\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat tizenkettedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2001 \'aprilis 24.}
 
\beginsection A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
 
L\'assunk el\H{o}bb n\'eh\'any probl\'em\'at, melyek megmutatj\'ak
milyen k\'erd\'eseket k\'{\i}v\'anunk vizsg\'alni.
\medskip
\item{a.)} Tekints\"unk egy dob\'okock\'at. Feldobjuk sokszor,
fel\'{\i}rjuk a dob\'asok eredm\'eny\'et, \'es ennek alapj\'an akarjuk
eld\"onteni, hogy a dob\'okocka szab\'alyos-e. Term\'eszetes azt
v\'arni, hogy a dob\'okocka akkor szab\'alyos, ha mindegyik
dob\'aseredm\'eny a dob\'assz\'amok egyhatoda plusz egy kis
elt\'er\'es. De mely elt\'er\'eseket tekinthet\"unk kicsinek? Ha csak
azt n\'ezz\"uk, mennyi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy p\'eld\'aul a hatos dob\'asok sz\'am\'anak elt\'er\'ese a
dob\'asok sz\'am\'anak egyhatod\'at\'ol kisebb mint egy adott
sz\'am, akkor a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel pontos
le\'{\i}r\'ast ad erre a probl\'em\'ara. De ha a k\"ul\"onb\"oz\H{o}
do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek egy\"uttes viselked\'es\'ere vagyunk
kiv\'ancsiak, akkor \'uj eredm\'enyre van sz\"uks\'eg\"unk.
\item{b.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Ekkor a
$\summ_{j=1}^n\xi_j$ \"osszeg normaliz\'altj\'anak az eloszl\'as\'ara
j\'o le\'{\i}r\'ast ad a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.
Hasonl\'o \'all\'{\i}t\'ast mondhatunk a $\summ_{j=1}^n\xi_j^2$
\"osszeg nor\-ma\-liz\'alt\-j\'a\-nak az eloszl\'as\'ara. De
tudunk-e hasonl\'o eredm\'enyt adni a $\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek normaliz\'altj\'anak az egy\"uttes
eloszl\'as\'ara? Erre a k\'erd\'esre a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel  ad pozit\'{\i}v v\'alaszt.
\medskip
Legyenek $\xi^{(j)}=\(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_k\)$, $j=1,2,\dots$,
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, (v\'eletlen vektorok), ahol
r\"ogz\'{\i}tett $j$ indexre semmilyen (f\"uggetlens\'eg
jelleg\H{u}) felt\'etelt nem tesz\"unk fel az $\xi^{(j)}_1$,\dots,
$\xi^{(j)}_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"ott.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy $E{\xi_s^{(j)}}^2<\infty$ minden
$1\le s\le k$ indexre. Tekints\"uk az
$S_n=(S_{n,1},\dots,S_{n,k})=\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}=
\(\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_1,\dots,\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_k\)$,
$n=1,2,\dots$, v\'eletlen \"osszegeket. C\'elunk annak
bizony\'{\i}t\'asa, hogy az $S_n$ v\'eletlen vektorok alkalmas
normaliz\'altj\'anak l\'etezik hat\'areloszl\'asa, \'es a
hat\'areloszl\'ast pontosan le akarjuk \'{\i}rni. Be fogjuk l\'atni,
hogy ez lehets\'eges. A hat\'areloszl\'ast\'etelben megjelen\H{o}
hat\'areloszl\'asokat fogjuk t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'asnak nevezni.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy az eredm\'enyt megfogalmazzuk
el\H{o}sz\"or tiszt\'azni kell, hogy mi az egy-dimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel normaliz\'al\'as\'aban
szerepl\H{o}  v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}je. Jegyezz\"uk meg, hogy most
\'es a to\-v\'ab\-bi\-ak\-ban is a t\"obb-dimenzi\'os vektorokat
mint sorvektorokat tekintj\"uk. Mind a sor mind az oszlopvektor
jel\"ol\'es lehets\'eges, \'es az irodalomban nem egys\'eges a
jel\"ol\'es. A fontos az, hogy k\"ovetkezetes jel\"ol\'est
alkalmazzunk. \medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek \'es kovariancia m\'at\-ri\-x\'a\-nak
a definici\'oja.} {\it Legyen $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ $k$-dimenzi\'os
v\'eletlen vektor, melynek minden koordin\'at\'aja teljes\'{\i}ti
az $EZ_j^2<\infty$, $1\le j\le k$, felt\'etelt. E v\'eletlen vektor
v\'arhat\'o \'ert\'eke az $EZ=(EZ_1,\dots,EZ_k)$ $k$-dimenzi\'os
vektor, kovariancia m\'atrixa pedig az a $D=(d_{j,l})$, $1\le j,l\le
k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, mely m\'atrix $j$-ik
sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban l\'ev\H{o} elem a
$d_{j,l}=\Cov(Z_j,Z_l)=EZ_jZ_l-EZ_j EZ_l$ sz\'am.}
\medskip
Fogalmazzuk meg a vektor\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek \'es kovariancia
m\'atrix\'anak n\'eh\'any fontos tulajdons\'ag\'at. Az al\'abbi
t\'etel form\'aj\'aban megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa a gyakorlaton t\'argyaland\'o feladat lesz.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $Z^{(j)}=\(Z^{(j)}_1,\dots,Z^{(j)}_k\)$,
$1\le j\le n$, v\'eletlen $k$-dimenzi\'os vektorok ugyanazon az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor a
$Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik a
$Z^{(j)}$ vektorok v\'arhat\'o \'ert\'ekeinek az \"osszeg\'evel,
azaz
$$
E\(Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}\)=EZ^{(1)}+\cdots+EZ^{(n)}.
$$
Ha a $Z^{(j)}$, $1\le j\le n$, v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek,
akkor a kovariancia m\'atrix is addit\'{\i}v, azaz, ha a $Z^{(j)}$
m\'atrix kovariancia m\'atrixa a $D_j$ m\'atrix, $1\le j\le n$, akkor
a $Z_{(1)}+\cdots+Z^{(n)}$ v\'eletlen \"osszeg kovariancia m\'atrixa
a $D_1+\cdots+D_n$ m\'atrix. Ha egy $Z=\(Z_1,\dots,Z_k\)$, v\'eletlen
vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke $M=(M_1,\dots,M_k)$, kovariancia
m\'atrixa a $D$ $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $a$
tetsz\H{o}leges val\'os sz\'am, akkor az $aZ=\(aZ_1,\dots,aZ_k\)$,
v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke  $aM$, kovariancia
m\'atrixa pedig az $a^2D$ kovariancia m\'atrix.
Legyen tov\'abb\'a $x=(x_1,\dots,x_k)$ tetsz\H{o}leges $k$-dimenzi\'os
vektor. Ekkor $E(Z+x)=EZ+x$, a $Z+x$ vektor kovariancia m\'atrixa pedig
megegyezik a $Z$ vektor kovariancia m\'atrix\'aval.}
\medskip
{\it Feladat:} \ Bizony\'{\i}tsuk be a fent megfogalmazott t\'etelt.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny c\'elja annak jellemz\'ese, hogy
milyen m\'atrixok jelenhetnek meg, mint alkalmas v\'eletlen vektor
kovariancia m\'atrixa. Ennek az eredm\'enynek az ismertet\'es\'eben
\'es bizony\'{\i}t\'as\'aban fel kell haszn\'alnunk a line\'aris
algebra n\'eh\'any alapvet\H{o} fogalm\'at \'es eredm\'eny\'et.
Igyekszem az \'all\'{\i}t\'asokat \'ugy le\'{\i}rni, hogy
\"onmagukban \'erthet\H{o}ek legyenek, Viszont egy
kieg\'esz\'{\i}t\'esben le\'{\i}rom a felhaszn\'alt eredm\'enyek
is\-mer\-te\-t\'e\-s\'et \'es bizony\'{\i}t\'as\'at.
 
