A Valószínűségszámítás I. előadássorozat tizenharmadik előadása. 2001 május 8.

A χ^{2} eloszlásokról és χ^{2} próbáról.

Tekintsük a több-dimenziós normális eloszlások bevezetőjében tekintett első problémát. Hogyan tudjuk ellenőrizni, hogy egy dobókocka szabályos-e?

Dobjuk fel a dobókockát n alkalommal, és legyen

(ν(1), …, ν(6)) = (ν_{n}(1), …, ν_{n}(6))

az 1, …, 6 dobáseredmények száma. Megmutatjuk a több-dimenziós centrális határ-

eloszlás segítségével, hogy az \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{6} (ν_{n}(j) − \frac{n}{6})^{2} valószínűségi változóknak van határ-

eloszlásuk, ha n → ∞, (feltéve, hogy egy szabályos dobókocka egymástól független dobásainak az eredményeit tekintjük), és ezt a határeloszlást explicit módon meg tudjuk adni. Ez lehetőséget ad egy kocka szabályosságának ellenőrzésére. Ennek a feladatnak a következő természetes általánosítását fogjuk tekinteni:

Legyen adva k urna, és ellenőrizni akarjuk azt a feltételezést, mely szerint ha egy golyót véletlenül bedobunk ezen urnák valamelyikébe, akkor az p_{j}, p_{j} > 0, va-

lószínűséggel esik a j-ik urnába, ∑_{j=1}^{k} p_{j} = 1. Ennek a feltételezésnek az ellenőrzése

érdekében dobjunk egymástól függetlenül n golyót ezekbe az urnákba, és jelölje ν_{n}(j) a j-ik urnába eső golyók számát. Be fogjuk látni, hogy feltételezésünk teljesülése esetén

a ∑_{j=1}^{k} \frac{(ν_{n}(j) − np_{j})^{2}}{np_{j}} valószínűségi változóknak létezik határeloszlása n → ∞ esetén,

és ez a határeloszlás az úgynevezett k − 1 szabadságfokú χ^{2} eloszlás. Megadjuk a χ^{2} eloszlások definicióját.

A k szabadságfokú χ^{2} eloszlás definiciója. Legyen ξ_{1}, …, ξ_{k} k darab független

standard normális eloszlású valószínűségi változó. Ekkor a ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}^{2} valószínűségi változó

eloszlását nevezzük k szabadságfokú χ^{2}(k) eloszlásnak.

Megjegyzés: Láttuk a 10. előadáson tárgyalt feladatok egyikében, hogy a 2 szabad-

ságfokú χ^{2}(2) eloszlás a λ = \frac{1}{2} paraméterű exponenciális eloszlás, azaz az az eloszlás,

melynek sűrűségfüggvénye az f(x) = \frac{1}{2}e^{−x/2}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0.

A fent említett határeloszlástétel segítségével a kocka szabályosságának ellenőrzéséhez hasonlóan ellenőrizni tudjuk feltételezésünk helyességét. A határeloszlástétel

bizonyítása azon alapul, hogy egyrészt meg tudjuk adni a \{\frac{ν_{n}(j) − np_{j}}{\sqrt{np_{j}}} , j = 1, …, k\} véletlen vektorok határeloszlását a több-dimenziós centrális határeloszlástétel segítségével. Másrészt belátjuk, hogy ha (η_{1}^{(n)}, …, η_{k}^{(n)}) véletlen vektorok eloszlásban konvergálnak egy (η_{1}, …, η_{k}) véletlen vektorhoz n → ∞ esetében, és f(x_{1}, …, x_{k}) folytonos k-változós függvény, akkor az f (η_{1}^{(n)}, …, η_{k}^{(n)}), n = 1, 2, …, valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak az f(η_{1}, …, η_{k}) valószínűségi változóhoz. Ez lehetővé teszi a minket érdeklő statisztikák határeloszlásának megadását. Ezt a határeloszlást egyszerű, jól áttekinthető alakban akarjuk megadni. Ezt azért tudjuk megtenni, mert mint azt egy megoldásával együtt ismertetett feladatban megfogalmazom, ha (η_{1}, …, η_{k}) kdimenziós nulla várható értékű D kovarianciamátrixú normális eloszlású véletlen vektor valamilyen ismert D kovariancia mátrix-szal, akkor bizonyos alapvető lineáris algeb-

rai eredmények felhasználásával egyszerű formában megadhatjuk a ∑_{j=1}^{k} η_{j}^{2} valószínűségi

változó eloszlását.

Először megfogalmazzuk és bebizonyítjuk a fent említett állítást.

Lemma. Legyen (S_{1,n}, …, S_{k,n}), n = 1, 2 …, k-dimenziós valószínűségi vektorok sorozata, amelyik eloszlásban konvergál egy (S_{1}, …, S_{k}) k-dimenziós véletlen vektorhoz n → ∞ esetén, és legyen f(x_{1}, …, x_{k}) egy k-változós folytonos függvény. Ekkor a T_{n} = f (S_{1,n}, …, S_{k,n}), n = 1, 2, …, valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a T = f (S_{1}, …, S_{k}) valószínűségi változóhoz n → ∞ esetén.

Bizonyítás: Használjuk a tételt az eloszlásban való konvergencia jellemzéséről folytonos függvények segítségével. Eszerint az S_{1,n}, …, S_{k,n} véletlen vektorok sorozatának eloszlásban való konvergenciát úgy is megfogalmazhatjuk, hogy tetszőleges folytonos és

korlátos h(x_{1}, …, x_{k}) függvényre teljesül a lim_{n→∞} Eh(S_{1,n}, …, S_{k,n}) = Eh(S_{1}, …, S_{k})

reláció. Legyen g(·) folytonos és korlátos függvény. Ekkor g(f(x_{1}, …, x_{k})) folytonos és korlátos függvény, ezért teljesül a

lim_{n→∞} Eg(T_{n}) = lim_{n→∞} Eg (f (S_{1,n}, …, S_{k,n})) = Eg (f (S_{1}, …, S_{k})) = Eg(T)

reláció. Innen következik a Lemma állítása.

Feladat:

Legyen η = (η_{1}, …, η_{k}) k-dimenziós normális eloszlású valószínűségi változó nulla várható értékkel és D kovariancia mátrix-szal. Legyenek a λ_{1}, …, λ_{k} számok a D mátrix sajátértékei (multiplicitással). Bizonyítsuk be (alapvető lineáris algebrai is-

meretek felhasználásával), hogy a ∑_{j=1}^{k} η_{j}^{2} valószínűségi változó eloszlása megegyezik

egy ∑_{j=1}^{k} λ_{j}ξ_{j}^{2} valószínűségi változó eloszlásával, ahol ξ_{1}, …, ξ_{k} független standard

normális eloszlású valószínűségi változók.

