\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\font\script =cmcsc10
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat tizenharmadik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2001 m\'ajus 8.}
 
\beginsection A $\chi^2$ eloszl\'asokr\'ol \'es $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol.
 
Tekints\"uk a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok
bevezet\H{o}j\'eben tekintett els\H{o} probl\'em\'at. Hogyan tudjuk
ellen\H{o}rizni, hogy egy dob\'okocka szab\'alyos-e?
 
Dobjuk fel a dob\'okock\'at $n$ alkalommal, \'es legyen
$$
(\nu(1),\dots,\nu(6))=(\nu_n(1),\dots,\nu_n(6))
$$
az $1,\dots,6$ dob\'aseredm\'enyek sz\'ama. Megmutatjuk a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy az $\dfrac1n\summ_{j=1}^6\(\nu_n(j)
-\dfrac n6\)^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak van
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-suk, ha $n\to\infty$,  (felt\'eve, hogy egy
szab\'alyos dob\'okocka egym\'ast\'ol f\"uggetlen dob\'asainak az
eredm\'enyeit tekintj\"uk), \'es ezt a hat\'areloszl\'ast explicit
m\'odon meg tudjuk adni. Ez lehet\H{o}s\'eget ad egy kocka
szab\'alyoss\'ag\'anak ellen\-\H{o}r\-z\'e\-s\'ere. Ennek a
feladatnak a k\"ovetkez\H{o} term\'eszetes
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at fogjuk tekinteni:
 
Legyen adva $k$ urna, \'es ellen\H{o}rizni akarjuk azt a
felt\'etelez\'est, mely szerint ha egy goly\'ot v\'eletlen\"ul
bedobunk ezen ur\-n\'ak valamelyik\'ebe, akkor az $p_j$, $p_j>0$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a $j$-ik urn\'aba,
$\summ_{j=1}^k p_j=1$. Ennek a fel\-t\'e\-te\-le\-z\'es\-nek az
ellen\H{o}rz\'ese  \'erdek\'eben dobjunk egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $n$ goly\'ot ezekbe az urn\'akba, \'es jel\"olje
$\nu_n(j)$ a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at. Be fogjuk
l\'atni, hogy felt\'etelez\'es\"unk teljes\"ul\'ese eset\'en a
$\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak l\'etezik
hat\'areloszl\'asa $n\to\infty$ eset\'en, \'es ez a
hat\'areloszl\'as az \'ugynevezett $k-1$ szabads\'agfok\'u $\chi^2$
eloszl\'as. Megadjuk a $\chi^2$ eloszl\'asok definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
{\bf A $k$ szabads\'agfok\'u $\chi^2$ eloszl\'as definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi_1,\dots,\xi_k$ $k$ darab f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor a
$\summ_{j=1}^k\xi_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at nevezz\"uk $k$ szabads\'agfok\'u $\chi^2(k)$
eloszl\'asnak.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ L\'attuk a 10. el\H{o}ad\'ason t\'argyalt
feladatok egyik\'eben, hogy a 2 sza\-bad\-s\'ag\-fo\-k\'u
$\chi^2(2)$ eloszl\'as a $\lambda=\dfrac12$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as, azaz az az eloszl\'as, melynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f(x)=\dfrac12e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$.
\medskip
A fent eml\'{\i}tett hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a kocka sza\-b\'a\-lyos\-s\'a\-g\'a\-nak
ellen\-\H{o}r\-z\'e\-s\'e\-hez hasonl\'oan ellen\H{o}rizni
tudjuk felt\'etelez\'es\"unk he\-lyes\-s\'e\-g\'et.
A hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'asa azon alapul,
hogy egyr\'eszt meg tudjuk adni a
$\left\{\dfrac{\nu_n(j)-np_j}{\sqrt{np_j}},\;j=1,\dots,k\right\}$
v\'eletlen vektorok ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-s\'at a t\"obb-dimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.
M\'asr\'eszt bel\'atjuk, hogy ha $\(\eta^{(n)}_1,\dots,\eta_k^{(n)}\)$
v\'eletlen vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak egy
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektorhoz $n\to\infty$ eset\'eben,
\'es $f(x_1,\dots,x_k)$ folytonos $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny,
akkor az $f\(\eta^{(n)}_1,\dots,\eta_k^{(n)}\)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
az $f(\eta_1,\dots,\eta_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o\-hoz. Ez lehet\H{o}v\'e teszi a minket \'erdekl\H{o}
statisztik\'ak hat\'areloszl\'as\'anak megad\'as\'at. Ezt a
hat\'areloszl\'ast egyszer\H{u}, j\'ol \'attekinthet\H{o} alakban
akarjuk megadni. Ezt az\'ert tudjuk megtenni, mert mint azt egy
megold\'as\'aval egy\"utt ismertetett feladatban megfogalmazom, ha
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} $D$ kovarianciam\'atrix\'u nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor valamilyen ismert $D$ kovariancia m\'atrix-szal,
akkor bizonyos alapvet\H{o} line\'aris al\-geb\-rai eredm\'enyek
felhaszn\'al\'as\'aval egyszer\H{u} form\'aban megadhatjuk a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at.
 
