\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
%\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat m\'asodik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2001 febru\'ar 6.}
\medskip\noindent
{\it \"Osszefoglal\'o:}\/
 
\medskip\noindent
{\it Hogyan defini\'alhatjuk a kor\'abban vizsg\'alt probl\'em\'akat
le\'{\i}r\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modelleket?} \medskip
 
\item{a.)} Adjuk meg egy szab\'alyos p\'enz t\'{\i}z egym\'asut\'ani
(f\"uggetlen) dob\'as eredm\'enyeinek egy modellj\'et.
\medskip\item{} A term\'eszetes hozz\'a\'all\'as a k\"ovetkez\H{o}:
Vegy\"uk az \"osszes lehets\'eges 10 hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as
sorozatot. Ezek lesznek az $\oo)=(F,\dots, I,\dots)$ elemi esem\'enyek.
Az $\Omega$ biztos esem\'eny az \"osszes lehets\'ege el\H{o}bb
defini\'alt $\oo$ elemi esem\'enyekb\H{o}l \'all\'o halmaz. Az $\Cal A$
$\sigma$-algebra az $\Omega$ \"osszes lehets\'eges r\'eszhalmaz\'ab\'ol
\'all.) Ilyen m\'odon val\'oban $\sigma$-algebr\'at  defini\'altunk.
Defini\'alnunk kell m\'eg a $P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket minden
$A\in \Cal A$ halmazra. Ezt a k\"ovetkez\H{o}k\'epp tessz\"uk: Minden
$\oo$ elemi esem\'enyre $P(\{\oo\})=\(\frac12\)^{10}$, mert egy
szab\'alyos p\'enzdarab feldob\'asakor minden dob\'assorozatnak ennyi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. V\'eg\"ul $P(A)=\summ_{\oo\in A}
P(\{\oo\})$ minden $A\in \Cal A$ halmazra.
\medskip
\item{} Egy p\'enzdarabot, mely $\frac13$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es $\frac23$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara feldobunk
(egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) 10-szer egym\'as ut\'an. Adjunk erre
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $\oo$ egy elemi esem\'eny egy 10
hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozat. Te\-kint\-s\"uk az \"osszes
ilyen sorozatb\'ol \'all\'o halmazt, ez legyen $\Omega$, a biztos
esem\'eny. Legyenek a $\Cal A$ $\sigma$-algebra elemei az $\Omega$
halmaz r\'eszhalmazai. (Az \"osszes lehets\'eges r\'eszhalmazt
tekintj\"uk.) Defini\'alnunk kell m\'eg egy $A\in\Cal A$
halmaz (esem\'eny) va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et $P(A)$ is.
Ezt a k\"ovetkez\H{o} m\'odon tessz\"uk: $P(A)=\summ_{\oo\in
A}P(\{\oo\})$, \'es $P(\{\oo\})=\(\frac13\)^k\cdot\(\frac23\)^{10-k}$,
ha az $\oo$ elemi esem\'eny olyan sorozat, amelyik $k$ fej \'es $10-k$
\'{\i}r\'asjelb\H{o}l \'all. (Ugyanis minden fej-dob\'as eset\'en
$\frac13$ \'es minden \'{\i}r\'as-dob\'as eset\'en $\frac23$-dal, a
fej, illetve  \'{\i}r\'asdob\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel kell
megszorozni a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget.)
\item{} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot
\smallskip
\itemitem{a.)} visszatev\'essel,
\itemitem{b.)} visszatev\'es n\'elk\"ul.
\smallskip
Adjunk erre val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt mind a k\'et esetben.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'as\'ahoz
hasonl\'o konstrukci\'ot adhatunk. Legyenek az $\oo$ elemi esem\'enyek
a 25 hossz\'us\'ag\'u $P$, $F$ (piros, feh\'er) jelekb\H{o}l \'all\'o
sorozatok, az $\Omega$ biztos esem\'eny az \"osszes ilyen sorozatb\'ol
\'all\'o halmaz, $\Cal A$ az $\Omega$ r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o
halmaz, $P(A)=\summ_{\oo\in A}P(\{\oo\})$, minden $A\in\Cal A$
halmazra, \'es defini\'alnunk kell m\'eg a $P(\{\oo\})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Eddig a pontig az a.) \'es b.) esetet
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} konstrukci\'o nem k\"ul\"onb\"oz\"ott. A
k\"ul\"onbs\'eg az lesz, hogy a k\'et esetben m\'ask\'epp fogjuk
defini\'alni a $P(\{\oo\})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Az a.)
esetben, amikor visszatev\'essel h\'uzzuk ki a goly\'okat, egy olyan
$\oo$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, amelyik $k$ $P$ \'es $25-k$ $F$ jelet
tartalmaz $\(\frac25\)^k\(\frac35\)^{25-k}$, mert minden piros
h\'uz\'asnak $\frac{20}{50}$ \'es minden feh\'er h\'uz\'asnak
$\frac{30}{50}$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, (a h\'uz\'as el\H{o}tt
az urn\'aban lev\H{o} piros illetve feh\'er goly\'ok sz\'ama osztva az
urn\'aban lev\H{o} goly\'ok sz\'am\'aval.) A b.) eseben, amikor
visszatev\'es n\'elk\"ul h\'uzzuk a goly\'okat, egy olyan $\oo$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, amelyik $k$ $P$ \'es $25-k$ $F$ jelet
tartalmaz $\dfrac{25\cdot24\cdots(25-k+1)\cdot
30\cdot29\cdots(30-(25-k)+1)}{50\cdot49\cdots26}$. Ugyanis egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\prodd_{j=1}^{25}\dfrac{l(j)}{50-j+1}$, ahol $l(j)$ az a $j-1$-ik
h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban maradt piros goly\'ok sz\'ama, ha a
$j$-ik h\'uz\'as piros, \'es a $j-1$-ik h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban
maradt feh\'er goly\'ok sz\'ama, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er.
Gondoljuk meg, hogy ez a kifejez\'es megegyezik a megadott
formul\'aval, ha $k$ feh\'er \'es $25-k$ piros h\'uz\'as t\"ort\'ent.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 10-szer egym\'as ut\'an. Adjunk
erre va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi modellt.
\medskip
T\'argyaljuk a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at is: Egy p\'enzdarabot
feldobunk {\it v\'egtelen sokszor}\/ egym\'as ut\'an. Annak
vizsg\'alat\'ahoz, hogy vajon igaz-e, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
relativ gyakoris\'aga 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tart az
$\frac12$ sz\'amhoz, el\H{o}sz\"or defini\'alnunk kell egy olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt, ahol ez a k\'erd\'es precizen
megfogalmazhat\'o. Ez\'ert defini\'alnunk kell olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, ahol egyszerre tekinthetj\"uk
v\'egtelen sok dob\'as ered\-m\'e\-ny\'et. Ilyen konstrukci\'o
megad\'asa lehets\'eges, de ez az el\H{o}bb t\'argyalt feladatokn\'al
l\'enyegesen nehezebb. Elker\"ulhetetlen\"ul felmer\"ulnek neh\'ez
anal\'{\i}zisbeli probl\'em\'ak.
 