El\H{o}sz\"or id\'ezz\"uk fel a k\"ovetkez\H{o} line\'aris algebrai
fogalmat. \medskip\noindent
{\bf Szimmetrikus \'es pozit\'{\i}v (szemi)definit m\'atrixok
definici\'oja.} {\it Legyen $D=(d_{j,l})$ egy $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix. Azt mondjuk, hogy a $D$ m\'atrix szimmetrikus, ha minden
$1\le j,l\le k$ indexre $d_{j,l}=d_{l,j}$. Pontosabban azt
k\"ovetelj\"uk meg, (ha nemcsak val\'os, hanem \'altal\'anos komplex
\'ert\'ek\H{u} elemekkel rendelkez\H{o} m\'atrixokat is
tekint\"unk, ami ebben az el\H{o}ad\'asban nem fog el\H{o}fordulni),
hogy $d_{j,l}=\bar d_{l,j}$, ahol $\bar z$ a $z$ komplex sz\'am
konjug\'altja, azaz, ha $z=a+ib$, akkor $\bar z=a-ib$. Egy
$k\times k$ m\'eret\H{u} szimmetrikus $D=(d_{j,l})$
m\'atrix posit\'{\i}v (szemi)definit, ha minden $x=(x_1,\dots,x_k)$
$k$-dimenzi\'os vektorra $xDx^*=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_j
d_{j,l} x_l\ge0$. (Ebben a formul\'aban $x^*$ jel\"oli az $x$ vektor
transzpon\'altj\'at, azaz azt az oszlopvektort, melynek
f\"ol\"ulr\H{o}l sz\'am\'{\i}va $l$-ik eleme megegyezik az $x$ vektor
balr\'ol sz\'am\'{\i}tott $l$-ik elem\'evel. Ekkor $xDx^*$ a
szok\'asos vektorszorz\'ast jel\"oli.} \medskip
Az eredm\'enyek \'es fogalmak jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
\'erdemes megadni a fent le\'{\i}rt koordin\'atarendszerben le\'{\i}rt
definici\'ok koordin\'atarendszert\H{o}l f\"uggetlen ,,absztrakt"
definici\'oj\'at is \'es meg\'erteni a k\'et definici\'o
kapcsolat\'at. Ennek le\'{\i}r\'as\'at (a bizony\'{\i}t\'asok
t\"obbs\'eg\'enek elhagy\'as\'aval) megadom a kieg\'esz\'{\i}t\'esben.
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyben megfogalmazom azt a
fontos eredm\'enyt, mely megadja a kovariancia m\'atrixok
jellemz\'es\'et. A bizony\'{\i}t\'as felhaszn\'al bizonyos nem
trivi\'alis line\'aris algebrai eredm\'enyeket is.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a kovariancia m\'atrixok  jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ egy $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor.
Ekkor a $Z$ vektor kovariancia m\'atrixa szimmetrikus \'es
pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix. Megford\'{\i}tva, tetsz\H{o}leges
$D$ szimmetrikus, pozit\'{\i}v szemidefinit m\'at\-rix\-hoz l\'etezik
olyan $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ v\'eletlen vektor, melynek ez a
$D$ m\'atrix a kovariancia m\'atrixa. S\H{o}t igaz a k\"ovetkez\H{o}
tartalmasabb \'all\'{\i}t\'as is: Legyen $Y=(Y_1,\dots,Y_k)$ olyan
v\'eletlen vektor, melynek a kovariancia m\'atrixa az identit\'as
m\'atrix, azaz $\Var Y_j=1$, $1\le j\le k$, $\Cov(Y_j,Y_l)=0$, ha
$1\le j,l\le k$, \'es $j\neq l$. (Ez a helyzet p\'eld\'aul akkor, ha
az $Y_j$, $1\le j\le k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es $\Var Y_j=1$.) Ekkor l\'etezik olyan $A=(a_{j,l})$
$k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, melyre igaz, hogy a
$Z=(Z_1,\dots,Z_k)=(Y_1,\dots,Y_k)A=\(\summ_{p=1}^k a_{1,p}Y_p,\dots,
\summ_{p=1}^k a_{k,p}Y_p\)$ v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa
a $D$ m\'atrix.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ez az \'all\'{\i}t\'as annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o egyszer\H{u}
ered\-m\'eny\-nek t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}je, mely szerint
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete nem
negat\'{\i}v sz\'am. A nem negat\'{\i}v sz\'amoknak a pozit\'{\i}v
szemidefinit m\'atrixok felelnek meg magasabb dimenzi\'oban. A
bizony\'{\i}t\'as egy al\'abb megfogalmazand\'o nem trivi\'alis
\'all\'{\i}t\'ason alapul. Ez annak az \'all\'{\i}t\'asnak a
t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}je, hogy pozit\'{\i}v sz\'amb\'ol,
lehet n\'egyzetgy\"ok\"ot vonni. Jegyezz\"uk meg, hogy
val\'os sz\'amok k\"oz\"ott is csak akkor egy\'ertelm\H{u} a
gy\"okvon\'as, ha csak a pozit\'{\i}v gy\"ok\"ot tekintj\"uk.
Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak \'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o}
t\"obb-di\-men\-zi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asa, melynek
bizony\'{\i}t\'as\'at a Kieg\'esz\'{\i}t\'esben fogom v\'azlatosan
le\'{\i}rni. \medskip\noindent
{\bf T\'etel a line\'aris algebr\'ab\'ol.} {\it Legyen $D$ pozit\'{\i}v
szemidefinit m\'atrix. Ekkor l\'etezik olyan $A$ m\'atrix, melyre
\'erv\'enyes a $D=A^*A$ azonoss\'ag, ahol $A^*$ az $A$ m\'atrix
transz\-po\-n\'alt\-j\'at jel\"oli. S\H{o}t, azt is feltehetj\"uk,
hogy az $A$ m\'atrix \"onadjung\'alt \'es szemidefinit. Eme
megszor\'{\i}t\'as eset\'en az $D=A^*A=AA$ egyenlet megold\'asa
egy\'ertelm\H{u}. (Egy $A=(a_{j,l})$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix transzpon\'altja az $A^*=(a_{l,j})$, illetve az
\'altal\'anos komplex sz\'amokat is tartalmaz\'o m\'atrixok
eset\'eben az $A^*=(\bar a_{l,j})$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix, ahol $\bar z$ a $z$ komplex  sz\'am konjug\'altja.)}
\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa a line\'aris algebr\'ar\'ol
kimondott t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} Tekints\"unk el\H{o}sz\"or
egy $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ egy $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektort \'es
annak $D=\(d_{j,l}\)$, $d_{j,l}=\Cov (Z_j,Z_l)$, $1\le j,l\le k$,
kovariancia m\'atrix\'at. Ekkor $D$ szimmetrikus m\'atrix, mert
$d_{j,l}=d_{l,j}$, azaz $\Cov(Z_j,Z_l)=\Cov(Z_l,Z_j)$. M\'asr\'eszt
tetsz\H{o}leges $x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra
$\Var\(\summ_{j=1}^k x_jZ_j\)\ge0$. Ezenk\'{\i}v\"ul
$$ \allowdisplaybreaks
\align
\Var\(\summ_{j=1}^k x_jZ_j\)&=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k
E\(x_jx_l(Z_jZ_l-EZ_jEZ_l)\)=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k
x_jx_l\Cov(Z_j,Z_l)\\
&=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_jx_ld_{j,l}=xDx^*.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy $xDx^*\ge0$ tetsz\H{o}leges
$x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra, azaz $D$ szimmetrikus
pozit\'{\i}v szemi\-defi\-nit m\'atrix.
 
Megford\'{\i}tva, legyen $D$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix,
\'es $Y=(Y_1,\dots,Y_k)$ olyan v\'eletlen vektor, melynek a
kovariancia m\'atrixa az identit\'as m\'atrix, azaz $\Var Y_j=1$,
$1\le j\le k$, $\Cov(Y_j,Y_l)=0$, ha $1\le j,l\le k$, \'es $j\neq l$.
A kimondott line\'aris algebrai eredm\'eny szerint l\'etezik olyan
$A=\(a_{j,l}\)$, $1\le j,l\le k$ $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix,
melyre $D=A^*A$. Azt \'all\'{\i}tom, hogy a $Z=(Z_1,\dots,Z_k)=YA$,
azaz a $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$, $Z_j=\summ_{p=1}^k a_{p,j}Y_p$, $1\le j\le
k$, v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa a $D$ m\'atrix. Innen
k\"ovetkezik a fel\-adat m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa is. Viszont $\Cov
(Z_j,Z_l)=\Cov\(\summ_{p=1}^k a_{p,j}Y_p, \summ_{q=1}^k a_{q,l}
Y_q\)$, ez\'ert $\Cov (Z_j,Z_l)=\summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^k
a_{p,j}a_{q,l}\Cov(Y_p,Y_q)$, ahonnan mivel $\Cov(Y_p,Y_q)=0$, ha
$p\neq q$, \'es $\Cov(Y_p,Y_p)=1$, $\Cov(Z_j,Z_l)
=\summ_{p=1}^ka_{p,j}a_{p,l}=d_{j,l}$, ahol $d_{j,l}$ a $D=A^*A$
m\'atrix $j$-ik sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban szerepl\H{o}
konstans. \medskip
Ezut\'an be tudjuk vezetni a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyek fogalm\'at, \'es meg tudjuk fogalmazni a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok definici\'oja.}
{\it Defini\'aljuk el\H{o}sz\"or a t\"obb-di\-men\-zi\'os standard
norm\'alis eloszl\'ast. Azt mondjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as, ha a $\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek, \'es mindegyik $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $1\le j\le k$, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u. Ekvivalens megfogalmaz\'asban azt
mondhatjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as, ha
e v\'eletlen vektornak l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
\'es az az $f(u_1,\dots,u_k)=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\dfrac12\summ_{j=1}^k u_j^2\right\}$ f\"uggv\'eny.
 
Egy $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$ dimenzi\'os v\'eletlen vektor $k$
dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, ha e v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik valamely
$(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A$
$k$-dimenzi\'os vektor eloszl\'as\'aval, ahol $A$ egy $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix, tov\'abb\'a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.
 
Egy $(\zeta_1,\dots,\zeta_k)$ v\'eletlen vektor  $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor, ha eloszl\'asa megegyezik egy
$(\eta_1,\dots,\eta_k)+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval, ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ egy $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, melynek a v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla, \'es $(m_1,\dots,m_k)$ $k$-dimenzi\'os
determinisztikus vektor.} \medskip
K\'es\H{o}bb meg fogjuk adni a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as m\'as ekvivalens jel\-lem\-z\'e\-s\'et. El\H{o}sz\"or
azonban megfogalmazunk egy a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
eloszl\'ast\'etel kimond\'as\'ahoz sz\"uks\'eges k\'es\H{o}bb
bizony\'{\i}tand\'o eredm\'enyt. \medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Tekints\"unk egy $k$-dimenzi\'os
$(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
ahol $A$ egy $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $m=(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os (v\'eletlent\H{o}l nem f\"ugg\H{o}) vektor
\'es $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Akkor $(\eta_1,\dots,\eta_k)$
$m=(m_1,\dots,m_k)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $D=A^*A$
kovariancia m\'atrix\'u v\'eletlen vektor. Tov\'abb\'a egy
$k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak $m$ v\'arhat\'o
\'ert\'eke \'es $D$ kovariancia m\'atrixa.} \medskip
 
Jegyezz\"uk meg, hogy r\"ogz\'{\i}tett $D$ (szimmetrikus \'es
pozit\'{\i}v szemidefinit) m\'atrixra az $A^*A=D$ egyenletnek nem
egy\-\'er\-tel\-m\H{u} a megold\'asa. Tekints\"unk k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} $A$ \'es $B$ m\'atrixot, melyre $A^*A=B^*B$.
A fenti t\'etel szerint, ha tekint\"unk egy $k$-dimenzi\'os standard
norm\'alis eloszl\'as\'u $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ vektort, illetve a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt $(\xi_1,\dots,\xi_k)A$
\'es $(\xi_1,\dots,\xi_k)B$ v\'eletlen vektorokat, akkor b\'ar ez
az ut\'obbi k\'et v\'eletlen vektor k\"ul\"onb\"oz\H{o},
eloszl\'asuk megegyezik. Ugyanis mind a k\'et (norm\'alis
eloszl\'as\'u) vektor nulla v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$A^*A=B^*B$ kovariancia m\'atrix\'u. Ez a tulajdons\'ag er\H{o}sen
kihaszn\'alja azt, hogy norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol van sz\'o. Ennek
tov\'abbi fontos k\"ovetkezm\'enyei vannak, melyeket k\'es\H{o}bb
t\'argyalni fogunk.
 
