\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent{\bf A \'aprilis 17-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or n\'eh\'any p\'eld\'at mutatunk a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alkalmaz\'as\'ara. \medskip
 
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszeadjuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 1200$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a $P\(2280\le
\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$E\xi_j=\dfrac16(2+4+6)=2$,
$\Var\xi_j=\dfrac16(4+16+36)-4=\dfrac{16}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(2280\le\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)&=
P\(\dfrac{-120}{\sqrt{1200\frac{16}3}}
\le\dfrac{\summ_{j=1}^{1200}\xi_j-\summ_{j=1}^{1200}E\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{1200}\Var\xi_j}}
\le\frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}3}}\) \\
&\sim\Phi(1.25)-\Phi(-1.5)=0.8944+0.9322-1=0.8266.
\endalign
$$
\item{2.} Vegy\"unk egy olyan p\'enzdarabot, mely $\dfrac23$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $\dfrac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra. Ezt a
p\'enzdarabot annyiszor  dobjuk fel, ameddig megjelenik  1200 fej
dob\'as. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az elv\'egzett
dob\'asok sz\'ama 1680 1830 k\"uz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama egy
$\eta$ negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
$n=1200$ \'es $p=\dfrac23$ param\'eterekkel, azaz
$P(\eta=k+n)=\dbinom{n+k-1}{n-1}(1-p)^kp^n$, $p=\dfrac23$, \'es
$n=1200$ param\'eterrel. Egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak ki lehet sz\'amolni a pontos eloszl\'as\'at, azaz
azt, hogy milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vesz fel. Elvileg, ez lehet\H{o}s\'eget ad a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara
egy bonyolult \"osszeg kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Enn\'el hasz\-no\-sabb becsl\'est tudunk
kapni a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel, mely a
k\'{\i}v\'ant va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get j\'o pontoss\'aggal
kisz\'am\'{\i}tja a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} Jel\"olje $\xi_j$, $2\le j\le 1200$, a $j-1$-ik \'es $j$-ik
fejdob\'as k\"oz\"otti dob\'asok sz\'am\'at (a $j$-ik fejdob\'ast
belesz\'am\'{\i}tjuk a $j-1$-iket viszont nem  sz\'am\'{\i}tjuk bele e
dob\'asok k\"oz\'e), \'es legyen $\xi_1$ az els\H{o} fejdob\'asig (ezt
is belesz\'am\'{\i}tva) elv\'egzett dob\'asok sz\'ama. Ekkor a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'uak $n=1$, $p=\dfrac23$
param\'eterekkel, \'es minket a $P(1680<\xi_1+\cdots+\xi_{1200}<1830)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Megmutattuk a 6. el\H{o}ad\'asban,
illetve a hozz\'atartoz\'o feladatokban), hogy
$E\xi_j=\dfrac1{p}=\dfrac32$, $\Var \xi_j=\dfrac
{1-p}{p^2}=\dfrac34$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{1200}$ jel\"ol\'essel minket a
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt{1200\Var\xi_1}}<1\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'erdekel. A cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel alapj\'an
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt {1200\Var\xi_1}}<1\)
\sim \Phi\(1\)+\Phi(4)-1\sim\Phi(1)$.
\item{3.} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, melyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\dfrac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
bevil\'ag\'{\i}tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az
ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o becsl\'est
arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150 \'ora.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa
\'el\'ettartam\'at, $1\le j\le100$. Ekkor a
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell
j\'o becsl\'est adnunk, ahol az \"osszegben f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok szerepelnek $\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel.
Vezess\"uk be az $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
\item{} Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\dfrac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\dfrac
m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\dfrac1{10}$
v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
sze\-rint $\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.
\item{4.} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, mely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alassztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\dfrac34$, $E\xi_j=\dfrac34$, $E\xi_j^2=\dfrac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\dfrac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\dfrac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\dfrac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\dfrac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\times 1.28$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\times 1.28=22\,212$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\dfrac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} k\'et feladat c\'elja annak az alapt\'etelnek
nevezett t\'etel felt\'eteleinek jobb meg\'ert\'ese, mely megadja a
kapcsolatot az eloszl\'asf\"uggv\'enyek illetve azok karakterisztikus
f\"uggv\'enye konvergenci\'aja k\"oz\"otti kapcsolatot.