A term\'eszetes hozz\'a\'all\'as a k\"ovetkez\H{o}: Legyenek az $\oo$
elemi esem\'enyek a v\'egtelen hossz\'u fej-\'{\i}r\'as sorozatok, az
$\Omega$ biztos esem\'eny pedig az \"osszes ilyen sorozatb\'ol \'all\'o
halmaz. Defini\'alnunk kell az $\Omega$ r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at, \'es azon egy $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. Ezt m\'ar nem tehetj\"uk olyan
egyszer\H{u}en mint a kor\'abbi esetekben. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$P(\{\oo\})=0$ a definici\'oja minden v\'egtelen dob\'assorozatnak,
de mivel $\Omega$ kontinum sok (teh\'at t\"obb mint
megsz\'aml\'alhat\'o) elemi esem\'eny \'uni\'oja, ez\'ert nem
defini\'alhatjuk az $A$ halmazok $P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
olyan egyszer\H{u}en, mint tett\"uk eddig. Teh\'at nem defini\'alhatjuk
$P(A)$-t \'ugy mint az $A$ halmaz \'altal tartalmazott elemi
esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek \"osszeg\'et. Finomabb
deficii\'ora, \'ervel\'esre van sz\"uks\'eg, \'es ennek az
\'ervel\'esnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel nem tudjuk minden halmaznak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et defini\'alni. Ez az oka annak, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} definici\'oj\'aban bevezett\"uk a
$\sigma$-algebra fogalm\'at, amiben \"osszegy\"ujt\"ott\"uk az
\"osszes olyan halmazt (esem\'enyt), melynek besz\'el\"unk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l.
 
Felmer\"ulhet a k\'erd\'es: Nem okoz-e gondot az, hogy nem minden
lehets\'eges halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et defini\'altuk. A
v\'alasz az, hogy nem. Ugyanis minket csak az olyan esem\'enyek
(halmazok) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel, melyeket explicit
m\'odon meg tudunk adni. Viszont ezek benne vannak az \'altalunk
k\'es\"obbiekben defini\'alt $\sigma$-algebr\'aban.
 
Minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra, \'es $k$ hossz\'us\'ag\'u
$(\cdots,F,\cdots,J,\cdots)$ sorozatra de\-fi\-ni\-\'al\-juk az
$$
\aligned
A_k(\cdots,F,\dots,I,\dots)&=\{\oo\: \oo \text{ olyan v\'egtelen
fej-\'{\i}r\'as sorozat,} \\
&\qquad\text{ melynek els\H{o} $k$ jegye ez a $(F,\dots,I,\dot)$
sorozat}\}
\endaligned \tag$*$
$$
halmazokat \'es ezek $P(A_k(F,\dots,I,\dots))=2^{-k}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Szeml\'eletesen azt tett\"uk, hogy
tekintett\"uk azokat az esem\'enyeket, melyek azt \'{\i}rj\'ak le, hogy
mi volt az els\H{o} $k$ dob\'as eredm\'enye, \'es ezek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et \'ugy defini\'altuk ahogy kell.
Term\'eszetes elv\'ar\'as, hogy az el\H{o}bbi esem\'enyek legyenek
benne a konstru\'aland\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aj\'aban, \'es ezek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege legyenek az el\H{o}bb
megadott sz\'amok. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} definici\'oja
l\'enyeg\'eben ezen k\"ovetelm\'enyek teljes\'{\i}t\'es\'eb\H{o}l
\'all. A form\'alis definici\'o megad\'asa \'erdek\'eben
bizony\'{\i}tsuk a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} lemm\'at.
\medskip\noindent
{\bf Lemma:} {\it Legyen adva egy $\Omega$ halmaz, \'es annak
r\'eszhalmazainak valamilyen $\Cal F_0$ rendszere. L\'etezik egy az
$\Cal F_0$ halmazrendszert tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebra, azaz egy olyan $\Cal F$ $\sigma$-algebra, melyre
igaz, hogy
\item{a.)} $\Cal F$  tartalmazza az $\Cal F_0$ halmazrendszert, azaz,
ha $F\in\Cal F_0$, akkor $F\in \Cal F$.
\item{b.)} Ha egy $\bar{\Cal F}$ $\sigma$-algebra tartalmazza a $\Cal
F_0$ halmazrendszert, akkor az tartalmazza a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at is, azaz, ha $F\in \Cal F$, akkor $F\in \bar{\Cal
F}$.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at szokt\'ak a
$\Cal F_0$ \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'anak is
h\'{\i}vni.
\medskip\noindent {\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy
l\'etezik az $\Cal F_0$ halmazrendszert tartalmaz\'o $\sigma$-algebra.
Ilyen p\'eld\'aul, az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmaz\'at tartalmaz\'o
$\sigma$-algebra. Tekints\"uk az $\Cal F_0$ halmazrendszert
tartalmaz\'o \"osszes $\Cal G$ $\sigma$-algebra
$$
\Cal F^*=\bigcap_{\Cal F_0\subset \Cal G} \Cal G
$$
metszet\'et, ahol $\Cal F_0\subset \Cal G$ azt jelenti, hogy a $\Cal G$
$\sigma$-algebra tartalmazza az $\Cal F_0$ halmazrendszert, a metszet
pedig \'ugy \'ertend\H{o}, hogy $F\in \bigcapp \Cal G$, ha $F\in \Cal
G$ a metszetben szerepl\H{o} mindegyik $\Cal G$ $\sigma$-algebr\'ara.
Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy $\Cal F^*$ $\sigma$-algebra. Val\'oban, ha
$F_n$, $n=1,2,\dots$ halmazokra igaz, hogy $F_n\in \Cal F^*$, akkor az
$F=\bigcapp_{n=1}^\infty F_n$ halmazra szint\'en teljes\"ul, hogy
$F\in \Cal F^*$. Ugyanis, ekkor minden $\Cal G\supset \Cal F_0$
$\sigma$-algebr\'ara, $F_n\in\Cal G$, teh\'at a $\sigma$-algebra
tulajdons\'ag miatt $F\in \Cal G$ az ilyen $\sigma$-algebr\'akra. Innen
k\"ovetkezik, hogy $F=\bigcapp_{n=1}^\infty F_n\in \Cal F^*$.
Hasonl\'oan $\bigcupp_{n=1}^\infty F_n\in \Cal F^*$, $\Omega\in \Cal
F^*$, \'es $\Omega\setminus F\in \Cal F^*$, ha $F\in \Cal F^*$.
 
