_{2}, …, a racionális számok sorozata valamilyen sorrendben felsorolva. Definiáljunk olyan ξ valószínűségi változót, melyre P (ξ = r_{j}) = 2^{−j}, j = 1, 2, . . .. Ekkor ξ diszkrét eloszlású valószínűségi változó, és ennek F (x) eloszlására F (b) − F (a) = P (a < ξ < b) > 0, mert P (a < ξ < b) > P (ξ = r_{j}) > 0, ahol r_{j} egy az [a, b] intervallum belsejében lévő racionális szám.

Valószínűségi változók várható értéke.

A valószínűségszámítás egy nagyon fontos fogalma a valószínűségi változók várható értéke. Ezt a fogalmat részletesen tárgyaltuk diszkrét eloszlású valószínűségi változók esetében. Az általános eset tárgyalása visszavezethető erre a speciális esetre alkalmas határátmenet segítségével. Ezt a határátmenet eljárást kissé általánosabb formában elvégezték a mértékelméletben az úgynevezett Lebesgue integrál bevezetésénél. A valószínűségszámítás tárgyalásában a várható érték vizsgálatát egyszerűen és gyorsan el tudják végezni, ha szabad használni a Lebesgue integrál fogalmát.

Ebben az előadásban a következő köztes megoldást választjuk. Elmagyarázzuk azt a képet, mely természetessé teszi a használt Lebesgue mérték definicióját, és szemléletesen megmutatjuk, miért érvényesek a legfontosabb eredmények. A formális részletek kidolgozása viszont nem ennek az előadásnak a témája.

Valószínűségi változó várható értékének formális definiciója. Legyen ξ(ω) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. E valószínűségi változó várható értékét úgy definiáljuk, mint a ξ(ω) függvénynek az

Eξ(ω) = ∫ ξ(ω)dP (ω)

Lebesgue integrálját a P valószínűségi mérték szerint, feltéve, hogy ∫ |ξ(ω)|dP (ω) < ∞. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor nem definiáljuk a ξ valószínűségi változó várható értékét.

A következő Fontos Tétel-nek nevezett eredmény lehetővé teszi egy valószínűségi változó várható értékének kiszámítását csak a valószínűségi változó eloszlásfüggvényének az ismeretében.

Fontos Tétel. Legyen ξ(ω) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, melynek F (x) az F (x) = P (ξ < x), −∞ < x < ∞, eloszlásfüggvénye. Ekkor

Eξ(ω) = ∫_{−∞}^{∞} xF ( dx),

ahol a fenti integrál Lebesgue–Stieltjes integrált jelöl az F mérték szerint. Ez a formula akkor érvényes, ha ∫_{−∞}^{∞} |x|F ( dx) < ∞. Ellenkező esetben az Eξ várható értéket nem definiáltuk.

Sőt igaz a Fontos Tétel következő általánosítása.

A Fontos Tétel általánosítása. Legyen ξ(ω) valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, melynek F (x) az F (x) = P (ξ < x), −∞ < x < ∞, eloszlásfüggvénye. Legyen g(x) tetszőleges (mérhető) függvény a számegyenesen, és definiáljuk az η(ω) = g(ξ(ω)) valószínűségi változót. Ekkor

Eη(ω) = Eg(ξ(ω)) = ∫_{−∞}^{∞} g(x)F ( dx),

ahol a fenti integrál Lebesgue–Stieltjes integrált jelöl az F mérték szerint. Ez a formula akkor érvényes, ha ∫_{−∞}^{∞} |g(x)|F ( dx) < ∞. Ellenkező esetben az Eη várható értéket nem definiáltuk.

Megjegyzés: Az előbb megfogalmazott eredményekben szerepelt az ∫_{−∞}^{∞} |x|F ( dx) < ∞, illetve ∫_{−∞}^{∞} |g(x)|F ( dx) < ∞ feltétel. E feltételek természetes megfelelői annak a diszkrét valószínűségi változók esetében szerep;ő feltételnek, hogy egy diszkrét valószínűségi változó várható értékét definiáló összeg legyen abszolut konvergens.

A várható érték definiciójában szerepelt a Lebesgue integrál fogalma. Ennek a fogalomnak a jelentése némi magyarázatra szorul. A hagyományos analízis oktatásban az úgynevezett Riemann integrált vezetik be először. Egy [a, b] intervallumon értelmezett f(u) függvény ∫_{a}^{b} f(u) du integrálját úgy definiáljuk, hogy először alkalmas közelítő összegeket vezetünk be a következő módon. Felosztjuk az [a, b] intervallumot a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b osztópontok segítségével, melyekre sup_{1≤k≤n}(x_{k} − x_{k−1}) kicsi, és min-

degyik [x_{k−1}, x_{k}] intervallumban kijelölünk egy ξ_{k} ∈ [x_{k−1}, x_{k}] pontot, és tekintjük a

∑_{k=1}^{n} f(ξ_{k})(x_{k} − x_{k−1}) közelítő összegeket. Az ∫_{a}^{b} f(u) du integrált úgy definiáljuk mint

ezen integrálközelítő összegek limeszét, ha sup_{1≤k≤n}(x_{k} − x_{k−1}) nullához tart.

Adva egy F (u) függvény is az [a, b] intervallumon az ∫_{a}^{b} f(u)F ( du) Riemann– Stieltjes intergrált hasonlóan definiáljuk. A különbség az, hogy most a közelítő összegekben az x_{k} − x_{k−1} megváltozásokat az F (·) függvény F (x_{k}) − F (x_{k−1}) megváltozásaival

helyettesítjük, azaz a ∑_{k=1}^{n} f(ξ_{k}) (F (x_{k}) − F (x_{k−1})) közelítőösszegeket, illetve azok ha-

tárértékét tekintjük.

