\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat tizenegyedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2001 \'aprilis 17.}
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or n\'eh\'any p\'eld\'at mutatunk a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alkalmaz\'as\'ara. \medskip
 
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszeadjuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 1200$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a $P\(2280\le
\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$E\xi_j=\dfrac16(2+4+6)=2$,
$\Var\xi_j=\dfrac16(4+16+36)-4=\dfrac{16}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(2280\le\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)&=
P\(\dfrac{-120}{\sqrt{1200\frac{16}3}}
\le\dfrac{\summ_{j=1}^{1200}\xi_j-\summ_{j=1}^{1200}E\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{1200}\Var\xi_j}}
\le\frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}3}}\) \\
&\sim\Phi(1.25)-\Phi(-1.5)=0.8944+0.9322-1=0.8266.
\endalign
$$
\medskip
 
\item{} Vegy\"unk egy olyan p\'enzdarabot, mely $\dfrac23$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $\dfrac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra. Ezt a
p\'enzdarabot annyiszor  dobjuk fel, ameddig megjelenik  1200 fej
dob\'as. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az elv\'egzett
dob\'asok sz\'ama 1680 1830 k\"uz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama egy
$\eta$ negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
$n=1200$ \'es $p=\dfrac23$ param\'eterekkel, azaz
$P(\eta=k+n)=\dbinom{n+k-1}{n-1}(1-p)^kp^n$, $p=\dfrac23$, \'es
$n=1200$ param\'eterrel. Egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak ki lehet sz\'amolni a pontos eloszl\'as\'at, azaz
azt, hogy milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vesz fel. Elvileg, ez lehet\H{o}s\'eget ad a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara
egy bonyolult \"osszeg kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Enn\'el hasz\-no\-sabb becsl\'est tudunk
kapni a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel, mely a
k\'{\i}v\'ant va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get j\'o pontoss\'aggal
kisz\'am\'{\i}tja a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} Jel\"olje $\xi_j$, $2\le j\le 1200$, a $j-1$-ik \'es $j$-ik
fejdob\'as k\"oz\"otti dob\'asok sz\'am\'at (a $j$-ik fejdob\'ast
belesz\'am\'{\i}tjuk a $j-1$-iket viszont nem  sz\'am\'{\i}tjuk bele e
dob\'asok k\"oz\'e), \'es legyen $\xi_1$ az els\H{o} fejdob\'asig (ezt
is belesz\'am\'{\i}tva) elv\'egzett dob\'asok sz\'ama. Ekkor a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'uak $n=1$, $p=\dfrac23$
param\'eterekkel, \'es minket a $P(1680<\xi_1+\cdots+\xi_{1200}<1830)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Megmutattuk a 6. el\H{o}ad\'asban,
illetve a hozz\'atartoz\'o feladatokban), hogy
$E\xi_j=\dfrac1{p}=\dfrac32$, $\Var \xi_j=\dfrac
{1-p}{p^2}=\dfrac34$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{1200}$ jel\"ol\'essel minket a
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt{1200\Var\xi_1}}<1\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'erdekel. A cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel alapj\'an
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt {1200\Var\xi_1}}<1\)
\sim \Phi\(1\)+\Phi(4)-1\sim\Phi(1)$. \medskip
\medskip
\item{} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, melyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\dfrac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
bevil\'ag\'{\i}tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az
ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o becsl\'est
arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150 \'ora.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa
\'el\'ettartam\'at, $1\le j\le100$. Ekkor a
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell
j\'o becsl\'est adnunk, ahol az \"osszegben f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. Vezess\"uk be az
$\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
\item{} Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\dfrac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\dfrac
m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\dfrac1{10}$
v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
sze\-rint $\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.
\medskip
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel nagy seg\'{\i}ts\'eget ad a
ma\-te\-ma\-ti\-kai statisztika k\'et fontos probl\'emak\"or\'eben,
a becsl\'eselm\'eletben  \'es a hipot\'ezisvizsg\'alatban. A
becsl\'eselem\'eletben olyan k\'erd\'esekkel foglalkunk mint
p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'esek: Mennyi egy l\'ampa
v\'arhat\'o \'elettartama, mennyi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy kocka a hatos oldalra esik, mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy (\'eletbiztos\'{\i}t\'ast k\"otni akar\'o ember) meg\'eli a
hetvenedik \'evet? \'Altal\'aban a k\'erd\'es a k\"ovetkez\H{o}: Egy
esem\'eny eloszl\'asa f\"ugg valamilyen ismeretlen param\'etert\H{o}l,
\'es ezt a param\'etert akarjuk megbecs\"ulni. Ennek \'erdek\'eben
kis\'erleteket v\'egz\"unk, \'es valamilyen j\'o m\'odszer
seg\'{\i}ts\'eg\'evel pr\'ob\'aljuk megbecs\"ulni az ismeretlen
param\'etert e kis\'erletek eredm\'eny\'enek a f\"uggv\'eny\'eben.
 
A hipot\'ezisvizsg\'alatban a feladat az, hogy bizonyos
hipot\'ezis\"unk van arr\'ol, hogy mennyi az \'elettartama egy
l\'amp\'anak, mennyire n\'epszer\H{u} egy v\'elem\'eny a
v\'alaszt\'ok k\"oz\"ott, hogy  egy gy\'ogyszer hat\'asosabb mint
egy m\'asik vagy valamilyen hasonl\'o prob\-l\'e\-m\'a\-r\'ol van
valamilyen ellen\H{o}rizend\H{o} felt\'etelez\'es\"unk. Annak
\'erdek\'eben, hogy eld\"onts\"uk, helyes-e a hipot\'ezis\"unk
kis\'erleteket v\'egz\"unk. Ha kis\'erleteink eredm\'enye nagyon
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}t\-len hipot\'ezis\"unk teljes\"ul\'ese
eset\'en, akkor hipot\'ezis\"unket elutas\'{\i}tjuk, ha pedig
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}, akkor elfogadjuk azt. De mikor
tekintj\"uk a bek\"ovetkezett eredm\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}nek
\'es mikor val\'osz\'{\i}n\H{u}tlennek? E k\'erd\'es
eld\"ont\'es\'eben sokszor a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}t. Erre mutatunk n\'eh\'any p\'eld\'at. E p\'eld\'ak
t\'argyal\'asa el\H{o}tt bevezetj\"uk a ma\-te\-ma\-ti\-kai statisztika
n\'eh\'any egyszer\H{u} \'es term\'eszetes fogalm\'at. Jelen
el\H{o}\-ad\'as\-soro\-zat\-ban csak a hipot\'ezisvizsg\'alattal
foglalkozunk, az ehhez kapcsol\'od\'o fogalmakat vezetj\"uk be.
 
