A Valószínűségszámítás I. előadássorozat tizenegyedik előadása. 2001 április 17.

Először néhány példát mutatunk a centrális határeloszlástétel alkalmazására.

Egy szabályos dobókockát feldobunk 1200 alkalommal egymástól függetlenül, és összeadjuk a páros értékű dobások eredményét. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy ez az összeg 2280 és 2500 közé esik. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 1200, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 2, ha a j-ik dobás eredménye 2, ξ_{j} = 4, ha a j-ik dobás eredménye 4, ξ_{j} = 6, ha a j-ik dobás eredménye 6, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye 1, 3 vagy 5. Ekkor

a P (2280 ≤ ∑_{j=1}^{1200} ξ_{j} ≤ 2500) valószínűséget kell jól megbecsülnünk. Vegyük észre,

hogy Eξ_{j} = \frac{1}{6}(2 + 4 + 6) = 2, Var ξ_{j} = \frac{1}{6}(4 + 16 + 36) − 4 = \frac{16}{3}. Innen a centrális határeloszlástétel alapján

P (2280 ≤ ∑_{j=1}^{1200} ξ_{j} ≤ 2500) = P (\frac{−120}{\sqrt{1200\frac{16}{3}}} ≤ \frac{∑_{j=1}^{1200} ξ_{j} − ∑_{j=1}^{1200} Eξ_{j}}{\sqrt{∑_{j=1}^{1200} Var ξ_{j}}} ≤ \frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}{3}}} )

∼ Φ(1.25) − Φ(−1.5) = 0.8944 + 0.9322 − 1 = 0.8266.

Vegyünk egy olyan pénzdarabot, mely \frac{2}{3} valószínűséggel esik a fej és \frac{1}{3} valószínűséggel az írás oldalra. Ezt a pénzdarabot annyiszor dobjuk fel, ameddig megjelenik 1200 fej dobás. Mi annak a valószínűsége, hogy az elvégzett dobások száma 1680 1830 küzé esik? Adjunk erre a valószínűségre jó közelítő becslést.

Megoldás: Az elvégzett dobások száma egy η negatív binomiális eloszlású való-

színűségi változó n = 1200 és p = \frac{2}{3} paraméterekkel, azaz P (η = k + n) =

\binom{n + k − 1}{n − 1}(1 − p)^{k}p^{n}, p = \frac{2}{3}, és n = 1200 paraméterrel. Egy ilyen valószínűségi

változónak ki lehet számolni a pontos eloszlását, azaz azt, hogy milyen értéket milyen valószínűséggel vesz fel. Elvileg, ez lehetőséget ad a kívánt valószínűség kiszámítására egy bonyolult összeg kiszámításának a segítségével. Ennél hasznosabb becslést tudunk kapni a következő érvelés segítségével, mely a kívánt valószínűséget jó pontossággal kiszámítja a centrális határeloszlástétel segítségével. Jelölje ξ_{j}, 2 ≤ j ≤ 1200, a j − 1-ik és j-ik fejdobás közötti dobások számát (a j-ik fejdobást beleszámítjuk a j − 1-iket viszont nem számítjuk bele e dobások közé), és legyen ξ_{1} az első fejdobásig (ezt is beleszámítva) elvégzett dobások száma. Ekkor a ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek, negatív binomiális eloszlásúak n = 1, p = \frac{2}{3} paraméterekkel, és minket a P (1680 < ξ_{1} + ⋯ + ξ_{1200} < 1830) valószínűség érdekel. Megmutattuk a 6. előadásban, illetve a hozzátartozó feladatokban), hogy

Eξ_{j} = \frac{1}{p} = \frac{3}{2}, Var ξ_{j} = \frac{1 − p}{p^{2}} = \frac{3}{4}. Ezért a centrális határeloszlástétel alapján

η = ξ_{1} + ⋯ + ξ_{1200} jelöléssel minket a P (−4 < \frac{η − 1200Eξ_{1}}{\sqrt{1200Var ξ_{1}}} < 1) valószínű-

ség érdekel. A centrális határeloszlástétel alapján P (−4 < \frac{η − 1200Eξ_{1}}{\sqrt{1200Var ξ_{1}}} < 1) ∼

Φ (1) + Φ(4) − 1 ∼ Φ(1).

Legyen birtokunkban 100 lámpa, melyek mindegyike egymástól független időtar-

tamig működik, élettartamuk pedig exponenciális eloszlású λ = \frac{1}{10} paraméterrel. (A lámpák élettartamának exponenciális eloszlása természetes feltételezés.) Egy termet bevilágítunk ezen lámpák valamelyikével, majd amikor az kiégett új lámpát használunk fel. Adjunk jó becslést arra, hogy a lámpák összélettartama legalább 1150 óra.

Megoldás: Jelölje ξ_{j} a j-ik lámpa éléttartamát, 1 ≤ j ≤ 100. Ekkor a P (ξ_{1} + ⋯ + ξ_{100} > 1150) valószínűségre kell jó becslést adnunk, ahol az összegben független exponenciális eloszlású valószínűségi változók szerepelnek λ = \frac{1}{10} paraméterrel. Vezessük be az η = ξ_{1} + ⋯ + ξ_{100} jelölést. Kiszámoltuk, hogy jelen esetben Eη = mEξ_{1} = \frac{m}{λ} = 1000, Var η = \frac{m}{λ^{2}} =

10000 (m = 100 és λ = \frac{1}{10} választással). Ezért a centrális határeloszlástétel sze-

rint \frac{η − Eη}{\sqrt{Var η}} = \frac{η − 1000}{100} jó közelítéssel standard normális eloszlású valószínűségi

változó, és P (ξ_{1} + ⋯ + ξ_{100} > 1150) = P (\frac{η − Eη}{\sqrt{Var η}} > 1.5) ∼ 1 − Φ(1.5).