El\H{o}sz\"or megfogalmazzuk \'es bebizony\'{\i}tjuk a fent
eml\'{\i}tett \'all\'{\i}t\'ast.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $(S_{1,n},\dots,S_{k,n})$, $n=1,2\dots$,
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektorok so\-ro\-za\-ta,
amelyik eloszl\'asban konverg\'al egy $(S_1,\dots,S_k)$ $k$-dimenzi\'os
v\'eletlen vektorhoz $n\to\infty$ eset\'en, \'es legyen
$f(x_1,\dots,x_k)$ egy $k$-v\'altoz\'os folytonos f\"uggv\'eny.
Ekkor a $T_n=f\(S_{1,n},\dots,S_{k,n}\)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $T=f\(S_1,\dots,S_k\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz
$n\to\infty$ eset\'en.} \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Haszn\'aljuk a t\'etelt az eloszl\'asban
val\'o konvergencia jellemz\'es\'er\H{o}l folytonos f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Eszerint az $S_{1,n},\dots,S_{k,n}$ v\'eletlen
vektorok sorozat\'anak el\-osz\-l\'as\-ban val\'o konvergenci\'at
\'ugy is megfogalmazhatjuk, hogy tetsz\H{o}leges folytonos \'es
korl\'atos $h(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}Eh(S_{1,n},\dots,S_{k,n})=
Eh(S_1,\dots,S_k)$ rel\'aci\'o. Legyen $g(\cdot)$ folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'eny. Ekkor $g(f(x_1,\dots,x_k))$ folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'eny, ez\'ert teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}Eg(T_n)=\limm_{n\to\infty}
Eg\(f\(S_{1,n},\dots,S_{k,n}\)\)=Eg\(f\(S_1,\dots,S_k\)\)
=Eg(T)
$$
rel\'aci\'o. Innen k\"ovetkezik a Lemma \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $D$ kovariancia m\'atrix-szal. Legyenek a
$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ sz\'amok a $D$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei
(multiplicit\'assal). Bizony\'{\i}tsuk be (alapvet\H{o}
line\'aris algebrai ismeretek felhaszn\'al\'as\'aval), hogy a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik egy $\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval,
ahol $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $D$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o
$D=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er, $\Lambda$ pedig olyan
diagon\'alis m\'atrix, melynek \'atl\'oj\'aban a $D$ m\'atrix
$\lambda_j$ saj\'at\'ert\'ekei vannak. (Az $U$ m\'atrix is
fel\'{\i}rhat\'o explicit m\'odon a $D$ n\'atrix saj\'atvektorainak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de erre a t\'enyre itt nincs sz\"uks\'eg\"unk.)
Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
megegyezik egy $\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=\xi\Lambda^{1/2} U^* =(\xi_1,\dots,\xi_k)\Lambda^{1/2} U^*$
v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval, ahol a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor standard norm\'alis eloszl\'as\'u. Val\'oban
$\bar\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla \'es kovariancia
m\'atrixa a $(\Lambda^{1/2}U^*)^*\Lambda^{1/2}U^*
=U\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2} U^*=U\Lambda U^*=D$ m\'atrix. Ez\'ert
a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik a $\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval. Vegy\"uk
\'eszre, hogy az $\tilde\eta=(\tilde\eta_1,\dots,\tilde\eta_k)
=\bar\eta U=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)U$ vektorra teljes\"ul a
$\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2=\summ_{j=1}^k\tilde\eta_j^2$ azonoss\'ag,
mert $U$ unit\'er, teh\'at t\'avols\'agtart\'o
transz\-for\-m\'a\-ci\'o. Viszont $\tilde\eta=\bar\eta
U=\xi\Lambda^{1/2}U^*U=\xi\Lambda^{1/2}$.
Ez azt jelenti, hogy a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik a
$\summ_{j=1}^k(\lambda_j^{1/2}\xi_j)^2=\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, \'es ez a
feladat \'all\'{\i}t\'asa. \medskip
Az al\'abb megfogalmazott eredm\'enyen alapul a $\chi^2$ pr\'oba.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva $k$ darab urna, melyekbe bedobunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul goly\'okat \'ugy, hogy mindegyik
goly\'o $p_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik urn\'aba,
$1\le j\le k$, $\summ_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\nu_n(j)$ a $j$-ik
urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at az $n$-ik dob\'as ut\'an.
Ekkor a $\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $k-1$ szabads\'agfok\'u $\chi^2(k-1)$ el\-osz\-l\'as\-hoz, ha
$n\to\infty$. (Az urn\'ak $k$ sz\'ama r\"ogz\'{\i}tett.)}
\medskip
A fenti t\'etelben megjelen\H{o} hat\'areloszl\'as csak az urn\'ak
$k$ sz\'am\'at\'ol f\"ugg, de nem f\"ugg a $p_j$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekt\H{o}l. Ez jelzi azt, hogy term\'eszetes
statisztik\'at vett\"unk, olyat amelyben a k\"ul\"onb\"oz\H{o}
urn\'akban lev\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak az elt\'er\'ese annak
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l egyforma fontos szerepet j\'atszik.
Az, hogy a hat\'areloszl\'as a $k-1$ szabads\'agfog\'u $\chi^2(k-1)$
eloszl\'as azzal f\"ugg \"ossze, hogy b\'ar $k$ v\'eletlen sz\'am
s\'ulyozott n\'egyzet\"osszeg\'et tekintett\"uk, (az egyes urn\'akba
es\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak elt\'er\'es\'et tekintett\"uk azok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l), de ezek k\"oz\"ott van egy
determinisztikus \"osszef\"ugg\'es. Nevezetesen az, hogy az \"osszes
urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'ama minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'eke
null\'aval egyenl\H{o}. Ezt inform\'alisan \'ugy szokt\'ak
interpret\'alni, hogy $k-1$ szabads\'agi fokkal
rendelkez\H{o} v\'eletlen vektorok koordin\'at\'ainak a
n\'egyzet\"osszeg\'et tekintett\"uk, illetve azok
hat\'areloszl\'as\'at. Ilyen eset\-ben a hat\'areloszl\'ast olyan
v\'eletlen \"osszeg adja meg, melyben mindegyik szabads\'agi foknak
egy \"osszeadand\'o felel meg, amelyik f\"uggetlen a t\"obbi
\"osszeadand\'ot\'ol, \'es az egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzete.
\medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}\/ A t\"obbdimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an a
$$
\(\dfrac{\nu_n(1)-np_1}{\sqrt{n p_1}},\dots,
\dfrac{\nu_n(k)-np_k}{\sqrt {np_k}}\)
$$
v\'eletlen vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak $n\to\infty$
eset\'en egy olyan $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorhoz, melyre $E\eta_j=0$,
$\Var\eta_j=(1-p_j)$, $1\le j\le k$, \'es
$\Cov(\eta_j,\eta_l)=-\sqrt{p_jp_l}$, ha $1\le j,l\le k$, \'es $j\neq
l$. Val\'oban, defin\'aljuk azokat a
$\xi_s=(\xi_{s,1},\dots,\xi_{s,k})$, $s=1,2,\dots,$ $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyekre $\xi_{s,j}=1$, \'es
$\xi_{s,l}=0$ $l\neq j$ eset\'eben, ha az $s$-ik goly\'o a $j$-ik
urn\'aba esik. Ekkor a $\xi_1,\xi_2,\dots,$ v\'eletlen vektorok
f\"uggetlenek \'es egyforma eloszl\'as\'uak,
$(\nu_n(1),\dots,\nu_n(k))=\summ_{s=1}^n\xi_s$,
$E\xi_s=(p_1,\dots,p_k)$, $E\xi_{s,j}^2=p_j$,
$\Var\xi_{s,j}=(1-p_j)p_j$, $\Cov(\xi_{s,j},\xi_{s,l})
=E\xi_{s,j}\xi_{s,l}-E\xi_{s,j}E\xi_{s,l}=-p_jp_l$, ha $j\neq l$.
Ez\'ert alkalmazva a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt a $\dfrac1{\sqrt n}
\(\summ_{s=1}^n\dfrac{\xi_{1,s}-E\xi_{1,s}}{\sqrt{p_1}},\dots,
\summ_{s=1}^n\dfrac{\xi_{k,s}-E\xi_{k,s}}{\sqrt{p_k}}\)$
\"osszegekre megkapjuk a fenti \'all\'{\i}t\'ast.
 