Megoldás: A D mátrix felírható D = UΛU^{∗} alakban, ahol U unitér, Λ pedig olyan diagonális mátrix, melynek átlójában a D mátrix λ_{j} sajátértékei vannak. (Az U mátrix is felírható explicit módon a D nátrix sajátvektorainak segítségével, de erre a tényre itt nincs szükségünk.) Az η = (η_{1}, …, η_{k}) véletlen vektor eloszlása megegyezik egy η̄ = (η̄_{1}, …, η̄_{k}) = ξΛ^{1/2}U^{∗} = (ξ_{1}, …, ξ_{k})Λ^{1/2}U^{∗} véletlen vektor eloszlásával, ahol a ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor standard normális eloszlású. Valóban η̄ normális eloszlású véletlen vektor, melynek várható értéke nulla és kovariancia mátrixa a (Λ^{1/2}U^{∗})^{∗}Λ^{1/2}U^{∗} = UΛ^{1/2}Λ^{1/2}U^{∗} = UΛU^{∗} = D mátrix. Ezért

a ∑_{j=1}^{k} η_{j}^{2} valószínűségi változó eloszlása megegyezik a ∑_{j=1}^{k} η̄_{j}^{2} valószínűségi változó

eloszlásával. Vegyük észre, hogy az η̃ = (η̃_{1}, …, η̃_{k}) = η̄U = (η̄_{1}, …, η̄_{k})U vektorra

teljesül a ∑_{j=1}^{k} η̄_{j}^{2} = ∑_{j=1}^{k} η̃_{j}^{2} azonosság, mert U unitér, tehát távolságtartó transz-

formáció. Viszont η̃ = η̄U = ξΛ^{1/2}U^{∗}U = ξΛ^{1/2}. Ez azt jelenti, hogy a ∑_{j=1}^{k} η_{j}^{2}

valószínűségi változó eloszlása megegyezik a ∑_{j=1}^{k}(λ_{j}^{1/2}ξ_{j})^{2} = ∑_{j=1}^{k} λ_{j}ξ_{j}^{2} valószínűségi

változó eloszlásával, és ez a feladat állítása.

Az alább megfogalmazott eredményen alapul a χ^{2} próba.

Tétel. Legyen adva k darab urna, melyekbe bedobunk egymástól függetlenül golyókat úgy,

hogy mindegyik golyó p_{j} valószínűséggel esik a j-ik urnába, 1 ≤ j ≤ k, ∑_{j=1}^{k} p_{j} = 1. Jelölje

ν_{n}(j) a j-ik urnába eső golyók számát az n-ik dobás után. Ekkor a ∑_{j=1}^{k} \frac{(ν_{n}(j) − np_{j})^{2}}{np_{j}}

valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a k − 1 szabadságfokú χ^{2}(k − 1) eloszláshoz, ha n → ∞. (Az urnák k száma rögzített.)

A fenti tételben megjelenő határeloszlás csak az urnák k számától függ, de nem függ a p_{j}, 1 ≤ j ≤ k, valószínűségektől. Ez jelzi azt, hogy természetes statisztikát vettünk, olyat amelyben a különböző urnákban levő golyók számának az eltérése annak várható értékétől egyforma fontos szerepet játszik. Az, hogy a határeloszlás a k − 1 szabadságfogú χ^{2}(k − 1) eloszlás azzal függ össze, hogy bár k véletlen szám súlyozott négyzetösszegét tekintettük, (az egyes urnákba eső golyók számának eltérését tekintettük azok várható értékétől), de ezek között van egy determinisztikus összefüggés. Nevezetesen az, hogy az összes urnába eső golyók száma minusz azok várható értéke nullával egyenlő. Ezt informálisan úgy szokták interpretálni, hogy k−1 szabadsági fokkal rendelkező véletlen vektorok koordinátáinak a négyzetösszegét tekintettük, illetve azok határeloszlását. Ilyen esetben a határeloszlást olyan véletlen összeg adja meg, melyben mindegyik szabadsági foknak egy összeadandó felel meg, amelyik független a többi összeadandótól, és az egy standard normális eloszlású valószínűségi változó négyzete.

A Tétel bizonyítása: A többdimenziós centrális határeloszlástétel alapján a

(\frac{ν_{n}(1) − np_{1}}{\sqrt{np_{1}}} , …, \frac{ν_{n}(k) − np_{k}}{\sqrt{np_{k}}} )

véletlen vektorok eloszlásban konvergálnak n → ∞ esetén egy olyan (η_{1}, …, η_{k}) kdimenziós normális eloszlású véletlen vektorhoz, melyre Eη_{j} = 0, Var η_{j} = (1 − p_{j}), 1 ≤ j ≤ k, és Cov (η_{j}, η_{l}) = −\sqrt{p_{j}p_{l}}, ha 1 ≤ j, l ≤ k, és j ≠ l. Valóban, defináljuk azokat a ξ_{s} = (ξ_{s,1}, …, ξ_{s,k}), s = 1, 2, …, k-dimenziós valószínűségi változókat, melyekre ξ_{s,j} = 1, és ξ_{s,l} = 0 l ≠ j esetében, ha az s-ik golyó a j-ik urnába esik. Ekkor a ξ_{1}, ξ_{2}, …, véletlen vektorok függetlenek és egyforma eloszlásúak, (ν_{n}(1), …, ν_{n}(k)) =

∑_{s=1}^{n} ξ_{s}, Eξ_{s} = (p_{1}, …, p_{k}), Eξ_{s,j}^{2} = p_{j}, Var ξ_{s,j} = (1 − p_{j})p_{j}, Cov (ξ_{s,j}, ξ_{s,l}) = Eξ_{s,j}ξ_{s,l} −

Eξ_{s,j}Eξ_{s,l} = −p_{j}p_{l}, ha j ≠ l. Ezért alkalmazva a több-dimenziós centrális határelosz-

lástételt a \frac{1}{\sqrt{n}} ( ∑_{s=1}^{n} \frac{ξ_{1,s} − Eξ_{1,s}}{\sqrt{p_{1}}} , …, ∑_{s=1}^{n} \frac{ξ_{k,s} − Eξ_{k,s}}{\sqrt{p_{k}}} ) összegekre megkapjuk a fenti

állítást.