Azt a felt\'etelez\'est, melyet ellen\H{o}r\'{\i}zni akarunk nevezik
null-hipot\'ezisnek, annak ellenkez\H{o}j\'et pedig ellenhipot\'ezisnek.
Vannak olyan feladatok, melyekben a null-hipot\'ezis egyetlen
elemb\H{o}l \'all, p\'eld\'aul, ha azt t\'etelezz\"uk fel, hogy egy
dob\'okocka szab\'alyos. Az ilyen hipot\'eziseket nevezik egyszer\H{u}
hipot\'ezisnek. Vannak olyan feladatok, melyekben a null-hipot\'ezis
t\"obb elemb\'ol \'all, p\'eld\'aul az a felt\'etelez\'es, hogy egy
javaslatot az emberek legal\'abb fele t\'amogat. Az ilyen
hipot\'eziseket h\'{\i}vj\'ak \"osszetett hipot\'ezisnek. K\'et fajta
hib\'at k\"ovethet\"unk el. Az egyik hiba az, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul, mi m\'egis elutas\'{\i}tjuk azt. Ezt nevezik els\H{o}faj\'u
hib\'anak. Ha a hipot\'ezis nem teljes\"ul, mi m\'egis \'ugy
d\"ont\"unk, hogy az teljes\"ul, akkor ezt m\'asodfaj\'u hib\'anak
nevezz\"uk. Az els\H{o}faj\'u hiba cs\"okkent\'ese \'erdek\'eben
min\'el t\"obbsz\"or kell elfogadni, a m\'asodfaj\'u hipot\'ezis
cs\"okkent\'ese \'erdek\'eben pedig min\'el t\"obbsz\"or kell
elutas\'{\i}tani a hipot\'ezist. A gyakorlatban \'altal\'aban \'ugy
szokt\'ak a feladatokat megfogalmazni, hogy az els\H{o}faj\'u hib\'ara
el\H{o}\'{\i}runk egy fels\H{o} korl\'atot, \'es eme felt\'etel mellett
pr\'ob\'aljuk a m\'asodfaj\'u hib\'at min\'el kisebb\'e tenni. Az
els\H{o}faj\'u hib\'ara adott fels\H{o} korl\'at \"osszetett
null-hipot\'ezis eset\'en azt jelenti, hogy az els\H{o}faj\'u hiba
minden a null-hipot\'ezis teljes\"ul\'ese eset\'en el\H{o}fordulhat\'o
eloszl\'as eset\'en legyen kisebb mint az el\H{o}\'{\i}rt fels\H{o}
korl\'at. \medskip
\item{} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, mely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alassztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\dfrac34$, $E\xi_j=\dfrac34$, $E\xi_j^2=\dfrac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\dfrac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\dfrac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\dfrac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\dfrac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\times 1.28$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\times 1.28=22\,212$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\dfrac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
\medskip\noindent
{\it Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol.}
\medskip
 
Mikor mondjuk azt, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asai konverg\'alnak egy ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-hoz? Ez
a k\'erd\'es nem annyira egyszer\H{u} mint azt az els\H{o}
pillanatban gondoln\'ank. E fogalom helyes definici\'oja a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak az
els\H{o} term\'eszetes l\'ep\'ese. (Mag\'anak a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek a r\'eszletes
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'at id\H{o}hiany miatt elhagyjuk.)
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja.} {\it Legyen
$F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
sorozata a sz\'amegyenesen. Azt mondjuk, hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak egy $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$ az
$F(\cdot)$ (hat\'ar)\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
minden folytonoss\'agi pontj\'aban.
 
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha az $F_n(x)=P(\xi_n<x)$,
$-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha az
$F_n(x)=P(\xi_n<x)$, $-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny minden
pontban folytonos. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny
azt mondja ki, hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'altjai
eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Ebben az esetben nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a hat\'areloszl\'asl\'asf\"uggv\'eny
(jelen esetben nem l\'etez\H{o}) szakad\'asi pontjaiban nem
k\"ovetelj\"uk meg a konvergenci\'at.
\medskip
Felmer\"ul a k\'erd\'es, mi\'ert van kit\"untetett szerepe a
hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny szakad\'asi pontjainak az
eloszl\'asf\"uggv\'eny konvergenci\'aj\'anak definici\'oj\'aban.
Term\'eszetes-e, hogy ezekben a pontokban nem k\"ovetelt\"uk
meg a konvergenci\'at? E k\'erd\'es meg\'ert\'es\'enek
\'erdek\'eben tegy\"uk a k\"ovetkez\H{o} megjegyz\'est.
 