A t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'agair\'ol
sz\'ol\'o valamint a kovariancia m\'atrixok jellemz\'es\'er\H{o}l
sz\'ol\'o t\'etelekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy b\'armely
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eset\'en l\'etezik olyan $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o,
melynek kovariancia m\'atrixa \'es v\'arhat\'o \'ert\'eke
megegyezik ennek a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak a kovariancia
m\'atrix\'aval \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel. Tov\'abb\'a
ennek a $k$-dimenzi\'os norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak az eloszl\'as\'at
meg\-ha\-t\'a\-rozza a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o kovariancia m\'atrixa \'es v\'arhat\'o \'ert\'eke. Erre
az \'esz\-re\-v\'e\-tel\-re sz\"uk\-s\'e\-g\"unk van ahhoz, hogy
l\'assuk: Az al\'abb megfogalmazott t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'as \'ertelmes \'all\'{\i}t\'as. \medskip\noindent
{\bf A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}
{\it Legyenek $\xi^{(j)}=\(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_k\)$,
$j=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre teljes\"ul az
$E{\xi^{(1)}_l}^2<\infty$, $1\le l\le k$ felt\'etel. Legyen a
$\xi^{(1)}=\(\xi^{(1)}_1,\dots,\xi^{(1)}_k\)$ vektor v\'arhat\'o
\'ert\'eke $E\xi^{(1)}=\(E\xi^{(1)}_1,\dots,E\xi^{(1)}_k\)$,
kovariancia m\'atrixa pedig egy $D$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix. Defini\'aljuk az $S^{(n)}=\(S^{(n)}_1,\dots,S^{(n)}_k\)=
\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}=\(\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_1,\dots,
\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_k\)$ \"osszegeket, $n=1,2,\dots$. Ekkor
minden $(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra \'erv\'enyes a
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\frac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_1-ES^{(n)}_1\) < x_1,
\dots,\frac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_k-ES^{(n)}_k\) < x_k\)
=\Phi_D(x_1,\dots,x_k)
$$
azonoss\'ag, ahol $\Phi_{D}(x_1,\dots,x_k)$  a $k$-dimenzi\'os nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $D$ kovariancia m\'at\-rix\'u norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'ert\'eke az $(x_1,\dots,x_k)$ pontban.}
\medskip
Megjegyezz\"uk, hogy az egydimenzi\'os esethez hasonl\'oan, a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek is
l\'etezik \'altal\'anos\'{\i}t\'asa f\"uggetlen nem felt\'etlen\"ul
egyforma el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektorok normaliz\'alt
\"osszegeinek hat\'areloszl\'as\'ara nagyon \'altal\'anos
felt\'etelek mellett. Ezzel a k\'erd\'essel azonban itt nem
foglalkozunk.
 
A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o a  klasszikus egy-dimenzi\'os esethez.
Az ott bevezetett fogalmaknak \'es eredm\'enyeknek megadhat\'oak
a t\"obb-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asaik, \'es a
megfelel\H{o} eredm\'enyek hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'oak.
Ez\'ert csak a fogalmakat \'es az eredm\'enyeket fogom ismertetni.
K\"ul\"on  \'erdemes hang\-s\'u\-lyoz\-ni, hogy a vizsg\'alatok sor\'an
bevezetj\"uk a t\"obb-dimenzi\'os karakterisztikus f\"uggv\'eny
fogalm\'at, \'es a t\"obb-dimenzi\'os karakterisztikus f\"uggv\'enyek
vizsg\'alata nagy seg\'{\i}ts\'eget jelent a t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'asok viselked\'es\'enek meg\'ert\'es\'eben is.
 
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
val\'o konvergenci\'aj\'anak a de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.} {\it
Legyen $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=1,2,\dots$, $k$-dimenzi\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata. Azt mondjuk, hogy az
$F_n(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak egy $k$-dimenzi\'os $F(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha
$\limm_{n\to\infty}F_n(x_1,\dots,x_k)=F(x_1,\dots,x_k)$
az $F(\cdot)$ (hat\'ar)\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
minden $(x_1,\dots,x_k)$ folytonoss\'agi pontj\'aban.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel az eloszl\'asban val\'o konvergencia
jellemz\'es\'er\H{o}l folytonos f\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}
{\it $F_n(u_1,\dots,u_k)$, $n=1,2,\dots$ $k$-dimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al
eloszl\'asban egy $F(u_1,\dots,u_k)$ $k$-dimenzi\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ha minden a $k$-dimenzi\'os
t\'eren \'ertelmezett folytonos, korl\'atos $g(u_1,\dots,u_k)$
f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u_1,\dots,u_k)\,F_n(\,du_1,\dots,\,du_k)
=\int g(u_1,\dots,u_k)\,F(\,du_1,\dots,\,du_k)
$$
azonoss\'ag.}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Mivel minden t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as eloszl\'asf\"uggv\'enye folytonos, (b\'ar nem
felt\'etlen\"ul van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye) ez\'ert a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
azt mondja ki, hogy az ott tekintett normaliz\'alt \"osszegek
eloszl\'asban konverg\'alnak egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
\'es megfelel\H{o} kovariancia m\'atrix\'u norm\'alis
el\-osz\-l\'as\-hoz. Jegyezz\"uk meg, hogy a tekintett normaliz\'alt
\"osszegek v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es ko\-va\-riancia\-m\'at\-rixa
megegyezik egy a hat\'areloszl\'assal rendelkez\H{o} v\'eletlen
vektor v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel \'es kovariancia m\'atrix\'aval.
 
\medskip Az egydimenzi\'os esethez hasonl\'oan  a fenti t\'etel \'es
Weierstrass m\'asodik app\-roxi\-m\'a\-ci\'os t\'etele (pontosabban
annak t\"obb-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asa)
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
konvergenci\'aj\'at j\'ol lehet vizsg\'alni a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek al\'abb bevezetett t\"obb-dimenzi\'os
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a de\-fi\-ni\-ci\'oja.}
{\it Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, \'es jel\"olje
$F(u_1,\dots,u_k)=P(\xi_1<u_1,\dots,\xi_k<u_k)$,
$-\infty<u_j<\infty$, $1\le j\le k$, a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A
 $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a karakterisztikus
f\"uggv\'enye a
$$
\align
\varphi(t_1,\dots,t_k)&=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k)}
=\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty
e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}F(\,du_1,\dots,du_k),\\
&\qquad -\infty<t_j<\infty, \quad 1\le j\le k,
\endalign
$$
f\"uggv\'eny. Adva egy $F(u_1,\dots,u_k)$ $k$-dimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'eny az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et is defini\'alni fogjuk mint egy $F$ eloszl\'as\'u
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. (Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'enyt a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki
lehet sz\'amolni, ez\'ert jogunk van egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l besz\'elni.)}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $F(x_1,\dots,x_k)$ \'es $G(x_1,\dots,x_k)$
k\'et eloszl\'asf\"uggv\'ey, melyek ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'enyei megegyeznek. Ekkor $F(x_1,\dots,x_k)=G(x_1,\dots,x_k)$
minden $k$-di\-men\-zi\'os $(x_1,\dots,x_k)$ vektorra.}
\medskip
 Megfogalmazzuk az eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'es azok
karakterisztikus f\"uggv\'enyei konvergenci\'aja k\"oz\"otti
kapcsolatot le\'{\i}r\'o Alapt\'etelnek nevezett \'all\'{\i}t\'as
t\"obb-dimenzi\'os v\'al\-to\-za\-t\'at.
\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata.} {\it Legyen $F_n(u_1,\dots,u_k)$,
$-\infty<u_j<\infty$, $1\le j\le k$, $k$-dimenzi\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)=\int e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}
F_n(\,du_1,\dots,\,du_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel,
$n=1,2,\dots$. Ha a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)=
\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty<t_j<\infty$, $1\le j\le k$, sz\'amra,
\'es a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ limeszf\"uggv\'eny folytonos
az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan $F_0(u_1,\dots,u_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny a $k$-dimenzi\'os t\'erben, melynek a
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ f\"uggv\'eny a karakterisztikus
f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en
az $F_n(u_1,\dots,u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
eloszl\'asban konverg\'alnak ehhez az $F_0(u_1,\dots,u_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u_1,\dots,u_k)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan so\-ro\-za\-ta, mely egy
$F_0(u_1,\dots, u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez
kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban, $\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$,
$n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u_1,\dots,u_k)$,
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ pedig az $F_0(u_1,\dots,u_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)
=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ minden
$-\infty<t_j<\infty$, $1\le j\le k$, sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a
konvergencia egyenletes minden v\'eges
intervallumban.} \medskip
Megfogalmazzuk a fenti eredm\'enyek n\'eh\'any fontos
k\"ovetkezm\'eny\'et. El\H{o}sz\"or jellemezz\"uk a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok karakterisztikus
f\"uggv\'enyeit. \medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis elosz\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-r\H{o}l.}\/ {\it Legyen
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$
egy $k$-dimenzi\'os nor\-m\'a\-lis el\-osz\-l\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ahol $m=(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os (determinisztikus) vektor, $A=(a_{j,l})$,
$1\le j,l\le k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, tov\'abb\'a
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ekkor az $(\eta_1,\dots,\eta_k)$
v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_k\eta_k)}
=e^{i(t,m)-tA^*At^*/2}=\exp\left\{i\sum_{j=1}^k
t_jm_j-\dfrac12\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k d_{j,l}t_jt_l\right\}
$$
f\"uggv\'eny, ahol $(x,y)$ jel\"oli az $x=(x_1,\dots,x_k)$ \'es
$y=(y_1,\dots,y_k)$ vek\-to\-rok $(x,y)=\summ_{j=1}^kx_jy_j$
ska\-l\'ar\-szor\-za\-t\'at, $t=(t_1,\dots,t_k)$, $d_{j,l}$
az $A^*A$ kovariancia m\'atrix\'anak $j$-ik so\-r\'a\-ban, \'es $l$-ik
oszlop\'aban szerepl\H{o} konstans. A $D=A^*A$ m\'atrix megegyezik
az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrix\'aval.} \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t, A\xi+m)}=e^{i(t,m)}Ee^{i(tA^*,\xi)}=
e^{i(t,m)}e^{-tA^*At^*/2}=e^{i(t,m)-tA^*At^*/2},
$$
mert, ha $tA^*=\bar t=(\bar t_1,\dots,\bar t_k)$, akkor
$Ee^{i(tA^*,\xi)}=Ee^{i(\bar t_1\xi_1+\cdots+\bar t_k\xi_k)}=
\prodd_{j=1}^k Ee^{i\bar t_j\xi_j}=
\prodd_{j=1}^k e^{-\bar t_j^2/2}=e^{-(\bar t,\bar
t)/2}=e^{-tA^*At^*/2}$.
 