Felhasználva ezt az eredményt valamint alkalmazva az előzőleg kimondott lemmát

az f(x_{1}, …, x_{k}) = ∑_{j=1}^{k} x_{j}^{2} függvénnyel kapjuk, hogy a ∑_{j=1}^{k} \frac{(ν_{n}(j) − np_{j})^{2}}{np_{j}} valószínűségi

változók eloszlásban konvergálnak egy ∑_{j=1}^{k} η_{j}^{2} valószínűségi változóhoz, ahol (η_{1}, …, η_{k})

véletlen vektor k-dimenziós normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke nulla, és D = d_{j,l}, d_{j,l} = Cov (η_{j}, η_{l}), 1 ≤ j, l ≤ k, kovariancia mátixát a Var η_{j} = (1 − p_{j}), 1 ≤ j, l ≤ k, és Cov (η_{j}, η_{l}) = −\sqrt{p_{j}p_{l}}, ha 1 ≤ j, l ≤ k, és j ≠ l képletek határozzák meg. Ezért elég belátni azt, hogy egy nulla várható értékű és a fenti kovarianciafüggvénnyel rendelkező normális eloszlású (η_{1}, …, η_{k}) véletlen vektorra

a ∑_{j=1}^{l} η_{j}^{2} kifejezés χ^{2}(k − 1) eloszlású valószínűségi változó.

Ennek belátása érdekében tekintsük az (η_{1}, …, η_{k}) véletlen vektor D = (d_{j,l}), 1 ≤ j, l ≤ k, kovarianciamátrixát, és értsük meg annak szerkezetét. Azt állítjuk, hogy az u = (\sqrt{p_{1}}, …, \sqrt{p_{k}}) vektor sajátvektora a D kovarianciamátrixnak nulla sajátértékkel és

emellett, ha egy x = (x_{1}, …, x_{k}) vektor merőleges erre az u vektorra, azaz ∑_{j=1}^{k} x_{j}\sqrt{p_{j}} =

0, akkor az x vektor a D mátrixnak sajátvektora 1 sajátértékkel.

Valóban, tetszőleges 1 ≤ j ≤ k számra

∑_{l: l≠j} \sqrt{p_{l}}d_{j,l} = −\sqrt{p_{j}} ∑_{l: l≠j} p_{l} = −\sqrt{p_{j}}(1 − p_{j}) = −\sqrt{p_{j}}d_{j,j},

ahonnan ∑_{l=1}^{k} \sqrt{p_{l}}d_{j,l} = 0, ami azt jelenti, hogy az u vektor a D mátrix sajátvektora nulla

sajátértékkel. Ha ∑_{j=1}^{k} x_{j}\sqrt{p_{j}} = 0, akkor minden 1 ≤ j ≤ k számra

∑_{l: l≠j} d_{j,l}x_{l} = −\sqrt{p_{j}} ∑_{l: l≠j} \sqrt{p_{l}}x_{l} = \sqrt{p_{j}}\sqrt{p_{j}}x_{j} = p_{j}x_{j},

ahonnan ∑_{l=1}^{k} d_{j,l}x_{l} = x_{j}p_{j} + x_{j}(1 − p_{j}) = x_{j}, és ez azt jelenti, hogy az x vektor a D

mátrix sajátvektora egy sajátértékkel.

Ez azt jelenti, hogy a D kovariancia mátrixnak létezik egy nulla és k − 1 1 sajátértékkel rendelkező ortogonális sajátvektora. Valóban, az u = (\sqrt{p_{1}}, …, \sqrt{p_{k}}) vektor és a rá merőleges altér tetszőleges k − 1 vektorból álló ortogonális bázisa alkalmas választás. Ezért a Tétel bizonyítása következik a Tétel előtt tárgyalt feladat eredményéből. Ekkor ugyanis a sajátértékek rendszere az 1 számból áll k−1 multiplicitással és a nulla számból egy multiplicitással.

Feladat:

Legyen (ξ_{1}, …, ξ_{m}) m-dimenziós valószínűségi változó φ_{1}(t_{1}, …, t_{m}) karakterisztikus függvénnyel, (η_{1}, …, η_{n}) n-dimenziós valószínűségi változó φ_{2}(t_{1}, …, t_{n}) karakterisztikus függvénnyel. A (ξ_{1}, …, ξ_{m}) és (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektorok akkor és csak akkor függetlenek egymástöl, ha a (ξ_{1}, …, ξ_{m}, η_{1}, …, η_{n}) n + m-dimenziós valószínűségi változó φ_{1}(t_{1}, …, t_{n+m}) karakterisztikus függvénye

φ(t_{1}, …, t_{n+m}) = φ_{1}(t_{1}, …, t_{m})φ_{2}(t_{m+1}, …, t_{m+n})

alakban írható. Megoldás: Ha a (ξ_{1}, …, ξ_{m}) és (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektorok függetlenek, akkor a (ξ_{1}, …, ξ_{m}, η_{1}, …, η_{n}) valószínűségi változó karakterisztikus függvénye

φ(t_{1}, …, t_{n+m}) = Ee^{i(t_{1}ξ_{1}+···+t_{m}ξ_{m}+t_{m+1}ξ_{m+1}+···+t_{m+n}ξ_{m+n})}
= Ee^{i(t_{1}ξ_{1}+···+t_{m}ξ_{m})}Ee^{i(t_{m+1}ξ_{m+1}+···+t_{m+n}ξ_{m+n})}
= φ_{1}(t_{1}, …, t_{m})φ_{2}(t_{m+1}, …, t_{m+n})

alakban írható. Megfordítva, ha a (ξ_{1}, …, ξ_{m}, η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektor karakterisztikus függvénye teljesíti a φ(t_{1}, …, t_{n+m}) = φ_{1}(t_{1}, …, t_{m})φ_{2}(t_{m+1}, …, t_{m+n}) azonosságot, akkor φ_{1}(t_{1}, …, t_{m}) = φ(t_{1}, …, t_{m}, 0, …, 0) a (ξ_{1}, …, ξ_{m}), és hasonlóan φ_{2}(t_{1}, …, t_{n}) az (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektornak a karakterisztikus függvénye. Tekintsünk két független m illetve n-dimenziós véletlen vektort, melyek eloszlása megegyezik a (ξ_{1}, …, ξ_{m}) illetve (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektorok eloszlásával, és ezenkívül függetlenek egymástól. Ezeknek a valószínűségi változóknak a karakterisztikus függvénye a φ_{1} illetve φ_{2}, együttes eloszlásuk pedig a φ(t_{1}, …, t_{n+m}) függvény. Mivel egy véletlen vektor karakterisztikus függvénye egyértelműen meghatározza e véletlen vektor eloszlását, innen következik, hogy a (ξ_{1}, …, ξ_{m}) és (η_{1}, …, η_{n}) véletlen vektorok függetlenek.

A nagy számok erős törvénye.