Egy a sz\'amegegyenesen megadott $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny induk\'al
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket a sz\'amegyenesen. Ez az
a Stieltjes m\'ert\'ek, melyet $\mu_F$-fel jel\"olt\"unk, melynek
l\'etez\'es\'et csak kimondtuk, de a bizony\'{\i}t\'as
a m\'ert\'ekelm\'elet feladata. Az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban val\'oj\'aban nem az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at k\"ovetelj\"uk meg az $F$ eloszl\'ashoz, hanem az
$F_n$ eloszl\'asok \'altal induk\'alt $\mu_{F_n}$ Stieltjes
m\'ert\'ekek konvergenci\'aj\'at az $F$ eloszl\'as \'altal induk\'alt
$\mu_F$ m\'ert\'ekhez. Szeml\'eletesen a $\mu_{F_n}$ m\'ert\'ekek
elk\'epzelhet\H{o}ek mint olyan t\"omegeloszl\'asok a
sz\'amegyenesen, melyekben egy $A\subset R$ halmaz ,,s\'ulya" a
$\mu_F(A)$ m\'ert\'ek. Az eloszl\'asban val\'o konvergencia azt
jelenti, hogy a $\mu_{F_n}$ t\"omegeloszl\'asok nagy $n$
indexre k\"ozel vannak a $\mu_F$ t\"omegeloszl\'ashoz.
 
Az eloszl\'asban val\'o konvergencia jobb meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'eld\'at.
Legyen $x_0=0$, \'es $x_n$, $n=1,2,\dots$, olyan sz\'amsorozat,
melyre $x_n<0$, $n=1,2,\dots$, \'es $\limm_{n\to\infty}x_n=0$.
Legyen $\mu_{F_n}$, $n=0,1,2,\dots$, az a m\'ert\'ek, mely az $x_n$
pontba van koncentr\'alva, azaz $\mu_{F_n}(\{x_n\})=1$,
r\'eszletesebben $\mu_{F_n}(A)=1$, ha $x_n\in A$, \'es
$\mu_{F_n}(A)=0$, ha $x_n\notin A$. A $\mu_{F_n}$ eloszl\'as azon
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott Stieltjes
m\'ert\'ek, melyre $F_n(x)=0$, ha $x\le x_n$, $F_n(x)=1$, ha $x>x_n$.
Term\'eszetes azt v\'arni, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'eny alkalmas
definici\'oja eset\'en a most defini\'alt p\'eld\'aban az $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0$ eloszl\'ashoz. M\'asr\'eszt vegy\"uk \'eszre, hogy
$\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F_0(x)$ minden $x\neq0$ sz\'amra. De az
$x=0$ pontban, azaz az $F_0$ f\"uggv\'eny szakad\'asi pontj\'aban ez
a konvergencia nem teljes\"ul, mert $F_n(0)=1$, ha $n\ge1$,
\'es $F_0(0)=0$. Teh\'at az \'altalunk megadott definici\'o szerint
az $F_n$ eloszl\'asok eloszl\'asban konverg\'alnak az $F_0$
eloszl\'ashoz, de annak \'erdek\'eben, hogy ez teljes\"ulj\"on
sz\"uks\'eg volt arra, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban nem k\"ovetelj\"uk meg az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at a hat\'arf\"uggv\'eny szakad\'asi pontjaiban.
 
Be lehet l\'atni, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia kifejezi
azt a szeml\'eletes tartalmat, melyet a t\"omegeloszl\'asokkal val\'o
reprezent\'aci\'o sugall, ezt azonban nem tessz\"uk. Ehelyett egy olyan
eredm\'enyt fogalmazok meg, az eloszl\'asban val\'o konvergencia egy
ekvivalens jellemz\'es\'et adja meg. Ennek az eredm\'enynek csak
bizony\'{\i}t\'asv\'azlat\'at adom meg, b\'ar a bizony\'{\i}t\'as nem
neh\'ez. Ut\'ana r\"oviden le\'{\i}rom, mi\'ert hasznos ez az
eredm\'eny hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alat\'aban.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha minden a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
folytonos, korl\'atos $g(u)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u)\,dF_n(u)=\int g(u)\,dF(u) \tag a
$$
azonoss\'ag.}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'at
szok\'as gyenge konvergenci\'anak is ne\-vez\-ni. \'Erdemes
megjegyezni, hogy a funkcion\'alanal\'{\i}zisben is szok\'as Banach
terek funk\-cio\-n\'al\-jai\-nak gyenge konvergenci\'aj\'ar\'ol
besz\'elni, \'es az el\H{o}bb kimondott t\'etel azt is jelenti,
hogy a gyenge konvergencia
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban \'es
funkcion\'alanal\'{\i}zisben haszn\'alt \'ertelmez\'ese \"osszhangban
van egym\'assal. Ugyanis egy a sz\'amegyenesen defini\'alt $\mu$
(va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi) m\'ert\'eket fel lehet fogni
mint a korl\'atos \'es folytonos f\"uggv\'enyek Banach ter\'en
\'ertelmezett (korl\'atos \'es line\'aris) funkcion\'alt.
Nevezetesen a $\mu$ m\'ert\'ek az $f(\cdot)$ korl\'atos \'es folytonos
f\"uggv\'enyhez hozz\'arendeli a $\mu(f)=\int f(u)\mu(\,du)$
sz\'amot. A funkcion\'alanal\'{\i}zisben de\-fi\-ni\-\'alt
fogalomrendszer szerint a $\mu_n$ m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aja a $\mu$ m\'ert\'ekhez azt jelenti, hogy
$\limm_{n\to\infty}\int f(u)\mu_n(\,du)=\int f(u)\mu(\,du)$ minden
folytonos \'es korl\'atos f\"ugg\-v\'eny eset\'eben, ez pedig
a fent kimondott t\'etel szerint a $\mu_n$ m\'ert\'ekeknek,
pontosabban az \'altaluk meghat\'arozott $F_n(x)=\mu_n(\{u\:u<x\})$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek gyenge (azaz el\-osz\-l\'as\-beli)
konvergenci\'aj\'at jelenti a $\mu$ m\'ert\'ekhez, pontosabban
az \'altala meghat\'arozott $F(x)=\mu(\{u\:u<x\})$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
\medskip\noindent
{\it Binony\'{\i}t\'asv\'azlat:} Tegy\"uk fel el\H{o}sz\"or azt,
hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, \'es tekints\"unk egy folytonos
\'es korl\'atos $g(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a sz\'amegyenesen. Ekkor a
$g$ f\"uggv\'eny folytonoss\'aga \'es az $F$ illetve $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek viselked\'ese miatt $\pm\infty$ pontok
k\"ornyezet\'eben minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan el\'eg
nagy $K=K(\e)>0$, melyre $\int_{u\:|u|>K} |g(u)|\,dF_n(u)<\e$ minden
$n=1,2,\dots$ indexre, \'es ez az \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes akkor
is, ha az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel helyettes\'{\i}tj\"uk. Tov\'abb\'a a
folytonos $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny a $[-K,K]$ intervallumban
egyenletesen folytonos. Ennek az \'eszrev\'etelnek \'es annak a
t\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$
az $F(\cdot)$ minden folytonoss\'agi pontj\'aban be lehet l\'atni,
v\'eve a $[-K,K]$ intervallumnak egy olyan el\'eg finom
feloszt\'as\'at, melynek az oszt\'opontjai az $F$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'agi pontjai, hogy
$$
\left|\int_{u\:|u|\le K} g(u)\,dF_n(u)-\int_{u\:|u|\le K}
g(u)\,dF(u)\right|<\e,\quad\text{ha } n\ge n_0(\e).
$$
(E l\'ep\'esben kihaszn\'aljuk azt, hogy egy monoton f\"uggv\'enynek
csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi pontja van. Mi\'ert?)
Innen $\e\to0$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk az (a) \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at.
 