Felhaszn\'alva ezt az eredm\'enyt valamint alkalmazva az
el\H{o}z\H{o}leg kimondott lemm\'at az
$f(x_1,\dots,x_k)=\summ_{j=1}^k x_j^2$ f\"uggv\'ennyel kapjuk, hogy
a $\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz,
ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla, \'es $D=d_{j,l}$,
$d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)$, $1\le j,l\le k$, kovariancia
m\'atix\'at a $\Var\eta_j=(1-p_j)$, $1\le j,l\le k$, \'es
$\Cov(\eta_j,\eta_l)=-\sqrt{p_jp_l}$, ha $1\le j,l\le k$, \'es
$j\neq l$ k\'epletek hat\'arozz\'ak meg. Ez\'ert el\'eg
bel\'atni azt, hogy egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es a fenti
kovarianciaf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} norm\'alis eloszl\'as\'u
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektorra a
$\summ_{j=1}^l\eta_j^2$ kifejez\'es $\chi^2(k-1)$
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
 
Ennek bel\'at\'asa \'erdek\'eben tekints\"uk az
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor $D=(d_{j,l})$, $1\le j,l\le
k$, kovarianciam\'atrix\'at, \'es \'erts\"uk meg annak szerkezet\'et.
Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy az $u=\(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k}\)$
vektor saj\'atvektora a $D$ kovarianciam\'atrixnak nulla
saj\'at\'ert\'ekkel \'es emellett, ha egy $x=(x_1,\dots,x_k)$ vektor
mer\H{o}leges erre az $u$ vektorra, azaz
$\summ_{j=1}^kx_j\sqrt{p_j}=0$, akkor az $x$ vektor a $D$ m\'atrixnak
saj\'atvektora 1 saj\'at\'ert\'ekkel.
 
Val\'oban, tetsz\H{o}leges $1\le j\le k$ sz\'amra
$$
\summ_{l\:l\neq j} \sqrt{p_l} d_{j,l}=-\sqrt {p_j}\summ_{l\:l\neq j}
p_l=-\sqrt{ p_j}(1-p_j)=-\sqrt{p_j}d_{j,j},
$$
ahonnan $\summ_{l=1}^k \sqrt{p_l}d_{j,l}=0$, ami azt jelenti,
hogy az $u$ vektor a $D$ m\'atrix saj\'atvektora  nulla
saj\'at\'ert\'ekkel. Ha $\summ_{j=1}^kx_j\sqrt{p_j}=0$, akkor
minden $1\le j\le k$ sz\'amra
$$
\summ_{l\:l\neq j}d_{j,l} x_l=-\sqrt{p_j} \summ_{l\:l\neq j}
\sqrt{p_l} x_l=\sqrt {p_j}\sqrt{p_j}x_j=p_jx_j,
$$
ahonnan $\summ_{l=1}^k d_{j,l} x_l=x_jp_j+x_j(1-p_j)=x_j$, \'es ez azt
jelenti, hogy az $x$ vektor a $D$ m\'atrix saj\'atvektora egy
saj\'at\'ert\'ekkel.
 
Ez azt jelenti, hogy a $D$ kovariancia m\'atrixnak l\'etezik egy
nulla \'es $k-1$ 1 sa\-j\'at\-\'er\-t\'ek\-kel rendelkez\H{o}
ortogon\'alis saj\'atvektora. Val\'oban, az
$u=\(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k}\)$ vektor \'es a r\'a mer\H{o}leges
alt\'er tetsz\H{o}leges $k-1$ vektorb\'ol \'all\'o ortogon\'alis
b\'azisa alkalmas v\'alaszt\'as. Ez\'ert a T\'etel bizony\'{\i}t\'asa
k\"ovetkezik a T\'etel el\H{o}tt t\'argyalt feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l. Ekkor ugyanis a saj\'at\'ert\'ekek
rendszere az 1 sz\'amb\'ol  \'all $k-1$ multiplicit\'assal \'es a
nulla sz\'amb\'ol egy multiplicit\'assal.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_m)$ $m$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi_1(t_1,\dots,t_m)$
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'ennyel, $(\eta_1,\dots,\eta_n)$
$n$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi_2(t_1,\dots,t_n)$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'ennyel.
A $(\xi_1,\dots,\xi_m)$  \'es $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ v\'eletlen
vektorok akkor \'es csak akkor f\"uggetlenek egym\'ast\"ol, ha a
$(\xi_1,\dots,\xi_m,\eta_1,\dots,\eta_n)$ $n+m$-dimenzi\'os
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
$\varphi_1(t_1,\dots,t_{n+m})$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
\varphi(t_1,\dots,t_{n+m})=
\varphi_1(t_1,\dots,t_m)\varphi_2(t_{m+1},\dots,t_{m+n})
$$
alakban \'{\i}rhat\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ha a $(\xi_1,\dots,\xi_m)$ \'es
$(\eta_1,\dots,\eta_n)$ v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, akkor a
$(\xi_1,\dots,\xi_m,\eta_1,\dots,\eta_n)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
\align
\varphi(t_1,\dots,t_{n+m})
&=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_m\xi_m+t_{m+1}\xi_{m+1}
+\cdots+t_{m+n}\xi_{m+n})}\\
&=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_m\xi_m)}Ee^{i(t_{m+1}\xi_{m+1}
+\cdots+t_{m+n}\xi_{m+n})} \\
&=\varphi_1(t_1,\dots,t_m)\varphi_2(t_{m+1},\dots,t_{m+n})
\endalign
$$
alakban \'{\i}rhat\'o.
\item{} Megford\'{\i}tva, ha a
$(\xi_1,\dots,\xi_m,\eta_1,\dots,\eta_n)$  v\'eletlen vektor
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye teljes\'{\i}ti a
$\varphi(t_1,\dots,t_{n+m})=
\varphi_1(t_1,\dots,t_m)\varphi_2(t_{m+1},\dots,t_{m+n})$
azonoss\'agot, akkor $\varphi_1(t_1,\dots,t_m)=
\varphi(t_1,\dots,t_{m},0,\dots,0)$ a $(\xi_1,\dots,\xi_m)$, \'es
hasonl\'oan $\varphi_2(t_1,\dots,t_n)$ az $(\eta_1,\dots,\eta_n)$
v\'eletlen vektornak a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Tekints\"unk
k\'et f\"ug\-get\-len $m$ illetve $n$-dimenzi\'os v\'eletlen vektort,
melyek eloszl\'asa megegyezik a $(\xi_1,\dots,\xi_m)$  illetve
$(\eta_1,\dots,\eta_n)$ v\'eletlen vektorok eloszl\'as\'aval, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul f\"ug\-get\-le\-nek egym\'ast\'ol. Ezeknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak a karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\varphi_1$ illetve $\varphi_2$, egy\"uttes
eloszl\'asuk pedig a $\varphi(t_1,\dots,t_{n+m})$ f\"uggv\'eny.
Mivel egy v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza e v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'at, innen k\"ovetkezik, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_m)$
\'es $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek.
 