Tárgyaltuk a nagy számok gyenge törvényét, mely szerint ha tekintjük ξ_{1}, ξ_{2}, …, füg-

getlen, egyforma eloszlású valószínűségi változók S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}, j = 1, …, n, összegét

és \frac{S_{n}}{n} átlagát, akkor az \frac{S_{n}}{n} átlagok sztochasztikusan konvergálnak egy determinisztikus számhoz, mely szám a ξ_{1} valószínűségi változó Eξ_{1} várható értéke. Beláttuk, (a Csebisev egyenlőtlenség segítségével), hogy a nagy számok gyenge törvénye érvényes akkor, ha a ξ_{1} valószínűségi változónak létezik szórásnégyzete. Valójában ez a feltétel lényegesen gyengíthető. Ezenkívül, független valószínűségi változók átlagai nagyon általános feltételek mellett nemcsak sztochasztikusan, hanem egy valószínűséggel is konvergálnak a ξ_{1} valószínűségi változó Eξ_{1} várható értékéhez. Ezt az eredményt nevezik a nagy számok erős törvényének. Megfogalmazom az említett eredményeket és fogalmakat pontosan, és tárgyalni fogom ezen eredmények egymással való kapcsolatát. Sok fontos és tanulságos eredményt csk kimondok, de időhiány miatt a bizonyítását elhagyom.

Először felírom a (részben már korábban ismertetett) különböző konvergenciafogalmakat.

Az egy valószínűségű konvergencia definiciója: Valószínűségi változók ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata akkor konvergál egy valószínűséggel egy ξ valószínűségi változóhoz, ha (egyrészt ezek a valószínűségi változók ugyanazon az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn vannak definiálva, másrészt)

P (ω: lim_{n→∞} ξ_{n}(ω) = ξ(ω)) = 1.

Megjegyzés: Az egy valószínűségi konvergenciát a valószínűségszámításban és mértékelméletben majdnem mindenütt való konvergenciának is hívják.

A sztochasztikus konvergencia definiciója: Valószínűségi változók ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata akkor konvergál sztochasztikusan egy ξ valószínűségi változóhoz, ha (egyrészt ezek a valószínűségi változók ugyanazon az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn vannak definiálva, másrészt) minden ε > 0 számra

lim_{n→∞} P (|ξ_{n}(ω) − ξ(ω)| > ε) = 0.

Az eloszlásban való konvergencia definiciója: Valószínűségi változók ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata akkor konvergál eloszlásban egy F (u) eloszlásfüggvényhez vagy az ezen eloszlásfüggvény által meghatározott eloszláshoz, ha lim_{n→∞} P (ξ_{n} < u) = F (u) minden olyan u számra, ahol az F (·) eloszlásfüggvény függvény folytonos. (Azt mondjuk, hogy a ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozata eloszlásban konvergál egy ξ valószínűségi változóhoz, ha ez a sorozat eloszlásban konvergál az F (u) = P (ξ < u) eloszlásfüggvényhez.)

A továbbiakban tárgyalni fogjuk (részben kitűzött feladatok formájában) a különböző konvegenciafogalmak közötti kapcsolatot.

Igaz a következő kapcsolat: Egy valószínűségi konvergencia ⇒ Sztochasztikus konvergencia ⇒ Eloszlásban való konvergencia.

Tárgyaljuk először az egy valószínűségi és sztochasztikus konvergencia kapcsolatát. Ha ξ_{n}(ω) → ξ(ω) egy valószínűséggel, akkor definiálva az

A_{n} = A_{n}(ε) = {ω: sup_{k≥n} |ξ_{k}(ω) − ξ(ω)| < ε}

halmazokat kapjuk, hogy az egymásba skatulyázott A_{n} halmazokra, (azaz A_{1}(ω) ⊂

A_{2} ⊂ ⋯), P ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = 1. Ezért lim_{n→∞} P (A_{n}) = 1. Mivel {ω: |ξ_{n}(ω) − ξ(ω)| <

ε} ⊃ A_{n}, P (|ξ_{n}(ω) − ξ(ω)| < ε) → 1, azaz P (|ξ_{n}(ω) − ξ(ω)| ≥ ε) → 0, ha n → ∞. Ez azt jelenti, hogy az egy valószínűségű konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia.

Nem kötelező házifeladat:

Valószínűségi változók ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata, akkor és csak akkor konvergál egy valószínűséggel egy ξ valószínűségi változóhoz, ha az η_{n} = sup_{k≥n} |ξ_{k} −ξ| valószínűségi

változók sorozata sztochasztikusan konvergál nullához, azaz minden ε > 0 számra

P ( lim_{n→∞} sup_{k≥n} |ξ_{k} − ξ| > ε) = 0.

Lássunk példát arra, hogy lehetséges olyan ξ_{n}, n = 1, 2, …, és ξ valószínűségi változókat konstruálni, melyekre a ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozat sztochasztikusan tart ξ-hez, de a ξ_{n} sorozat nem konvergál egy valószínűséggel a ξ valószínűségi változóhoz.

Tekintsük a következő (Ω, A, P) valószínűségi mezőt: Ω a [0, 1] intervallum, A a Borel mérhető halmazok σ-algebrája a [0, 1] intervallumon, a P valószínűségi mérték a Lebesgue mérték. Legyen

ξ_{n}(x) = \{ \begin{matrix}1 ha x ∈ [(n − 2^{k})2^{−k}, (n + 1 − 2^{k})2^{−k}] \\ 0 ha x ∉ [(n − 2^{k})2^{−k}, (n + 1 − 2^{k})2^{−k}] \end{matrix}
akkor ha 2^{k} ≤ n < 2^{k+1}, k = 1, 2, …,

és ξ(x) = 0 minden 0 ≤ x ≤ 1 számra. Ekkor P (|ξ_{n} − ξ| > ε) = 2^{−k} minden ε > 0 számra, ha 2^{k} ≤ n < 2^{k+1}. Tehát a ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozat sztochasztikusan konvergál a ξ valószínűségi változóhoz. Viszont mivel lim sup_{n→∞} ξ_{n}(x) = 1 minden 0 ≤ x ≤ 1 számra,

ezért a ξ_{n} sorozat nem konvergál egy valószínűséggel a ξ valószínűségi változóhoz. Másrészt a Borel-Cantelli lemmából következik, hogy amennyiben minden ε > 0

számra ∑_{n=1}^{∞} P (|ξ_{n} − ξ| > ε) < ∞, akkor a ξ_{n} sorozat egy valószínűséggel konvergál a ξ

valószínűségi változóhoz. Miért?

A sztochasztikus konvergencia és eloszlában való konvergencia közötti kapcsolatra érvényesek a következő nem kötelező házi feladatok formájában megfogalmazott állítások.