Megford\'{\i}tva tegy\"uk fel, hogy teljes\"ul az (a) rel\'aci\'o,
\'es legyen $x$ az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
R\"ogz\'{\i}tve egy kis $\e>0$ sz\'amot defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o}
$g^\pm(u)=g_{x,\e}^\pm(u)$, $-\infty<u<\infty$ folytonos \'es korl\'atos
f\"uggv\'enyeket: $g^+(u)=0$, ha $u\ge x+\e$, $g^+(u)=1$, ha $u\le x$,
$g^+(u)=\dfrac{x+\e-u}\e$, ha $x\le u\le x+\e$, $g^-(u)=0$, ha $u\ge x$,
$g^-u)=1$, ha $u\le x-\e$, $g^-(u)=\dfrac{x-u}\e$, ha $x-\e\le u\le
x$. Alkalmazva az (a) \'all\'{\i}t\'ast kapjuk, hogy
$$
\align
F(x-\e)&\le \int g_{\e,x}^-(u) F(\,du)
=\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^-(u) F_n(\,du)
\le \liminff_{n\to\infty} F_n(x) \\
&\le \limsupp_{n\to\infty} F_n(x)\le
\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^+(u) F_n(\,du)=
\int g_{\e,x}^+(u) F(\,du)\le F(x+\e),
\endalign
$$
\'es v\'eve az $\e\to0$
hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$,
felt\'eve, hogy az $x$ pont az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
\medskip
Sok vizsg\'alatban az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'anak a
t\'etelben megadott jel\-lem\-z\'e\-se jobban hasz\-n\'al\-ha\-t\'o
mint az eredeti definici\'o.
 
Mell\'ekesen megjegyzem, hogy ennek az eredm\'enynek egy m\'asik
haszna az, hogy ezt a definici\'ot jobban tudjuk
\'altal\'anos\'{\i}tani, ha eloszl\'asok konvergenci\'aj\'at akarjuk
defini\'alni \'altal\'anosabb terekben. Az ilyen k\'erd\'esek
term\'eszetes m\'odon felmer\"ulnek, ha nemcsak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok viselked\'es\'et akarjuk
vizsg\'alni, hanem v\'eletlen folyamatok\'et egy v\'eges
id\H{o}intervallumban. Itt az a probl\'ema mer\"ul fel, hogy az
eloszl\'asf\"uggv\'eny, illetve annak konvergenci\'aja nem
defini\'alhat\'o \'altal\'anos terekben, mert az
eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
f\'elegyenesek t\'uls\'agosan er\H{o}sen k\"ot\H{o}dnek a
sz\'amegyenes, a t\"obb\-di\-men\-zi\'os eloszl\'asok definici\'oja
pedig az Euklidesi t\'er geometri\'aj\'ahoz. Ha
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek helyett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeket tekint\"unk, akkor
ezek konvergenci\'aj\'anak a definici\'oj\'at term\'eszetes
m\'odon tudjuk defini\'alni nagyon \'altal\'anos terekben is az (a)
rel\'aci\'o \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
Ha eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at az (a) tulajdons\'ag
vizsg\'alat\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel akarjuk bebizony\'{\i}tani,
akkor term\'eszetes m\'odon felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy nem
le\-het\-s\'e\-ges-e ezt a felt\'etelt gyeng\'{\i}teni, nem
elegend\H{o}-e az (a) rel\'aci\'o teljes\"ul\'es\'et a folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'enyeknek csak egy el\'eg gazdag
r\'eszoszt\'aly\'ara ellen\H{o}rizni, \'es ennek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel eld\"onteni, hogy teljes\"ul-e az
eloszl\'asban val\'o konvergencia. Term\'eszetesen a folytonos \'es
korl\'atos f\"uggv\'enyek olyan r\'eszoszt\'aly\'at k\'{\i}v\'anjuk
tekinteni, amelyikre ez a felt\'etel k\"onnyebben
ellen\H{o}rizhet\H{o}. Kider\"ult, hogy erre a k\'erd\'esre
igenl\H{o} v\'alaszt lehet adni, elegend\H{o} csak a trigonometrikus
f\"uggv\'enyeket tekinteni, azaz az $g_t(u)=e^{itu}$,
$-\infty<t<\infty$, alak\'u f\"uggv\'enyeket. Jegyezz\"uk meg,
hogy ezek a f\"uggv\'enyek komplex \'es nem val\'os \'ert\'ek\H{u}ek,
de mindazok az eredm\'enyek, melyek val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra \'erv\'enyesek,
term\'eszetes m\'odon \'altal\'anos\'{\i}that\'ok komplex sz\'am
\'ert\'ek\H{u} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok\-ra is. Annak oka, hogy a trigonometrikus
f\"uggv\'enyeket j\'ol tudjuk haszn\'alni az, hogy minden
$-\infty<s,t<\infty$, param\'eterre teljes\"ul a
$g_s(u)g_t(u)=e^{isu}e^{itu}=e^{i(s+t)u}=g_{s+t}(u)$ azonoss\'ag.
L\'atni fogjuk, hogy ez az azonoss\'ag sok seg\'{\i}ts\'eget jelent,
ha f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek
eloszl\'as\'at vizsg\'aljuk. Megjegyzem, hogy az ilyen jelleg\H{u}
\"osszef\"ugg\'esek alkalmaz\'asa nemcsak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban
fontos. Ennek \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'an alapul az algebra egy
m\'ely \'es fontos ter\"ulete, a csoportreprezent\'aci\'ok
elm\'elete.
 