 
Ezenk\'{\i}v\"ul, ha marad r\'a id\H{o} meg lehet t\'argyalni egy
ennek a feladatsornak a v\'eg\'en megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at, mely megmagyar\'azza mi a jelent\H{o}s\'ege az
alap\-t\'e\-tel\-ben annak a felt\'etelnek, hogy a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek egy a null\'aban folytonos f\"uggv\'enyhez
konverg\'alnak. Egy\'ebk\'ent ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'asa az alapt\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak egyik
kulcsl\'ep\'ese. \medskip
\item{5.} Mutassuk meg, hogy egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
$\varphi(t)=\int e^{itu}F(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
folytonos minden pontban.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\varphi(t)=\int e^{itu}F(\,du)$
az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ekkor tetsz\H{o}leges $t$, $\delta$ illetve
$K>0$ sz\'amra teljes\"ul a
$$
\align
&|\varphi(t+\delta)-\varphi(t)|\le \int|e^{i(t+\delta)}-e^{it}|
F(\,du)\le \int_{u\:|u|\le K}\supp_{t\:|t|\le K}
|e^{i(t+\delta)}-e^{it}| F(\,du)\\
&\qquad +\int_{u\:|u|>K}2 F(\,du)\le \supp_{t\:|t|\le K}
|e^{i\delta t}-1|+F(-K)+(1-F(K))
\endalign
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg. Tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz
v\'alaszthatunk olyan $K=K(\e)$ sz\'amot, melyre $F(-K)+(1-F(K))\le
\dfrac\e2$. Ezut\'an el\'eg kis $\delta_0=\delta_0(\e,K,t)>0$
v\'alaszt\'assal el\'erhetj\"uk, hogy $\supp_{t\:|t|\le K} |e^{i\delta
t}-1|\le \dfrac\e2$, ha $\delta\le \delta_0$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$|\varphi(t+\delta)-\varphi(t)|\le \e$, ha $\delta<\delta_0$, azaz a
$\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny folytonos.
\item{6.} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2\dots$, a $[-n,n]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata, azaz
legyen $F_n(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f_n(u)=\dfrac1{2n}$, ha $-n\le u\le n$, $f_n(u)=0$, ha $|u|>n$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott f\"uggv\'eny. L\'assuk be,
hogy az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyei minden pontban konverg\'alnak az $\varphi(0)=1$,
$\varphi(t)=0$, ha $t\neq0$ k\'eplettel megadott $\varphi(t)$
f\"uggv\'enyhez, amelyik az orig\'oban nem folytonos. Tov\'abb\'a
az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem konverg\'alnak
eloszl\'asban, mert minden v\'eges $[a,b]$ intervallumra
$$
\limm_{n\to\infty}\[F_n(b)-F_n(a)\]=0.
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
\varphi_n(t)=\dsize\dfrac1{2n}\int_{-n}^n
e^{itu}\,du =\dfrac{e^{itn}-e^{-itn}}{2nit},
$$
ahonnan $\varphi_n(t)\le \dfrac1{|t|n}$. Innen
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)=0$, ha $t\neq0$. M\'asr\'eszt,
$\varphi_n(0)=1$ minden $n$-re teh\'at,
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(0)=1$. M\'asr\'eszt egy v\'eges $[a,b]$
intervallumra az $F_n(b)-F_n(a)=\dfrac{b-a}n$, ha $n\le \max(|a|,|b|)$.
ahonnan $\limm_{n\to\infty}\[F_n(b)-F_n(a)\]=0$. Ez azt jelenti,
hogy az $F_n$ eloszl\'asok ,,kifolynak a v\'egtelenbe", \'es ez\'ert
nincs hat\'areloszl\'asuk.