Az $\eta$ v\'eletlen vektor $D=(d_{j,l})$ kovariancia
m\'atrix\'aban a $j$-ik sor $l$-ik eleme
$d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)=\Cov\(\summ_{p=1}^k
a_{p,j}\xi_p,\summ_{q=1}^k a_{q,l}\xi_q\)=\summ_{p=1}^k
a_{p,j}a_{p,l}E\xi_p^2 =\summ_{p=1}^k a_{p,j}a_{p,l}$, \'es
ez az $A^*A$ m\'atrix $j$-ik sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban
\'all\'o elem. Ez\'ert az $\eta$ v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrixa a $D=A^*A$ m\'atrix. Az ny\'{\i}lv\'anval\'o, hogy
az $\eta$ v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke~$m$. \medskip
Az el\H{o}z\H{o} t\'etelnek van n\'eh\'any fontos k\"ovetkezm\'enye.
\medskip\noindent
{\bf 1. k\"ovetkezm\'eny.} {\it Egy $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'ast meghat\'aroz v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es
kovariancia m\'atrixa.} \medskip\noindent
{\bf 2. k\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen $(\xi,\eta)$ k\'et-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ha a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok, azaz
$\Cov(\xi,\eta)=0$, akkor $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. \'Altal\'anosabban, legyen
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre igaz, hogy valamilyen
$j$, indexre, $1\le j< k$, az els\H{o} $j$ \'es utols\'o $k-j$
koordin\'at\'ak korrel\'alatlanok, azaz $\Cov(\xi_p,\xi_q)=0$, ha
$1\le p\le j<q\le k$. Ekkor a $(\xi_1,\dots,\xi_j)$ \'es
$\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektorok f\"uggetlen $j$ \'es
$k-j$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok.} \medskip\noindent
{\bf 3. k\"ovetkezm\'eny.} {\it Egy $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
$k$-dimenzi\'os val\'oszin\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor \'es csak
akkor norm\'alis eloszl\'as\'u, ha karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
Ee^{i(t,\xi)}=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k)}
=e^{i(t,m)-tDt^*/2}=\exp\left\{i\sum_{j=1}^k
t_jm_j-\dfrac12\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k d_{j,l}t_jt_l\right\}
$$
alak\'u f\"uggv\'eny, ahol $m=(m_1,\dots,m_k)$ $k$-dimenzi\'os
(val\'os koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o) vektor, $D=(d_{j,l})$, $1\le
j,l\le k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'atrix, $(x,y)$ jel\"oli az $x=(x_1,\dots,x_k)$ \'es
$y=(y_1,\dots,y_k)$ $(x,y)=\summ_{j=1}^kx_jy_j$ skal\'arszorzat\'at,
$t=(t_1,\dots,t_k)$, tetsz\H{o}leges $k$-dimenzi\'os vektor.
A norm\'alis eloszl\'as\'u $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fenti jellemz\'es\'eben az
$m$ vektor a $\xi$ t\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke, $D$ pedig a
kovariancia m\'atrixa.} \medskip
Az els\H{o} k\"ovetkezm\'eny k\"ovetkezik abb\'ol, hogy egyr\'eszt
egy norm\'alis  eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et fel lehet \'{\i}rni
annak v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es kovariancia m\'atrixa
ismeret\'eben, m\'asr\'eszt egy eloszl\'ast meghat\'aroz annak
karakterisztikus f\"uggv\'enye.
 
A m\'asodik k\"ovetkezm\'eny indokl\'asa hasonl\'o. Tekints\"uk az
abban megfogalmazott \'altal\'anosabb \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
jel\"ol\'eseket. Jel\"olje $m=(E\xi_1,\dots,E\xi_k)$ a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$  v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et,
$D=(d_{p,q})$, $d_{p,q}=\Cov(\xi_p,\xi_q)$,
$1\le p,q\le k$, ennek a vektornak a kovariancia m\'atrix\'at.
Legyen $m_1=(E\xi_1,\dots,E\xi_j)$ a $(\xi_1,\dots,\xi_j)$ vektor
v\'arhat\'o \'ert\'eke, $D_1=(d_{p,q})$, $d_{p,q}=
\Cov(\xi_p,\xi_q)$, $1\le p,q\le j$, ennek a vektornak a
kovariancia m\'atrixa, v\'eg\"ul legyen
$m_2=(E\xi_{j+1},\dots,E\xi_k)$ a $(\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$
vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke, $D_2=(d_{p,q})$, $d_{p,q}=
\Cov(\xi_p,\xi_q)$, $j+1\le p,q\le k$, ennek a vektornak a
a kovariancia m\'atrixa. Ezenk\'{\i}v\"ul tekints\"unk egy
tetsz\H{o}leges $\bold t=(t_1,\dots,t_k)$ $k$-dimenzi\'os vektort,
\'es legyen $\bold t_1=(t_1,\dots,t_j)$, $\bold
t_2=(t_{j+1},\dots,t_k)$.
 
Ekkor a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\varphi(t_1,\dots,t_k)=e^{i(\bold t, m)-\bold t D
\bold t^*/2}$ f\"uggv\'eny. Az exponensben szerepl\H{o} kifejez\'es
fel\'{\i}rhat\'o mint $i(\bold t,m)-\dfrac{\bold t D\bold t^*}2=
i(\bold t_1,m_1)-\dfrac{\bold t_1 D_1\bold t_1^*}2+
i(\bold t_2,m_2)-\dfrac{\bold t_2 D_2 \bold t_2^*}2$, mert
$\Cov(\xi_p,\xi_q)=0$, ha $1\le p\le j<q\le k$ vagy $1\le q\le j<p\le
k$. Ez\'ert $\varphi(t_1,\dots,t_k)=\varphi_1(t_1,\dots,t_j)
\varphi_2(t_{j+1},\dots,t_k)$, ahol
$\varphi_1(t_1,\dots,t_j)=e^{i(\bold t_1, m_1)-\bold t_1
D_1 \bold t_1^*/2}$, a $(\xi_1,\dots,\xi_j)$,
$\varphi_2(t_{j+1},\dots,t_k)=e^{i(\bold t_2, m_2)-\bold t_2
D_2 \bold t_1^*/2}$ pedig a $(\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'enye. Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'eny
meghat\'arozza az eloszl\'asf\"uggv\'enyt ez azt jelenti, hogy a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asf\"uggv\'enye
megegyezik k\'et olyan f\"uggetlen $j$ illetve $k-j$-v\'altoz\'os
v\'eletlen vektor egy\"uttes eloszl\'as\'aval, melyek
k\"oz\"ul az els\H{o} v\'eletlen vektor ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enye $\varphi_1(t_1,\dots,t_j)$ a m\'asodik\'e pedig
$\varphi_2(t_{j+1},\dots,t_k)$. Mivel $(\xi_1,\dots,\xi_j)$
v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye
$\varphi_1(t_1,\dots,t_j)$, a $(\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$ v\'eletlen
vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye pedig
$\varphi_2(t_{j+1},\dots,t_k)$, innen k\"ovetkezik a m\'asodik
k\"o\-vet\-kez\-m\'eny \'all\'{\i}t\'asa.
 
A harmadik k\"ovetkezm\'eny azonnal k\"ovetkezik a t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek jellemz\'es\'et le\'{\i}r\'o
t\'etelb\'ol, abb\'ol a kimondott line\'aris algebrai
t\'etelb\H{o}l, mely szerint minden pozit\'{\i}v szemidefinit $D$
m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o $D=A^*A$ alakban, illetve abb\'ol a
t\'enyb\H{o}l, hogy egy $A^*A$ alak\'u m\'atrix mindig pozit\'{\i}v
szemidefinit. Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as ellen\H{o}rz\'es\'ehez
vegy\"uk \'eszre, hogy tetsz\H{o}leges $x=(x_1,\dots,x_k)$ vektorra
$xA^*Ax^*=xA^*(xA^*)^*=(xA^*,xA^*)\ge0$ \'es ezt az
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get kellett megmutatni.
 