Ez\'ert $\Cal F^*$ egy az $\Cal F_0$ halmazrendszert tartalmaz\'o
$\sigma$-algebra. Innen, illetve $\Cal F^*$ definici\'oj\'ab\'ol viszont
k\"ovetkezik, hogy ez az $\Cal F_0$-t tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebra. \medskip
 
Jelen esetben tekinthetj\"uk az \"osszes $(*)$ alak\'u halmazb\'ol
\'all\'o $\Cal F_0$ halmazrendszert \'es az \'altala gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at.Ez lesz a defini\'aland\'o $(\Omega,\Cal A,P)$
rendszerben a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at. Defini\'alnunk kell m\'eg a
$P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket is az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an. Ez lehets\'eges az al\'abb kimondott, de
ebben az el\H{o}ad\'assorozatban nem bizony\'{\i}tand\'o t\'etel
alapj\'an. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Tekints\"uk az \"osszes fej-\'{\i}r\'as
sorozatb\'ol \'all\'o $\Omega$ halmaz  $(*)$ k\'eplet \'altal
defini\'alt $A_k(F,\dots,I,\dots)$ alak\'u halmazokb\'ol \'all\'o $\Cal
F_0$ halmazrendszert, \'es a $\Cal F_0$ halmazrendszer \'altal
gener\'alt $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at. Minden r\"ogz\'{\i}tett $k$-ra
legyen $P(A_k(F,\dots,I,\dots)=2^{-k}$ tetsz\H{o}leges $k$-hossz\'u
fej-\'{\i}r\'as sorozatra. (Azaz ak\'arhogy is adjuk meg az els\H{o}
$k$ dob\'as eredm\'eny\'et, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez
bek\"ovetkezik, legyen $2^{-k}$.)  Ekkor l\'etezik az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an egy olyan egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott
$\sigma$-addit\'{\i}v m\'ert\'ek, mely teljes\'{\i}ti a fenti
azonoss\'agokot.} \medskip
 
A fenti eredm\'eny azt jelenti, hogy l\'etezik a term\'eszetes
elv\'ar\'asokat kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek, s\H{o}t ezek a
felt\'etelek egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozz\'ak a $\Cal A$
$\sigma$-algebra \"osszes esem\'eny\'enek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Megjegyezz\"uk, hogy ez a
nem-trivi\'alis eredm\'eny val\'oj\'aban speci\'alis esete egy
\'altal\'anosabb eredm\'enynek. Ezt itt nem t\'argyaljuk, ez
a m\'ert\'ekelm\'elet tant\'argy t\'em\'aja. Fazekas Istv\'an k\"onyve
a 45. oldalon kiss\'e \'al\-ta\-l\'a\-no\-sab\-ban t\'argyalja ezt a
probl\'em\'at, s\H{o}t a k\"onyv 7. fejezete (Appendix) tov\'abbi
\'ert\'ekes inform\'aci\'okat tartalmaz. Jelen szinten el\'egedj\"unk
meg azzal a tal\'an kiss\'e pongyol\'an megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'assal, hogy minden term\'eszetes m\'odon felmer\"ul\H{o}
probl\'em\'anak meg lehet adni val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et.
Ezt a definici\'ot \'ugy lehet megadni, ahogy azt j\'ozan paraszti
\'esszel elv\'arjuk. Neh\'ezs\'eget az okoz, hogy a konstrukci\'ok
helyess\'eg\'enek bizony\'{\i}t\'asa m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti
eredm\'enyek ismeret\'et ig\'enyli.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assuk, a fenti konstrukci\'o j\'ol
m\H{u}k\"odik, l\'assuk be a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} \'all\'{\i}t\'ast.
\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as:} {\it Tekints\"uk az el\H{o}bb defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, ahol a szab\'alyos p\'enzdarab
v\'egtelen dob\'assorozat\'at defini\'altuk. Adva egy $\oo$ v\'egtelen
fej-\'{\i}r\'as dob\'assorozat, jel\"olje $k(n,\o)$ az $\oo$ sorozat
els\H{o} $n$ jel\'eben szerepl\H{o} $F$ bet\H{u}k sz\'am\'at.
L\'assuk be, hogy az az $A$ halmaz, melyet \'ugy defini\'alunk, hogy
$$
A=\left\{\oo: \text{L\'etezik a } \lim_{n\to\infty}\frac{k(n,\oo)}n
\text{ hat\'ar\'ert\'ek.}\right\}
$$
teljes\'{\i}ti az $A\in \Cal A$ tulajdons\'agot. M\'as szavakkal: Az
az esem\'eny, hogy a fejdob\'asok relat\'{\i}v gyakoris\'ag\'anak van
hat\'ar\'ert\'eke azon esem\'enyek k\"oz\'e tartozik, melyeknek
de\-fi\-ni\-\'al\-tuk a hat\'ar\'ert\'ek\'et.} \medskip \noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as}\/ Az, hogy a $\dfrac{k(n,\oo)}n$ sorozat,
$n=1,2,\dots$ valamely $\oo$-ra konverg\'al, ekvivalens azzal, hogy a
$\dfrac{k(n,\oo)}n$ sorozat, $n=1,2,\dots$,  Cauchy sorozat, ami azt
jelenti, hogy minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $n_0=n_0(\e,\oo)$
k\"usz\"obindex, hogy $n\ge n_0$ \'es $\bar n\ge n_0$ eset\'en
$\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(n,\oo)}n \right|<\e$.
Ez ekvivalens azzal, hogy minden $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amhoz
l\'etezik olyan $n_0=n_0(k,\oo)$
k\"usz\"obindex, hogy $n\ge n_0$ \'es $\bar n\ge n_0$ eset\'en
$\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(n,\oo)}n\right|<\dfrac1k$.
 