\item{7.} Mutassuk meg, a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy amennyiben $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
f\"uggetlen, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_1$ \'es $m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$
\'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, akkor $\xi+\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tudjuk, hogy a karakteresztikus
f\"uggv\'enyek egy\'ertelm\H{u}en meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak azt az
eloszl\'asf\"uggv\'enyt, melynek \H{o}k a karakterisztikus
f\"uggv\'eny\"uk. Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy a $\xi+\eta$
karakterisztikus f\"uggv\'enye megegyezik az $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel rendelkez\H{o} norm\'alis eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'evel. Viszont tudjuk egyr\'eszt, hogy
a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege miatt $Ee^{it(\xi+\eta)}=Ee^{it\xi}Ee^{it\eta}$,
m\'asr\'eszt mivel a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi(t)=e^{-t^2/2}$, ez\'ert
$Ee^{it\xi}=e^{itm_1}e^{-\sigma_1^2t^2/2}$, \'es
$Ee^{it\eta}=e^{itm_2}e^{-\sigma_2^2t^2/2}$. Innen
$Ee^{it(\xi+\eta)}=e^{it(m_1+m_2)}e^{-(\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2/2}$,
ahonnan k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{8.} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyek k\"oz\"ul $\xi$
Poisson eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ minden $k=0,1,2,\dots$
sz\'amra, $\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumon,
azaz l\'etezik $f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, melyre $f(u)=1$,
ha $0\le u\le 1$, \'es $f(u)=0$, ha $u>1$, vagy $u<0$. L\'assuk be,
hogy a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak is van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es hat\'arozzuk meg azt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $[a,b]$ egy olyan intervallum,
melyre $[a,b]\subset [n,n+1]$ valamely nem negat\'{\i}v eg\'esz $n$
sz\'amra. Ekkor
$$
\align
P(\xi+\eta\in [a,b])&=P(\xi=n,\eta\in [a-n,b-n])=
P(\xi=n)P(\eta\in [a-n,b-n])\\
&=\dfrac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}(b-a)=\int_a^b f(u)\,du,
\endalign
$$
ahol $f(u)=\dfrac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}$, ha $u\in [n,n+1]$,
$n=0,1,2,\dots$. Legyen tov\'abb\'a $f(u)=0$, ha $u\le 0$. Ebb\H{o}l
a rel\'aci\'ob\'ol, illetve abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy
$P(\xi+\eta\le0)=0$, k\"ovetkezik, hogy
$P(\xi+\eta<x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ a fent defini\'alt $f(\cdot)$
f\"uggv\'ennyel, teh\'at ez a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o (l\'etez\H{o}) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
\item{9.} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyek k\"oz\"ul $\xi$
Poisson eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ minden $k=0,1,2,\dots$
sz\'amra, $\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,2]$ intervallumon,
azaz l\'etezik $f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, melyre
$f(u)=\dfrac12$, ha $0\le u\le2$, \'es $f(u)=0$, ha $u>2$, vagy
$u<0$. L\'assuk be, hogy a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es
hat\'arozzuk meg azt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ennek a feladatnak a megold\'asa hasonl\'o
az el\H{o}z\H{o}h\"oz. Legyen $[a,b]$ egy olyan intervallum,
melyre $[a,b]\subset [n,n+1]$ valamely nem negat\'{\i}v eg\'esz $n$
sz\'amra. Ekkor, ha $n\ge1$, akkor
$$
\align
P(\xi+\eta\in [a,b])&=P(\xi=n,\eta\in [a-n,b-n])\\
&\qquad +P(\xi=n-1,\eta\in [a-n-1,b-n-1])\\
&=P(\xi=n)P(\eta\in [a-n,b-n])\\
&\qquad +P(\xi=n-1)P(\eta\in [a-n-1,b-n-1])\\
&=\(\dfrac{\lambda^n}{n!}+\dfrac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}\)e^{-\lambda}
(b-a)=\int_a^b f(u)\,du,
\endalign
$$
ahol $f(u)=\(\dfrac{\lambda^n}{n!}+\dfrac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}\)
e^{-\lambda}$, ha $u\in [n,n+1]$,
$n=1,2,\dots$. Hasonl\'oan,
$$
P(\xi+\eta\in [a,b])=\int_a^b P(\xi=0)\,du=\int_a^b e^{-\lambda}\,du
$$
ha $[a,b]\in=0,1]$, tov\'abb\'a $P(\xi+\eta\le0)=0$. Innen
k\"ovetkezik, hogy ha az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny definici\'oj\'at az
$f(u)=e^{-\lambda}$, ha $0\le u\le1$, $f(u)=0$, ha $u<0$ k\'epletekkel
fejezz\"uk be, akkor $P(\xi+\eta<x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ ezzel
az $f(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel. Teh\'at ez a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o (l\'etez\H{o})
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a fent defini\'alt $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny.