Nem kötelező házifeladat:

a.) Ha ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sztochasztikusan konvergálnak egy ξ valószínűségi változóhoz, akkor a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlásban is konvergálnak ehhez a ξ valószínűségi változóhoz.

b.) Ennek az állításnak a megfordítása nem igaz. Például, ha ξ_{n}, n = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, melyek nem elfajultak, azaz nincs olyan konstans melyeket ezek a valószínűségi változók egy valószínűséggel vesznek fel, akkor a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a ξ_{1} valószínűségi változóhoz, viszont nem konvergálnak sztochasztikusan.

c.) Viszont igaz a következő állítás: Ha ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak egy a konstanshoz, (azaz egy olyan valószínűségi változóhoz, mely egy valószínűséggel az a konstanst veszi fel, akkor a ξ_{n}, n = 1, 2, …, sorozat sztochasztikusan is konvergál ehhez az a konstanshoz.

Most rátérünk annak tárgyalására, hogyan lehet a nagy számok gyenge törvényének a Csebisev egyenlőtlenségen alapuló bizonyítását finomítva a nagy számok erős törvényét is bebizonyítani alkalmas feltételek mellett. Az alább ismertetendő érvelésben valójában a tétel bizonyítása érdekében a szükségesnél sokkal erősebb kikötéseket teszünk. Idézzük fel a Csebisev egyenlőtlenséget, illetve a nagy számok gyenge törvényének a bizonyítását a Csebisev egyenlőtlenség segítségével.

Csebisev egyenlőtlenség: Ha a ξ valószínűségi változó második momentuma Eξ^{2} = m^{2}, akkor tetszőleges x > 0 számra

P (|ξ| > x) ≤ \frac{m_{2}}{x^{2}} .

Innen következik, ha ezt az egyenlőtlenséget a ξ̄ = ξ − Eξ valószínűségi változóra alkalmazzuk, hogy

P (|ξ − Eξ| > x) ≤ \frac{Var ξ}{x^{2}} ,

Megjegyzés: A Csebisev egyenlőtlenség a Markov egyenlőtlenség következménye, mely

szerint P (|ξ| > x) ≤ \frac{E|ξ|}{x}. Alkalmazva ezt az állítást a ξ^{2} valószínűségi változóra kapjuk a Csebisev egyenlőtlenséget. Hasonló módon, alkalmazva a Markov egyenlőtlenséget a ξ^{2k} valószínűségi változóra, ahol k tetszőleges pozitív egész szám, x > 0, kapjuk, hogy

P (|ξ| > x) ≤ \frac{Eξ^{2k}}{x^{2k}}

A nagy számok gyenge törvényét úgy bizonyítottuk be, hogy megvizsgáltuk milyen becslést ad a Csebisev egyenlőtlenség annak valószínűségére, hogy független, egyforma eloszlású valószínűségi változók átlaga legalább ε-nal eltér e változók várható értékétől. Idézzük fel ezt a számolást, illetve ezzel párhuzamosan vizsgáljuk meg azt is, milyen becslést kapunk, ha továbbre is azt a valószínűségi változót vizsgáljuk, melyet úgy kapunk, hogy független, egyforma eloszlású valószínűségi változók átlaga minusz azok várható értékét vesszük, de most ennek a valószínűségi változónak nemcsak a második momentumát számoljuk ki, mint tettük a Csebisev egyenlőtlenség alkalmazásában, hanem a negyediket is. Látni fogjuk, hogy ekkor érdekes új eredményeket kapunk.

Vezessük be a következő jelöléseket. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, S_{n} = ξ_{1} + ⋯ + ξ_{n}. Tegyük fel, hogy Eξ_{1} = 0, és vizsgáljuk az

E (\frac{S_{n}}{n} )^{2} , E (\frac{S_{n}}{n} )^{4} és P (\frac{|S_{n}|}{n} > ε) = P (|\frac{S_{n}}{n} − Eξ_{1}| > ε) , ε > 0

kifejezéseket. Az utolsó valószínűség vizsgálatában nem jelent megszorítást az Eξ_{1} = 0 feltétel, mert a ξ_{j} valószínűségi változókat a ξ_{j} − Eξ_{j} valószínűségi változókkal helyettesítve az általános esetet erre a speciális esetre redukálhatjuk.

Var \frac{S_{n}}{n} = \frac{1}{n^{2}} Var S_{n} = \frac{n}{n^{2}} Var ξ_{1} = \frac{1}{n}Var ξ_{1}, P (|\frac{S_{n}}{n} | > ε) ≤ \frac{Var ξ_{1}}{nε^{2}} .

Innen következik, hogy lim_{n→∞} P (|\frac{S_{n}}{n} | > ε) = 0, tehát érvényes a nagy számok gyenge

törvénye.

E (\frac{S_{n}}{n} )^{4} = \frac{1}{n^{4}} E(ξ_{1} + ⋯ + ξ_{n})^{4},

E(ξ_{1} + ⋯ + ξ_{n})^{4} = ∑_{k=1}^{n} Eξ_{k}^{4} + 6 ∑_{\begin{matrix}1≤j,k≤n \\ j≠k \end{matrix}} Eξ_{j}^{2}Eξ_{k}^{2} + 4 ∑_{\begin{matrix}1≤j,k≤n \\ j≠k \end{matrix}} \underbrace{Eξ_{j}^{3}Eξ_{k}}_{=0}

+ 4 ∑_{1≤j,k,l≤n j,k,l különböző számok} \underbrace{Eξ_{j}^{2}Eξ_{k}Eξ_{l}}_{=0}

+ ∑_{1≤j,k,l,m≤n j,k,l,m különböző számok} \underbrace{Eξ_{j}Eξ_{k}Eξ_{l}Eξ_{m}}_{=0}

= nEξ_{1}^{4} + 6n(n − 1)(Eξ_{1}^{2})^{2},

ezért

P (|\frac{S_{n}}{n} | > ε) ≤ \frac{\frac{1}{n}Eξ_{1}^{4} + 6 (1 − \frac{1}{n})(Eξ_{1})^{2})}{n^{2}ε^{4}} ≤ \frac{const.}{n^{2}ε^{4}} .

Innen következik, hogy ∑_{n=1}^{∞} P (|\frac{S_{n}}{n} | > ε) < ∞ minden ε > 0 számra, és a Borel–

Cantelli lemma (könnyebbik feléből) következik, hogy minden ε > 0 számra és majdnem minden ω ∈ Ω pontban teljesül, hogy |\frac{S_{n}(ω)}{n}| ≤ ε, ha n ≥ n_{0}(ω). Alkalmazva ezt a

relációt minden ε = \frac{1}{k} számra k = 1, 2, …, kapjuk a nagy számok erős törvényét, melyet az alábbi tételben fogalmazunk meg.