A centrális határeloszlástétel nagy segítséget ad a matematikai statisztika két fontos problémakörében, a becsléselméletben és a hipotézisvizsgálatban. A becsléseleméletben olyan kérdésekkel foglalkunk mint például a következő kérdések: Mennyi egy lámpa várható élettartama, mennyi annak a valószínűsége, hogy egy kocka a hatos oldalra esik, mi a valószínűsége, hogy egy (életbiztosítást kötni akaró ember) megéli a hetvenedik évet? Általában a kérdés a következő: Egy esemény eloszlása függ valamilyen ismeretlen paramétertől, és ezt a paramétert akarjuk megbecsülni. Ennek érdekében kisérleteket végzünk, és valamilyen jó módszer segítségével próbáljuk megbecsülni az ismeretlen paramétert e kisérletek eredményének a függvényében.

A hipotézisvizsgálatban a feladat az, hogy bizonyos hipotézisünk van arról, hogy mennyi az élettartama egy lámpának, mennyire népszerű egy vélemény a választók között, hogy egy gyógyszer hatásosabb mint egy másik vagy valamilyen hasonló problémáról van valamilyen ellenőrizendő feltételezésünk. Annak érdekében, hogy eldöntsük, helyes-e a hipotézisünk kisérleteket végzünk. Ha kisérleteink eredménye nagyon valószínűtlen hipotézisünk teljesülése esetén, akkor hipotézisünket elutasítjuk, ha pedig valószínű, akkor elfogadjuk azt. De mikor tekintjük a bekövetkezett eredményt valószínűnek és mikor valószínűtlennek? E kérdés eldöntésében sokszor a centrális határeloszlástétel segít. Erre mutatunk néhány példát. E példák tárgyalása előtt bevezetjük a matematikai statisztika néhány egyszerű és természetes fogalmát. Jelen előadássorozatban csak a hipotézisvizsgálattal foglalkozunk, az ehhez kapcsolódó fogalmakat vezetjük be.

Azt a feltételezést, melyet ellenőrízni akarunk nevezik null-hipotézisnek, annak ellenkezőjét pedig ellenhipotézisnek. Vannak olyan feladatok, melyekben a null-hipotézis egyetlen elemből áll, például, ha azt tételezzük fel, hogy egy dobókocka szabályos. Az ilyen hipotéziseket nevezik egyszerű hipotézisnek. Vannak olyan feladatok, melyekben a null-hipotézis több elemból áll, például az a feltételezés, hogy egy javaslatot az emberek legalább fele támogat. Az ilyen hipotéziseket hívják összetett hipotézisnek. Két fajta hibát követhetünk el. Az egyik hiba az, hogy a hipotézis teljesül, mi mégis elutasítjuk azt. Ezt nevezik elsőfajú hibának. Ha a hipotézis nem teljesül, mi mégis úgy döntünk, hogy az teljesül, akkor ezt másodfajú hibának nevezzük. Az elsőfajú hiba csökkentése érdekében minél többször kell elfogadni, a másodfajú hipotézis csökkentése érdekében pedig minél többször kell elutasítani a hipotézist. A gyakorlatban általában úgy szokták a feladatokat megfogalmazni, hogy az elsőfajú hibára előírunk egy felső korlátot, és eme feltétel mellett próbáljuk a másodfajú hibát minél kisebbé tenni. Az elsőfajú hibára adott felső korlát összetett null-hipotézis esetén azt jelenti, hogy az elsőfajú hiba minden a null-hipotézis teljesülése esetén előfordulható eloszlás esetén legyen kisebb mint az előírt felső korlát.

Egy pénzdarabról ellenőrizni akarjuk, hogy igaz-e az a hipotézis, mely szerint ez az érme legalább \frac{3}{4} valószínűséggel esik a fej és legfeljebb \frac{1}{4} valószínűséggel az írás oldalára. Ennek érdekében feldobjuk a pénzdarabot 30 000 alkalommal, és a következő döntési szabályt hozzuk. Választunk egy k számot, és akkor fogadjuk el a hipotézist helyesnek, ha legalább k fejdobás történt. Legalább mekkorának kell válassztanunk ezt a k számot, ha azt akarjuk, hogy egy a hipotézist teljesítő pénzdarab esetén legalább 0.9 valószínűséggel döntsünk úgy, hogy a hipotézis teljesül? Megoldás: Vezessük be a következő valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye fej, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye írás, 1 ≤ j ≤ 30 000,

S = S_{30000} = ∑_{j=1}^{30 000} ξ_{j}. Ha a fejdobás eredményének valószínűsége pontosan \frac{3}{4},

Eξ_{j} = \frac{3}{4}, Eξ_{j}^{2} = \frac{3}{4}, Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{3}{16}, ES = 30 000Eξ_{j} = 22 500,

Var S = 30 000Var ξ_{j} = 5625 = 75^{2}. Innen és a centrális határeloszlástételből,

P (S > k) = P (\frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} > \frac{k − 22 500}{75}) = 1 − P (\frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≤ \frac{k − 22 500}{75})

∼ 1 − Φ (\frac{k − 22 500}{75}) .

Válasszuk a k számot úgy, hogy a fenti valószínűség körülbelül 0.9 legyen. Ekkor

a Φ (\frac{k − 22 500}{75}) = 0.1 vagy ami ezzel ekvivalens, a Φ (\frac{22 500 − k}{75} ) = 0.9 egyenletet kell kielégítenünk. A normális eloszlás-táblázat alapján \frac{22 500 − k}{75} ∼ 1.28,

ami azt jelenti, hogy k = 22 500 − 75 × 1.28 és p = \frac{3}{4} esetén annak valószínűsége,

hogy a fejdobások száma nagyobb mint k = 22 500 − 75 × 1.28 = 22 212 és p = \frac{3}{4} esetében annak valószínűsége, hogy legalább ennyi fejdobás történik körülbelül 0.9.