A tov\'abbi vizsg\'alatokban hasznos a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek al\'abb megadott definici\'oja.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es jel\"olje $F(u)=P(\xi<u)$,
$-\infty<u<\infty$, a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak a karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}F(\,du),\quad
-\infty<t<\infty,
$$
f\"uggv\'eny. Adva egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et is
defini\'alni fogjuk mint egy $F$ eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. (Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'enyt a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki
lehet sz\'amolni, ez\'ert jogunk van egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l besz\'elni.) } \medskip
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'asokat azok
fontoss\'aguk miatt k\"ul\"on Lemma form\'aj\'aban mondjuk ki.
\medskip\noindent
{\bf Lemma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,
\xi_n$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'et \'es $\varphi_j(t)$, $1\le j\le n$, a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ekkor az $S_n$ \"osszeg karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\psi_n(t)=Ee^{itS_n}=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)$,
$-\infty<t<\infty$  f\"uggv\'eny. Ha $A$ \'es $B\neq0$ val\'os
sz\'amok, akkor a $\dfrac{S_n-A}B$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye az
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}=e^{-itA/B}\psi_n\(\dfrac{t}B\)=e^{-itA/B}
\prodd_{j=1}^n\varphi_j\(\dfrac{t}B\)
$$
f\"uggv\'eny.
 
Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel, melyre teljes\"ul az
$E|\xi|^k=\dsize\int_{-\infty}^\infty |u|^kF(\,du)<\infty$
egyenl\H{o}tlens\'eg valamilyen $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.
Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a deriv\'altjai megadhat\'ok a
$\dfrac{d^j}{dt^j}\varphi(t)=\dsize\int_{-\infty}^\infty
i^ju^j e^{itu}F(\,du)$ k\'eplettel minden $0\le j\le k$ \'es
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Speci\'alisan, $t=0$ v\'alaszt\'assal
$\left.\dfrac{d^j\varphi(t)}{dt^j}\right|_{t=0}
=\dsize\int_{-\infty}^\infty i^ju^j F(\,du)=i^jE\xi^j$ minden $0\le
j\le k$ sz\'amra.} \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
Ee^{itS_n}=E^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}
=Ee^{it\xi_1}e^{it\xi_2}\cdots e^{it\xi_n}
=Ee^{it\xi_1}Ee^{it\xi_2}\cdots Ee^{it\xi_n}
=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)
$$
a $\xi_j$, $1\le j\le n$, f\"uggetlens\'ege miatt illetve az
$e^{it\xi_j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ebb\H{o}l
k\"ovetkez\H{o} f\"uggetlens\'ege miatt. Ezenk\'{\i}v\"ul
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}= Ee^{i(t/B)S_n}e^{-itA/B}=e^{-itA/B}
\psi_n\(\dfrac{t}B\),
$$
ha az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye $\psi_n(t)$. Innen
k\"ovetkeznek a Lemma els\H{o} paragrafus\'aban kimondott
\'all\'{\i}t\'asok.
 
A Lemma m\'asodik paragrafus\'aban kimondott \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel a
$\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}F(\,du)$ azonoss\'agot, \'es differenci\'aljuk $j$, $j\le k$,
alkalommal. Be lehet l\'atni, hogy az $E|\xi|^k<\infty$ felt\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en az azonoss\'ag jobb\-ol\-da\-l\'an az
integr\'al\'as \'es differenci\'al\'as sorrendje
felcser\'elhet\H{o}. Innen kapjuk, hogy  $\dfrac{d^j}{dt^j}\varphi(t)
=\dsize\int_{-\infty}^\infty i^ju^j e^{itu}F(\,du)$. Alkalmazva a
$t=0$ helyettes\H{u}t\'est megkapjuk a Lemma utols\'o
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as\'at is.
\medskip
Ahhoz, hogy a karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel j\'ol tudjunk
sz\'amolni sz\"uks\'eg\"unk van olyan eredm\'enyre, mely szerint
a tri\-go\-no\-met\-ri\-kus polinomok a folytonos f\"uggv\'enyek
el\'eg gazdag r\'eszoszt\'alya. Ilyen eredm\'eny Weierstrass m\'asodik
approxim\'aci\'os t\'etele, mely azt mondja ki, hogy folytonos \'es
periodikus f\"uggv\'enyeket tetsz\H{o}leges pontoss\'aggal
lehet k\"ozel\'{\i}teni a szupr\'emum norm\'aban trigonometrikus
polinomokkal. (Weierstrass els\H{o} approxim\'aci\'os t\'etele
hasonl\'o \'all\'{\i}t\'ast fogalmaz meg v\'eges intervallumban
folytonos f\"uggv\'enyek polinomokkal val\'o
app\-ro\-xi\-m\'al\-ha\-t\'o\-s\'a\-g\'a\-r\'ol.) Megfogalmazzuk ezt
az ered\-m\'enyt, \'es (v\'azlatosan) bebizony\'{\i}tjuk annak
n\'e\-h\'any sz\'a\-munk\-ra fontos k\"ovetkezm\'eny\'et.
 