Az, hogy ez az ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as teljes\"ul valamilyen $k$
\'es $n_0$ sz\'amra, ekvivalens azzal, hogy $\oo\in A_{k,n_0}$, ahol
$$
\align
A_{k,n_0}&=\left\{\oo\:
\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(\bar n,\oo)}{\bar
n}\right|<\dfrac1k\quad \text{if } n\ge n_0,\; \bar n\ge n_0\right\} \\
&=\bigcap_{n=n_0}^\infty\bigcapp_{\bar n=n_0}^\infty
\left\{\oo\:\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(
\bar n,\oo)}{\bar n}\right|<\dfrac1k \right\}
\endalign
$$
Akkor l\'etezik olyan $n_0=n_0(k,\oo)$ k\"usz\"obindex, hogy
$\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(n,\oo)}n\right|<\dfrac1k$
$n\ge n_0$ \'es $\bar n\ge n_0$ eset\'en
ha
$$
\oo\in A_k=\bigcupp_{m=1}^\infty A_{k,n}.
$$
Akkkor Cauchy soroazat a $\dfrac{k(n,\oo)}n$, ha
$$
\oo\in A=\bigcapp_{k=1}^\infty A_k.
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy az
$\left\{\oo\:\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(\bar n,\oo)}{\bar
n}\right|<\dfrac1k \right\} $ halmaz minden el\H{o}\'{\i}rt $(n,\bar
n)$ sz\'am\-p\'ar\-ra eleme az $\Cal A$ $\sigma$-algeb\'anak, mert
megmondhat\'o, hogy mely $\max (n,\bar n)$ fej \'es \'{\i}r\'asjellel
kezd\H{o}d\H{o} sorozatok tartoznak ehhez a halmazhoz, \'es melyek nem.
Innen \'es a $\sigma$-algebra definici\'oj\'ab\'ol viszont az is
k\"ovetkezik, hogy az halmazok seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt
$A_{k,n_0}$, $A_k$ halmazok minden $k$, $n_0$ indexre, valamint az $A$
halmaz eleme az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak. Viszont az $A\in \Cal A$
\'all\'{\i}t\'as az, amit bizony\'{\i}tanunk kelllett. \medskip
\noindent
{\it Egy m\'asik vizsg\'alt probl\'ema, melynek megold\'asa
nem-trivi\'alis anal\'{\i}zisbeli eredm\'enyek felhaszn\'al\'as\'at
ig\'enyli:} \medskip
Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egy $x$ \'es egy $y$ pontot
egyenletesen a $[0,1]$ intervallumba, azaz mind az $x$ mind az $y$ pont
$|b-a|$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik egy $[a,b]\subset [0,1]$
intervallumba. Az $(x,y)$ sz\'amp\'ar kijel\"ol egy v\'eletlen pontot
az egys\'egn\'egyzeten. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez
a pont beleesik az egys\'egn\'egyzet valamely $A$ halmaz\'aba?
 
Azt v\'arjuk, hogy ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg megegyezik a halmaz
\'es az egys\'egn\'egyzet metszet\'enek a ter\"ulet\'evel. Ez az
elk\'epzel\'es l\'enyeg\'eben helyes, de term\'eszetesen csak azzal a
megszor\'{\i}t\'assal, hogy az \'all\'{\i}t\'as olyan halmazokra igaz,
melyeknek van ter\"ulet\"uk. Sze\-ret\-n\'enk megfogalmazni az
anal\'{\i}zisnek azokat az eredm\'enyeit, melyek lehet\H{o}v\'e teszik
a sz\"uks\'eges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modell le\'{\i}r\'as\'at.
Ez\'ert felid\'ezz\"uk az anal\'{\i}zisben szerepl\H{o}
Borel $\sigma$-algebra \'es Lebesgue m\'ert\'ek fogalm\'at.
 