\item{10.} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata, melyek $\varphi_n(\cdot)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben
konverg\'alnak egy a null\'aban folytonos f\"uggv\'enyhez.
\itemitem{a.)} L\'assuk be (a Lebesgue t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel),
hogy ekkor tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)$ sz\'am, melyre
$\dsize\limm_{n\to\infty} \dfrac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\le\e$, ahol $\Re z$ a $z$ sz\'am re\'alis
r\'esz\'et jel\"oli.
\itemitem{b.)} Mutassuk meg, hogy amennyiben $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek $\varphi_n(\cdot)$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyei teljes\'{\i}tik az a) r\'eszben megfogalmazott
tulajdons\'agot, ak\-kor minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$K=K(\e)$ sz\'am, melyre $F_n(-K)+(1-F_n(K))\le \e$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A b.) r\'eszben megfogalmazott
tulajdons\'ag teljes\"ul\'es\'et egyenletes fe\-szes\-s\'eg\-nek
h\'{\i}vj\'ak az irodalomban. Ez fontos szerepet j\'atszik sz\'amos
vizs\-g\'a\-lat\-ban.
\medskip \item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $\varphi(\cdot)$ a
$\varphi_n(\cdot)$ f\"uggv\'enyek (egy v\'eges intervallumban
l\'etez\H{o}) li\-me\-sze. Mivel ez a f\"uggv\'eny az orig\'oban
folytonos $0\le\Re \varphi(t)\le 1$ minden $t$ indexre, ahol a
$\varphi(\cdot)$ l\'etezik, $\Re[1-\varphi(0)]=0$, \'es ez a
f\"uggv\'eny az orig\'oban folytonos, ez\'ert
$\dsize\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi(t)]\,dt\le\e$, ha a $\delta=\delta(\e)>0$ sz\'amot
el\'eg kicsinek v\'alasztjuk. Mivel
$\limm_{n\to\infty}\Re[1-\varphi_n(t)] =\Re[1-\varphi(t)]$, \'es
$0\le\Re[1-\varphi_n(t)]\le2$, alkalmazhatjuk a Lebesgue t\'etelt,
\'es ez megadja az a) r\'esz \'all\'{\i}t\'as\'anak
bizony\'{\i}t\'as\'at.
\item{} A b) r\'esz bizony\'{\i}t\'as\'ahoz haszn\'aljuk fel, hogy
az a) r\'esz teljes\"ul\'ese eset\'en minden $\e>0$ sz\'amhoz
v\'alaszthatunk olyan $\delta=\delta(\e)$ sz\'amot \'es $n_0=n_0(\e)$
k\"usz\"obindexet, melyre igaz, hogy $\dsize0\le
\dfrac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\le\dfrac\e2$, ha $n\ge n_0$. M\'asr\'eszt
$$
\align
&\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt=\int_{-\delta}^\delta\frac1{2\delta}
\int_{-\infty}^\infty \[1-\cos tx\]\,dF_n(x)\,dt\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
[1-\cos tx]\,dt\,dF_n(x)
=\int_{-\infty}^\infty\[\frac t{2\delta}-\dfrac{\sin tx}{2\delta
x}\]_{t=-\delta}^{t=\delta}\,dF_n(x)\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta
x}\)\,dF_n(x) =\int_{-K}^K\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)
\\ &\qquad\qquad+\int_{|x|>K}\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)
\,dF_n(x)
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $K>0$ sz\'amra. Tov\'abb\'a
$1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\ge0$ minden $x$ sz\'amra, \'es
$1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\ge\dfrac12$, ha $x\ge\dfrac2\delta$.
Innen kapjuk $K=\dfrac2\delta$ v\'alaszt\'assal, hogy
$$
\dfrac\e2\ge\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\ge\int_{|x|>K}\dfrac12\,dF_n(x),
$$
azaz  $F_n(-K)+(1-F_n(K))\le\e$, ha $n\ge n_0$. Nem neh\'ez bel\'atni,
hogy a $K$ index esetleges n\"ovel\'es\'evel el\'erhet\H{o}, hogy ez
az egyenl\H{o}tlens\'eg a marad\'ek v\'eges sok $1\le n\le n_0$
indexre is teljes\"ulj\"on.
 
 
 
 \bye
 
 
 
 