\medskip\noindent
{\bf Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele.} {\it
Tetsz\H{o}leges folytonos \'es $2\pi$ szerint periodikus $f(t)$
f\"uggv\'enyre \'es $\e>0$ val\'os sz\'amra l\'etezik olyan
$P_n(t)=\summ_{k=-n}^n a_k e^{ikt}$ trigonometrikus polinom, melyre
$$
\sup_{-\infty<t<\infty} |f(t)-P_n(t)|<\e.
$$
}\medskip
Ahhoz, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyeinek konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkeztetni tudjunk
magunknak az eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a konvergenci\'aj\'ara
tudnunk kell azt, hogy az a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
meghat\'arozz\'ak az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket.
Megfogalmazzuk ezt az eredm\'enyt, \'es megadjuk annak
bizony\'{\i}t\'as\'at Weierstrass m\'asodik apprxim\'aci\'os
t\'etele seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $F(\cdot)$ \'es $G(\cdot)$ k\'et
eloszl\'asf\"uggv\'ey, melyek karakterisztikus f\"uggv\'enye
megegyezik. Ekkor $F(x)=G(x)$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy Weierstrass
m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
tetsz\H{o}leges $K>0$ \'es $\e>0$ sz\'amokra \'es a $K$ sz\'am
szerint periodikus $h(\cdot)$ f\"uggv\'enyre igaz, hogy l\'etezik
olyan $P_n(t)=\summ_{j=-n}^n a_j e^{2\pi ijt/K}$ trigonometrikus
polinom, melyre teljes\"ul a $\supp_{-\infty<t<\infty}
|P_n(t)-h(t)|\le\e$ becsl\'es. Integr\'alva a $h(\cdot)$ \'es a
$P_n(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
szerint, a fenti approxim\'aci\'ob\'ol kapjuk, hogy $\int
|h(u)-P_n(u)|F(\,du)\le\e$ \'es $\int |h(u)-P_n(u)|G(\,du)\le\e$.
Ez\'ert $\left|\int h(u)F(\,du)-\int h(u)G(\,du)\right|\le2\e$. Mivel
ez minden $\e>0$ sz\'amra igaz, ez\'ert $\int h(u)F(\,du)=\int
h(u)G(\,du)$. Tov\'abb\'a, innen k\"ovetkezik az is, hogy ha $
h(\cdot)$ kompakt tart\'oj\'u, folytonos f\"uggv\'eny, azaz ha
l\'etezik olyan $A$ sz\'am, melyre $h(u)=0$, ha $|u|\ge A$, akkor
$\int h(u)F(\,du)=\int h(u)G(\,du)$. Val\'oban, defini\'aljuk minden
$K>A$ sz\'amra azt a $h_K(\cdot)$ f\"uggv\'enyt, mely a $h(\cdot)$
f\"uggv\'eny  $[-K,K]$ intervallumra vett megszor\'{\i}t\'as\'anak
a $2K$ szerinti periodikus kiterjeszt\'ese, azaz $h_K(u)=h(u-2lK)$,
ahol $l$ olyan eg\'esz sz\'am, melyre $-K\le u<K$. Ekkor $\int h(u)
F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int h_K(u) F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int
h_K(u) G(\,du) =\int h(u) G(\,du)$.
 
Legyenek $-\infty<x<y<\infty$ olyan sz\'amok a sz\'amegyenesen,
melyek folytonoss\'agi pontjai mind az $F$ mind a $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek. Bel\'atjuk a fenti rel\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$. Val\'oban,
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $h(\cdot)=h_{\e}(\cdot)$f\"uggv\'enyt: $h(u)=1$,
ha $x\le u\le y$, $h(u)=0$, ha $y+\e\le u$ vagy $u\le x-\e$,
$h(u)=\dfrac{y+\e-u}\e$, ha $y\le u\le y+\e$,
$h(u)=\dfrac{u-x+\e}\e$, ha $x-\e\le u\le x$. Felhaszn\'alva az $\int
h^\pm_{\e}(u)F(\,du)=\int h^\pm_{\e}(u)G(\,du)$ azonoss\'agot,
\'es azt hogy $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)F(\,du)= F(y)-F(x)$, $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)G(\,du)=G(y)-G(x)$, ha $x$ \'es $y$ az $F$ \'es $G$
f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontjai, $\e\to0$
hat\'ar\'atmenettel kapjuk az $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$ azonoss\'agot.
 
Ez ut\'obbi azonoss\'agot felhaszn\'alva \'es alkalmazva az
$x\to-\infty$ hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $F(y)=G(y)$, ha $y$
mind az $F(\cdot)$ mind a $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
foly\-to\-nos\-s\'a\-gi pontja. Mivel az $F$ \'es $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi
pontja van, \'es mind a k\'et f\"uggv\'eny balr\'ol folytonos, innen
k\"ovetkezik, hogy az $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
megegyeznek. \medskip
 