\beginsection A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye.
 
T\'argyaltuk a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, mely szerint ha
tekintj\"uk $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$,
$j=1,\dots,n$, \"osszeg\'et \'es $\dfrac{S_n}n$ \'atlag\'at, akkor
az $\dfrac{S_n}n$ \'atlagok sztochasztikusan konverg\'alnak egy
de\-ter\-mi\-nisz\-ti\-kus sz\'am\-hoz, mely sz\'am a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi_1$ v\'arhat\'o
\'ert\'eke. Bel\'attuk, (a Csebisev egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel), hogy a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye
\'erv\'enyes akkor, ha a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete. Val\'oj\'aban ez a
felt\'etel l\'enyegesen gyeng\'{\i}thet\H{o}. Ezenk\'{\i}v\"ul,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlagai nagyon
\'altal\'anos felt\'etelek mellett nemcsak sztochasztikusan, hanem
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel is konverg\'alnak a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi_1$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'ehez. Ezt az eredm\'enyt nevezik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek. Megfogalmazom az eml\'{\i}tett eredm\'enyeket \'es
fogalmakat pontosan, \'es t\'argyalni fogom ezen eredm\'enyek
egym\'assal val\'o kapcsolat\'at. Sok fontos \'es tanuls\'agos
eredm\'enyt csk kimondok, de id\H{o}hi\'any miatt a
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom.
 
El\H{o}sz\"or fel\'{\i}rom a (r\'eszben m\'ar kor\'abban ismertetett)
k\"ul\"onb\"oz\H{o} konvergenciafogalmakat.
 
\medskip\noindent
{\bf Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergencia
definici\'oja:}  {\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak defini\'alva, m\'asr\'eszt)
$$
P\(\oo\: \lim_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=\xi(\oo)\)=1.
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergenci\'at a  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban
\'es m\'ert\'ek\-elm\'e\-let\-ben majdnem minden\"utt val\'o
konvergenci\'anak is h\'{\i}vj\'ak.
\medskip\noindent
{\bf A sztochasztikus konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al sztochasztikusan egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
de\-fi\-ni\-\'al\-va, m\'asr\'eszt) minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty} P\(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|>\e\)=0.
$$
}\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez vagy az
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal meghat\'arozott
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<u)=F(u)$
{\rm minden olyan $u$ sz\'amra, ahol az $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny f\"uggv\'eny folytonos.} (Azt mondjuk, hogy
a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha ez a sorozat
eloszl\'asban konverg\'al az $F(u)=P(\xi<u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.)}
\medskip
A tov\'abbiakban t\'argyalni fogjuk (r\'eszben kit\H{u}z\"ott
feladatok form\'aj\'aban) a k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o}
konvegenciafogalmak k\"oz\"otti kapcsolatot.
\medskip
Igaz a k\"ovetkez\H{o} kapcsolat: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergencia $\Rightarrow$ Sztochasztikus konvergencia $\Rightarrow$
Eloszl\'asban val\'o konvergencia.
 
T\'argyaljuk el\H{o}sz\"or az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi \'es
sztochasztikus konvergencia kapcsolat\'at.
 
Ha $\xi_n(\oo)\to\xi(\oo)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
akkor defini\'alva az
$$
A_n=A_n(\e)=\left\{\oo\:\supp_{k\ge n}|\xi_k(\oo)-\xi(\oo)|<\e\right\}
$$
halmazokat kapjuk, hogy az egym\'asba skatuly\'azott $A_n$ halmazokra,
(azaz $A_1(\oo)\subset A_2\subset\cdots$), $P\(\bigcupp_{n=1}^\infty
A_n\)=1$. Ez\'ert $\limm_{n\to\infty}P(A_n)=1$. Mivel
$\{\oo\:|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e\} \supset A_n$,
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e)\to1$, azaz
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|\ge\e)\to0$, ha $n\to\infty$. Ez azt jelenti,
hogy az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'ab\'ol
k\"ovetkezik a sztochasztikus konvergencia.
\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azifeladat:
\medskip
\item{} Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\limm_{n\to\infty}\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0$.
\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges olyan $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
konstru\'alni, melyekre a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan tart $\xi$-hez, de a  $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t: $\Omega$ a $[0,1]$ intervallum,
$\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aja a $[0,1]$
intervallumon, a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a Lebesgue
m\'ert\'ek. Legyen
$$
\aligned
\xi_n(x)&=\left\{
\aligned
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]\\
&0\quad\text{ha }x\notin\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]
\endaligned \right.  \\
&\qquad\qquad\qquad \text{akkor ha } 2^k\le n<2^{k+1},\quad
k=1,2,\dots,
\endaligned
$$
\'es $\xi(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra. Ekkor
$P(|\xi_n-\xi|>\e)=2^{-k}$ minden $\e>0$ sz\'amra, ha $2^k\le
n<2^{k+1}$. Teh\'at a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan konverg\'al a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz. Viszont mivel $\limsupp_{n\to\infty}\xi_n(x)=1$
minden $0\le x\le 1$ sz\'amra, ez\'ert a $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
 
M\'asr\'eszt a Borel-Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
amennyiben minden $\e>0$ sz\'amra $\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n-\xi|>\e)<\infty$, akkor a $\xi_n$ sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Mi\'ert?
 