Ha p ≥ \frac{3}{4}, akkor ez a valószínűség nagyobb. Ezért a k = 22 212 helyes választás.

Házi feladat.

Egy szabályos dobókockát feldobunk 2700 alkalommal egymástól függetlenül, és összeszámoljuk a páros értékű dobások eredményét. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy ez az összeg 420 és 720 közé esik.

Eloszlások konvergenciájáról.

Mikor mondjuk azt, hogy valószínűségi változók eloszlásai konvergálnak egy határeloszláshoz? Ez a kérdés nem annyira egyszerű mint azt az első pillanatban gondolnánk. E fogalom helyes definiciója a centrális határeloszlástétel bizonyításának az első természetes lépése. (Magának a centrális határeloszlástételnek a részletes bizonyítását időhiany miatt elhagyjuk.)

Eloszlásban való konvergencia definiciója. Legyen F_{n}(·), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények sorozata a számegyenesen. Azt mondjuk, hogy az F_{n}(·) eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak egy F (·) eloszlásfüggvényhez, ha lim_{n→∞} F_{n}(x) = F (x) az F (·) (határ)eloszlásfüggvény minden folytonossági pontjában.

Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozata. Azt mondjuk, hogy a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak egy F (·) eloszlásfüggvényhez, ha az F_{n}(x) = P (ξ_{n} < x), −∞ < x < ∞, eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F (x) eloszlásfüggvényhez.

Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozata. Azt mondjuk, hogy a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak egy ξ valószínűségi változóhoz, ha az F_{n}(x) = P (ξ_{n} < x), −∞ < x < ∞, eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F (x) = P (ξ < x), −∞ < x < ∞ eloszlásfüggvényhez.

Megjegyzés: A normális eloszlásfüggvény minden pontban folytonos. Ezért a centrális határeloszlásfüggvény azt mondja ki, hogy független, egyforma eloszlású valószínűségi változók normalizáltjai eloszlásban konvergálnak a standard normális eloszlásfüggvényhez. Ebben az esetben nincs jelentősége annak, hogy a határeloszláslásfüggvény (jelen esetben nem létező) szakadási pontjaiban nem követeljük meg a konvergenciát.

Felmerül a kérdés, miért van kitüntetett szerepe a határeloszlásfüggvény szakadási pontjainak az eloszlásfüggvény konvergenciájának definiciójában. Természetes-e, hogy ezekben a pontokban nem követeltük meg a konvergenciát? E kérdés megértésének érdekében tegyük a következő megjegyzést.

Egy a számegegyenesen megadott F eloszlásfüggvény indukál egy valószínűségi mértéket a számegyenesen. Ez az a Stieltjes mérték, melyet μ_{F} -fel jelöltünk, melynek létezését csak kimondtuk, de a bizonyítás a mértékelmélet feladata. Az eloszlásban való konvergencia definiciójában valójában nem az F_{n} eloszlásfüggvények konvergenciáját követeljük meg az F eloszláshoz, hanem az F_{n} eloszlások által indukált μ_{F_{n}} Stieltjes mértékek konvergenciáját az F eloszlás által indukált μ_{F} mértékhez. Szemléletesen a μ_{F_{n}} mértékek elképzelhetőek mint olyan tömegeloszlások a számegyenesen, melyekben egy A ⊂ R halmaz ,,súlya” a μ_{F} (A) mérték. Az eloszlásban való konvergencia azt jelenti, hogy a μ_{F_{n}} tömegeloszlások nagy n indexre közel vannak a μ_{F} tömegeloszláshoz.

Az eloszlásban való konvergencia jobb megértése érdekében tekintsük a következő egyszerű példát. Legyen x_{0} = 0, és x_{n}, n = 1, 2, …, olyan számsorozat, melyre x_{n} < 0, n = 1, 2, …, és lim_{n→∞} x_{n} = 0. Legyen μ_{F_{n}}, n = 0, 1, 2, …, az a mérték, mely az x_{n} pontba van koncentrálva, azaz μ_{F_{n}}({x_{n}}) = 1, részletesebben μ_{F_{n}}(A) = 1, ha x_{n} ∈ A, és μ_{F_{n}}(A) = 0, ha x_{n} ∉ A. A μ_{F_{n}} eloszlás azon F_{n} eloszlásfüggvény által meghatározott Stieltjes mérték, melyre F_{n}(x) = 0, ha x ≤ x_{n}, F_{n}(x) = 1, ha x > x_{n}. Természetes azt várni, hogy az eloszlásfüggvény alkalmas definiciója esetén a most definiált példában az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F_{0} eloszláshoz. Másrészt vegyük észre, hogy lim_{n→∞} F_{n}(x) = F_{0}(x) minden x ≠ 0 számra. De az x = 0 pontban, azaz az F_{0} függvény szakadási pontjában ez a konvergencia nem teljesül, mert F_{n}(0) = 1, ha n ≥ 1, és F_{0}(0) = 0. Tehát az általunk megadott definició szerint az F_{n} eloszlások eloszlásban konvergálnak az F_{0} eloszláshoz, de annak érdekében, hogy ez teljesüljön szükség volt arra, hogy az eloszlásban való konvergencia definiciójában nem követeljük meg az eloszlásfüggvények konvergenciáját a határfüggvény szakadási pontjaiban.

Be lehet látni, hogy az eloszlásban való konvergencia kifejezi azt a szemléletes tartalmat, melyet a tömegeloszlásokkal való reprezentáció sugall, ezt azonban nem tesszük. Ehelyett egy olyan eredményt fogalmazok meg, az eloszlásban való konvergencia egy ekvivalens jellemzését adja meg. Ennek az eredménynek csak bizonyításvázlatát adom meg, bár a bizonyítás nem nehéz. Utána röviden leírom, miért hasznos ez az eredmény határeloszlástételek vizsgálatában.