Az el\H{o}z\H{o} t\'etel bizony\'{\i}t\'asi m\'odszer\'enek
finom\'{\i}t\'asa seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet bebizony\'{\i}tani
a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt, melyet fontoss\'aga miatt
alapt\'etelnek nevez\"unk. Ennek bizony\'{\i}t\'asa azonban a
Fourier anal\'{\i}zis m\'as m\'odszereit is felhaszn\'alja. Emiatt,
illetve id\H{o}hi\'any miatt a bizony\'{\i}t\'ast elhagyom.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel.}
{\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$.
Ha a $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra, \'es a $\varphi_0(t)$
limeszf\"uggv\'eny folytonos az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan
$F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, melynek a $\varphi_0(t)$
f\"uggv\'eny a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e
felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en az $F_n(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan sorozata, mely egy $F_0(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban,
$\varphi_n(t)$, $n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u)$, $\varphi_0(t)$
pedig az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty} \varphi_n(t)$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a konvergencia
egyenletes minden v\'eges intervallumban.}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Az el\H{o}ad\'ashoz csatlakoz\'o gyakorlatban
kit\H{u}ztem egy (elm\'eleti jelleg\H{u}) feladatot, mely fontos
szerepet j\'atszik a bizony\'{\i}t\'asban. E feladat eredm\'eny\'enek
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudjuk kihaszn\'alni a t\'etel
azon felt\'etel\'et, hogy a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyek
hat\'ar\'ert\'eke folytonos a null\'aban.
 \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata, melyek $\varphi_n(\cdot)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben
konverg\'alnak egy a null\'aban folytonos f\"uggv\'enyhez.
\itemitem{a.)} L\'assuk be (a Lebesgue t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel),
hogy ekkor tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)$ sz\'am, melyre
$\dsize\limm_{n\to\infty} \dfrac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\le\e$, ahol $\Re z$ a $z$ sz\'am re\'alis
r\'esz\'et jel\"oli.
\itemitem{b.)} Mutassuk meg, hogy amennyiben $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek $\varphi_n(\cdot)$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyei teljes\'{\i}tik az a) r\'eszben megfogalmazott
tulajdons\'agot, ak\-kor minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$K=K(\e)$ sz\'am, melyre $F_n(-K)+(1-F_n(K))\le \e$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra.
\medskip
Ennek a feladatnak az eredm\'enye lehet\H{o}v\'e teszi, hogy
alkalmazva annak az ered\-m\'eny\-nek a bizony\'{\i}t\'asm\'odszer\'et,
mely szerint a karakterisztikus f\"uggv\'eny meghat\'arozza az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt bel\'assuk a k\"ovetkez\H{o}
\'all\'{\i}t\'ast: Ha $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'e\-nyei konverg\'alnak
minden pontban egy $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny\'ehez, (mely folytonos az
orig\'oban), akkor az $F_n(\cdot)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, hogy egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
$\varphi(t)=\int e^{itu}F(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
folytonos minden pontban.
\medskip
A fent kimondott alapt\'etel tartalmasabb \'all\'{\i}t\'as mint az,
amire sz\"uks\'eg\"unk lesz. Ha azt akarjuk bel\'atni, hogy $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata konverg\'al egy $F_0$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, akkor el\'eg bel\'atni, hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a $\varphi_n(t)=\int e^{itu}F_n(\,du)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak az $F_0$
eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi_0(t)=\int e^{itu}F_0(\,du)$
karakteriszikus f\"uggv\'eny\'ehez minden $-\infty<t<\infty$
pontban. (Jegyezz\"uk meg, hogy egy karakterisztikus f\"uggv\'eny
 folytonos f\"uggv\'eny, ez\'ert az a k\"o\-ve\-tel\-m\'eny,
hogy az eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikusf\"uggv\'enyeinek
hat\'arf\"uggv\'enye legyen foly\-to\-nos teljes\"ul abban az
esetben, ha az eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak).
 
Az alapt\'etel t\"obbet mond ann\'al mint amire sz\"uks\'eg\"unk van.
Ez az eredm\'eny seg\'{\i}t eld\"onteni azt, hogy
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozat\'anak mikor van h\'at\'ar\'ert\'eke,
\'es mi ez a hat\'ar\'ert\'ek. Az alapt\'etel alkalmazhat\'o olyan
esetekben is, amikor eredetileg m\'eg
nem sejtj\"uk mi a hat\'ar\'ert\'ek. Azt \'all\'{\i}tja, hogy ha a
karakterisztikusf\"uggv\'enyek sorozat\'anak van egy az orig\'oban
folytonos hat\'arf\"uggv\'enye, akkor ez a hat\'arf\"uggv\'eny egy
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye, \'es egyben
ez az eloszl\'asf\"uggv\'eny a keresett limesz. (Annak eld\"ont\'ese,
hogy egy konkr\'et f\"uggv\'eny mikor karakterisztikus
f\"uggv\'enye valamely eloszl\'asnak \'altal\'aban neh\'ez
k\'erd\'es.) Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assuk annak a
 felt\'etelnek a fontoss\'ag\'at, mely szerint a hat\'arf\"uggv\'eny
folytonos az orig\'oban tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
feladatban megadott p\'eld\'at. \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2\dots$, a $[-n,n]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata, azaz
legyen $F_n(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f_n(u)=\dfrac1{2n}$, ha $-n\le u\le n$, $f_n(u)=0$, ha $|u|>n$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott f\"uggv\'eny. L\'assuk be,
hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus f\"uggv\'enyei minden
pontban konverg\'alnak az $\varphi(0)=1$, $\varphi(t)=0$, ha
$t\neq0$ k\'eplettel megadott $\varphi(t)$ f\"uggv\'enyhez,
amelyik az orig\'oban nem folytonos. Tov\'abb\'a az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem konverg\'alnak eloszl\'asban, mert
minden v\'eges $[a,b]$ intervallumra $\limm_{n\to\infty}F_n([a,b])=0$.
\medskip
 