Az els\H{o} k\"ovetkezm\'enyb\H{o}l, illetve norm\'alis \
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o kovarianca
m\'atrix\'anak kor\'abban kisz\'amolt alakj\'ab\'ol
k\"ovetkezik a kor\'abban megfogalmazott t\'etel a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'agair\'ol.
Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assuk  fontos volt feltenni a
m\'asodik k\"ovetkezm\'enyben, hogy norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat vizsg\'alunk oldjuk meg
a k\"ovetkez\H{o} feladatot. \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassunk p\'eld\'at k\'et korrel\'alatlan $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, melyek nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sok egyszer\H{u} p\'eld\'at adhatunk.
Tekints\"uk p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at: Legyen $\xi$
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban, Ekkor a $\xi$ \'es $\eta=\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok, de nem
f\"uggetlenek. Val\'oban, $E\xi=0$, $E\eta=E\xi^2=\dfrac1{12}$,
$E\xi\eta=E\xi^3=0$, $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta=0$.
M\'asr\'eszt $\xi$ \'es $\eta$ nem f\"uggetlenek, s\H{o}t az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o determinisztikus f\"uggv\'enye.
Egy lehets\'eges form\'alis indokl\'asa annak, hogy $\xi$ \'es $\eta$
nem f\"uggetlen a k\"ovetkez\H{o}: Legyen $0<a<1$ tetsz\H{o}leges
sz\'am. Ekkor $\{\oo\:\eta<a^2\}=\{\oo\:|\xi|<a\}$. Ez\'ert
$P(\xi<a,\eta<a^2)=P(\xi<a)$, azaz $P(\xi<a,\eta<a^2)\neq
P(\xi<a)P(\eta<a^2)$.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} A $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
vektor akkor \'es csak akkor norm\'alis eloszl\'as\'u, ha a
$\summ_{p=1}^k a_p\xi_p$ egydimenzi\'os
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o norm\'alis
eloszl\'as\'u tetsz\H{o}leges $a_1,\dots,a_k$ val\'os sz\'amokkal.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ha $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ norm\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o,
$\varphi(t_1,\dots,t_k)=Ee^{it_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k}=
e^{i(t,m)-tDt^*/2}$ karakterisztikus f\"uggv\'ennyel, akkor a
$\summ_{p=1}^k a_p\xi_p$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\psi(t)=\varphi(a_1t,\dots,a_kt)=Ee^{i(a_1t\xi_1+\cdots+a_kt\xi_k)}
=e^{it(a,m)-aDa^*t^2/2}
$$
f\"uggv\'eny, ahol $a=(a_1,\dots,a_k)$, $-\infty<t<\infty$,
tetsz\H{o}leges val\'os sz\'am. Innen k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{p=1}^k a_p\xi_p$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $aDa^*$
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel \'es $(a,m)$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel.
\item{} Megford\'{\i}tva, ha tetsz\H{o}leges $a_1,\dots, a_k$
sz\'amokra a $\summ_{p=1}^k a_p\xi_p$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o norm\'alis
eloszl\'as\'u, akkor $E\xi_j^2<\infty$ minden $1\le j\le k$
sz\'amra, \'es l\'etezik a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektornak
valamilyen $m=(m_1,\dots,m_k)$ v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
$D=(d_{j,l})$, $1\le j,l\le k$, $d_{j,l}=\Cov(\xi_j,\xi_l)$
kovariancia m\'atrixa. Ekkor a $\summ_{p=1}^k a_p\xi_p$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'eke $\summ_{j=1}^k a_jm_j=(a,m)$,
sz\'or\'asn\'egyzete $aDa^*$,
$a=(a_1,\dots,a_k)$, kovarianciaf\"uggv\'enye pedig
$\psi_{a_1,\dots,a_k}(s)=e^{is(a,m)-aDa^*s^2/2}$. Innen
k\"ovetkezik, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
karakterisztikus f\"uggv\'enye a $\varphi(t_1,\dots,t_k)
=\psi_{t_1,\dots,t_k}(1)=e^{i(t,m)-tDt^*/2}$.
Ez\'ert $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ norm\'alis
el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os,
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$m=(m_1,\dots,m_k)$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $D$ kovariancia
m\'atrix-szal, \'es legyen $B$ valamely $k\times k$  m\'eret\H{u}
m\'atrix. Mutassuk meg, hogy az $\eta B=(\eta_1,\dots,\eta_k)B$
v\'eletlen vektor $k$-dimenzi\'os, norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $mB$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es $B^*DB$ kovariancia m\'atrix-szal.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy lehets\'eges bizony\'{\i}t\'as: Az
$\eta$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik egy $\xi A+m
=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval, ahol $\xi_j$, $1\le j\le k$, f\"uggetlen, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
\'es $A$ olyan $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, melyre $D=A^*A$.
Ez\'ert $\eta B$ eloszl\'asa megegyezik a $\xi AB+mB$ v\'eletlen
vektor eloszl\'as\'aval. Ez viszont egy $k$ dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melynek
v\'arhat\'o \'ert\'eke $mB$, kovariancia m\'atrixa pedig
$(AB)^*AB=B^*A^*AB=B^*DB$.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $B$ pedig egy
$k\times p$ m\'eret\H{u}, (azaz nem felt\'etlen\"ul n\'egyzetes)
m\'atrix. Ekkor az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_p)=\xi B$ v\'eletlen
vektor $p$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ \'Irjuk fel az $\eta$ v\'eletlen vektor
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, ha a $\xi$ vektor karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\varphi(t)=\varphi(t_1,\dots,
t_k)=e^{i(m,t)-tDt^*/2}$ alkalmas $m$ $k$-dimenzi\'os vektorral \'es
$D$ $k\times k$ m\'eret\H{u} pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atix. Ekkor
tetsz\H{o}leges $t=(t_1,\dots,t_p)$ vektorra
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i((t,\xi B)}=Ee^{i(tB^*,\xi)}
=e^{i(tB^*,m)-tB^*DBt^*/2}=e^{i(t,\bar m)-t\bar D t^*/2},
$$
$\bar m=mB$ \'es $\bar D=B^*DB$ v\'alaszt\'assal. Innen k\"ovetkezik a
feladat \'all\'{\i}t\'asa, mert ez azt jelenti, hogy $\eta$
karakterisztikus f\"uggv\'enye egy norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye.
(Hogyan lehet l\'atni, hogy $\bar D=B^*DB$ is pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'atrix?)
\medskip
Egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o koordin\'at\'ai norm\'alis
eloszl\'as\'uak. A k\"ovetkez\H{o} feladatban p\'eld\'at
mutatunk arra, hogy ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
megford\'{\i}t\'asa nem igaz.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $(\Omega,\Cal B, \bold P)$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi mez\H ot: $\Omega=[0,1]$, \
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra $[0,1]$-en, \'es $\bold P$ a
Lebesgue m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $\xi$
\'es $\eta$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat ezen
a mez\H on: $\xi(x)=\Phi^{-1}(x)$,
$$
\eta(x)=\cases
\xi(1-x)& \text{ha }0\le x<\frac12\\
\xi\(x-\frac12\)& \text{ha }\frac12\le x\le1
\endcases.
$$
L\'assuk be, hogy $\xi$ \'es $\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, de a $(\xi,\eta)$ vektor
nem norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektor.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'as\'uak.
Tov\'abb\'a,
$$
P(\xi>x)=\lambda(\Phi(x),1])=1-\Phi(x)\;.
$$
Az, hogy  $(\xi,\eta)$ vektor nem norm\'alis eloszl\'as\'u
k\"ovetkezik p\'eld\'aul a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$ azonoss\'agb\'ol.
Mi\'ert? \medskip
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.
Mutassuk meg, hogy a $\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek nor\-ma\-li\-z\'alt\-jai\-nak
azaz az  $\sqrt{\dfrac{12}n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\sqrt{\dfrac{180}n}\summ_{j=1}^n\(\xi_j^2-\dfrac 1{12}\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak az egy\"ut\-tes
el\-osz\-l\'asa a k\'et-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'ashoz konverg\'al, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  $E\xi=0$, $E\xi^2=\dfrac1{12}$,
$\Var\xi=\dfrac1{12}$, $\Var\xi^2=E\xi^4-(E\xi^2)^2
=\dfrac1{80}-\dfrac1{144}=\dfrac1{180}$. Tov\'abb\'a $\Cov
(\xi,\xi^2)=E\xi^3-E\xi E\xi^2=0$. Ez\'ert a
$\(\sqrt{12}\xi_j,\sqrt{180}\(\xi_j^2-\dfrac1{12}\)\)$, $j=1,2,\dots$,
v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es az identit\'as kovariancia m\'atrix-szal. Innen, \'es a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $(\xi,\eta)$ norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
$m=(m_1,m_2)=(E\xi,E\eta)$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$$
\(\matrix
\sigma_{1,1},&\sigma_{1,2}\\
\sigma_{2,1},&\sigma_{1,1}
\endmatrix\) =
\(\matrix
E\xi^2-(E\xi)^2,&E\xi\eta-E\xi E\eta\\
E\xi\eta-E\xi E\eta,&E\eta^2-(E\eta)^2
\endmatrix\)
$$
kovarianciam\'atrix-szal. Ekkor l\'etezik a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak $\xi=a\eta+\zeta$ alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa alkalmas $a$ konstanssal, \'es az
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen
$\zeta$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval. Ez azt jelenti, hogy ha $(\xi,\eta)$
k\'et-di\-men\-zi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor az els\H{o} koordin\'ata
kifejezhet\H{o} mint a m\'asodik kooordin\'ata konstansszoros\'anak
\'es egy a m\'asodik koordin\'at\'at\'ol f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege. A
k\'{\i}v\'ant $a$ konstanst explicit m\'odon megadhatjuk az
$a=\dfrac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{2,2}}$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} Hogy \'altal\'anos\'\i{}that\'o a fenti \'all\'\i{}t\'as abban
az esetben, ha $\xi$ \'es $\eta$ vektorv\'altoz\'ok is lehetnek?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\zeta=\xi-\dfrac{\sigma_{1,2}}
{\sigma_{1,1}}\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen
az $\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot\'ol. Ehhez a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'agai
alapj\'an el\'eg ellen\H{o}rizni, hogy $\Cov(\zeta,\eta)=0$. Innen
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{} Az az eset, amikor $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_s)$,
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_p)$, \'es
$(\xi_1,\dots,\xi_s,\eta_1,\dots,\eta_p)$ egy $s+p$ dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
hasonl\'oan t\'argyalhat\'o. L\'assuk be, hogy
l\'etezik olyan $\A$ m\'atrix, melyre $\eta$ \'es $\xi-\eta\A$
f\"uggetlenek. Ennek \'erdek\'eben l\'assuk be el\H osz\"or, hogy
l\'etezik olyan $\U$ unit\'er m\'atrix melyre $\eta\U=(\bar
\eta_1,\dots,\bar\eta_p)=\bar\eta$ vektor koordin\'at\'ai
f\"uggetlenek. Ugyanis, ha az $\eta$ v\'eletlen vektor $D$
kovarianciam\'atrix\'at $D=\bold U^*\Lambda \bold U$ alakban
\'{\i}rjuk, ahol $\bold U$ unit\'er $\Lambda$ pedig diagon\'alis
m\'atrix, akkor az $\bar\eta=\eta\bold U$ v\'eletlen norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor kovarianciam\'atrixa $\Lambda$, ahonnan
k\"ovetkezik, hogy az $\bar\eta$ m\'atrix koordin\'at\'ai
f\"uggetlenek. Legyen $\bar \xi_r=\xi_r-\sum\limits_{k=1}^p
\dfrac{E\xi_r\bar \eta_k}{E\bar\eta_k^2}\bar\eta_k$, $r=1,\dots,s$.
Ezt m\'a\-trix\-je\l\"o\-l\'es\-sel \'\i{}rjuk $\bar\xi=\xi-\bar
\eta\BB$ form\'aban. Ekkor $(\xi-\bar\eta B,\bar\eta)$ olyan $p+s$
dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, melynek els\H{o} $s$ \'es utols\'o $p$ koordin\'at\'aja
korrel\'alatlan, ez\'ert f\"uggetlen. Mivel a $\xi-\bar\eta\BB$ \'es
$\bar\eta$ vektorok f\"uggetlenek, ez\'ert
$\zeta=\xi-\bar\eta\BB=\xi-\eta \bold U\BB$ f\"uggetlen az
$\eta=\bar\eta \bold U^*$ vektort\'ol.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
illetve statisztika finomabb k\'erd\'eseinek vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ban
bevezett\'ek a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es
felt\'eteles eloszl\'as fogalm\'at olyan esetekben is, amikor a
felt\'etel nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ovetkezik be.
Bizonyos vizsg\'alatokban fontos kisz\'amolni, hogy mi a felt\'eteles
eloszl\'asa egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis vektor bizonyos
koordin\'at\'ainak azon felt\'etel mellett, hogy a t\"obbi
koordin\'ata \'ert\'ek\'et r\"ogz\'{\i}tj\"uk. E feladat
megold\'as\'anak kulcsl\'ep\'ese a fent t\'argyalt feladat
megold\'asa.  \medskip
 