A sztochasztikus konvergencia \'es eloszl\'aban val\'o konvergencia
k\"oz\"otti kapcsolatra \'erv\'enyesek a k\"ovetkez\H{o} nem
k\"otelez\H{o} h\'azi feladatok form\'aj\'aban megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'asok.
\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azifeladat:
\medskip
\item{a.)} Ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, akkor a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban is
konverg\'alnak ehhez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz.
\item{b.)} Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a megford\'{\i}t\'asa nem
igaz. P\'eld\'aul, ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
melyek nem elfajultak, azaz nincs olyan konstans melyeket ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel, akkor a $\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'al\-to\-z\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz,
viszont nem konverg\'alnak sztochasztikusan.
\item{c.)} Viszont igaz a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as: Ha
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy $a$ konstanshoz, (azaz
egy  olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, mely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $a$ konstanst veszi fel, akkor a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat sztochasztikusan is konverg\'al
ehhez az $a$ konstanshoz. \medskip
 
Most r\'at\'er\"unk annak t\'argyal\'as\'ara, hogyan lehet a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'egen
alapul\'o bizony\'{\i}t\'as\'at finom\'{\i}tva a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et is bebizony\'{\i}tani alkalmas felt\'etelek mellett.
Az al\'abb ismertetend\H{o} \'ervel\'esben val\'oj\'aban a t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben a sz\"uks\'egesn\'el sokkal
er\H{o}sebb kik\"ot\'eseket tesz\"unk. Id\'ezz\"uk fel a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eget, illetve a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
\medskip\noindent
{\bf Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg:} {\it Ha a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'asodik momentuma
$E\xi^2=m^2$, akkor tetsz\H{o}leges $x>0$ sz\'amra
$$
P(|\xi|>x)\le \dfrac{m_2}{x^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, ha ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget a
$\bar\xi=\xi-E\xi$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
al\-kal\-maz\-zuk, hogy
$$
P(|\xi-E\xi|>x)\le \frac{\text{\rm Var}\,\xi}{x^2},
$$
 }\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg a Markov
egyenl\H{o}tlens\'eg k\"ovetkezm\'enye, mely szerint $P(|\xi|>x)\le
\dfrac {E|\xi|}x$. Alkalmazva ezt az \'all\'{\i}t\'ast a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora kapjuk a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eget. Hasonl\'o m\'odon, alkalmazva a Markov
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get a $\xi^{2k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora, ahol $k$ tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am,
$x>0$, kapjuk, hogy $P(|\xi|>x)\le\dfrac{E\xi^{2k}}{x^{2k}}$
\medskip
A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et \'ugy bizony\'{\i}tottuk be,
hogy megvizsg\'altuk milyen becsl\'est ad a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlaga legal\'abb $\e$-nal elt\'er e v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l. Id\'ezz\"uk fel ezt a sz\'amol\'ast,
illetve ezzel p\'arhuzamosan vizsg\'aljuk meg azt is, milyen
becsl\'est kapunk, ha tov\'abbre is azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot vizsg\'aljuk, melyet \'ugy kapunk, hogy f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'atlaga minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et vessz\"uk, de most
ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nemcsak a m\'asodik
momentum\'at sz\'amoljuk ki, mint tett\"uk a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmaz\'as\'aban, ha\-nem a negyediket is.
L\'atni fogjuk, hogy ekkor \'erdekes \'uj eredm\'enyeket kapunk.
 
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket. Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma el\-osz\-l\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$. Tegy\"uk fel, hogy $E\xi_1=0$, \'es
vizsg\'aljuk az
$$
E\(\frac{S_n}n\)^2,\quad E\(\frac{S_n}n\)^4\quad\text{\'es}\quad
P\(\frac{|S_n|}n>\e\)=P\(\left|\frac{S_n}n-E\xi_1\right|>\e\),\; \e>0
$$
kifejez\'eseket. Az utols\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
vizsg\'alat\'aban nem jelent megszor\'{\i}t\'ast az $E\xi_1=0$
felt\'etel, mert a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
a $\xi_j-E\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal
he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-ve az \'altal\'anos esetet erre a speci\'alis
esetre reduk\'alhatjuk.
$$
\text{Var}\,\frac{S_n}n=\frac1{n^2}\text{Var}\,{S_n}=
\frac n{n^2}\text{Var}\,\xi_1=
\frac 1n\text{Var}\,\xi_1,\quad
P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac {\text{Var}\,\xi_1}{n\e^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)=0$,
teh\'at \'erv\'enyes a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye.
$$
E\(\frac{S_n}n\)^4=\frac1{n^4}E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4,
$$
$$
\align
E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4&=\sum_{k=1}^n E\xi_k^4+6\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb E\xi_j^2 E\xi_k^2
+4\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb \underbrace{E\xi_j^3E\xi_k}_{=0} \\
&\qquad+4\sum\Sb 1\le j,k,l\le
n\\ j,k,l\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_j^2E\xi_kE\xi_l}_{=0} \\
&\qquad +\sum\Sb 1\le j,k,l,m\le
n\\ j,k,l,m\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_jE\xi_kE\xi_lE\xi_m}_{=0} \\
&=n E\xi_1^4+6n(n-1) (E\xi_1^2)^2,
\endalign
$$
ez\'ert
$$
P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac{\frac1n
E\xi_1^4+6\(1-\frac1n)(E\xi_1)^2\)}{n^2\e^4}\le \frac{\const}{n^2\e^4}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{n=1}^\infty P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)<\infty$ minden
$\e>0$ sz\'amra, \'es a Borel--Cantelli lemma (k\"onnyebbik
fel\'eb\H{o}l) k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amra \'es majdnem
minden $\oo\in\Omega$ pontban teljes\"ul, hogy
$\left|\dfrac{S_n(\oo)}n\right|\le \e$, ha $n\ge
n_0(\oo)$. Alkalmazva ezt a rel\'aci\'ot minden $\e=\frac1k$ sz\'amra
$k=1,2,\dots$, kapjuk a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et,
melyet az al\'abbi t\'etelben fogalmazunk meg.
\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
{\it gyenge form\'aja}\/:} {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots,$
f\"uggetlen egyforma eloszl\'aa\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyekre teljes\"ul az
$E\xi_1^4<\infty$ felt\'etel, \'es vezess\"uk be az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. Ekkor az $\dfrac{S_n(\oo)}n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok majdnem minden
$\oo\in\Omega$-ra konverg\'alnak ez $E\xi_1$, sz\'amhoz, azaz ezek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et.} \medskip
Megfogalmazom a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et kimond\'o
t\'etelt eredeti, \'eles for\-m\'a\-j\'a\-ban is.
\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et kimond\'o t\'etel.}
{\it Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es defini\'aljuk
az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. Az
$\dfrac{S_n(\oo)}n$, $n=1,2,\dots$, sorozat akkor \'es csak akkor
konverg\'al pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha
$E|\xi_1|<\infty$. Ha $E|\xi_1|<\infty$, akkor ez a sorozat
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, azaz
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n(\oo)}n=E\xi_1\quad\text{majdnem minden }
\oo\in\Omega\text{-ra}.
$$
}
\medskip\noindent
L\'attuk, hogy a nagy sz\'amok k\"ul\"onb\"oz\H{o} t\"orv\'enyeit
kimond\'o t\'etelekben az \"osszeadand\'ok momentumair\'ol tesz\"unk
fel bizonyos felt\'eteleket. S\H{o}t, az utolj\'ara kimondott t\'etel
a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l, egyben jelzi
azt, hogy ez a felt\'etel nemcsak el\'egs\'eges, hanem sz\"uks\'eges
felt\'etel is. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, mi\'ert j\'atszik olyan
fontos szerepet a momentumok l\'etez\'ese ezekben az eredm\'enyekben.
 