Tétel. F_{n}(u), n = 1, 2, … eloszlásfüggvények sorozata akkor és csak akkor konvergál eloszlásban egy F (u) eloszlásfüggvényhez, ha minden a számegyenesen értelmezett folytonos, korlátos g(u) függvényre teljesül a

lim_{n→∞} ∫ g(u) dF_{n}(u) = ∫ g(u) dF (u)  (a)

azonosság.

Megjegyzés: Az eloszlásban való konvergenciát szokás gyenge konvergenciának is nevezni. Érdemes megjegyezni, hogy a funkcionálanalízisben is szokás Banach terek funkcionáljainak gyenge konvergenciájáról beszélni, és az előbb kimondott tétel azt is jelenti, hogy a gyenge konvergencia valószínűségszámításban és funkcionálanalízisben használt értelmezése összhangban van egymással. Ugyanis egy a számegyenesen definiált μ (valószínűségi) mértéket fel lehet fogni mint a korlátos és folytonos függvények Banach terén értelmezett (korlátos és lineáris) funkcionált. Nevezetesen a μ mérték az f(·) korlátos és folytonos függvényhez hozzárendeli a μ(f) = ∫ f(u)μ( du) számot. A funkcionálanalízisben definiált fogalomrendszer szerint a μ_{n} mértékek gyenge konvergenciája a μ mértékhez azt jelenti, hogy lim_{n→∞} ∫ f(u)μ_{n}( du) = ∫ f(u)μ( du) minden folytonos és korlátos függvény esetében, ez pedig a fent kimondott tétel szerint a μ_{n} mértékeknek, pontosabban az általuk meghatározott F_{n}(x) = μ_{n}({u: u < x}) eloszlásfüggvények gyenge (azaz eloszlásbeli) konvergenciáját jelenti a μ mértékhez, pontosabban az általa meghatározott F (x) = μ({u: u < x}) eloszlásfüggvényhez.

Binonyításvázlat: Tegyük fel először azt, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak egy F eloszlásfüggvényhez, és tekintsünk egy folytonos és korlátos g(·) függvényt a számegyenesen. Ekkor a g függvény folytonossága és az F illetve F_{n} eloszlásfüggvények viselkedése miatt ±∞ pontok környezetében minden ε > 0 számhoz létezik olyan elég nagy K = K(ε) > 0, melyre ∫_{u: |u|>K} |g(u)| dF_{n}(u) < ε minden n = 1, 2, … indexre, és ez az állítás érvényes akkor is, ha az F_{n} eloszlásfüggvényt az F eloszlásfüggvénnyel helyettesítjük. Továbbá a folytonos g(·) függvény a [−K, K] intervallumban egyenletesen folytonos. Ennek az észrevételnek és annak a ténynek a segítségével, hogy lim_{n→∞} F_{n}(x) = F (x) az F (·) minden folytonossági pontjában be lehet látni, véve a [−K, K] intervallumnak egy olyan elég finom felosztását, melynek az osztópontjai az F függvény folytonossági pontjai, hogy

|∫_{u: |u|≤K} g(u) dF_{n}(u) − ∫_{u: |u|≤K} g(u) dF (u)| < ε, ha n ≥ n_{0}(ε).

(E lépésben kihasználjuk azt, hogy egy monoton függvénynek csak megszámlálható sok szakadási pontja van. Miért?) Innen ε → 0 határátmenettel megkapjuk az (a) állítás bizonyítását.

Megfordítva tegyük fel, hogy teljesül az (a) reláció, és legyen x az F függvény folytonossági pontja. Rögzítve egy kis ε > 0 számot definiáljuk a következő g^{±}(u) = g_{x,ε}^{±}(u), −∞ < u < ∞ folytonos és korlátos függvényeket: g^{+}(u) = 0, ha u ≥ x + ε,

g^{+}(u) = 1, ha u ≤ x, g^{+}(u) = \frac{x + ε − u}{ε}, ha x ≤ u ≤ x + ε, g^{−}(u) = 0, ha u ≥ x,

g^{−}u) = 1, ha u ≤ x − ε, g^{−}(u) = \frac{x − u}{ε}, ha x − ε ≤ u ≤ x. Alkalmazva az (a) állítást kapjuk, hogy

F (x − ε) ≤ ∫ g_{ε,x}^{−}(u)F ( du) = lim_{n→∞} ∫ g_{ε,x}^{−}(u)F_{n}( du) ≤ lim inf_{n→∞} F_{n}(x)

≤ lim sup_{n→∞} F_{n}(x) ≤ lim_{n→∞} ∫ g_{ε,x}^{+}(u)F_{n}( du) = ∫ g_{ε,x}^{+}(u)F ( du) ≤ F (x + ε),

és véve az ε → 0 határátmenetet kapjuk, hogy lim_{n→∞} F_{n}(x) = F (x), feltéve, hogy az x pont az F függvény folytonossági pontja.

Sok vizsgálatban az eloszlásban való konvergenciának a tételben megadott jellemzése jobban használható mint az eredeti definició.

Mellékesen megjegyzem, hogy ennek az eredménynek egy másik haszna az, hogy ezt a definiciót jobban tudjuk általánosítani, ha eloszlások konvergenciáját akarjuk definiálni általánosabb terekben. Az ilyen kérdések természetes módon felmerülnek, ha nemcsak valószínűségi változók viselkedését akarjuk vizsgálni, hanem véletlen folyamatokét egy véges időintervallumban. Itt az a probléma merül fel, hogy az eloszlásfüggvény, illetve annak konvergenciája nem definiálható általános terekben, mert az eloszlásfüggvény definiciójában szereplő félegyenesek túlságosan erősen kötődnek a számegyenes, a többdimenziós eloszlások definiciója pedig az Euklidesi tér geometriájához. Ha eloszlásfüggvények helyett valószínűségi mértékeket tekintünk, akkor ezek konvergenciájának a definicióját természetes módon tudjuk definiálni nagyon általános terekben is az (a) reláció általánosítása segítségével.