A Lebesgue integrált a Riemann integrálhoz hasonlóan definiáljuk. A lényeges különbség az, hogy most nem az integrálandó függvény értelmezési tartományának, hanem a függvény értékkészletének tekintjük egy finom felosztását az integrálközelítő összegek definiciójában. Kissé részletesebben, tekintsünk egy K > 0 számot, és osszuk fel a [−K, K] intervallumot diszjunkt kis intervallumok uniójára valamilyen −K = y_{0} < y_{1} < ⋯ < y_{n} = K osztópontok segítségével, és tekintsük az [y_{k−1}, y_{k}) intervallumoknak az f függvény által meghatározott A_{k} = {x: f(x) ∈ [y_{k−1}, y_{k})}, k = 1, …, n, ősképeit. Válasszunk ezután minden [y_{k−1}, y_{k}) intervallumban egy η_{k} ∈ [y_{k−1}, y_{k}) pontot. Ekkor az ∫_{a}^{b} f(u) du Riemann integrálnak megfelelő Lebesgue integrált úgy

definiáljuk, mint a ∑_{k=1}^{n} η_{k}λ(A_{k}) közelítőösszegeknek a limeszét, ahol λ(A_{k}) jelöli az A_{k}

halmaz Lebesgue mértékét, ha az integrálközelítésben szereplő [−K, K] intervallum jobb vépontjá teljesíti a K → ∞ feltételt, és sup_{1≤k≤n}(y_{k} − y_{k−1}) → 0, ahogy az egyre finomodó

integrálközelítéseket tekintjük.

Az ∫_{a}^{b} f(u)F ( du) Riemann–Stieltjes integrálnak megfelelő Lebesgue–Stieltjes integrált hasonlóan definiáljuk azzal a különbséggel, hogy most az A_{k} halmaz λ(A_{k}) Lebesgue mértéke helyett annak μ_{F} (A_{k}) Lebesgue Stieltjes mértékét vesszük, azaz a

∑_{k=1}^{n} η_{k}μ_{F} (A_{k}) közelítőösszegek határértékét tekintjük.

Szép, egyszerű esetekben egy függvény Riemann és Lebesgue integrálja illetve Riemann–Stieltjes és Lebesgue–Stieltjes integrálja megegyezik. A Lebesgue integrál egyik előnye az, hogy gazdagabb azon függvények osztálya, melyek Lebesgue integrálját definiálni tudjuk. Ugyanis az integrál definiciójában szükséges határátmeneteketet a Lebesgue integrál definiciójában könnyebb végrehajtani mint a Riemann integráléban. Sőt a Lebesgue integrál definiciója — szemben a Riemann integráléval — nem kötődik a számegyenes geometriájához. Ilyen módon tetszőleges P valószínűségi mérték szerint tudunk ∫ f(ω) dP (ω) alakú Lebesgue integrált definiálni. Ugyanis ahhoz, hogy a Lebesgue integrál definiciójához vezető fent vázolt eljárásban szereplő közelítő összegeket fel tudjuk írni az kell, hogy az {ω: f(ω) ∈ [a, b)} alakú halmazoknak legyen mértéke a P valószínűségi mérték szerint.

A Lebesgue integrál definiciójában megjelenő fő nehézség az, hogy az ott megjelenő {ω: f(ω) ∈ [a, b)} alakú halmazok nem feltétlenül olyan egyszerűek mint a Riemann integrál definicójában szereplő intervallumok. Ezért az ∫_{a}^{b} f(u) du Riemann integrálnak megfelelő Lebesgue integrál definiciójának megadása érdekében először definiálni kell halmazok egy gazdag osztályának a mértékét, ,,hosszát”. Ez konkrétabban azt jelenti, hogy be kell vezetni a számegyenes Borel mérhető részhalmazait, és definiálni kell e Borel mérhető halmazok Lebesgue mértékét. Egy általános mérték szerinti ,,absztrakt” Lebesgue integrált hasonlóan definiálhatunk. Itt is az kell a definició megadásához, hogy halmazok egy gazdag osztályának ismerjük a mértékét. Valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi mértékek esetében ez a helyzet. Ez lehetővé teszi valószínűségi mezőn definiált (mérhető) függvények integráljának a definicióját a valószínűségi mérték szerint. Ez a definició viszonylag egyszerrű és természetes. Viszont a részletek kidolgozásához szükséges a σ-additív mértékek elméletének az ismerete is. Valószínűleg ez a fő oka annak, hogy az analízis oktatásban először csak a Riemann integrált tárgyalják.

Tekintsük egy f(·) (mérhető) függvény integrálját valamilyen μ mérték szerint. Jegyezzük meg, hogy amennyiben ezt az f függvényt egy a μ mérték szerint null mértékű halmazon megváltoztatjuk, akkor az integrál értéke nem változik, mert az új függvény integrálját ugyanazoknak a közelítő összegek határértékeként kapjuk. Ez az egyik oka annak, hogy a mértékelmélet problémáiban egy függvényt sokszor nem kell minden pontban ismerni, és azonosíthatunk két függvényt, ha azok majdnem minden pontban megegyeznek.

Végül megjegyezzük, hogy a Fontos Tételnek illetve annak általánosításának a bizonyítása viszonylag egyszerű, ha jól megértjük a Lebesgue integrál definicióját. Az ∫ g(ξ(ω)) dP (ω) Lebesgue integrál közelítő összegeit kifejezhetjük a ξ valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvényét tartalmazó összegek segítségével. Ez utóbbi összegek természetes közelítőösszegei az ∫ g(x)F ( dx) Lebesque–Stieltjes integrálnak. Ezután alkalmas határátmenet segítségével megkapjuk a Fontos Tétel általánosításának a bizonyítását.