Tekints\"uk az egys\'egn\'egyzet $[a,b]\times [c,d]$ alak\'u
r\'eszhalmazait, (melyek t\'eglalapok), \'es defini\'aljuk ezek
ter\"ulet\'et (Lebesgue m\'ert\'ek\'et) mint $(b-a)(d-c)$. Tekints\"uk
azt a legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'at, mely tartalmazza az
\"osszes ilyen alak\'u halmazt. Az \"osszes ilyen halmazb\'ol \'all\'o
rendszert h\'{\i}vj\'ak Borel f\'ele $\sigma$-algebr\'anak az
egys\'egn\'egyzeten. Az anal\'{\i}zis egy fontos eredm\'enye szerint
a fenti t\'eglalapokon defini\'alt ter\"uletet ki lehet terjeszteni a
Borel f\'ele $\sigma$-algebr\'ara mint egy $\sigma$-addit\'{\i}v
hal\-maz\-f\"ugg\-v\'enyt, \'es ez a kiterjeszt\'es egy\'ertelm\H{u}.
Ezt a hal\-maz\-f\"ugg\-v\'enyt h\'{\i}vj\'ak az irodalomban Lebesgue
m\'ert\'eknek.
 
Ezen eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alni tudunk egy
sz\'amunkra k\'{\i}v\'anatos va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
modellt. Legyenek az $\oo$ elemi esem\'enyek az egys\'egn\'egyzet
pontjai, $\Omega$, a biztos esem\'eny, a $[0,1]\times [0,1]$
egys\'egn\'egyzet. Legyen $\Cal A$ a Borel f\'ele $\sigma$-algebr\'anak
az egys\'egn\'egyzeten, a $P$ m\'ert\'ek pedig a Lebesgue
m\'ert\'ek ezen a $\sigma$-algebr\'an. Mutatunk k\'et p\'eld\'at arra,
hogy ennek a modellnek a meg\'ert\'ese nagy seg\'{\i}ts\'eget jelenthet
bizonyos feladatok meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-ban.
 
\item{} Els\H{o} feladat: K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott
megjelenik egy t\'eren egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes
eloszl\'asal. Mind a kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha
az addig nem j\"on, akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk az
egys\'egn\'egyzetet, \'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az
egys\'egn\'egyzeten, melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy az
els\H{o} ember az $y$ koordin\'at\'aja pedig megadja, hogy a m\'asodik
ember ember mikor \'erkezett. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, azaz annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy ez a pont az
egys\'egn\'egyzet egy (sz\'ep) r\'eszhalmaz\'aba esik meg\-egye\-zik e
halmaz ter\"ulet\'evel. Az, hogy a k\'et ember tal\'alkozik azt az
esem\'enyt jelenti, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $(x,y)$ pont az
egys\'egn\'egyzet
$$
A=\left\{(x,y)\:-\frac12\le y-x\le \frac12\right\}\cap[0,1]\times
[0,1]
$$
r\'eszhalmaz\'aba esik. Ennek a halmaznak a ter\"ulete
$1-2\cdot\dfrac18=\dfrac34$, \'es ez a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{} M\'asodik feladat: K\'et egy m\'eter hossz\'u botot
v\'eletlenszer\H{u}en, (egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul) egyenletes
eloszl\'assal elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot
\"osszeragasztjuk. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossza kisebb mint $0.8$ m\'eter?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez a feladat is hasonl\'o
m\'odon t\'argyalhat\'o. Tekints\"uk az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-tet,
\'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten,
melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy  hol t\"ort\"uk el az
els\H{o} botot az $y$ koordin\'at\'aja pedig azt, hogy hol t\"ort\"uk
el a m\'asodik botot. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes
eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten. Az az esem\'eny, hogy az
\"osszeragasztott bot hossza kisebb mint $0.8$ megegyezik annak az
esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az $(x,y)$ pont a
k\"ovetkez\H{o} $A_1$, $A_2$, $A_3$ \'es  $A_4$ halmazok
$A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$ uni\'oj\'aba esik:
$A_1=\{(x,y)\: x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_2=\{(x,y)\: x+(1-y)<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_3=\{(x,y)\: 1-x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$ \'es
$A_4=\{(x,y)\: 1-x+1-y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$. Rajzoljuk le ezeket
a halmazokat. Az \'abra mutatja, hogy az $A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$
halmaz komplementere az a n\'egyzet melynek cs\'ucsai a
$(0.3,\,0.5)$, $(0.5,\,0,3)$, $(0.7,\,0.5)$, \'es $(0.5,\,0.7)$ pontok.
Ennek a n\'egyzetnek a ter\"ulete, $0.08$ teh\'at a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-0.08=0.92$.
\medskip
K\'es\H{o}bb tanulni fogunk olyan m\'odszereket, melyek lehet\H{o}v\'e
teszik e k\'et feladat megold\'as\'at m\'as m\'odon. Akkor majd vissza
fogunk t\'erni ezekhez a feladatokhoz.
\medskip
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oj\'aban feltett\"uk, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek nemcsak addit\'{\i}v, hanem
$\sigma$-addit\'{\i}v is. Ez k\'enyelmesebb\'e teszi a
sz\'amol\'asokat, \'es ezenk\'{\i}v\"ul ez tette lehet\H{o}v\'e a
v\'egtelen dob\'assorozatot defini\'al\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek illetve a pontledob\'ast le\'{\i}r\'o Lebesgue m\'ert\'ek
{\it egy\'ertelm\H{u}}\/ definici\'oj\'at. \'Erdemes meg\'erteni a
$\sigma$-addit\'{\i}v \'es addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyek
k\"oz\"otti kapcsolatot. A Fazekas k\"onyv 23. oldal\'an tal\'alhat\'o
egy \'all\'{\i}t\'as (2.5 \'All\'{\i}t\'as) arr\'ol, hogy a
$\sigma$-additivit\'as az  ekvivalens azzal, hogy az
additiv\'{\i}t\'ason k\'{\i}v\"ul m\'eg egy m\'ert\'ek
folytonoss\'ag\'anak nevezett tulajdons\'ag is teljes\"ul.
Az (egyszer\H{u}) bizony\'{\i}t\'ast nem mondtam el, \'es nem
\'{\i}rom le a pontos \'all\'{\i}t\'ast, mert az megtal\'alhat\'o a
Fazekas k\"onyvben.
 