A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt be lehet
bizony\'{\i}tani az egydimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
 centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelhez hasonl\'oan az
Alapt\'etelnek nevezett \'all\'{\i}t\'as t\"obb-dimenzi\'os
v\'altozat\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Val\'oj\'aban van
egyszer\H{u}bb megold\'as is. Meg lehet mutatni, --- szint\'en az
Alapt\'etel t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
--- hogy a t\"obb-dimenzi\'os hat\'areloszl\'ast\'etelek
k\"ovetkeznek azok egy-dimenzi\'os v\'altozat\'ab\'ol. Az
al\'abbiakban elmagyar\'azzuk ennek az ok\'at.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $(S_{1,n},\dots,S_{k,n})$, $n=1,2\dots$,
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektorok so\-ro\-za\-ta.
Ezek a t\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
akkor \'es csak akkor konverg\'alnak el\-osz\-l\'as\-ban egy
$(S_1,\dots,S_k)$ $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektorhoz $n\to\infty$
eset\'en, ha a $\summ_{p=1}^k a_pS_{p,n}$, $n=1,2,\dots$, line\'aris
kombin\'aci\'ok b\'armely $a_1,\dots,a_k$ egy\"utthat\'okkal
konverg\'alnak el\-osz\-l\'as\-ban a $\summ_{p=1}^k a_p S_p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz $n\to\infty$ eset\'en.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Legyen $\varphi_n(t_1,\dots,t_k)
=Ee^{i(t_1S_{1,n}+\cdots+t_kS_{k,n})}$, $n=1,2\dots$, \'es
$\varphi(t_1,\dots,t_k)=Ee^{i(t_1S_{1}+\cdots+t_kS_{k})}$
az $(S_{1,n},\dots,S_{k,n})$ illetve az
$(S_1,\dots,S_k)$ v\'eletlen vektor ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enye. Hasonl\'oan defini\'aljuk a
$\summ_{p=1}^k a_pS_{p,n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\psi_{a_1,\dots,a_k,n}(s)=Ee^{is(a_1S_{1,n}+\cdots+a_kS_{k,n})}$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, \'es legyen ezenk\'{\i}v\"ul
$\psi_{a_1,\dots,a_k}(s)=Ee^{is(a_1S_{1}+\cdots+a_kS_{k})}$.
Az $(S_{1,n},\dots,S_{k,n})$,
$n=1,2\dots$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektorok so\-ro\-za\-ta
akkor \'es csak akkor konverg\'al el\-osz\-l\'as\-ban az
$(S_1,\dots,S_k)$ $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektorhoz $n\to\infty$
eset\'en, ha $\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)
=\varphi(t_1,\dots,t_k)$ a $k$-dimenzi\'os t\'er minden
$(t_1,\dots,t_k)$ pontj\'ara. Hasonl\'oan, a $\summ_{p=1}^k a_pS_{p,n}$
line\'aris kombin\'aci\'ok akkor \'es csak akkor konverg\'alnak
eloszl\'asban a $\summ_{p=1}^k a_p S_p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okhoz $n\to\infty$ eset\'en, ha
$\limm_{n\to\infty}\psi_{a_1,\dots,a_k,n}(s)=
\psi_{a_1,\dots,a_k}(s)$ a $k$-dimenzi\'os t\'er minden
$(a_1,\dots,a_k)$ pontj\'ara \'es $s$ val\'os sz\'amra. Mivel
$\psi_{a_1,\dots,a_k,n}(s)=\varphi_n(sa_1,\dots,sa_k)$ \'es
$\psi_{a_1,\dots,a_k}(s)=\varphi(sa_1,\dots,sa_k)$ innen
k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
Az el\H{o}z\H{o} t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon bizony\'{\i}thatjuk be a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt.
 
A t\'etel kimond\'as\'aban haszn\'alt jel\"ol\'est haszn\'alva
el\'eg azt megmutatni, hogy tet\-sz\H{o}\-le\-ges $a_1,\dots,a_k$
sz\'amokra az $\dfrac1{\sqrt n}\summ_{p=1}^k
a_p\(S^{(n)}_p-ES^{(n)}_p\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok el\-osz\-l\'as\-ban
kon\-ver\-g\'al\-nak egy $\summ_{p=1}^k a_p\(S_p-ES_p\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ahol $S=(S_1,\dots,S_k)$
egy $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $D$ kovariancia m\'atrix-szal. Ez az
\'all\'{\i}t\'as viszont k\"ovetkezik a k\"ovetkez\H{o}
\'eszrev\'etelekb\H{o}l: $\summ_{p=1}^k
a_p\(S^{(n)}_p-ES^{(n)}_p\)=\summ_{j=1}^n X_j$, ahol
$X_j=\summ_{p=1}^k a_p\(\xi^{(j)}_p-E \xi^{(j)}_p\)$. Az $X_j$,
$j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek
\'es egyforma eloszl\'as\'uak, $EX_j=0$, \'es
$\Var X_j=aDa^*$, ahol $a=(a_1,\dots,a_k)$. Hasonl\'oan, a
$\summ_{p=1}^k a_p\(S_p-ES_p\)$  (norm\'alis eloszl\'as\'u)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u}, \'es $aDa^*$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}. Ez\'ert az
egydimenzi\'os  centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as.
\medskip
Egy $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik egy
$(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval, ahol $A$ $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix. Ha az
$A$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o, akkor ez a v\'eletlen vektor egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy legfeljebb $k-1$-dimenzi\'os alt\'er
alkalmas eltoltj\'an veszi fel az \'ert\'ek\'et, \'es ez\'ert nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. A k\"ovetkez\H{o} t\'etelben
megmutatjuk, hogy amennyiben az $A$ m\'atrix invert\'alhat\'o,
akkor ennek a norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es explicit
m\'odon megadjuk azt. \medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyek
alakj\'ar\'ol.} {\it Legyen adva egy $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$
$k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, melynek $m=(m_1,\dots,m_k)=(E\eta_1,\dots,E\eta_k)$
a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es $D=(d_{j,l})$,
$d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)$, $1\le j,l\le k$, a kovariancia
m\'atrixa. Az $\eta$ $k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak akkor \'es csak akkor van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha a $D$ kovariancia m\'atrix
invert\'alhat\'o. Ha a $D$ kovariancia m\'atrix invert\'alhat\'o,
akkor az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az a k\"ovetkez\H{o} alak\'u:
$$
f(x)=f(x_1,\dots,x_k)=\frac1{(2\pi)^{k/2}\det D^{1/2}}\exp
\left\{ -(x-m)D^{-1}(x-m)^*/2\right\},
$$
ahol $x=(x_1,\dots,x_k)\in R^k$ $k$-dimenzi\'os vektor.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen
vektor eloszl\'asa megegyezik egy olyan
$\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektornak az
eloszl\'as\'aval, amelyikre $\xi_j$, $1\le j\le k$, f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, \'es $D=A^*A$. Jegyezz\"uk meg, hogy a line\'aris
algebra standard eredm\'enyei szerint az $A$ \'es $A^*$
m\'atrixok egyszerre invert\'alhat\'oak vagy nem invert\'alhat\'oak,
\'es a $D=A^*A$ m\'atrix akkor \'es csak akkor invert\'alhat\'o, ha
az $A$ m\'atrix invert\'alhat\'o. Ez\'ert, ha a $D$ m\'atrix nem
invert\'alhat\'o, akkor az $\eta$ vektornak nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha pedig a $D$ m\'atrix
invert\'alhat\'o, akkor a k\"ovetkez\H{o} m\'odon sz\'amolhatunk:
 
Alkalmazva az $x=yA+m$ transzform\'aci\'ot $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$,
$x=(x_1,\dots,x_k)$, $y=(y_1,\dots,y_k)$ \'es
$\varphi(y)=\varphi(y_1,\dots,y_k)=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}
e^{-(y_1^2+\cdots+y_k^2)/2}$ jel\"ol\'essel  kapjuk, hogy
tetsz\H{o}leges m\'erhet\H{o} $B\subset R^k$ halmazra
$$
\align
P(\bar\eta\in B)&=P(\eta\in B)=P\(\xi\in
(B-m)A^{-1}\)=\int_{(y_1,\dots,y_k)\in (B-m)A^{-1}} \varphi(y)\,dy \\
&=\dfrac1{|\det A|}\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
\varphi\((x-M)A^{-1}\)\,dx \endalign
$$
alak\'u, ahol $|\det A|$ az $x=yA+M$ lek\'epez\'es Jacobian-ja.
 
E formul\'ab\'ol kiolvashat\'o, hogy a vizsg\'alt norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $\dfrac1{|\det A|}
\varphi\((x-m)A^{-1}\)$ f\"uggv\'eny. Annak \'erdek\'eben, hogy
be\-bi\-zo\-ny\'{\i}t\-suk a t\'etelt vegy\"uk \'eszre, hogy mivel
$D=A^*A$, ez\'ert $\det D=\det A^*\det A=\det A^2$, ez\'ert $|\det A|
=\det D^{1/2}$, \'es
$$
\align
\varphi\((x-m)A^{-1}\) &=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\dfrac{((x-m)A^{-1},(x-m)A^{-1})}2\right\}\\
&=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\dfrac{(x-m)A^{-1}\(A^{-1}\)^*(x-m)^*}2\right\}\\
&=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}
\exp\left\{-\dfrac{{(x-m)(A^*A)^{-1}}(x-m)^*}2\right\} \\
&=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}
\exp\left\{-\dfrac{(x-m)D^{-1}(x-m)^*}2\right\},
\endalign
$$
mert $A^{-1}\(A^{-1}\)^*=A^{-1}\(A^*\)^{-1}=\(A^* A\)^{-1}$. Innen
k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa. \medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'eny\'et megad\'o k\'epletben a kovariancia
m\'atrix szerepel, m\'{\i}g a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\'et
megad\'o k\'epletben a kovariancia m\'atrix inverze. Az, hogy a
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'eny\-ben nem kellett
invert\'alni az oka annak, hogy a karakterisztikus f\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel k\"onnyebb vizsg\'alni a norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyek tulajdons\'agait.
 
\bye
 
\beginsection A $\chi^2$ eloszl\'asokr\'ol \'es $\chi^2$
pr\'ob\'ar\'ol.
 