Ha eloszlásfüggvények konvergenciáját az (a) tulajdonság vizsgálatának segítségével akarjuk bebizonyítani, akkor természetes módon felmerül az a kérdés, hogy nem lehetséges-e ezt a feltételt gyengíteni, nem elegendő-e az (a) reláció teljesülését a folytonos és korlátos függvényeknek csak egy elég gazdag részosztályára ellenőrizni, és ennek segítségével eldönteni, hogy teljesül-e az eloszlásban való konvergencia. Természetesen a folytonos és korlátos függvények olyan részosztályát kívánjuk tekinteni, amelyikre ez a feltétel könnyebben ellenőrizhető. Kiderült, hogy erre a kérdésre igenlő választ lehet adni, elegendő csak a trigonometrikus függvényeket tekinteni, azaz az g_{t}(u) = e^{itu}, −∞ < t < ∞, alakú függvényeket. Jegyezzük meg, hogy ezek a függvények komplex és nem valós értékűek, de mindazok az eredmények, melyek valós értékű valószínűségi változókra érvényesek, természetes módon általánosíthatók komplex szám értékű valószínűségi változókra is. Annak oka, hogy a trigonometrikus függvényeket jól tudjuk használni az, hogy minden −∞ < s, t < ∞, paraméterre teljesül a g_{s}(u)g_{t}(u) = e^{isu}e^{itu} = e^{i(s+t)u} = g_{s+t}(u) azonosság. Látni fogjuk, hogy ez az azonosság sok segítséget jelent, ha független valószínűségi változók összegeinek eloszlását vizsgáljuk. Megjegyzem, hogy az ilyen jellegű összefüggések alkalmazása nemcsak a valószínűségszámításban fontos. Ennek általánosításán alapul az algebra egy mély és fontos területe, a csoportreprezentációk elmélete.

A további vizsgálatokban hasznos a karakterisztikus függvények alább megadott definiciója.

Valószínűségi változó karakterisztikus függvényének a definiciója. Legyen ξ valószínűségi változó valamely (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, és jelölje F (u) = P (ξ < u), −∞ < u < ∞, a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. A ξ valószínűségi változónak a karakterisztikus függvénye a

φ(t) = Ee^{itξ} = ∫_{−∞}^{∞} e^{itu}F ( du), −∞ < t < ∞,

függvény. Adva egy F eloszlásfüggvény az F eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényét is definiálni fogjuk mint egy F eloszlású ξ valószínűségi változó karakterisztikus függvényét. (Mivel a karakterisztikus függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének a segítségével ki lehet számolni, ezért jogunk van egy eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényéről beszélni.)

A következő egyszerű állításokat azok fontosságuk miatt külön Lemma formájában mondjuk ki.

Lemma valószínűségi változók karakterisztikus függvényének viselkedéséről.

Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, jelölje S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} e valószínűségi

változók összegét és φ_{j}(t), 1 ≤ j ≤ n, a ξ_{j} valószínűségi változó karakterisztikus függ-

vényét. Ekkor az S_{n} összeg karakterisztikus függvénye a ψ_{n}(t) = Ee^{itS_{n}} = ∏_{j=1}^{n} φ_{j}(t),

−∞ < t < ∞ függvény. Ha A és B ≠ 0 valós számok, akkor a \frac{S_{n} − A}{B} valószínűségi változó karakterisztikus függvénye az

Ee^{it(S_{n}−A)/B} = e^{−itA/B}ψ_{n} (\frac{t}{B} ) = e^{−itA/B} ∏_{j=1}^{n} φ_{j} (\frac{t}{B} )

függvény.

Legyen ξ olyan valószínűségi változó F (·) eloszlásfüggvénnyel, melyre teljesül az

E|ξ|^{k} = ∫_{−∞}^{∞} |u|^{k}F ( du) < ∞ egyenlőtlenség valamilyen k pozitív egész számra. Ekkor

a ξ valószínűségi változó φ(t) karakterisztikus függvényének a deriváltjai megadhatók a

\frac{d^{j}}{dt^{j}} φ(t) = ∫_{−∞}^{∞} i^{j}u^{j}e^{itu}F ( du) képlettel minden 0 ≤ j ≤ k és −∞ < t < ∞ számra.

Speciálisan, t = 0 választással \frac{d^{j}φ(t)}{dt^{j}} |_{t=0} = ∫_{−∞}^{∞} i^{j}u^{j}F ( du) = i^{j}Eξ^{j} minden 0 ≤ j ≤ k

számra.

Bizonyítás:

Ee^{itS_{n}} = E^{it(ξ_{1}+···+ξ_{n})} = Ee^{itξ_{1}}e^{itξ_{2}} ⋯ e^{itξ_{n}} = Ee^{itξ_{1}}Ee^{itξ_{2}} ⋯ Ee^{itξ_{n}} = ∏_{j=1}^{n} φ_{j}(t)

a ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ n, függetlensége miatt illetve az e^{itξ_{j}} valószínűségi változók ebből következő függetlensége miatt. Ezenkívül

Ee^{it(S_{n}−A)/B} = Ee^{i(t/B)S_{n}}e^{−itA/B} = e^{−itA/B}ψ_{n} (\frac{t}{B} ) ,

ha az S_{n} valószínűségi változó karakterisztikus függvénye ψ_{n}(t). Innen következnek a Lemma első paragrafusában kimondott állítások.

A Lemma második paragrafusában kimondott állítás bizonyítása érdekében írjuk

fel a φ(t) = Ee^{itξ} = ∫_{−∞}^{∞} e^{itu}F ( du) azonosságot, és differenciáljuk j, j ≤ k, alkalommal.

Be lehet látni, hogy az E|ξ|^{k} < ∞ feltétel teljesülése esetén az azonosság jobboldalán az integrálás és differenciálás sorrendje felcserélhető. Innen kapjuk, hogy \frac{d^{j}}{dt^{j}} φ(t) =

∫_{−∞}^{∞} i^{j}u^{j}e^{itu}F ( du). Alkalmazva a t = 0 helyettesűtést megkapjuk a Lemma utolsó

bizonyítandó állítását is.