Vil\'agos, hogy legal\'abbis form\'alisan a $\sigma$-additit\'as
er\H{o}sebb k\"ovetelm\'eny mint csak az additivit\'as. De tudunk-e
p\'eld\'at adni egy $\sigma$-algebr\'an addit\'{\i}v, de nem
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyre? Elk\'epzelhet\H{o}-e, hogy
a $\sigma$-additiv\'{\i}t\'as el\H{o}\'{\i}r\'asa miatt bizonyos
\'erdekes feladatokra nem tudunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt
adni?
 
Ezekre a k\'erd\'esekre megnyugtat\'o v\'alaszt tudunk adni.
L\'eteznek $\sigma$-algebr\'an addit\'{\i}v, de nem
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyek. Ezeket viszont mindig csak
nem konstrukt\'{\i}v m\'odon (kiv\'alaszt\'asi axi\'oma vagy egy vele
ekvivalens \'all\'{\i}t\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet megadni.)
Teh\'at konkr\'et, j\'ol megfogalmazhat\'o feladatokban nem jelenik meg
az a probl\'ema, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget megad\'o
term\'eszetes jel\"olt addit\'{\i}v, de nem $\sigma$-addit\'{\i}v.
 
V\'eg\"ul a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellek konstrukci\'oja
kapcs\'an m\'eg egy megjegyz\'es. A megadott konstrukci\'ok j\'o
konstrukci\'ok, de nem az egyed\"ul j\'o konstrukci\'ok. P\'eld\'aul
egy szab\'alyos p\'enzdarab 10 egym\'as ut\'ani feldaob\'as\'ara az is
lehet modell, hogy a p\'enzdarabot, 20 alkalommal dobjuk fel, de az
utols\'o t\'{\i}z dob\'as eredm\'eny\'et nem vessz\"uk figyelembe.
Jegyezz\"uk meg azt is, hogy a vizsg\'alt feladatokban a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-ban nem
j\'atszott szerepet, hogy  a k\'{\i}v\'ant feladatnak milyen (a
feladat felt\'eteleit kiel\'eg\'{\i}t\H{o}) modellj\'et tekintj\"uk.
 