Az alapt\'etel alapj\'an a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg kisz\'amolni a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, \'es
megmutatni, hogy ha vessz\"uk f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek a
nor\-ma\-li\-z\'alt\-jait, akkor ezek karakterisztikus f\"uggv\'enyei
a standard norm\'alis eloszl\'as ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'eny\'ehez tartanak. Fogalmazzuk meg el\H{o}sz\"or azt az
eredm\'enyt, mely megadja a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakerisztikus f\"uggv\'eny\'et. \medskip\noindent
{\bf T\'etel a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it A
$\varphi(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}$, $-\infty<u<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$g(t)=e^{-t^2/2}$ f\"uggv\'eny, azaz
$$
\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=e^{-t^2/2}.
$$
}\medskip\noindent
{\it Magyar\'azat:}
$$
\align
\int_{-\infty}^\infty e^{itu}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du&=
\int_{-\infty}^\infty \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-(u-it)^2/2}e^{-t^2/2}\,du\\
&=e^{-t^2/2} \int_{-\infty-it}^{\infty-it} \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}e^{-t^2/2}\,du.
\endalign
$$
A fenti sz\'amol\'asban a szok\'asos technik\'at alkalmaztuk, az
exponensben szerepl\H{o} kvad\-ra\-ti\-kus alakot teljes n\'egyzett\'e
alak\'{\i}totuk \'at. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
\int_{-\infty-it}^{\infty-it} \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}e^{-t^2/2}\,du=1.
$$
Ez az integr\'al abban k\"ul\"onb\"ozik a standard norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at\'ol, hogy a norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at nem a val\'os
tengelyen, hanem egy vele p\'arhuzamos egyenesen tekintj\"uk. Azz
\'all\'{\i}tom, hogy ez az integr\'al ugyanannyi, mintha a val\'os
tengelyen interg\'altunk volna. Ezt nem neh\'ez bel\'atni, ha szabad
hivatkozni a komplex f\"uggv\'enytan tal\'an legfontosabb
eredm\'eny\'ere, mely szerint egy analitikus f\"uggv\'eny
k\"orintegr\'alja egy z\'art g\"orb\'en nulla. Azt kell
kihaszn\'alni, hogy a $g(x)=e^{-z^2/2}$ f\"uggv\'eny analitikus az
eg\'esz sz\'ams\'{\i}kon, \'es, ezenk\'{\i}v\"ul a $g(z)$ f\"uggv\'eny
olyan, hogy amennyiben a $z$ argumentum imagin\'arius r\'esz\'enek az
abszolut \'ert\'eke kisebb mint valamely fix $K$ sz\'am re\'alis
r\'esz\'enek az abszolut \'ert\'eke pedig nagyon nagy, akkor a
$g(z)$ f\"uggv\'eny nagyon kicsi. Mivel ez a bizony\'{\i}t\'as a
komplex f\"uggv\'enytani ismeretek felhaszn\'al\'asa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}en v\'egrehajthat\'o, viszont ez
a komplex f\"uggv\'enytani r\'esz, melyet nem tanult mindenki
elengedhetetlen a bizony\'{\i}t\'asban, ez\'ert a r\'eszletek
kidolgoz\'as\'at elhagyom. \medskip
 
A fenti eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel nem neh\'ez bel\'atni a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt. Val\'aban, legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $E\xi_1^2<\infty$. Jel\"olje
$\varphi(\cdot)$ a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, $M=E\xi_j$, $D^2=\Var\xi_j$,
(mivel a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyforma
eloszl\'as\'uak, ez\'ert a fenti mennyis\'egek nem f\"uggnek a $j$
indext\H{o}l), \'es legyen $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$. Ekkor a
karakterisztkus f\"uggv\'enyekr\H{o}l kimondott lemma alapj\'an $S_n$
normaliz\'altj\'anak az $\dfrac{S_n-nM}{\sqrt n D}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
a karakterisztikus f\"uggv\'enye az
$$
\(e^{-itM/\sqrt nD}\varphi\(\dfrac t{\sqrt n D}\)\)^n
$$
f\"uggv\'eny. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell bel\'atni, hogy
$$
\(e^{-itM/\sqrt nD}\varphi\( \dfrac t{\sqrt n D}\)\)^n\to e^{-t^2/2},
\quad \text{ ha $n\to\infty$ minden $t$ sz\'amra}.
$$
Viszont alkalmazva a karakterisztkus f\"uggv\'enyekr\H{o}l
kimondott lemma m\'asodik \'all\'{\i}t\'as\'at \'es a
$\varphi(0)=1$ egyenl\H{o}s\'eget  Taylor sorfejt\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy $\varphi\(\dfrac t{\sqrt nD}\)
=1+\dfrac{it M}{\sqrt n D}-\dfrac{t^2 E\xi_1^2}{2nD^2}
+o\(\dfrac{t^2}{2n}\)$. Tov\'abb\'a, hasonl\'oan Taylor
sorfejt\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy
$e^{-itM/\sqrt nD}=1-\dfrac{itM}{\sqrt nD}
-\dfrac{t^2M^2}{2nD^2}+o\(\dfrac{t^2}n\)$. E k\'et aszimptotikus
egyenl\H{o}s\'eget \"osszeszorozva kapjuk, hogy
$$
\align
e^{-itM/\sqrt nD}\varphi\(\dfrac t{\sqrt n D}\)
&=\(1+\dfrac{it M}{\sqrt nD}-\dfrac{t^2 E\xi_1^2}{2nD^2}
+o\(\dfrac{t^2}{2n}\)\)\\
&\qquad \(1-\dfrac{itM}{\sqrt nD}-\dfrac{t^2M^2}{2nD^2}
+o\(\dfrac{t^2}n\)\) =1-\dfrac{t^2}{2n}+o\(\dfrac1n\),
\endalign
$$
mert elv\'egezve a beszorz\'asokat kapjuk, hogy $t$ egy\"utthat\'oja
nulla, $t^2$ egy\"utthat\'oja $-\(\dfrac{iM}{\sqrt nD}\)^2-
\dfrac{E\xi_1^2}{2nD^2}-\dfrac{M^2}{2nD^2}=-\dfrac{1}{2n}$, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul m\'ar csak $o\(\dfrac1n\)$ nagys\'agrend\H{u} tagok
szerepelnek a szorzatban. Innen viszont k\"ovetkezik,
hogy
$$
\(e^{-itM/\sqrt n}\varphi\( \dfrac t{\sqrt n D}\)\)^n=
\(1-\dfrac{t^2}{2n}+o\(\dfrac1n\)\)^n
\to e^{-t^2/2}, \quad \text{ha } n\to\infty
$$
minden $t$ sz\'amra, \'es ezt kellett bel\'atnunk.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy amennyiben $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
f\"uggetlen, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_1$ \'es $m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$
\'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, akkor $\xi+\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel.
 
 
\bye
 
 
 