Ahhoz, hogy a karakterisztikus függvényekkel jól tudjunk számolni szükségünk van olyan eredményre, mely szerint a trigonometrikus polinomok a folytonos függvények elég gazdag részosztálya. Ilyen eredmény Weierstrass második approximációs tétele, mely azt mondja ki, hogy folytonos és periodikus függvényeket tetszőleges pontossággal lehet közelíteni a szuprémum normában trigonometrikus polinomokkal. (Weierstrass első approximációs tétele hasonló állítást fogalmaz meg véges intervallumban folytonos függvények polinomokkal való approximálhatóságáról.) Megfogalmazzuk ezt az eredményt, és (vázlatosan) bebizonyítjuk annak néhány számunkra fontos következményét.

Weierstrass második approximációs tétele. Tetszőleges folytonos és 2π szerint

periodikus f(t) függvényre és ε > 0 valós számra létezik olyan P_{n}(t) = ∑_{k=−n}^{n} a_{k}e^{ikt}

trigonometrikus polinom, melyre

sup_{−∞<t<∞} |f(t) − P_{n}(t)| < ε.

Ahhoz, hogy eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényeinek konvergenciájából következtetni tudjunk magunknak az eloszlásfüggvényeknek a konvergenciájára tudnunk kell azt, hogy az a karakterisztikus függvények meghatározzák az eloszlásfüggvényeket. Megfogalmazzuk ezt az eredményt, és megadjuk annak bizonyítását Weierstrass második apprximációs tétele segítségével.

Tétel. Legyen F (·) és G(·) két eloszlásfüggvéy, melyek karakterisztikus függvénye megegyezik. Ekkor F (x) = G(x) minden −∞ < x < ∞ számra.

Bizonyítás: Vegyük észre, hogy Weierstrass második approximációs tételéből következik, hogy tetszőleges K > 0 és ε > 0 számokra és a K szám szerint periodikus h(·) függvényre

igaz, hogy létezik olyan P_{n}(t) = ∑_{j=−n}^{n} a_{j}e^{2πijt/K} trigonometrikus polinom, melyre tel-

jesül a sup_{−∞<t<∞} |P_{n}(t)−h(t)| ≤ ε becslés. Integrálva a h(·) és a P_{n}(·) függvényt a F és G

eloszlásfüggvény szerint, a fenti approximációból kapjuk, hogy ∫ |h(u)−P_{n}(u)|F ( du) ≤ ε és ∫ |h(u) − P_{n}(u)|G( du) ≤ ε. Ezért |∫ h(u)F ( du) − ∫ h(u)G( du)| ≤ 2ε. Mivel ez minden ε > 0 számra igaz, ezért ∫ h(u)F ( du) = ∫ h(u)G( du). Továbbá, innen következik az is, hogy ha h(·) kompakt tartójú, folytonos függvény, azaz ha létezik olyan A szám, melyre h(u) = 0, ha |u| ≥ A, akkor ∫ h(u)F ( du) = ∫ h(u)G( du). Valóban, definiáljuk minden K > A számra azt a h_{K}(·) függvényt, mely a h(·) függvény [−K, K] intervallumra vett megszorításának a 2K szerinti periodikus kiterjesztése, azaz h_{K}(u) = h(u − 2lK), ahol l olyan egész szám, melyre −K ≤ u < K. Ekkor ∫ h(u)F ( du) =

lim_{K→∞} ∫ h_{K}(u)F ( du) = lim_{K→∞} ∫ h_{K}(u)G( du) = ∫ h(u)G( du).

Legyenek −∞ < x < y < ∞ olyan számok a számegyenesen, melyek folytonossági pontjai mind az F mind a G eloszlásfüggvénynek. Belátjuk a fenti reláció segítségével, hogy F (y) − F (x) = G(y) − G(x). Valóban, rögzítsünk egy ε > 0 számot, és definiáljuk a következő h(·) = h_{ε}(·)függvényt: h(u) = 1, ha x ≤ u ≤ y, h(u) = 0, ha y +

ε ≤ u vagy u ≤ x − ε, h(u) = \frac{y + ε − u}{ε}, ha y ≤ u ≤ y + ε, h(u) = \frac{u − x + ε}{ε},

ha x − ε ≤ u ≤ x. Felhasználva az ∫ h_{ε}^{±}(u)F ( du) = ∫ h_{ε}^{±}(u)G( du) azonosságot, és azt hogy lim_{ε→0} ∫ h_{ε}(u)F ( du) = F (y) − F (x), lim_{ε→0} ∫ h_{ε}(u)G( du) = G(y) − G(x), ha x és y az F és G függvény folytonossági pontjai, ε → 0 határátmenettel kapjuk az F (y) − F (x) = G(y) − G(x) azonosságot.

Ez utóbbi azonosságot felhasználva és alkalmazva az x → −∞ határátmenetet kapjuk, hogy F (y) = G(y), ha y mind az F (·) mind a G(·) eloszlásfüggvénynek folytonossági pontja. Mivel az F és G eloszlásfüggvénynek csak megszámlálható sok szakadási pontja van, és mind a két függvény balról folytonos, innen következik, hogy az F és G eloszlásfüggvények megegyeznek.

Az előző tétel bizonyítási módszerének finomítása segítségével lehet bebizonyítani a következő eredményt, melyet fontossága miatt alaptételnek nevezünk. Ennek bizonyítása azonban a Fourier analízis más módszereit is felhasználja. Emiatt, illetve időhiány miatt a bizonyítást elhagyom.

Eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel. Legyen F_{n}(u), −∞ < u < ∞, eloszlásfüggvények egy sorozata φ_{n}(t) = ∫ e^{itu}F_{n}( du) karakterisztikus függvényekkel, n = 1, 2, . . .. Ha a φ_{0}(t) = lim_{n→∞} φ_{n}(t) határérték létezik minden −∞ < t < ∞ számra, és a φ_{0}(t) limeszfüggvény folytonos az origóban, akkor létezik olyan F_{0}(u) eloszlásfüggvény, melynek a φ_{0}(t) függvény a karakterisztikus függvénye. Továbbá e feltétel teljesülése esetén az F_{n}(u) eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F_{0}(u) eloszlásfüggvényhez.

Megfordítva, ha F_{n}(u), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvényeknek egy olyan sorozata, mely egy F_{0}(u) eloszlásfüggvényhez konvergál eloszlásban, φ_{n}(t), n = 1, 2, …, jelöli az F_{n}(u), φ_{0}(t) pedig az F_{0}(u) eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényét, akkor φ_{0}(t) = lim_{n→∞} φ_{n}(t) minden −∞ < t < ∞ számra. Továbbá, ez a konvergencia egyenletes minden véges intervallumban.

Megjegyzés: Az előadáshoz csatlakozó gyakorlatban kitűztem egy (elméleti jellegű) feladatot, mely fontos szerepet játszik a bizonyításban. E feladat eredményének a segítségével tudjuk kihasználni a tétel azon feltételét, hogy a karakterisztikus függvények határértéke folytonos a nullában.

Feladat:

Legyen F_{n}(·), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények egy sorozata, melyek φ_{n}(·) karakterisztikus függvényei az origó egy kis környezetében konvergálnak egy a nullában folytonos függvényhez. a.) Lássuk be (a Lebesgue tétel segítségével), hogy ekkor tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan δ = δ(ε) szám, melyre lim_{n→∞} \frac{1}{2δ} ∫_{−δ}^{δ} ℜ[1 − φ_{n}(t)] dt ≤ ε, ahol ℜz a

z szám reális részét jelöli. b.) Mutassuk meg, hogy amennyiben F_{n}(·) eloszlásfüggvények φ_{n}(·) karakterisztikus függvényei teljesítik az a) részben megfogalmazott tulajdonságot, akkor minden ε > 0 számhoz létezik olyan K = K(ε) szám, melyre F_{n}(−K) + (1 − F_{n}(K)) ≤ ε minden n = 1, 2, … számra.

Ennek a feladatnak az eredménye lehetővé teszi, hogy alkalmazva annak az eredménynek a bizonyításmódszerét, mely szerint a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlásfüggvényt belássuk a következő állítást: Ha F_{n}(·) eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényei konvergálnak minden pontban egy F (·) eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényéhez, (mely folytonos az origóban), akkor az F_{n}(·) eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F (·) eloszlásfüggvényhez.

Feladat:

Mutassuk meg, hogy egy F eloszlásfüggvény φ(t) = ∫ e^{itu}F ( du) karakterisztikus függvénye folytonos minden pontban.

A fent kimondott alaptétel tartalmasabb állítás mint az, amire szükségünk lesz. Ha azt akarjuk belátni, hogy F_{n} eloszlásfüggvények egy sorozata konvergál egy F_{0} eloszlásfüggvényhez, akkor elég belátni, hogy az F_{n}(·) eloszlásfüggvényeknek a φ_{n}(t) = ∫ e^{itu}F_{n}( du) karakterisztikus függvényei konvergálnak az F_{0} eloszlásfüggvény φ_{0}(t) = ∫ e^{itu}F_{0}( du) karakteriszikus függvényéhez minden −∞ < t < ∞ pontban. (Jegyezzük meg, hogy egy karakterisztikus függvény folytonos függvény, ezért az a követelmény, hogy az eloszlásfüggvények karakterisztikusfüggvényeinek határfüggvénye legyen folytonos teljesül abban az esetben, ha az eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak).

Az alaptétel többet mond annál mint amire szükségünk van. Ez az eredmény segít eldönteni azt, hogy eloszlásfüggvények sorozatának mikor van hátárértéke, és mi ez a határérték. Az alaptétel alkalmazható olyan esetekben is, amikor eredetileg még nem sejtjük mi a határérték. Azt állítja, hogy ha a karakterisztikusfüggvények sorozatának van egy az origóban folytonos határfüggvénye, akkor ez a határfüggvény egy eloszlásfüggvény karakterisztikus függvénye, és egyben ez az eloszlásfüggvény a keresett limesz. (Annak eldöntése, hogy egy konkrét függvény mikor karakterisztikus függvénye valamely eloszlásnak általában nehéz kérdés.) Annak érdekében, hogy lássuk annak a feltételnek a fontosságát, mely szerint a határfüggvény folytonos az origóban tekintsük a következő feladatban megadott példát.

Feladat:

Legyen F_{n}(·), n = 1, 2 …, a [−n, n] intervallumban egyenletes eloszlású valószí-

nűségi változók sorozata, azaz legyen F_{n}(·) sűrűségfüggvénye az f_{n}(u) = \frac{1}{2n}, ha −n ≤ u ≤ n, f_{n}(u) = 0, ha |u| > n képlet segítségével megadott függvény. Lássuk be, hogy az F_{n}(·) eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényei minden pontban konvergálnak az φ(0) = 1, φ(t) = 0, ha t ≠ 0 képlettel megadott φ(t) függvényhez, amelyik az origóban nem folytonos. Továbbá az F_{n}(·) eloszlásfüggvények nem konvergálnak eloszlásban, mert minden véges [a, b] intervallumra lim_{n→∞} F_{n}([a, b]) = 0.

Az alaptétel alapján a centrális határeloszlástétel bizonyításához elég kiszámolni a standard normális eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényét, és megmutatni, hogy ha vesszük független, egyforma eloszlású valószínűségi változók összegeinek a normalizáltjait, akkor ezek karakterisztikus függvényei a standard normális eloszlás karakterisztikus függvényéhez tartanak. Fogalmazzuk meg először azt az eredményt, mely megadja a standard normális eloszlásfüggvény karakerisztikus függvényét.