\beginsection Felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
 
Annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk, milyen fogalmat prob\'alunk
pontosan megfogalmazni tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at. Egy
szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 10 alkalommmal. V\'alaszoljuk meg a
k\"ovetkez\H{o} k\'et k\'erd\'est:
\item {a.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy pontosan 6
fejdob\'as t\"ort\'enik?
\item {b.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy pontosan 6
fejdob\'as t\"ort\'enik, ha tudjuk, hogy az els\H{o} p\'enzdob\'as
eredm\'enye fej? \medskip
Az a.) k\'erd\'esre a v\'alasz az, hogy $\dbinom{10}6 2^{-10}$,  mert
$\dbinom{10}6$ egym\'ast kiz\'ar\'o esem\'enyt kell figyelembe venni,
\'es ezek mindegyik\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-10}$. A
b.) k\'erd\'esre a v\'alasz az, hogy $\dbinom{9}5 2^{-8}$, mert
$\dbinom95$ egym\'ast kiz\'ar\'o esem\'enyt kell figyelembe venni,
\'es ezek mindegyik\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-9}$.
Teh\'at, ha van valamilyen plusz inform\'aci\'onk, akkor az
befoly\'asolhatja \'ert\'ekel\'es\"unket arr\'ol, hogy mi egy
adott esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. A felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg foglama ezt az elk\'epzel\'est \"onti
form\'aba. A form\'alis definici\'o a k\"ovetkez\H{o}:
\medskip\noindent
{\bf Felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oja.} {\it Adva
egy $B$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, melyre $P(B)>0$, egy ugyanezen a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n l\'ev\H{o} $A$  esem\'eny felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege felt\'eve a $B$ esem\'enyt (azaz a $B$
esem\'eny bek\"ovetkez\'es\'et)
$$
P(A|B)=\frac {P(A\cap B)}{P(B)}.
$$
}\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Csak pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi $B$
esem\'enyek, azaz $P(B)>0$ eset\'en defini\'aljuk a  $P(A|B)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. \medskip
 
E definici\'o szeml\'eletes tartalma a k\"ovetkez\H{o}. Ha a $B$
esem\'eny bek\"ovetkezik, akkor minden a $B$ esem\'enyt kiz\'ar\'o
esem\'eny (felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, felt\'eve a $B$
esem\'enyt) nulla, tov\'abb\'a tetsz\H{o}leges $A$ esem\'eny
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege megegyezik az $A\cap B$
esem\'eny felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel. Term\'eszetes
feltenni, hogy az $A\cap B$ esem\'eny $P(A\cap B|B)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege ar\'anyos ezen esem\'eny $P(A\cap B)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel. Mivel $P(B|B)=1$, ez sugallja a fenti
definic\'ot.
 
A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre \'erv\'enyes n\'eh\'any
egyszer\H{u}, de gyakorlati al\-kal\-ma\-z\'a\-sok\-ban fontos
\"osszef\"ugg\'es. Miel\H{o}tt ezek t\'argyal\'as\'ara t\'ern\'enk
tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} feladatot:
\medskip
\item{} {\it Feladat:}\/ Reggel valaki hazulr\'ol elmenve a
lak\'askulcsot elteszi, m\'egpedig \'ugy, hogy 0.5
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teszi a
kab\'atzseb\'ebe, 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a nadr\'agzseb\'ebe
\'es 0.2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a mell\'enyzseb\'ebe.
A nap folyam\'an mindenfel\'e j\'ar, ez\'ert a lak\'askulcs a
kab\'atzseb\'eb\H{o}l 0.1, a nadr\'agzseb\'eb\H{o}l 0.2, a
mell\'enyzseb\'eb\H{o}l viszont 0 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik ki. Este hazat\'erve ember\"unk  el\H{o}sz\"or a kab\'at majd a
nad\-r\'ag\-zse\-b\'e\-ben keresi a kulcsot, de egyik helyen sem
tal\'alja. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a lak\'askulcs
ott van a mell\'enyzseb\'eben?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy
ember\"unk a lak\'askulcsot a kab\'at $A_2$, hogy a nadr\'ag \'es
$A_3$, hogy a mell\'enyzseb\'ebe tette. Jel\"olje tov\'abb\'a $B$ azt
az esem\'enyt, hogy a kulcs nem veszett el. Ekkor felt\'eteleink
szerint az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek egym\'ast kiz\'ar\'oak,
$P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$ tov\'abb\'a $P(B|A_1)=0.9$,
$P(B|A_2)=0.8$ \'es $P(B|A_3)=1$. Vezess\"uk be a
$C=(\bar B\cap A_1)\cup (\bar B\cap A_2)\cup A_3$ esem\'enyt. Ekkor $C$
jelenti azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk este nem tal\'alta a
lak\'askulcsot sem a kab\'at sem a nadr\'agzseb\'eben. Ez\'ert minket a
$P(B|C)=\dfrac{P(B\cap C)}{P(C)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $P(C)=P(A_1\cap \bar
B)+P(A_2\cap \bar B)+P(A_3)=P(\bar B|A_1)P(A_1)+P(\bar
B|A_2)P(A_2)+P(A_3)=0.1\cdot 0.5+0.2\cdot 0.3+0.2=0.31$, \'es
$P(B\cap C)=P(B\cap A_3)=P(A_3)=0.2$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\dfrac{0.2}{0.31}=\dfrac{20}{31}$.
 
 
 \bye
 
 
 
 
 
 
 
 
 