A nagy sz\'amok t\"orv\'enyei olyan \'all\'{\i}t\'ast fogalmaznak meg,
hogy f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\'atlagai egyfajta tipikus viselked\'est mutatnak, amelyikben az
egyes \"osszeadand\'ok hat\'asa \"onmag\'aban nem jelent\H{o}s, azaz
nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem fordulhat el\H{o}, hogy van az
\"osszegben olyan kiugr\'oan nagy \'ert\'eket felvev\H{o} tag, melynek
hat\'asa \"osszem\'erhet\H{o} az \"osszes t\"obbi tag hat\'as\'aval.
M\'arpedig az, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
valamely momentuma kisebb egy adott sz\'amn\'al olyan tulajdons\'agot
fogalmaz meg, mely szerint a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel nagy \'ert\'ekeket. Ahhoz,
hogy finomabb vizsg\'alatokat el tudjunk v\'egezni, ki kell tudnunk
fejezni a momentumok v\'egess\'eg\'et az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
nyelv\'en. Ez\'ert fogalmazom meg a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast,
melyet id\H{o}hi\'any miatt csak (nem k\"otelez\H{o} h\'azi
feladat) form\'aj\'aban t\'argyalok.
\medskip
\vfill\eject
 
Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat.
\medskip
\item{} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o abszolut
\'ert\'ek\'enek akkor \'es csak akkor l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke,
ha $\summ_{n=1}^\infty P(|\xi|>n)<\infty$,  a $|\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak akkor \'es csak
akkor van v\'eges m\'asodik momentuma, ha $\summ_{n=1}^\infty
nP(|\xi|>n)<\infty$. \'Altal\'anosabban $E|\xi|^k<\infty$ valamilyen
$k=1,2,\dots$, sz\'amra akkor \'es csak akkor, ha $\summ_{n=1}^\infty
n^{k-1}P(|\xi|>n)<\infty$. \medskip
 Megmutatjuk az el\H{o}bbi feladat eredm\'eny\'enek \'es a
Borel--Cantelli lemma se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel, hogy amennyiben
$E|\xi_1|=\infty$, akkor a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval azonos eloszl\'as\'u $\xi_j$, $j=1,2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et. Pontosabban
azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ebben az esetben az
$S_n(\oo)=\summ_{j=1}^n\xi_j(\oo)$, $n=1,2,\dots$, \"osszegekre az
$S_n(\oo)$ majdnem minden $\oo\in\Omega$ pontban nem konvergens.
 
Val\'oban, az el\H{o}bb megfogalmazott eredm\'eny, \'es a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'asa miatt az
$E|\xi_1|=\infty$ felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_1|>n)=\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n|>n)=\infty$. Ez\'ert, \'es a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt a
Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy majdnem minden
$\oo\in\Omega$-ra $|\xi_n(\oo)|>n$ v\'egtelen sok az ($\oo$ elemi
esem\'enyt\H{o}l f\"ugg\H{o}) $n$ indexre. Val\'oban,
tegy\"uk fel, hogy valamely $\oo\in \Omega$ elemi esem\'enyre
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{S_n(\oo)}n=a$ valamilyen v\'eges $a$
sz\'amra, amelyik \'ert\'eke f\"ugghet az $\oo$ elemi esem\'enyt\H{o}l.
Ekkor viszont a $\limm_{n\to\infty}\dfrac{S_{n-1}(\oo)}n=a$ rel\'aci\'o
is teljes\"ul, ahonnan $\limm_{n\to\infty}\(\dfrac{S_{n}(\oo)}n-
\dfrac{S_{n-1}(\oo)}n\)=\limm_{n\to\infty}\dfrac{\xi_n(\oo)}n=0$. Ez
a rel\'aci\'o viszont, mint l\'attuk egy 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
halmazon nem teljes\"ul.
 
L\'attuk, hogy mind a nagy sz\'amok gyenge mind a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz arra van
sz\"uks\'eg\"unk, hogy k\'epesek legy\"unk f\"uggetlen (\'es egyforma
el\-osz\-l\'a\-s\'u), nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
$\xi_1,\xi_2,\dots,$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$, \"ossze\-g\'e\-nek
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere j\'o becsl\'est tudjunk adni. Pontosabban
arra van sz\"uk\-s\'e\-g\"unk, hogy j\'ol meg tudjuk becs\"ulni minden
$n$ indexre \'es r\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amra a $P(|S_n|>\e n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Val\'oj\'aban a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'aban hasznosabb, ha a
 $P\(\supp_{1\le m\le n}|S_m|>\e n\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
tudjuk j\'ol megbecs\"ulni. Els\H{o} l\'at\'asra azt gondolhatn\'ank,
hogy az ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek becsl\'es\'ere
al\-kal\-maz\-hat\-n\'ank a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
Val\'oj\'aban a helyzet bonyolultabb.
 