Tekints\"uk a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok
bevezet\H{o}j\'eben tekintett els\H{o} probl\'em\'at. Hogyan tudjuk
ellen\H{o}rizni, hogy egy dob\'okocka szab\'alyos. Legyen
$$
(\nu(1),\dots,\nu(6))=(\nu_n(1),\dots,\nu_n(6))
$$
az egyes dob\'aseredm\'enyek sz\'ama, ha $n$-szer dobjuk fel a
kock\'at. Megmutatjuk a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy az
$\dfrac1n\summ_{j=1}^6\(\nu_n(j)-\dfrac n6\)^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak van hat\'areloszl\'asuk,
ha $n\to\infty$,  (felt\'eve, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka
egym\'ast\'ol f\"uggetlen dob\'asainak az eredm\'enyeit tekintj\"uk),
\'es ezt a hat\'areloszl\'ast explicit m\'odon meg tudunk adni. Ez
lehet\H{o}s\'eget ad egy kocka szab\'alyoss\'ag\'anak
ellen\-\H{o}r\-z\'e\-s\'ere. Ennek a feladatnak a k\"ovetkez\H{o}
term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at fogjuk tekinteni:
 
Legyen adva $k$ urna, \'es ellen\H{o}rizni akarjuk azt a
felt\'etelez\'est, mely szerint ha egy goly\'ot v\'eletlen\"ul
bedobunk ezen ur\-n\'ak valamelyik\'ebe, akkor az $p_j$, $p_j>0$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a $j$-ik urn\'aba,
$\summ_{j=1}^k p_j=1$. Ennek a fel\-t\'e\-te\-le\-z\'es\-nek az
ellen\H{o}rz\'ese  \'erdek\'eben dobjunk egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $n$ goly\'ot ezekbe az urn\'akba, \'es jel\"olje
$\nu_n(j)$ a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at. Be fogjuk
l\'atni, hogy felt\'etelez\'es\"unk teljes\"ul\'ese eset\'en a
$\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak l\'etezik
hat\'areloszl\'asa $n\to\infty$ eset\'en, \'es ez a
hat\'areloszl\'as az \'ugynevezett $k-1$ szabads\'agfok\'u $\chi^2$
eloszl\'as. Megadjuk a $\chi^2$ eloszl\'asok definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
{\bf A $k$ szabads\'agfok\'u $\chi^2$ eloszl\'as definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi_1,\dots,\xi_k$ $k$ darab f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor a
$\summ_{j=1}^k\xi_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at nevezz\"uk $k$ szabads\'agfok\'u $\chi^2(k)$
eloszl\'asnak.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ L\'attuk a 10. el\H{o}ad\'ason t\'argyalt
feladatok egyik\'eben, hogy a 2 sza\-bad\-s\'ag\-fo\-k\'u
$\chi^2(2)$ eloszl\'as a $\lambda=\dfrac12$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as, azaz az az eloszl\'as, melynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f(x)=\dfrac12e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$.
\medskip
A fent eml\'{\i}tett hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a kocka sza\-b\'a\-lyos\-s\'a\-g\'a\-nak
ellen\-\H{o}r\-z\'e\-s\'e\-hez hasonl\'oan ellen\H{o}rizni
tudjuk felt\'etelez\'es\"unk he\-lyes\-s\'e\-g\'et.
A hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'asa azon alapul,
hogy egyr\'eszt meg tudjuk adni a
$\left\{\dfrac{\nu_n(j)-np_j}{\sqrt{np_j}},\;j=1,\dots,k\right\}$
v\'eletlen vektorok ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-s\'at a t\"obb-dimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.
M\'asr\'eszt bel\'atjuk, hogy ha $\(\eta^{(n)}_1,\dots,\eta_k^{(n)}\)$
v\'eletlen vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak egy
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektorhoz $n\to\infty$ eset\'eben,
\'es $f(x_1,\dots,x_k)$ folytonos $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny,
akkor az $f\(\eta^{(n)}_1,\dots,\eta_k^{(n)}\)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
az $f(\eta_1,\dots,\eta_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o\-hoz. Ez lehet\H{o}v\'e teszi a minket \'erdekl\H{o}
statisztik\'ak hat\'areloszl\'as\'anak megad\'as\'at. Ezt a
hat\'areloszl\'ast egyszer\H{u}, j\'ol \'attekinthet\H{o} alakban
akarjuk megadni. Ezt lehet\H{o}v\'e teszi az az \'eszrev\'etel, hogy
amennyiben $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} $D$ kovarianciam\'atrix\'u nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor, $A$ egy $k\times k$-as m\'atrix akkor
$(\eta_1,\dots,\eta_k)A$ $k$-dimenzi\'os nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} $A^*DA$ kovarianciam\'atrix\'u nor\-m\'a\-lis
el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektor. Ezenk\'{\i}v\"ul
felhaszn\'aljuk a line\'aris algebra n\'eh\'any alap\-ve\-t\H{o}
eredm\'eny\'et, melyek arr\'ol sz\'olnak, hogy hogyan lehet egy
kvadratikus alakot alkalmas
koor\-di\-n\'a\-ta\-transz\-for\-m\'a\-ci\'oval egyszer\H{u}bb,
kanonikus alakra hozni. El\H{o}sz\"or megfogalmazzuk
\'es bebizony\'{\i}tjuk a fent eml\'{\i}tett \'all\'{\i}t\'ast a
k\"ovetkez\H{o} lemm\'aban. \medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $(S_{1,n},\dots,S_{k,n})$, $n=1,2\dots$,
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektorok so\-ro\-za\-ta,
amelyik eloszl\'asban konverg\'al egy $(S_1,\dots,S_k)$ $k$-dimenzi\'os
v\'eletlen vektorhoz $n\to\infty$ eset\'en, \'es legyen
$f(x_1,\dots,x_k)$ egy $k$-v\'altoz\'os folytonos f\"uggv\'eny.
Ekkor a $T_n=f\(S_{1,n},\dots,S_{k,n}\)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $T=f\(S_1,\dots,S_k\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz
$n\to\infty$ eset\'en.} \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Haszn\'aljuk a t\'etelt az eloszl\'asban
val\'o konvergencia jellemz\'es\'er\H{o}l folytonos f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Eszerint az $S_{1,n},\dots,S_{k,n}$ v\'eletlen
vektorok sorozat\'anak el\-osz\-l\'as\-ban val\'o konvergenci\'at
\'ugy is megfogalmazhatjuk, hogy tetsz\H{o}leges folytonos \'es
korl\'atos $h(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}Eh(S_{1,n},\dots,S_{k,n})=
Eh(S_1,\dots,S_k)$ rel\'aci\'o. Legyen $g(\cdot)$ folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'eny. Ekkor $g(f(x_1,\dots,x_k))$ folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'eny, ez\'ert teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}Eg(T_n)=\limm_{n\to\infty}
Eg\(f\(S_{1,n},\dots,S_{k,n}\)\)=Eg\(f\(S_1,\dots,S_k\)\)
=Eg(T)
$$
rel\'aci\'o. Innen k\"ovetkezik a Lemma \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $D$ kovariancia m\'atrix-szal. Legyenek a
$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ sz\'amok a $D$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei
(multiplicit\'assal). Bizony\'{\i}tsuk be (alapvet\H{o}
line\'aris algebrai ismeretek felhaszn\'al\'as\'aval), hogy a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik egy $\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval,
ahol $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $D$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o
$D=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er, $\Lambda$ pedig olyan
diagon\'alis m\'atrix, melynek \'atl\'oj\'aban a $D$ m\'atrix
$\lambda_j$ saj\'at\'ert\'ekei vannak. (Az $U$ m\'atrix is
fel\'{\i}rhat\'o explicit m\'odon a $D$ n\'atrix saj\'atvektorainak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de erre a t\'enyre itt nincs sz\"uks\'eg\"unk.)
Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
megegyezik egy $\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=\xi\Lambda^{1/2} U^* =(\xi_1,\dots,\xi_k)\Lambda^{1/2} U^*$
v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval, ahol a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor standard norm\'alis eloszl\'as\'u. Val\'oban
$\bar\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla \'es kovariancia
m\'atrixa a $(\Lambda^{1/2}U^*)^*\Lambda^{1/2}U^*
=U\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2} U^*=U\Lambda U^*=D$ m\'atrix. Ez\'ert
a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik a $\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval. Vegy\"uk
\'eszre, hogy az $\tilde\eta=(\tilde\eta_1,\dots,\tilde\eta_k)
=\bar\eta U=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)U$ vektorra teljes\"ul a
$\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2=\summ_{j=1}^k\tilde\eta_j^2$ azonoss\'ag,
mert $U$ unit\'er, teh\'at t\'avols\'agtart\'o
transz\-for\-m\'a\-ci\'o. Viszont $\tilde\eta=\bar\eta
U=\xi\Lambda^{1/2}U^*U=\xi\Lambda^{1/2}$.
Ez azt jelenti, hogy a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik a
$\summ_{j=1}^k(\lambda_j^{1/2}\xi_j)^2=\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, \'es ez a
feladat \'all\'{\i}t\'asa. \medskip
Az al\'abbi t\'etelben megfogalmazzuk azt az eredm\'enyt, mely a
matematikai sta\-tisz\-ti\-k\'a\-ban a $\chi^2$ pr\'oba alapj\'at
k\'epezi. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva $k$ darab urna, melyekbe bedobunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul goly\'okat \'ugy, hogy mindegyik
goly\'o $p_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik urn\'aba,
$1\le j\le k$, $\summ_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\nu_n(j)$ a $j$-ik
urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at az els\H{o} $n$ dob\'as ut\'an.
Ekkor a $\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $k-1$ szabads\'agfok\'u $\chi^2(k-1)$ eloszl\'ashoz, ha
$n\to\infty$. (Az urn\'ak $k$ sz\'ama r\"ogz\'{\i}tett.)}
\medskip
A fenti t\'etelben megjelen\H{o} hat\'areloszl\'as csak az urn\'ak
$k$ sz\'am\'at\'ol f\"ugg, de nem f\"ugg a $p_j$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekt\H{o}l. Ez jelzi azt, hogy term\'eszetes
statisztik\'at vett\"unk, olyat amelyben a k\"ul\"onb\"oz\H{o}
urn\'akban lev\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak az elt\'er\'ese annak
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l egyforma fontos szerepet j\'atszik.
Az, hogy a hat\'areloszl\'as a $k-1$ szabads\'agfog\'u $\chi^2(k-1)$
eloszl\'as azzal f\"ugg \"ossze, hogy b\'ar $k$ v\'eletlen sz\'am
s\'ulyozott n\'egyzet\"osszeg\'et tekintett\"uk, (az egyes urn\'akba
es\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak elt\'er\'es\'et tekintett\"uk azok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l), de ezek k\"oz\"ott van egy
determinisztikus \"osszef\"ugg\'es. Nevezetesen az, hogy az \"osszes
urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'ama minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'eke
null\'aval egyenl\H{o}. Ezt inform\'alisan \'ugy szokt\'ak
interpret\'alni, hogy $k-1$ szabads\'agi fokkal
rendelkez\H{o} v\'eletlen vektorok koordin\'at\'ainak a
n\'egyzet\"osszeg\'et tekintett\"uk, illetve azok
hat\'areloszl\'as\'at. Ilyen eset\-ben a hat\'areloszl\'ast olyan
v\'eletlen \"osszeg adja meg, melyben mindegyik szabads\'agi foknak
egy \"osszeadand\'o felel meg, amelyik f\"uggetlen a t\"obbi
\"osszeadand\'ot\'ol, \'es az egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzete.
\medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}\/ A t\"obbdimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an a
$$
\(\dfrac{\nu_n(1)-np_1}{\sqrt{n p_1}},\dots,
\dfrac{\nu_n(k)-np_k}{\sqrt {np_k}}\)
$$
v\'eletlen vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak $n\to\infty$
eset\'en egy olyan $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorhoz, melyre $\Var\eta_j=(1-p_j)$,
$E\eta_j=0$, $1\le j\le k$, \'es $\Cov(\eta_j,\eta_l)=-\sqrt{p_jp_l}$,
ha $1\le j,l\le k$, \'es $j\neq l$. Val\'oban, defin\'aljuk azokat
a $\xi_s=(\xi_{s,1},\dots,\xi_{s,k})$, $s=1,2,\dots,$ $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyekre $\xi_{s,j}=1$, \'es
$\xi_{s,l}=0$ $l\neq j$ eset\'eben, ha az $s$-ik goly\'o a $j$-ik
urn\'aba esik. Ekkor a $\xi_1,\xi_2,\dots,$ v\'eletlen vektorok
f\"uggetlenek \'es egyforma eloszl\'as\'uak,
$(\nu_n(1),\dots,\nu_n(k))=\summ_{s=1}^n\xi_s$,
$E\xi_s=(p_1,\dots,p_k)$, $E\xi_{s,j}^2=p_j$,
$\Var\xi_{s,j}=(1-p_j)p_j$, $\Cov(\xi_{s,j},\xi_{s,l})
=E\xi_{s,j}\xi_{s,l}-E\xi_{s,j}E\xi_{s,l}=-p_jp_l$, ha $j\neq l$.
Ez\'ert alkalmazva a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt a $\dfrac1{\sqrt n}
\(\summ_{s=1}^n\dfrac{\xi_{1,s}-E\xi_{1,s}}{\sqrt{p_1}},\dots,
\summ_{s=1}^n\dfrac{\xi_{k,s}-E\xi_{k,s}}{\sqrt{p_k}}\)$
\"osszegekre megkapjuk a fenti \'all\'{\i}t\'ast.
 