Tétel a standard normális eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényéről. A

φ(u) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2}, −∞ < u < ∞, sűrűségfüggvénnyel rendelkező standard normális

eloszlásfüggvény karakterisztikus függvénye a g(t) = e^{−t^{2}/2} függvény, azaz

∫_{−∞}^{∞} e^{itu} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = e^{−t^{2}/2}.

Magyarázat:

∫_{−∞}^{∞} e^{itu} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−(u−it)^{2}/2}e^{−t^{2}/2} du

= e^{−t^{2}/2} ∫_{−∞−it}^{∞−it} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2}e^{−t^{2}/2} du.

A fenti számolásban a szokásos technikát alkalmaztuk, az exponensben szereplő kvadratikus alakot teljes négyzetté alakítotuk át. Azt állítom, hogy

∫_{−∞−it}^{∞−it} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2}e^{−t^{2}/2} du = 1.

Ez az integrál abban különbözik a standard normális sűrűségfüggvény integráljától, hogy a normális sűrűségfüggvény integrálját nem a valós tengelyen, hanem egy vele párhuzamos egyenesen tekintjük. Azz állítom, hogy ez az integrál ugyanannyi, mintha a valós tengelyen intergáltunk volna. Ezt nem nehéz belátni, ha szabad hivatkozni a komplex függvénytan talán legfontosabb eredményére, mely szerint egy analitikus függvény körintegrálja egy zárt görbén nulla. Azt kell kihasználni, hogy a g(x) = e^{−z^{2}/2} függvény analitikus az egész számsíkon, és, ezenkívül a g(z) függvény olyan, hogy amennyiben a z argumentum imaginárius részének az abszolut értéke kisebb mint valamely fix K szám reális részének az abszolut értéke pedig nagyon nagy, akkor a g(z) függvény nagyon kicsi. Mivel ez a bizonyítás a komplex függvénytani ismeretek felhasználása segítségével egyszerűen végrehajtható, viszont ez a komplex függvénytani rész, melyet nem tanult mindenki elengedhetetlen a bizonyításban, ezért a részletek kidolgozását elhagyom.

A fenti eredmények segítségével nem nehéz belátni a centrális határeloszlástételt. Valában, legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, … független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, Eξ_{1}^{2} < ∞. Jelölje φ(·) a ξ_{j} valószínűségi változó karakterisztikus függvényét, M = Eξ_{j}, D^{2} = Var ξ_{j}, (mivel a ξ_{j} valószínűségi változók egyforma eloszlásúak, ezért a fenti mennyiségek

nem függnek a j indextől), és legyen S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}. Ekkor a karakterisztkus függvényekről

kimondott lemma alapján S_{n} normalizáltjának az \frac{S_{n} − nM}{\sqrt{n}D} valószínűségi változónak a

karakterisztikus függvénye az

(e^{−itM/\sqrt{n}D}φ (\frac{t}{\sqrt{n}D} ))^{n}

függvény. Ezért a centrális határeloszlástétel bizonyításához azt kell belátni, hogy

(e^{−itM/\sqrt{n}D}φ (\frac{t}{\sqrt{n}D} ))^{n} → e^{−t^{2}/2}, ha n → ∞ minden t számra.

Viszont alkalmazva a karakterisztkus függvényekről kimondott lemma második állítását

és a φ(0) = 1 egyenlőséget Taylor sorfejtés segítségével kapjuk, hogy φ (\frac{t}{\sqrt{n}D} ) =

1 + \frac{itM}{\sqrt{n}D} − \frac{t^{2}Eξ_{1}^{2}}{2nD^{2}} + o (\frac{t^{2}}{2n}). Továbbá, hasonlóan Taylor sorfejtés segítségével kapjuk,

hogy e^{−itM/\sqrt{n}D} = 1 − \frac{itM}{\sqrt{n}D} − \frac{t^{2}M^{2}}{2nD^{2}} + o (\frac{t^{2}}{n} ). E két aszimptotikus egyenlőséget

összeszorozva kapjuk, hogy

e^{−itM/\sqrt{n}D}φ (\frac{t}{\sqrt{n}D} ) = (1 + \frac{itM}{\sqrt{n}D} − \frac{t^{2}Eξ_{1}^{2}}{2nD^{2}} + o (\frac{t^{2}}{2n}))

(1 − \frac{itM}{\sqrt{n}D} − \frac{t^{2}M^{2}}{2nD^{2}} + o (\frac{t^{2}}{n} )) = 1 − \frac{t^{2}}{2n} + o (\frac{1}{n}) ,

mert elvégezve a beszorzásokat kapjuk, hogy t együtthatója nulla, t^{2} együtthatója

− (\frac{iM}{\sqrt{n}D} )^{2} − \frac{Eξ_{1}^{2}}{2nD^{2}} − \frac{M^{2}}{2nD^{2}} = −\frac{1}{2n}, és ezenkívül már csak o (\frac{1}{n}) nagyságrendű

tagok szerepelnek a szorzatban. Innen viszont következik, hogy

(e^{−itM/\sqrt{n}}φ (\frac{t}{\sqrt{n}D} ))^{n} = (1 − \frac{t^{2}}{2n} + o (\frac{1}{n}))^{n} → e^{−t^{2}/2}, ha n → ∞

minden t számra, és ezt kellett belátnunk.

Feladat:

Mutassuk meg, a karakterisztikus függvények segítségével, hogy amennyiben ξ és η két független, normális eloszlású valószínűségi változó m_{1} és m_{2} várható értékkel, σ_{1}^{2} és σ_{2}^{2} szórásnégyzettel, akkor ξ + η normális eloszlású valószínűségi változó m_{1} + m_{2} várható értékkel, és σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} szórásnégyzettel.