A nagy számok erős törvényéről szóló tétel gyenge formája: Legyen ξ_{1}, ξ_{2}, …, független egyforma eloszláaú valószínűségi változók sorozata egy (Ω, A, P) valószínűségi

mezőn, melyekre teljesül az Eξ_{1}^{4} < ∞ feltétel, és vezessük be az S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} valószínűségi

változókat. Ekkor az \frac{S_{n}(ω)}{n} valószínűségi változók majdnem minden ω ∈ Ω-ra konvergálnak ez Eξ_{1}, számhoz, azaz ezek a valószínűségi változók teljesítik a nagy számok gyenge törvényét.

Megfogalmazom a nagy számok gyenge törvényét kimondó tételt eredeti, éles formájában is.

A nagy számok erős törvényét kimondó tétel. Legyen ξ_{1}, ξ_{2}, …, független

egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, és definiáljuk az S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}, n =

1, 2, …, részletösszegeket. Az \frac{S_{n}(ω)}{n}, n = 1, 2, …, sorozat akkor és csak akkor konvergál pozitív valószínűséggel, ha E|ξ_{1}| < ∞. Ha E|ξ_{1}| < ∞, akkor ez a sorozat teljesíti a nagy számok erős törvényét, azaz

lim_{n→∞} \frac{S_{n}(ω)}{n} = Eξ_{1} majdnem minden ω ∈ Ω-ra.

Láttuk, hogy a nagy számok különböző törvényeit kimondó tételekben az összeadandók momentumairól teszünk fel bizonyos feltételeket. Sőt, az utoljára kimondott tétel a nagy számok erős törvényéről, egyben jelzi azt, hogy ez a feltétel nemcsak elégséges, hanem szükséges feltétel is. Felmerülhet a kérdés, miért játszik olyan fontos szerepet a momentumok létezése ezekben az eredményekben.

A nagy számok törvényei olyan állítást fogalmaznak meg, hogy független valószínűségi változók átlagai egyfajta tipikus viselkedést mutatnak, amelyikben az egyes összeadandók hatása önmagában nem jelentős, azaz nagy valószínűséggel nem fordulhat elő, hogy van az összegben olyan kiugróan nagy értéket felvevő tag, melynek hatása összemérhető az összes többi tag hatásával. Márpedig az, hogy egy valószínűségi változó valamely momentuma kisebb egy adott számnál olyan tulajdonságot fogalmaz meg, mely szerint a valószínűségi változó kis valószínűséggel vesz fel nagy értékeket. Ahhoz, hogy finomabb vizsgálatokat el tudjunk végezni, ki kell tudnunk fejezni a momentumok végességét az eloszlásfüggvények nyelvén. Ezért fogalmazom meg a következő állítást, melyet időhiány miatt csak (nem kötelező házi feladat) formájában tárgyalok.

Nem kötelező házi feladat.

A ξ valószínűségi változó abszolut értékének akkor és csak akkor létezik várható

értéke, ha ∑_{n=1}^{∞} P (|ξ| > n) < ∞, a |ξ| valószínűségi változónak akkor és csak akkor

van véges második momentuma, ha ∑_{n=1}^{∞} nP (|ξ| > n) < ∞. Általánosabban E|ξ|^{k} <

∞ valamilyen k = 1, 2, …, számra akkor és csak akkor, ha ∑_{n=1}^{∞} n^{k−1}P (|ξ| > n) < ∞.

Megmutatjuk az előbbi feladat eredményének és a Borel–Cantelli lemma segítségével, hogy amennyiben E|ξ_{1}| = ∞, akkor a ξ_{1} valószínűségi változóval azonos eloszlású ξ_{j}, j = 1, 2, …, független valószínűségi változók nem teljesítik a nagy számok erős

törvényét. Pontosabban azt állítjuk, hogy ebben az esetben az S_{n}(ω) = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}(ω),

n = 1, 2, …, összegekre az S_{n}(ω) majdnem minden ω ∈ Ω pontban nem konvergens. Valóban, az előbb megfogalmazott eredmény, és a ξ_{j} valószínűségi változók azonos

eloszlása miatt az E|ξ_{1}| = ∞ feltételből következik, hogy ∑_{n=1}^{∞} P (|ξ_{1}| > n) = ∑_{n=1}^{∞} P (|ξ_{n}| >

n) = ∞. Ezért, és a ξ_{n} valószínűségi változók függetlensége miatt a Borel–Cantelli lemmából következik, hogy majdnem minden ω ∈ Ω-ra |ξ_{n}(ω)| > n végtelen sok az (ω elemi eseménytől függő) n indexre. Valóban, tegyük fel, hogy valamely ω ∈ Ω

elemi eseményre lim_{n→∞} \frac{S_{n}(ω)}{n} = a valamilyen véges a számra, amelyik értéke függhet

az ω elemi eseménytől. Ekkor viszont a lim_{n→∞} \frac{S_{n−1}(ω)}{n} = a reláció is teljesül, ahonnan

lim_{n→∞} (\frac{S_{n}(ω)}{n} − \frac{S_{n−1}(ω)}{n}) = lim_{n→∞} \frac{ξ_{n}(ω)}{n} = 0. Ez a reláció viszont, mint láttuk egy 1

valószínűségi halmazon nem teljesül.

Láttuk, hogy mind a nagy számok gyenge mind a nagy számok erős törvényének bizonyításához arra van szükségünk, hogy képesek legyünk független (és egyforma elosz-

lású), nulla várható értékű ξ_{1}, ξ_{2}, …, valószínűségi változók S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}, n = 1, 2, …,

összegének eloszlásfüggvényére jó becslést tudjunk adni. Pontosabban arra van szükségünk, hogy jól meg tudjuk becsülni minden n indexre és rögzített ε > 0 számra a P (|S_{n}| > εn) valószínűségeket. Valójában a nagy számok erős törvényének a bi-

zonyításában hasznosabb, ha a P ( sup_{1≤m≤n} |S_{m}| > εn) valószínűségeket tudjuk jól meg-

becsülni. Első látásra azt gondolhatnánk, hogy az ilyen valószínűségek becslésére alkalmazhatnánk a centrális határeloszlástételt. Valójában a helyzet bonyolultabb.