Felhaszn\'alva ezt az eredm\'enyt valamint alkalmazva az
el\H{o}z\H{o}leg kimondott lemm\'at az
$f(x_1,\dots,x_k)=\summ_{j=1}^k x_j^2$ f\"uggv\'ennyel kapjuk, hogy
a $\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz,
ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla, \'es $D=d_{j,l}$,
$d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)$, $1\le j,l\le k$, kovariancia
m\'atix\'at a $\Var\eta_j=(1-p_j)$, $1\le j,l\le k$, \'es
$\Cov(\eta_j,\eta_l)=-\sqrt{p_jp_l}$, ha $1\le j,l\le k$, \'es
$j\neq l$ k\'epletek hat\'arozz\'ak meg. Ez\'ert el\'eg
bel\'atni azt, hogy egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es a fenti
kovarianciaf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} norm\'alis eloszl\'as\'u
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektorra a
$\summ_{j=1}^l\eta_j^2$ kifejez\'es $\chi^2(k-1)$
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
 
Ennek bel\'at\'asa \'erdek\'eben tekints\"uk az
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor $D=(d_{j,l})$, $1\le j,l\le
k$, kovarianciam\'atrix\'at, \'es \'erts\"uk meg annak szerkezet\'et.
Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy az $u=\(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k}\)$
vektor saj\'atvektora a $D$ kovarianciam\'atrixnak nulla
saj\'at\'ert\'ekkel \'es emellett, ha egy $x=(x_1,\dots,x_k)$ vektor
mer\H{o}leges erre az $u$ vektorra, azaz
$\summ_{j=1}^kx_j\sqrt{p_j}=0$, akkor az $x$ vektor a $D$ m\'atrixnak
saj\'atvektora 1 saj\'at\'ert\'ekkel.
 
Val\'oban, tetsz\H{o}leges $1\le j\le k$ sz\'amra
$$
\summ_{l\:l\neq j} \sqrt{p_l} d_{j,l}=-\sqrt {p_j}\summ_{l\:l\neq j}
p_l=-\sqrt{ p_j}(1-p_j)=-\sqrt{p_j}d_{j,j},
$$
ahonnan $\summ_{l=1}^k \sqrt{p_l}d_{j,l}=0$, ami azt jelenti,
hogy az $u$ vektor a $D$ m\'atrix saj\'atvektora  nulla
saj\'at\'ert\'ekkel. Ha $\summ_{j=1}^kx_j\sqrt{p_j}=0$, akkor
minden $1\le j\le k$ sz\'amra
$$
\summ_{l\:l\neq j}d_{j,l} x_l=-\sqrt{p_j} \summ_{l\:l\neq j}
\sqrt{p_l} x_l=\sqrt {p_j}\sqrt{p_j}x_j=p_jx_j,
$$
ahonnan $\summ_{l=1}^k p_l x_l=x_jp_j+x_j(1-p_j)=x_j$, \'es ez azt
jelenti, hogy az $x$ vektor a $D$ m\'atrix saj\'atvektora egy
saj\'at\'ert\'ekkel.
 
Ez azt jelenti, hogy a $D$ kovariancia m\'atrixnak l\'etezik egy
nulla \'es $k-1$ 1 sa\-j\'at\-\'er\-t\'ek\-kel rendelkez\H{o}
ortogon\'alis saj\'atvektora. Val\'oban, az
$u=\(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k}\)$ vektor \'es a r\'a mer\H{o}leges
alt\'er tetsz\H{o}leges $k-1$ vektorb\'ol \'all\'o ortogon\'alis
b\'azisa alkalmas v\'alaszt\'as. Ez\'ert a T\'etel bizony\'{\i}t\'asa
k\"ovetkezik a T\'etel el\H{o}tt t\'argyalt feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l. Ekkor ugyanis a saj\'at\'ert\'ekek
rendszere az 1 sz\'amb\'ol  \'all $k-1$ multiplicit\'assal \'es a
nulla sz\'amb\'ol egy multiplicit\'assal.
 
A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at befejezhetn\'enk ezut\'an m\'ar
megt\'argyalt eredm\'enyekre hi\-vat\-koz\-va, de a teljess\'eg
kedv\'e\'ert kidolgozzuk a r\'eszleteket.
 
Tekints\"unk $k-1$ ortogon\'alis
$x^{(j)}=\(x_1^{(j)},\dots,x_k^{(j)}\)$, $1\le j\le k-1$,
egys\'egvektort a $k$-dimenzi\'os t\'erben, melyek mer\H{o}legesek
az $u=\(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k}\)$ vektorra is, azaz
$\summ_{l=1}^kx^{(j)}_l\sqrt{p_l}=0$ minden $1\le j\le k-1$
sz\'amra, \'es legyen $x^{(k)}=\(x_1^{(k)},\dots,x_k^{(k)}\)=
u=\(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_k}\)$. Ekkor az $x^{(j)}$ vektorok,
$1\le j\le k$, ortonorm\'alt b\'azis\'at alkotj\'ak a
$k$-dimenzi\'os t\'ernek, melyek egyben a $D$ m\'atrix
saj\'atvektorai is $\lambda_j=1$, ha $1\le j\le k-1$, \'es
$\lambda_k=0$ saj\'at\'ert\'ekekkel. Defini\'aljuk az
$U=(u_{j,l})=\(x^{(j)}_l\)$, $1\le j,l\le k$ m\'atrixot \'es a
$\Lambda=\(\lambda_{j,k}\)$, $1\le j,l\le k$, diagon\'alis
m\'atrixot, melyre $\lambda_{j,l}=0$, ha $j\neq l$, \'es
$\lambda_{j,j}=\lambda_j$ az $x^{(j)}$ vektor saj\'at\'ert\'eke,
azaz $\lambda_j=1$, ha $1\le j\le k-1$, \'es $\lambda_k=0$. Ekkor
$U$ unit\'er m\'atrix, \'es $D=U^*\Lambda U$. Ez ut\'obbi
\'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik a line\'aris algebra \'altal\'anos
eredm\'enyeib\H{o}l, de k\"ozvetlen\"ul is bel\'athatjuk a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
 
El\'eg megmutatni azt, hogy $x^{(j)}D{x^{(l)}}^*=
x^{(j)}U^*\Lambda U{x^{(l)}}^*$ minden $1\le j,l\le k$ indexre, mert
innen k\"ovetkezik, hogy  $xDy^*=xU^*\Lambda Uy^*$ minden $x$ \'es
$y$ $k$-dimenzi\'os vektorra. Viszont $x^{(j)}D{x^{(l)}}^*=\lambda_j
x^{(j)}{x^{(l)}}^*=\lambda_j\delta_{j,l}$, ahol $\delta_{j,l}=0$, ha
$j\neq l$, \'es $\delta_{j,l}=1$, ha $j=l$. M\'asr\'eszt, azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy az $x^{(j)}U^*\Lambda
U{x^{(l)}}^*=\lambda_j\delta_{j,l}$ azonoss\'ag is teljes\"ul.
Val\'oban az $x^{(j)}$ egys\'egvektorok ortogonalit\'as\'ab\'ol, \'es
az $U$ m\'atrix definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$x^{(j)}U^*=e_j$, ahol $e_j$ az az egys\'egvektor, melynek a $j$-ik
koordin\'at\'aja 1, az \"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja nulla. Innen
k\"ovetkezik, hogy $x^{(j)}U^*\Lambda U{x^{(l)}}^*=e_j\Lambda e_l^*
=\lambda_j\delta_{j,l}$.
 
Tekints\"uk az $\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=\eta U^*$ v\'eletlen vektort, ahol $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ az
el\H{o}bb tekintett norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
vektor nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $D=U^*\Lambda U$ kovariancia
m\'atrix-szal. Ekkor $\bar\eta$ is norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, kovariancia m\'atrixa pedig $U
DU^*=UU^*\Lambda U U^*=\Lambda$. Mivel $U^*$ unit\'er m\'atrix
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2= \summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$, ez\'ert
elegend\H{o} ez ut\'obbi val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at meghat\'arozni. De mivel $\bar\eta$ nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor $\Lambda$
kovariancia m\'atrix-szal ez\'ert $\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$
$\chi^2(k-1)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Innen k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
 
 
 
\bye
 
 