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel j\'o aszimptotik\'at ad a
$P(S_n>x\sqrt n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre nagy $n$ indexre,
\'es r\"ogz\'{\i}tett $x$ sz\'amra. De szabad-e r\"ogz\'{\i}tett $x$
helyett $n$-t\H{o}l f\"ugg\H{o} $x_n=\e\sqrt n$ sz\'amot \'{\i}rni,
\'es alkalmazni form\'alisan a centr\'alis hat\'areloszl\'asban
szerepl\H{o} k\'epletet nem t\"or\H{o}dve az $x_n$ sz\'amnak az $n$
indext\H{o}l val\'o f\"ugg\'es\'evel? Az, hogy e k\'erd\'es
felvet\'es\'en\'el nem form\'alis k\"ot\H{o}zk\"od\'esr\H{o}l van
sz\'o mutatja a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'elda: Legyenek
$\xi_1,\xi_2\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$P(\xi_1=1)=P(\xi_1=-1)=\dfrac12$, $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$. Ekkor a
$p_n(x)=P\(S_n\ge nx\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre $p_n(x)=0$, ha
$x>1$, \'es $p_n(x)=2^{-n}$, ha $x=1$. (Az $x<1$ esetben is j\'o
aszimptotikus formul\'at lehet adni a $p_n(x)$ mennyis\'egre, de
ahhoz k\"ul\"on vizsg\'al\'od\'as lenne sz\"uks\'eges, ez\'ert ezt
most nem tessz\"uk.) Ez a p\'elda azt mutatja, hogy a $p_n(x)$
f\"uggv\'eny nem \'ugy viselkedik, ahogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l ad\'od\'o form\'alis anal\'ogia
sugalln\'a. A $P(S_n\ge nx)$ alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
vizsg\'alat\'aval a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik fontos \'es \'erdekes fejezete a nagy elt\'er\'esek elm\'elete
foglalkozik. Ez az elm\'elet nem t\'em\'aja a jelen
el\H{o}ad\'assorozatnak.
 
A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at
nem dolgozom ki. Mind\"ossze azt teszem, hogy megfogalmazom a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy fontos
egyenl\H{o}tlens\'eg\'et, melynek az itt nem t\'argyalt
bizony\'{\i}t\'asa is tanuls\'agos, \'es a r\'eszletek kidolgoz\'asa
n\'elk\"ul jelzem, hogyan k\"ovetkezik a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"or\-v\'enye.
\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg}.
{\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, (nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u)
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok, $E\xi_k=0$,
$E\xi_k^2=\sigma_k^2$, $S_k=\sum\limits_{p=1}^k\xi_p$, $k=1,\dots,n$.
Ekkor $$
P\(\sup_{1\le k\le n}|S_k|\ge x\)\le\frac{ES_n^2}{x^2}
=\frac{\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k^2}{x^2}
$$
minden $x>0$-ra.}
\medskip
\'Erdemes megjegyezni, hogy a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
ugyan\-azt a fels\H o becsl\'est adja annak
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az $S_k$ r\'eszlet\"osszegek
szup\-r\'e\-mu\-ma nagyobb mint valamilyen $x>0$ sz\'am, mint amit a
Csebisev egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg ad annak az ese\-m\'eny\-nek a
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az utols\'o tag $S_n$ nagyobb,
mint~$x$. Term\'eszetesen
$$
P\(\supp_{1\le k\le n}|S_k|>x|\)\ge P\(S_n|>x|\),
$$
de mint ahogy a Kolmogorov \'es Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg
\"osszehasonl\'{\i}t\'asa is sugallja a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg
baloldala nem sokkal nagyobb mint a jobboldala. \medskip\noindent
{\it A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek
bizony\'{\i}t\'asv\'azlata a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.}\/ Term\'eszetes gondolat
sz\'etv\'alasztani a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
t\'ul nagy \'es nem t\'ul nagy \'ert\'ekeinek a hat\'as\'at a
bizony\'{\i}t\'asban. Ez sugallja, hogy \'erdemes a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'ok k\"ovetkez\H{o}
felbont\'as\'at venni: $\xi_n=\xi_nI(|\xi_n|\le
n)+\xi_nI(|\xi_n|>n)=\xi_n'+\xi_n''$, ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli. Azt, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekeit az $n$
szinten csonk\'{\i}tottuk az teszi term\'eszetess\'e, hogy az utols\'o
kit\H{u}z\"ott feladat szerint az $E|\xi_1|<\infty$ felt\'etel
ekvivalens a $\summ_{n=1}^\infty P(\xi_n''=0)
=\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_n|>n)=\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_1|>n)<\infty$ felt\'etellel, ami azt jelenti, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, a $\xi_n''$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'eges sok kiv\'etellel null\'aval egyenl\H{o}ek. Ez
azt jelenti, hogy el\'eg a v\'eges sz\'or\'assal rendelkez\H{o}
$\xi_n'$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek
maximum\'ara j\'o  becsl\'est adni. Ez lehets\'eges a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ha j\'o becsl\'est tudunk
adni a $\xi_n'$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'ere \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'ere.
 
N\'emi nem t\'ul neh\'ez, de itt nem t\'argyalt sz\'amol\'as
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg lehet mutatni, hogy
$\limm_{n\to\infty}\dfrac1n\summ_{k=1}^n E\xi_k'=
-\limm_{n\to\infty}\dfrac1n\summ_{k=1}^n E\xi_k''=0$, \'es ez
lehet\H{o}v\'e teszi a feladat reduk\'al\'as\'at arra a probl\'em\'ara,
hogy a $\bar\xi_k=\xi_k'-E\xi_k'$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\bar S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$ \"osszegei
teljes\'{\i}tik a $\dfrac{\bar S_n}n\to0$ rel\'aci\'ot 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez a redukci\'o az\'ert hasznos, mert
ekkor f\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'at
kell vizsg\'alni, \'es ekkor alkalmazhatjuk a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eget. N\'emi (az integr\'alok \'atrendez\'es\'en
m\'ul\'o, de itt nem t\'argyalt) sz\'amol\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel
megmutathat\'o, hogy teljes\"ul a $\summ_{k=1}^\infty
\dfrac{\Var\bar\xi_k}{k^2}<\infty$ azonoss\'ag. Ennek
felhaszn\'al\'as\'aval a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H{o} becsl\'eseket
hajthatjuk v\'egre.
 