A centrális határeloszlástétel jó aszimptotikát ad a P (S_{n} > x\sqrt{n}) valószínűségekre nagy n indexre, és rögzített x számra. De szabad-e rögzített x helyett n-től függő x_{n} = ε\sqrt{n} számot írni, és alkalmazni formálisan a centrális határeloszlásban szereplő képletet nem törődve az x_{n} számnak az n indextől való függésével? Az, hogy e kérdés felvetésénél nem formális kötőzködésről van szó mutatja a következő egyszerű példa: Legyenek ξ_{1}, ξ_{2} …, független egyforma eloszlású valószínűségi változók, melyekre P (ξ_{1} = 1) =

P (ξ_{1} = −1) = \frac{1}{2}, S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}. Ekkor a p_{n}(x) = P (S_{n} ≥ nx) valószínűségre p_{n}(x) = 0,

ha x > 1, és p_{n}(x) = 2^{−n}, ha x = 1. (Az x < 1 esetben is jó aszimptotikus formulát lehet adni a p_{n}(x) mennyiségre, de ahhoz külön vizsgálódás lenne szükséges, ezért ezt most nem tesszük.) Ez a példa azt mutatja, hogy a p_{n}(x) függvény nem úgy viselkedik, ahogy a centrális határeloszlástételből adódó formális analógia sugallná. A P (S_{n} ≥ nx) alakú valószínűségek vizsgálatával a valószínűségszámítás egyik fontos és érdekes fejezete a nagy eltérések elmélete foglalkozik. Ez az elmélet nem témája a jelen előadássorozatnak.

A nagy számok erős törvényének a bizonyítását nem dolgozom ki. Mindössze azt teszem, hogy megfogalmazom a valószínűségszámítás egy fontos egyenlőtlenségét, melynek az itt nem tárgyalt bizonyítása is tanulságos, és a részletek kidolgozása nélkül jelzem, hogyan következik a Kolmogorov egyenlőtlenségből a nagy számok erős törvénye.

Kolmogorov egyenlőtlenség. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, (nem feltétlenül egy-

forma eloszlású) valószínűségi változók, Eξ_{k} = 0, Eξ_{k}^{2} = σ_{k}^{2}, S_{k} = ∑_{p=1}^{k} ξ_{p}, k = 1, …, n.

Ekkor

P ( sup_{1≤k≤n} |S_{k}| ≥ x) ≤ \frac{ES_{n}^{2}}{x^{2}} = \frac{∑_{k=1}^{n} σ_{k}^{2}}{x^{2}}

minden x > 0-ra.

Érdemes megjegyezni, hogy a Kolmogorov egyenlőtlenség ugyanazt a felső becslést adja annak valószínűségére, hogy az S_{k} részletösszegek szuprémuma nagyobb mint valamilyen x > 0 szám, mint amit a Csebisev egyenlőtlenség ad annak az eseménynek a valószínűségére, hogy az utolsó tag S_{n} nagyobb, mint x. Természetesen

P ( sup_{1≤k≤n} |S_{k}| > x|) ≥ P (S_{n}| > x|) ,

de mint ahogy a Kolmogorov és Csebisev egyenlőtlenség összehasonlítása is sugallja a fenti egyenlőtlenség baloldala nem sokkal nagyobb mint a jobboldala.

A nagy számok erős törvényének bizonyításvázlata a Kolmogorov egyenlőtlenség segítségével. Természetes gondolat szétválasztani a ξ_{n} valószínűségi változók túl nagy és nem túl nagy értékeinek a hatását a bizonyításban. Ez sugallja, hogy érdemes a ξ_{n} valószínűségi változók következő felbontását venni: ξ_{n} = ξ_{n}I(|ξ_{n}| ≤ n)+ξ_{n}I(|ξ_{n}| > n) = ξ′_{n} +ξ′′_{n}, ahol I(A) egy A halmaz indikátorfüggvényét jelöli. Azt, hogy a ξ_{n} valószínűségi változó értékeit az n szinten csonkítottuk az teszi természetessé, hogy az utolsó kitűzött

feladat szerint az E|ξ_{1}| < ∞ feltétel ekvivalens a ∑_{n=1}^{∞} P (ξ′′_{n} = 0) = ∑_{n=1}^{∞} P (|ξ_{n}| >

n) = ∑_{n=1}^{∞} P (|ξ_{1}| > n) < ∞ feltétellel, ami azt jelenti, hogy egy valószínűséggel, a ξ′′_{n} valószínűségi változók véges sok kivétellel nullával egyenlőek. Ez azt jelenti, hogy elég a véges szórással rendelkező ξ′_{n} valószínűségi változók összegeinek maximumára jó becslést adni. Ez lehetséges a Kolmogorov egyenlőtlenség segítségével, ha jó becslést tudunk adni a ξ′_{n} valószínűségi változók várható értékére és szórásnégyzetére.

Némi nem túl nehéz, de itt nem tárgyalt számolás segítségével meg lehet mu-

tatni, hogy lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} Eξ′_{k} = − lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} Eξ′′_{k} = 0, és ez lehetővé teszi a feladat

redukálását arra a problémára, hogy a ξ̄_{k} = ξ′_{k} − Eξ′_{k} valószínűségi változók S̄_{n} =

∑_{k=1}^{n} ξ̄_{k} összegei teljesítik a \frac{S̄_{n}}{n} → 0 relációt 1 valószínűséggel. Ez a redukció azért

hasznos, mert ekkor független, nulla várható értékű valószínűségi változók átlagát kell vizsgálni, és ekkor alkalmazhatjuk a Kolmogorov egyenlőtlenséget. Némi (az integrálok átrendezésén múló, de itt nem tárgyalt) számolás segítségével megmutatható, hogy tel-

jesül a ∑_{k=1}^{∞} \frac{Var ξ̄_{k}}{k^{2}} < ∞ azonosság. Ennek felhasználásával a Kolmogorov egyenlőtlenség

segítségével a következő becsléseket hajthatjuk végre.

P ( sup_{2^{n−1}<k≤2^{n}} |S_{k} − S_{2^{n−1}}| > ε2^{n−1}) = P ( sup_{1≤k≤2^{n−1}} |∑_{j=1}^{k} ξ_{j+2^{n−1}} | > ε2^{n−1})

≤ \frac{∑_{k=2^{n−1}+1}^{2^{n}} Var ξ_{k}}{ε^{2}2^{2(n−1)}} ≤ const. ∑_{k=2^{n−1}+1}^{2^{n}} \frac{Var ξ_{k}}{ε^{2}k^{2}} ,

ahonnan a ξ̄_{k} valószínűségi változók szórásnégyzetére felírt becslés alapján

∑_{n=1}^{∞} P ( sup_{2^{n−1}<k≤2^{n}} |S_{k} − S_{2^{n−1}}| > ε2^{n−1}) < ∞.