$$
\align
P\(\sup_{2^{n-1}<k\le 2^n}\left|S_k-S_{2^{n-1}}\right|>\e2^{n-1}\)
&=P\(\sup_{1\le k\le 2^{n-1}}
\left|\summ_{j=1}^k\xi_{j+2^{n-1}}\right|>\e2^{n-1}\)\\
&\le\frac{\summ_{k=2^{n-1}+1}^{2^n}\Var\xi_k}{\e^2 2^{2(n-1)}}
\le\const\summ_{k=2^{n-1}+1}^{2^n}\frac{\Var\xi_k}{\e^2k^2},
\endalign
$$
ahonnan a $\bar\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzet\'ere fel\'{\i}rt becsl\'es alapj\'an
$$
\summ_{n=1}^\infty P\(\sup_{2^{n-1}<k\le
2^n}\left|S_k-S_{2^{n-1}}\right|>\e2^{n-1}\)<\infty.
$$
Ez\'ert a Borel--Cantelli lemma alapj\'an egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
$$
\supp_{2^{n-1}<k\le 2^n}\left|S_k(\oo)-S_{2^{n-1}}(\oo)\right|
\le\e2^{n-1}\quad\text{v\'eges sok
($\oo$-t\'ol f\"ugg\H{o}) $n$ index kiv\'etel\'evel.}
$$
Innen viszont $S_N(\oo)\le\summ_{n\:2^{n-1}\le N}
\supp_{2^{n-1}<k\le 2^n}\left|S_k(\oo)-S_{2^{n-1}}(\oo)\right|
\le \const+4N\e$ majdnem minden $\oo$-ra egy csak $\oo$-t\'ol
f\"ugg\H{o} konstanssal. Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden $\e>0$-ra
\'es $N$-re igaz, innen k\"ovetkezik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'enye.
\medskip
Annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etele is ismert, hogy
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}ts\'ek a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et.
Megfogalmazom ezt az eredm\'enyt, de az \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata $F$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel. Ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es csak
akkor teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'et, azaz a $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ \'atlag akkor
\'es csak akkor konverg\'al sztochasztikusan  $n\to\infty$ eset\'eben
egy $a$ sz\'amhoz, $-\infty<a<\infty$, ha
$$
\lim_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]=0, \quad \text{\'es} \quad
\lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=a.
$$
}\medskip
 
Ha \"osszehasonl\'{\i}tjuk a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et azt l\'atjuk,  hogy a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye n\'emileg enyh\'ebb megk\"ot\'esek mellett
\'erv\'enyes mint a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye. \'Erdemes
l\'atni f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok olyan sorozat\'at, amelyik teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok
gyenge, de nem teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. Ilyen p\'eld\'at fogalmazok meg a k\"ovetkez\H{o}
nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladatban. Egyben jelzem, hogyan lehet
bebizony\'{\i}tani azt, hogy ez a p\'elda teljes\'{\i}ti a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et an\'elk\"ul, hogy
felhaszn\'aln\'ank a nem bizony\'{\i}tott t\'etelt a nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'er\H{o}l. \medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat
\medskip
\item{} Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta,
az $f(x)=\dfrac C{x^2\log |x|}$, ha $|x|>2$. $f(x)=0$, ha $|x|\le 2$,
k\'eplettel megadott s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.
($\dsize\int_{|x|>2}\frac {C\,dx}{x^2\log |x|}=1$.)
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. L\'assuk be, hogy $E|\xi_1|=\infty$,
ez\'ert ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. M\'asr\'eszt az $\dfrac{S_n}n$
\'atlagok szto\-chasz\-ti\-ku\-san tartanak null\'ahoz, azaz minden
$\e>0$ sz\'amra $P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\to0$, ha
$n\to\infty$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Legyen $\bar\xi_k=\bar
\xi_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|\le a_n\)$, $\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar
\xi}_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|>a_n\)$, \'es $\bar
S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$, $\bar{\bar
S}_n=\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$. Ekkor $P(|S_n|>\e n)\le
P\(|\bar S_n|>\dfrac\e2n\)+P\(|\bar{\bar S}_n|>\dfrac\e2n\)\le \dfrac
{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}+nP\(\bar{\bar \xi_1}\neq0\)$.
Adjunk az $a_n$ konstans alkalmas meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-val
(p\'eld\'aul $a_n=n$) j\'o becsl\'est a $P(|S_n|>n\e)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.
\medskip
 
Term\'eszetesen felvet\H{o}dik a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es:
Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre $E\xi_1=0$. Legyen
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$. Ekkor a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye szerint a $\dfrac{S_n}n$ \'atlagok sztochasztikusan
tartanak null\'ahoz, a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye szerint
pedig egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel is null\'ahoz tartanak.
Hogyan lehet \'eles\'{\i}teni a nagy sz\'amok gyenge illetve er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et? Pontosabban fogalmazva, milyen $a_n$, $n=1,2,\dots$
sorozatokra mondhatjuk, hogy $\dfrac{S_n}{a_n}$ sztochasztikusan tart
null\'ahoz, ha $n\to\infty$? Milyen $b_n$, $n=1,2,\dots$ sorozatokra
mondhatjuk, hogy $\dfrac{S_n}{b_n}$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
tart null\'ahoz, ha $n\to\infty$? Az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert
tegy\"uk fel, hogy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
tekint\"unk, melyeknek van m\'asodik momentumuk.
 
Az els\H{o} k\'erd\'esre a v\'alasz viszonylag egyszer\H{u}
k\"ovetkezm\'enye a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-nek,
\'es ezt tartalmazza a k\"ovetkez\H{o} feladat. A m\'asodik
k\'erd\'esre a v\'alaszt nehezebb megadni. Erre a k\'erd\'esre az
al\'abb megfogalmazott bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul k\"oz\"olt
iter\'alt logaritmust\'etel adja meg a v\'alaszt.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre $E\xi_1=0$ \'es
$E\xi_1^2<\infty$. Legyen $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$.
Ekkor pozit\'{\i}v val\'os sz\'amok valamely $a_n$ sorozat\'ara a
$\dfrac{S_n}{a_n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es
csak akkor tartanak sztochasztikusan null\'ahoz $n\to\infty$ eset\'en,
ha $\limm_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}=\infty$.
\medskip
V\'eg\"ul megfogalmazom a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik h\'{\i}res eredm\'eny\'et, az \'ugy\-neve\-zett iter\'alt
logaritmus t\'etelt \medskip\noindent
{\bf Iter\'alt logaritmus t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok valamilyen $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyekre $E\xi_1(\oo)=0$,
$\Var\xi_1(\oo)=\sigma^2<\infty$.
Ekkor
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=1, \quad\text{majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre,}
$$
\'es
$$
\liminf_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=-1,
\quad\text{majdnem minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre.}
$$
}\medskip
 
\bye
 
 
 
 
 
 
 
 
 