Ezért a Borel–Cantelli lemma alapján egy valószínűséggel

sup_{2^{n−1}<k≤2^{n}} |S_{k}(ω) − S_{2^{n−1}}(ω)| ≤ ε2^{n−1} véges sok (ω-tól függő) n index kivételével.

Innen viszont S_{N}(ω) ≤ ∑_{n: 2^{n−1}≤N} sup_{2^{n−1}<k≤2^{n}} |S_{k}(ω) − S_{2^{n−1}}(ω)| ≤ const. + 4Nε majd-

nem minden ω-ra egy csak ω-tól függő konstanssal. Mivel ez az állítás minden ε > 0-ra és N-re igaz, innen következik a nagy számok erős törvénye.

Annak szükséges és elégséges feltétele is ismert, hogy független egyforma eloszlású valószínűségi változók teljesítsék a nagy számok gyenge törvényét. Megfogalmazom ezt az eredményt, de az állítás bizonyítását elhagyom.

Tétel. Legyen ξ_{k}, k = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata F eloszlásfüggvénnyel. Ezek a valószínűségi változók akkor és csak akkor tel-

jesítik a nagy számok gyenge törvényét, azaz a \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} átlag akkor és csak akkor kon-

vergál sztochasztikusan n → ∞ esetében egy a számhoz, −∞ < a < ∞, ha

lim_{x→∞} x [F (−x) + (1 − F (x))] = 0, és lim_{u→∞} ∫_{−u}^{u} xF ( dx) = a.

Ha összehasonlítjuk a nagy számok gyenge és erős törvényét azt látjuk, hogy a nagy számok gyenge törvénye némileg enyhébb megkötések mellett érvényes mint a nagy számok erős törvénye. Érdemes látni független, egyforma eloszlású valószínűségi változók olyan sorozatát, amelyik teljesíti a nagy számok gyenge, de nem teljesíti a nagy számok erős törvényét. Ilyen példát fogalmazok meg a következő nem kötelező házi feladatban. Egyben jelzem, hogyan lehet bebizonyítani azt, hogy ez a példa teljesíti a nagy számok gyenge törvényét anélkül, hogy felhasználnánk a nem bizonyított tételt a nagy számok gyenge törvényének szükséges és elégséges feltételéről.

Nem kötelező házi feladat

Legyen ξ_{k}, k = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók soro-

zata, az f(x) = \frac{C}{x^{2} log |x|}, ha |x| > 2. f(x) = 0, ha |x| ≤ 2, képlettel megadott

sűrűségfüggvénnyel. (∫_{|x|>2} \frac{C dx}{x^{2} log |x|} = 1.) Definiáljuk az S_{n} = ∑_{k=1}^{m} ξ_{k}, n =

1, 2, …, részletösszegeket. Lássuk be, hogy E|ξ_{1}| = ∞, ezért ezek a valószínűségi

változók nem teljesítik a nagy számok erős törvényét. Másrészt az \frac{S_{n}}{n} átlagok szto-

chasztikusan tartanak nullához, azaz minden ε > 0 számra P (|\frac{S_{n}}{n} | > ε) → 0, ha n → ∞.

Segítség: Legyen ξ̄_{k} = ξ̄_{k}^{(n)} = ξ_{k}I (|ξ_{k}| ≤ a_{n}), ¯ ξ̄_{k} = ¯ ξ̄_{k}^{(n)} = ξ_{k}I (|ξ_{k}| > a_{n}), és S̄_{n} =

∑_{k=1}^{n} ξ̄_{k}, ¯ S̄_{n} = ∑_{k=1}^{n} ¯ ξ̄_{k}. Ekkor P (|S_{n}| > εn) ≤ P (|S̄_{n}| > \frac{ε}{2}n) + P (|¯S̄_{n}| > \frac{ε}{2}n) ≤

\frac{Var S̄_{n}}{\frac{ε^{2}}{4} n^{2}} + nP ( ¯ξ̄_{1} ≠ 0). Adjunk az a_{n} konstans alkalmas megválasztásával (például

a_{n} = n) jó becslést a P (|S_{n}| > nε) valószínűségre.

Természetesen felvetődik a következő kérdés: Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független egy-

forma eloszlású valószínűségi változók, melyekre Eξ_{1} = 0. Legyen S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}, n =

1, 2, . . .. Ekkor a nagy számok gyenge törvénye szerint a \frac{S_{n}}{n} átlagok sztochasztikusan tartanak nullához, a nagy számok erős törvénye szerint pedig egy valószínűséggel is nullához tartanak. Hogyan lehet élesíteni a nagy számok gyenge illetve erős törvényét?

Pontosabban fogalmazva, milyen a_{n}, n = 1, 2, … sorozatokra mondhatjuk, hogy \frac{S_{n}}{a_{n}}

sztochasztikusan tart nullához, ha n → ∞? Milyen b_{n}, n = 1, 2, … sorozatokra mond-

hatjuk, hogy \frac{S_{n}}{b_{n}} egy valószínűséggel tart nullához, ha n → ∞? Az egyszerűség kedvéért

tegyük fel, hogy olyan valószínűségi változókat tekintünk, melyeknek van második momentumuk.

Az első kérdésre a válasz viszonylag egyszerű következménye a centrális határeloszlástételnek, és ezt tartalmazza a következő feladat. A második kérdésre a választ nehezebb megadni. Erre a kérdésre az alább megfogalmazott bizonyítás nélkül közölt iterált logaritmustétel adja meg a választ.

Feladat:

Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független egyforma eloszlású valószínűségi változók, melyekre

Eξ_{1} = 0 és Eξ_{1}^{2} < ∞. Legyen S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}, n = 1, 2, . . .. Ekkor pozitív valós

számok valamely a_{n} sorozatára a \frac{S_{n}}{a_{n}} valószínűségi változók akkor és csak akkor

tartanak sztochasztikusan nullához n → ∞ esetén, ha lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{\sqrt{n}} = ∞.

Végül megfogalmazom a valószínűségszámítás egyik híres eredményét, az úgynevezett iterált logaritmus tételt

Iterált logaritmus tétel. Legyenek ξ_{1}(ω), ξ_{2}(ω), …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók valamilyen (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, melyekre Eξ_{1}(ω) = 0, Var ξ_{1}(ω) = σ^{2} < ∞. Ekkor

lim sup_{n→∞} \frac{ξ_{1}(ω) + ⋯ + ξ_{n}(ω)}{\sqrt{2nσ^{2} log log n}} = 1, majdnem minden ω ∈ Ω elemi eseményre,

és

lim inf_{n→∞} \frac{ξ_{1}(ω) + ⋯ + ξ_{n}(ω)}{\sqrt{2nσ^{2} log log n}} = −1, majdnem minden ω ∈ Ω elemi eseményre.